int gration

Cycle préparatoire 2ème année
Intégration – Notes de cours
Romain Dujol
2013 – 2014

Table des matières
0 Calcul d’intégrales (Révision) 3
0.1 Primitives et formes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.1.1 Primitives des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
0.1.2 Formes usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.1.3 Techniques fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2 Formes particulières . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2.1 Primitives de x7→(sinpx) (cosqx). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
0.2.2 Primitives de x7→P(x)eax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
0.2.3 Primitives de fractions rationnelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
0.2.4 Intégrales abéliennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1 Intégrales généralisées 8
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.1.2 Structure algébrique de l’ensemble des fonctions intégrables . . . . . . . . . . . 10
1.2 Fonctions à valeurs réelles positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 Compatibilité avec l’ordre naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.3 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.2.4 Fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 Fonctions à valeurs quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.1 Integrabilité absolue. Semi-intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.3.2 Conditions de semi-intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.4 Méthodes de calcul d’une intégrale généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.4.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Fonctions doublement intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Romain Dujol 1

2 Intégrales dépendant d’un paramètre 27
2.1 Intégrales propres dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.1.3 Intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.2.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3 Intégrales multiples 34
3.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.1 Intégrales doubles sur un compact élémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.1.2 Intégrale double sur un pavé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
3.1.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
3.2 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Intégrales curvilignes 39
4.0 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.0.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.0.2 Forme différentielle exacte. Forme différentielle fermée . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.0.3 Théorème de POINCARÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.0.4 Exemples d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.1 Intégrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4.1.2 Cas d’une courbe fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Romain Dujol 2

Chapitre 0
Calcul d’intégrales (Révision)
0.1 Primitives et formes usuelles
0.1.1 Primitives des fonctions usuelles
On rappelle les primitives des fonctions usuelles (Cest une constante).
Fonction Primitive Fonction Primitive
x7→xm,m∈R\{−1}x7→ xm+1
m+1+Cx7→ 1 xx7→ln|x|+C
x7→ea x ,a∈C∗x7→ ea x
a+Cx7→lnx x 7→xlnx−x+C
x7→cosx x 7→sinx+C x 7→sinx x 7→−cosx+C
x7→tanx x 7→ −ln|cosx|+C x 7→cotanx=1
tanxx7→ln|sinx|+C
x7→cosecx=1
sinxx7→lntan x 2+Cx7→secx=1 sinxx7→ln
tanx
2+π 4
+C
x7→chx x 7→shx+C x 7→shx x 7→chx+C
x7→thx x 7→ln(chx) + C x 7→cothx x 7→ln|shx|+C
x7→ 1
shxx7→lnth x 2+Cx7→ 1 chxx7→2arctan(ex) + C
x7→ 1
ch2x=1−th2xx7→thx+C x 7→ 1 sh2xx7→cothx+C
x7→ 1
x2+a2,a∈R∗x7→ 1 aarctan x a+Cx7→ 1 x2−a2,a∈R∗x7→ 1 2aln
x−a
x+a
+C
x7→ 1
pa2−x2,a∈R∗x7→arcsin x
a+C x 7→ax=exlna,a∈R∗
+x7→ ax
lna+C
x7→cos(ax +b),a∈R∗x7→ sin(ax +b)
a+C x 7→sin(ax +b),a∈R∗x7→ −cos(ax +b) a+C
Romain Dujol 3

0.1.2 Formes usuelles
Forme Primitive Forme Primitive
x7→u′(x)·u(x)m,m∈R\{−1}x7→ u(x)m+1
m+1+Cx7→ u′(x) u(x)x7→ln|u(x)|+C
x7→ u′(x)
pu(x)
x7→2pu(x) + C x 7→u′(x)·eu(x)x7→eu(x)+C
x7→u′(x)·cosu(x)x7→sinu(x) + C x 7→u′(x)·sinu(x)x7→−cosu(x) + C
x7→ u′(x)
1+u(x)2x7→arctanu(x) + C x 7→ u′(x)
p1−u(x)2x7→arcsinu(x) + C
0.1.3 Techniques fondamentales
Théorème (Intégration par parties). Soit u et v deux fonctions de classe C1sur [a,b]. Alors
Zb
a
u′(x)v(x)dx=u(x)v(x)b
a−Zb
a
u(x)v′(x)dx
Exercice. Calculer Zπ/2
0
xcosxdx.
Théorème (Changement de variables). Soit φ:[α,β]→Rune application injective et de classe
C1sur [α,β]et f une application à valeurs réelles définie et continue sur φ([α,β]). Alors
Zφ(β)
φ(α)
f(x)dx=Zβ
α
fφ(t)·φ′(t)dt
Exercice. Calculer Z1
0
ex
1+e2xdx.
0.2 Formes particulières
0.2.1 Primitives de x7→(sinpx) (cosqx)
Règle 0.1. Soit pet qdeux entiers naturels. Pour calculer la primitive de f:x7→(sinpx) (cosqx),
on distingue trois cas :
– si pest impair, alors on effectue le changement de variable t=cosx;
– si qest impair, alors on effectue le changement de variable t=sinx;
– si pet qsont pairs tous les deux, on effectue une linéarisation.
Exercice. Déterminer une primitive de x 7→ (sin3x) (cos4x), x 7→(cos5x)et x 7→(cos4x).
Romain Dujol 4