int gration

Cycle préparatoire 2ème année
Intégration – Notes de cours
Romain Dujol
2013 – 2014
Table des matières
0 Calcul d’intégrales (Révision)
0.1 Primitives et formes usuelles . . . . . . . . . .
0.1.1 Primitives des fonctions usuelles .
0.1.2 Formes usuelles . . . . . . . . . . . . . .
0.1.3 Techniques fondamentales . . . . . .
0.2 Formes particulières . . . . . . . . . . . . . . . .
0.2.1 Primitives de x 7→ (sinp x ) (cosq x ) .
0.2.2 Primitives de x 7→ P(x )e a x . . . . . . .
0.2.3 Primitives de fractions rationnelles
0.2.4 Intégrales abéliennes . . . . . . . . . .
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1 Intégrales généralisées
1.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Structure algébrique de l’ensemble des fonctions intégrables
1.2 Fonctions à valeurs réelles positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Compatibilité avec l’ordre naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Lemme fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.3 Théorèmes de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.4 Fonctions de référence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Fonctions à valeurs quelconques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Integrabilité absolue. Semi-intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Conditions de semi-intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Méthodes de calcul d’une intégrale généralisée . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Fonctions doublement intégrables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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13
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18
18
20
22
22
23
23
24
2 Intégrales dépendant d’un paramètre
2.1 Intégrales propres dépendant d’un paramètre . . .
2.1.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.3 Intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre
2.2.1 Continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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31
31
32
3 Intégrales multiples
3.1 Intégrales doubles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Intégrales doubles sur un compact élémentaire
3.1.2 Intégrale double sur un pavé . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3 Changement de variables . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Intégrales triples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Intégrales curvilignes
4.0 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.0.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.0.2 Forme différentielle exacte. Forme différentielle fermée
4.0.3 Théorème de POINCARÉ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.0.4 Exemples d’étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1 Intégrale curviligne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Cas général . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.2 Cas d’une courbe fermée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Chapitre 0
Calcul d’intégrales (Révision)
0.1
Primitives et formes usuelles
0.1.1
Primitives des fonctions usuelles
On rappelle les primitives des fonctions usuelles (C est une constante).
Fonction
x 7→ x m , m ∈ R\{−1}
Primitive
Fonction
1
x
Primitive
x 7→
x 7→ e a x , a ∈ C∗
+C
m +1
e ax
x→
7
+C
a
x 7→ ln x
x 7→ x ln x − x + C
x 7→ cos x
x 7→ sin x + C
x 7→ sin x
x 7→ − cos x + C
x 7→ tan x
x 7→ − ln | cos x | + C
x
x 7→ ln tan + C
2
1
x 7→ cotan x =
tan x
1
x 7→ sec x =
sin x
x 7→ ch x
x 7→ sh x + C
x 7→ sh x
x 7→ ch x + C
x 7→ th x
x 7→ ln(ch x ) + C
x
x 7→ ln th + C
2
x 7→ coth x
x 7→ ln | sh x | + C
x 7→ cosec x =
x
x
x
x
1
sin x
1
7→
sh x
1
7→ 2 = 1 − th2 x
ch x
1
7→ 2
, a ∈ R∗
x +a2
1
, a ∈ R∗
7→ p
a2 −x2
x 7→ cos(a x + b ), a ∈ R∗
Romain Dujol
x 7→
x m +1
x 7→ th x + C
1
x
arctan + C
a
a
x
x 7→ arcsin + C
a
x 7→
x 7→
sin(a x + b )
+C
a
1
x 7→
ch x
1
x 7→ 2
sh x
1
x 7→ 2
, a ∈ R∗
x −a2
x 7→ ln |x | + C
x 7→ ln | sin x | + C
‹

x π +C
x 7→ ln tan
+
2 4 x 7→ 2 arctan(e x ) + C
x 7→ coth x + C
x −a 1
+C
x 7→
ln 2a
x +a ax
+C
ln a
x 7→ a x = e x ln a , a ∈ R∗+
x 7→
x 7→ sin(a x + b ), a ∈ R∗
x 7→ −
cos(a x + b )
+C
a
3
0.1.2
Formes usuelles
Forme
Primitive
x 7→ u ′ (x ) · u (x )m , m ∈ R\{−1}
Primitive
x 7→
u (x )
x 7→ u ′ (x ) · e u (x )
x 7→ e u (x ) + C
x 7→ u ′ (x ) · cos u (x )
x 7→ sin u (x ) + C
x 7→ u ′ (x ) · sin u (x )
x 7→ − cos u (x ) + C
x 7→
x 7→ arctan u (x ) + C
x 7→ p
x 7→ arcsin u (x ) + C
x 7→ p
0.1.3
u ′ (x )
+C
m +1
p
x→
7 2 u (x ) + C
u ′ (x )
u ′ (x )
1 + u (x )2
x 7→
Forme
u (x )m +1
u (x )
u ′ (x )
1 − u (x )2
x 7→ ln |u (x )| + C
Techniques fondamentales
Théorème (Intégration par parties). Soit u et v deux fonctions de classe C 1 sur [a ,b ]. Alors
Z
b
Z
′
u (x )v (x ) dx = u (x )v (x )
a
b
a
−
b
u (x )v ′ (x ) dx
a
π/2
Z
Exercice. Calculer
x cos x dx .
0
Théorème (Changement de variables). Soit φ : [α, β ] → R une application injective et de classe
C 1 sur [α, β ] et f une application à valeurs réelles définie et continue sur φ([α, β ]). Alors
Z
φ(β )
Z
β
f (x ) dx =
φ(α)
1
Z
Exercice. Calculer
0
0.2
0.2.1
α
f φ(t ) · φ ′ (t ) dt
ex
dx .
1 + e 2x
Formes particulières
Primitives de x 7→ (sinp x ) (cosq x )
Règle 0.1. Soit p et q deux entiers naturels. Pour calculer la primitive de f : x 7→ (sinp x ) (cosq x ),
on distingue trois cas :
– si p est impair, alors on effectue le changement de variable t = cos x ;
– si q est impair, alors on effectue le changement de variable t = sin x ;
– si p et q sont pairs tous les deux, on effectue une linéarisation.
Exercice. Déterminer une primitive de x 7→ (sin3 x ) (cos4 x ), x 7→ (cos5 x ) et x 7→ (cos4 x ).
Romain Dujol
4
0.2.2
Primitives de x 7→ P(x )e a x
Proposition 0.1. Soit P un polynôme à coefficients complexes et a un nombre complexe non nul.
Alors une primitive de f : P(x )e a x est de la forme Q(x )e a x où Q est un polynôme à coefficients
complexes de même de degré que P qui est solution de l’équation différentielle Q ′ + aQ = P.
Démonstration. Soit Q un polynôme à coefficients complexes et g : x 7→ Q(x )e a x . Alors
∀x ∈ R, g ′ (x ) = Q ′ (x )e a x + aQ(x )e a x = (Q ′ (x ) + aQ(x ))e a x
Donc g est une primitive de f si et seulement Q ′ + aQ = P : comme a est non nul, le degré de Q ′ + aQ est
celui de Q. On en déduit que les degrés de Q et P sont égaux.
Règle 0.2. Soit P un polynôme à coefficients complexes et a un nombre complexe non nul. Pour
calculer la primitive F de f : x 7→ P(x )e a x :
1. on pose F : x 7→ Q(x )e a x avec degQ = deg P ;
2. on dérive F et on obtient l’équation Q ′ + aQ = P ;
3. on résout l’équation polynômiale par identification des coefficients.
Exercice. Calculer une primitive de x 7→ (x 3 − 2x + 1)e −x .
Remarque. Si le degré de P est très faible (pas plus de deux), il est possible de calculer la primitive de x 7→ P(x )e a x par intégrations par parties successives 1 .
Primitives de x 7→ P (x ) sin(a x ) et x 7→ P (x ) cos(a x ) Il suffit d’utiliser la formule d’EULER de
calculer les primitives de x 7→ P(x )e i a x et x 7→ P(x )e −i a x .
Exercice. Calculer une primitive de x 7→ x 4 cos x .
Primitives de x 7→ P (x ) sh(a x ) et x 7→ P (x ) ch(a x ) Il suffit d’utiliser la définition de sh et ch
de calculer les primitives de x 7→ P(x )e a x et x 7→ P(x )e −a x .
Exercice. Calculer une primitive de x 7→ (x 3 − 2x + 1) (ch x ).
1. Le nombre d’intégrations par parties nécessaires est égal au degré de P.
Romain Dujol
5
0.2.3
Primitives de fractions rationnelles
Règle 0.3. Soit R une fraction rationnelle à coefficients réels. Pour calculer la primitive de R :
1. On effectue une décomposition en éléments simples dans R :
R=E +
X
i
X
βj X + γj
αi
+
p
2
i
(X − a i )
(X + b j X + c j )q j
j
où :
– E est la partie entière de R ;
αi
–
sont les éléments simples de première espèce ;
(X − a i )p i
βj X + γj
–
avec b j2 − 4c j < 0 sont les éléments simples de seconde espèce.
2
(X + b j X + c j )q j
2. On détermine une primitive du polynôme E de manière usuelle.
3. On détermine une primitive d’un élément simple de première espèce R 1 : x 7→
avec n ∈ N∗ :
1
(x − a )n
−1
+ C (C ∈ R) ;
(n − 1)(x − a )n−1
– si n = 1, alors toute primitive de R 1 est de la forme x →
7 ln |x − a | + C (C ∈ R).
βx + γ
4. On détermine une primitive d’un élément simple de seconde espèce R 2 : x 7→ 2
(x + b x + c )n
avec n ∈ N∗ en effectuant la décomposition suivante :
βX +γ
2X + b
1
β
β
R2 = 2
=
+ γ− b
n
2
n
2
(X + b X + c )
2 (X + b X + c )
2
(X + b X + c )n
– si n > 1, alors toute primitive de R 1 est de la forme x 7→
puis :
– si n > 1, alors toute primitive de x 7→
C (C ∈ R) ;
−1
2x + b
est de la forme x 7→
+
(x 2 + b x + c )n
(n − 1)(x 2 + b x + c )n−1
2x + b
est de la forme x 7→ ln |x 2 + b x + c |
+ c )n
1
b 2
– pour calculer une primitive de x 7→ 2
= x+
+ δ2 , on pose le chan(x + b x + c )n
2
b
gement de variable t = x + pour se ramener au calcul de la primitive d’une fonction
2
usuelle.
– si n = 1, alors toute primitive de x 7→
Exercice. Calculer une primitive de x 7→
Romain Dujol
(x 2 + b x
1
x (x 2 + 2x
+ 5)
.
6
Primitives de fractions trigonométriques
Règle 0.4 (Règle de BIOCHE). Soit f une fraction rationnelle composée de fonctions trigonométriques de la forme sin(p x ), cos(p x ) et/ou tan(p x ).
Si x 7→ f (x ) dx est invariant par la transformation :
– x 7→ −x , alors on pose le changement de variable t = cos x ;
– x 7→ π − x , alors on pose le changement de variable t = sin x ;
– x 7→ π + x , alors on pose le changement de variable t = tan x .
x
Sinon, on pose le changement de variable t = tan . Auquel cas, on a :
2
1−t2
2t
2t
,
cos
x
=
,
tan x =
sin x =
1+t2
1+t2
1−t2
On se ramène alors à la recherche d’une primitive d’une fraction rationnelle en t .
x
Remarque. Le changement de variable t = tan fonctionne dans tous les cas (même ceux cou2
verts par la règle de BIOCHE).
Primitives de fractions rationnelles en exponentielle
Règle 0.5. Soit R une fraction rationnelle. Pour calculer une primitive de f : x 7→ R(e a x ), on pose
le changement de variable t = e a x et on se ramène alors à la recherche d’une primitive d’une
fraction rationnelle en t .
1
Exercice. Calculer une primitive de x 7→ x
.
(e + 2)2
Remarque. On peut donc appliquer cette règle avec des fractions hyperboliques (sh, ch, th).
Exercice. Calculer une primitive de x 7→
0.2.4
1
.
4 + 5 ch x + 3 sh x
Intégrales abéliennes
Règle 0.6. Soit (a ,b, c ) ∈ {a ∈ R∗+ ou b 2 − 4a c > 0}. Pour calculer une primitive de
p
1
:
f : x 7→ a x 2 + b x + c ou de f : x →
7 p
ax2 +bx + c
– si on peut écrire a x 2 + b x + c = α2 [(x + λ)2 + µ2 ], alors on pose le changement de variable
x + λ = µ sh t ;
– si on peut écrire a x 2 + b x + c = α2 [(x + λ)2 − µ2 ], alors on pose le changement de variable
x + λ = ±µ ch t ;
– si on peut écrire a x 2 + b x + c = α2 [µ2 − (x + λ)2 ], alors on pose le changement de variable
x + λ = µ sin t .
Exercice. Calculer une primitive de x 7→
Romain Dujol
1
[x (2 − x )]3/2
.
7
Chapitre 1
Intégrales généralisées
1.1
1.1.1
Généralités
Définition
Définition 1.1 (Fonction localement intégrable). Soit I un intervalle de R.
Une application f est dite localement intégrable sur I si et seulement si elle est intégrable
au sens de RIEMANN sur tout segment inclus dans I .
Exemple.
· f : x 7→ x est localement intégrable sur R.
1
· f : x 7→ est localement intégrable sur R∗+ , mais pas sur R.
x
Proposition 1.1. Soit I un intervalle de R.
1. Toute application continue sur I est localement intégrable sur I .
2. Toute application monotone sur I est localement intégrable sur I .
Définition 1.2 (Fonction intégrable). Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b et f une application
définie et continue sur l’intervalle [a ,b [.
On dit que f est intégrable sur [a ,b [ si et seulement si l’application
admet une limite finie en b − .
F : [a ,b [ → R
ZX
X
7→
f (t ) dt
a
b
Z
Auquel cas, on définit l’intégrale de f sur [a ,b [, notée
f (x ) dx par
a
Z
b
Z
x
f (x ) dx = lim F (X ) = lim
a
Romain Dujol
x →b −
x →b −
f (t ) dt
a
8
Remarque.
1. On rappelle que F est la primitive de f qui s’annule en a .
2. On peut évidemment définir de manière analogue une fonction intégrale sur un intervalle
]a ,b ] ouvert à gauche. Tous les résultats de ce chapitre ont leur équivalent dans ce cadre.
3. Une telle intégrale est appelée une intégrale généralisée.
4. Par opposition, on appellera intégrale propre toute intégrale d’une fonction continue sur
R1
un segment sur ce même segment, comme par exemple 0 x dx .
Exemple.
Z
X
X2
t dt =
1. Si f est l’application f : [0, +∞[ → R , alors F (X ) =
.
2
0
x
7→ x
Donc lim F (X ) = +∞ et f n’est pas intégrable sur [0, +∞[.
X →+∞
ZX
dt
= ln X .
2. Si f est l’application f : [1, +∞[ → R , alors F (X ) =
t
1
1
x
7→
x
Donc lim F (X ) = +∞ et f n’est pas intégrable sur [0, +∞[.
X →+∞
Proposition 1.2. Soit (a ,b ) ∈ R2 tel que a < b et f une application définie et continue sur [a ,b [.
Zb
Zb
f (x ) dx =
Si f admet une limite finie en b − , alors f est intégrable sur [a ,b [ et
est le prolongement par continuité de f en b .
où f : [a ,b ] → 
R
x
7→
 f (x )
 lim f (x )
x →b −
si x ∈ [a ,b [
si x = b
Z
b
Remarque. Comme f est définie et continue sur [a ,b ],
Z
b
f (x ) dx
a
a
f (x ) dx est donc une intégrale propre.
a
f (x ) dx est une intégrale dite faussement généralisée.
Auquel cas,
a
Démonstration. Comme f est définie et continue sur [a ,b ], elle est bornée : on note M = sup f (x ).
x ∈[a ,b ]
Alors
Z
Z
Z
Zb
Zb
X
b
X
f (x ) dx = f (x ) dx −
f (x ) dx = f (x ) dx ≤ M (b − X )
f (x ) dx −
∀X ∈ [a ,b [, a
a
X
a
a
Z
Zb
X
f (x ) dx −
Comme lim− M (b − X ) = 0, on en déduit par encadrement que lim− f (x ) dx = 0.
X →b
X →b a
a
Romain Dujol
9
est intégrable sur [0, 1[ car lim f (x ) = ln′ (1) = 1.
Exemple. L’application f : [0, 1[ → R
x →1−
ln x
x
7→
x −1
ATTENTION. CE RÉSULTAT N’EST PAS VALABLE SI b EST INFINI !
Exemple.
f : [1, +∞[ → R
1
x
7→
x
Proposition 1.3 (Changement de point de base). Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b et f une application définie et continue sur l’intervalle [a ,b [.
Pour tout réel c ∈ [a ,b [, f est intégrable sur [c ,b [ si et seulement si f est intégrable sur [a ,b [.
X
Z
Démonstration. Pour tout réel c ∈ [a ,b [ et tout réel X de [c ,b [,
Zc
Comme f est définie est continue sur [a , c ],
– Si f est intégrable sur [a ,b [, alors X 7→
f (t ), dt admet une limite finie en b − . On en déduit que
Z
1.1.2
X
f (t ), dt =
c
a
Z
f (t ), dt −
c
f (t ), dt
a
f (t ), dt admet également une limite finie en b − et f est intégrable sur [c ,b [.
c
– Si f est intégrable sur [c ,b [, alors X 7→
X 7→
f (t ), dt .
c
a
X
Z
Z
a
X
Z
Donc X 7→
a
X
Z
f (t ), dt +
a
X
Z
∀x ∈ [c ,b [,
c
f (t ), dt est une intégrale propre.
X
Z
Z
f (t ), dt =
X
f (t ), dt admet également une limite finie en b − , donc
c
f (t ), dt également et f est intégrable sur [a ,b [.
a
Structure algébrique de l’ensemble des fonctions intégrables
Théorème 1.1. Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b .
L’ensemble des fonctions intégrables sur [a ,b [ est un sous-espace vectoriel de l’ensemble
des fonctions définies et continues sur [a ,b [.
Notamment si f et g sont deux fonctions intégrables sur [a ,b [, alors pour tout réel λ,
f + λg est intégrable sur [a ,b [ et :
Zb
Zb
Zb
Romain Dujol
g (x ) dx
f (x ) dx + λ
( f + λg )(x ) dx =
a
a
a
10
Corollaire.
La somme de deux fonctions intégrables sur [a ,b [ est intégrable sur [a ,b [
La somme d’une fonction intégrable sur [a ,b [ et d’une fonction non-intégrable sur [a ,b [ n’est
pas intégrable sur [a ,b [.
Remarque. Il n’existe pas de résultat général pour la somme de deux fonctions non-intégrables.
En effet :
– x 7→ 1 et x 7→ −1 ne sont pas intégrables sur [0, +∞[ et x 7→ 1 + (−1) = 0 est intégrable sur
[0, +∞[ ;
– x 7→ 1 n’est pas intégrable sur [0, +∞[ et x 7→ 1 + 1 = 2 n’est pas intégrable sur [0, +∞[.
ATTENTION. On ne peut donc pas écrire la relation
Z
b
Z
b
b
g (x ) dx
f (x ) dx +
[ f (x ) + g (x )] dx =
a
Z
a
a
tant que l’intégrabilité de f et g sur [a ,b [ n’a pas été établie !
Théorème 1.2 (Intégrabilité d’une fonction à valeurs complexes).
Une fonction à valeurs complexes f définie et continue sur [a ,b [ est intégrable sur [a ,b [
si et seulement ℜe f et ℑm f sont intégrables sur [a ,b [.
Romain Dujol
11
1.2
Fonctions à valeurs réelles positives
1.2.1
Compatibilité avec l’ordre naturel
Proposition 1.4 (Positivité de l’intégrale généralisée). Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b et f une
Zb
fonction à valeurs réelles positives intégrable sur [a ,b [. Alors
a
f (x ) dx ≥ 0.
Z
Démonstration. Comme f est à valeurs réelles positives, on a pour tout X ∈ [a ,b [,
On conclut en passant à la limite lorsque X tend vers b − .
X
a
f (x ) dx ≥ 0.
Corollaire (Croissance de l’intégrale généralisée). Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b .
Z
Zb
Soit f et g deux fonctions intégrables sur [a ,b [ telles que f ≤ g . Alors
a
f (x ) dx ≤
b
g (x ) dx .
a
Démonstration. Alors g − f est intégrable et à valeurs positives. On applique la proposition précédente
Zb
Zb
Zb
et
a
g (x ) dx −
f (x ) dx =
a
a
(g − f )(x ) dx ≥ 0.
Proposition 1.5. Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b . Si f une fonction :
– continue sur [a ,b [ ;
– à valeurs réelles positives [a ,b [ ;
Zb
f (x ) dx = 0 ;
– intégrale sur [a ,b [ telle que
a
alors f est nulle sur [a ,b [.
Démonstration. Soit c ∈ [a ,b [ : comme f est intégrable sur [a ,b [, elle l’est également sur [c ,b [ et
Z
b
0=
Z
c
f (x ) dx =
a
a
c
Comme f est à valeurs réelles positives, il vient que
Z
c
b
Z
f (x ) dx et
a
f (x ) dx sont deux réels positifs dont
c
b
Z
f (x ) dx =
a
f (x ) dx
c
Z
la somme est nulle : on en déduit alors que
b
Z
f (x ) dx +
f (x ) dx = 0.
c
Notamment
f est une application à valeurs réelles positives continue sur [a , c [ telle que l’intégrale
Zc
propre
f (x ) dx soit nulle. On en conclut que f est nulle sur [a , c ] et en particulier que f (c ) = 0.
a
On vient de montrer que f est nulle en tout point de [a ,b [.
Romain Dujol
12
1.2.2
Lemme fondamental
Théorème 1.3 (Lemme fondamental des fonctions intégrables à valeurs positives).
Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b et f une fonction à valeurs réelles positives définie et
continue sur [a ,b [. Alors f est intégrable sur [a ,b [ si et seulement si la primitive de f qui
s’annule en a est majorée :
Z
f est intégrable sur [a ,b [ ⇐⇒ ∃M ∈ R+ , ∀X ∈ [a ,b [,
Démonstration. On note F :
[a ,b [
→
X
7→
X
a
f (x ), dx ≤ M
la primitive de F qui s’annule en a .
R
ZX
f (x ) dx
a
(⇒) Comme F admet une limite en b − , elle est majorée sur [a ,b [.
(⇐) Comme F ′ = f ≥ 0, il vient que F est croissante. Comme elle est majorée, on en conclut que F
admet une limite finie en b − , puis que f est intégrable sur [a ,b [.
Proposition 1.6. Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b et f une fonction à valeurs réelles positives
définie et continue sur [a ,b [.
Zb
ZX
1. Si f est intégrable sur [a ,b [, alors ∀X ∈ [a ,b [,
ZX
1.2.3
f (x ) dx ≤
f (x ) dx .
a
f (x ) dx = +∞.
2. Si f n’est pas intégrable, alors lim
X →b −
a
a
Théorèmes de comparaison
Théorème 1.4 (Théorème de majoration des fonctions intégrables à valeurs positives).
Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b . Soit f et g deux fonctions à valeurs réelles positives définies
et continues sur [a ,b [ telles que f ≤ g .
Si g est intégrable sur [a ,b [, alors f est intégrable sur [a ,b [.
Corollaire. Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b . Soit f et g deux fonctions à valeurs réelles positives
définies et continues sur [a ,b [ telles que f = Ob − (g ).
Si g est intégrable sur [a ,b [, alors f est intégrable sur [a ,b [.
Remarque. Le résultat est donc valable si f = ob − (g ).
Romain Dujol
13
Théorème 1.5 (Théorème de minoration des fonctions intégrables à valeurs positives).
Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b . Soit f et g deux fonctions à valeurs réelles positives définies
et continues sur [a ,b [ telles que f ≤ g .
Si f n’est pas intégrable sur [a ,b [, alors g n’est pas intégrable sur [a ,b [.
Corollaire. Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b . Soit f et g deux fonctions à valeurs réelles positives
définies et continues sur [a ,b [ telles que f = Ob − (g ).
Si f n’est pas intégrable sur [a ,b [, alors g n’est pas intégrable sur [a ,b [.
Remarque. Le résultat est donc valable si f = ob − (g ).
Théorème 1.6 (Théorème d’équivalence des fonctions intégrables à valeurs positives).
Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b . Soit f et g deux fonctions définies et continues sur [a ,b [
telles que f ∼ g .
b−
Si g est de signe constant au voisinage de b − , alors f est intégrable sur [a ,b [ si et seulement si g est intégrable sur [a ,b [.
Remarque. Le théorème n’est plus valable si l’hypothèse « g est de signe constant au voisinage
de b − » n’est plus vérifiée.
Démonstration. On suppose ici que g est positive au voisinage de b − . (Le raisonnement dans le cas où
elle serait négative au voisinage de b − est identique.)
f (x )
= 1, il existe un réel c ∈ [a ,b [ tel que
Comme lim−
x →b g (x )
∀x ∈ [c ,b [,
f (x ) 3
1
≤
≤
2 g (x ) 2
i.e.
∀x ∈ [c ,b [,
1
3
g (x ) ≤ f (x ) ≤ g (x )
2
2
Donc f est également positive sur [c ,b [.
· Si g est intégrable sur [a ,b [, alors elle est intégrable sur [c ,b [ et il en est de même pour 32 g . D’après
le théorème de majoration pour les fonctions intégrables à valeurs réelles positives, f est intégrable sur [c ,b [. On conclut alors que f est intégrable sur [a ,b [.
· Si f est intégrable sur [a ,b [, alors d’après le théorème de majoration pour les fonctions intégrables
à valeurs réelles positives, 12 g est intégrable sur [c ,b [ et il en est donc de mème pour g . On conclut
alors que g est intégrable sur [a ,b [.
Romain Dujol
14
1.2.4
Fonctions de référence
Fonctions de RIEMANN au voisinage de +∞
Théorème 1.7 (Fonction de RIEMANN au voisinage de +∞). Soit α un nombre réel.
1
La fonction x 7→ α est intégrable sur [1, +∞[ si et seulement si α > 1.
x
Démonstration. On note f :
R∗+
x
→
7→
R puis F :
1
xα
[1, +∞[
X
→
7→
.
R
ZX
X
Z
f (x ) dx =
1
1
dx
xα
On distingue deux cas :
– si α = 1, alors F (X ) = ln X − ln 1 pour tout X ∈ [1, +∞[ : donc lim F (X ) = +∞ et f n’est pas
X →+∞
intégrable sur [1, +∞[ ;
1−α X
X 1−α − 1
x
=
pour tout X ∈ [1, +∞[ et :
– si α 6= 1, alors F (X ) =
1−α 1
1−α
Z
+∞
dx
1
=
;
α
x
α−1
1
· si α < 1, alors 1 − α > 0 et lim X 1−α = +∞ : donc f n’est pas intégrable sur [1, +∞[.
· si α > 1, alors 1 − α < 0 et lim X
X →+∞
1−α
= 0 : donc f est intégrable sur [1, +∞[ et
X →+∞
Proposition 1.7 (Règle « x α f (x ) » en +∞). Soit a un réel strictement positif et f une fonction à
valeurs réelles positives définie et continue sur [a , +∞[. Alors :
∃α > 1, lim x α f (x ) = 0
=⇒
f est intégrable sur [a , +∞[
∃α ≤ 1, lim x α f (x ) = +∞
=⇒
f n’est pas intégrable sur [a , +∞[
x →+∞
x →+∞
Démonstration.
– Si il existe α > 1 tel que lim x α f (x ) = 0, alors il existe un réel A tel que :
x →+∞
∀x ≥ A, x α f (x ) ≤ 1
i.e.
∀x ≥ A, f (x ) ≤
1
xα
Donc f est intégrable sur [A, +∞[ d’après le théorème de majoration des fonctions intégrables à
valeurs positives, puis sur [a , +∞[.
– Si il existe α ≤ 1 tel que lim x α f (x ) = +∞, alors il existe un réel A tel que :
x →+∞
∀x ≥ A, x α f (x ) ≥ 1
i.e.
∀x ≥ A, f (x ) ≥
1
xα
Donc f n’est pas intégrable sur [A, +∞[ d’après le théorème de minoration des fonctions intégrables à valeurs positives, puis sur [a , +∞[.
Romain Dujol
15
Fonctions de RIEMANN au voisinage de 0
Théorème 1.8 (Fonction de RIEMANN au voisinage de 0). Soit α un nombre réel.
1
La fonction x 7→ α est intégrable sur ]0, 1] si et seulement si α < 1.
x
1
est une application injective et de classe C 1 sur
t
Z1
Z 1/ǫ
1 −dt
−dt
dt
=
=
2−α
2−α
(1/t )α t 2
t
t
1/ǫ
1
Démonstration. Soit ǫ un réel positif. Alors φ : t 7→
[1/ǫ, 1] et
1
Z
ǫ
dx
=
xα
Z
1
1/ǫ
ZX
1
dt
Comme lim+ 1/ǫ = +∞, il vient que x 7→ α est intégrable sur ]0, 1] si et seulement si X 7→
admet
2−α
ǫ→0
x
t
1
1
une limite finie lorsque X tend vers +∞, i.e. t 7→ 2−α est intégrable sur [1, +∞[.
t
1
En utilisant les résultats précédents, il vient que x 7→ α est intégrable sur ]0, 1] si et seulement si
x
2 − α > 1, i.e. α < 1.
Proposition 1.8 (Règle « x α f (x ) » en 0). Soit a un réel strictement positif et f une fonction à valeurs réelles positives définie et continue sur ]0, a ]. Alors :
∃α < 1, lim x α f (x ) = 0
=⇒
f est intégrable sur ]0, a ]
∃α ≥ 1, lim x α f (x ) = +∞
=⇒
f n’est pas intégrable sur ]0, a ]
x →0+
x →0+
Démonstration. Il suffit d’appliquer le changement de variables t =
en +∞.
1
puis d’utiliser la règle « x α f (x ) »
x
Corollaire. Soit a et c deux réels tel que a 6= c .
1
est intégrable sur ]a , c ] si et seulement si α < 1.
Soit α un nombre réel. Alors x 7→
(x − a )α
Démonstration. Il suffit d’effectuer le changement de variable t = x − a et se ramener à l’étude de l’inté1
grabilité de la fonction t 7→ α sur ]0, c − a ].
t
Romain Dujol
16
Fonctions exponentielles
Théorème 1.9 (Fonctions exponentielles). Soit α un nombre réel.
La fonction x 7→ e αx est intégrale sur [0, +∞[ si et seulement α < 0.
Démonstration. On note f :
R
x
→
7→
puis F :
R
e αx
[0, +∞[
→
X
7→
.
R
ZX
X
Z
e αx dx
f (x ) dx =
0
0
On distingue deux cas :
– si α = 0, alors F (X ) = X pour tout X ∈ [0, +∞[ : donc lim F (X ) = +∞ et f n’est pas intégrable sur
X →+∞
[0, +∞[ ;
e αx X e αX − 1
=
pour tout X ∈ [0, +∞[ et :
α 0
α
· si α > 0, alors lim e αX = +∞ : donc f n’est pas intégrable sur [0, +∞[ ;
X →+∞
Z +∞
– si α 6= 0, alors F (X ) =
· si α < 0, alors lim e αX = 0 : donc f est intégrable sur [0, +∞[ et
X →+∞
e αx dx =
0
1
.
−α
Corollaire. Soit P un polynôme à coefficients réels et α un réel strictement négatif.
Alors x 7→ P(x )e αx est intégrable sur [0, +∞[.
Démonstration. Comme P est de signe constant au voisinage de +∞, f : x 7→ P(x )e αx l’est également.
De plus lim x 2 f (x ) = lim x 2 P(x )e αx = 0 : donc d’après la règle « x α f (x ) » en +∞, f est intégrable au
x →+∞
x →+∞
voisinage de +∞ et donc sur [0, +∞[.
Fonction logarithme népérien
Théorème 1.10 (Fonction logarithme). L’application x 7→ − ln x est intégrale sur ]0, 1].
Démonstration. Soit ǫ ∈]0, 1]. Alors
1
Z
ǫ
1
Z
− ln x dx = [−x
ln x ]1ǫ
−
ǫ
1
−x dx = ǫ ln ǫ +
x
1
Z
ǫ
dx = ǫ ln ǫ + (1 − ǫ)
1
Z
Comme lim+ ǫ ln ǫ = 0, on en déduit que x 7→ − ln x est intégrable sur ]0, 1] et
ǫ→0
Romain Dujol
(− ln x ) dx = 1.
0
17
Fonctions de BERTRAND
Théorème 1.11. Soit α et β deux nombres réels.
1
est intégrable sur [2, +∞[ si et seulement si
La fonction x 7→ α
x (ln x )β
(α > 1)
Démonstration. On note f : x 7→
– Si α > 1, alors γ =
1
x α (ln x )β
ou
(α = 1 et β > 1)
et on distingue trois cas selon la valeur de α.
1
1+α
= 0 et f est intégrable sur [2, +∞[.
> 1 et lim x γ f (x ) = lim α−1
x →+∞
x →+∞
2
x 2 (ln x )β
1−α
1+α
x 2
– Si α < 1, alors γ =
= +∞ et f n’est pas intégrable sur
< 1 et lim x γ f (x ) = lim
x →+∞
x →+∞ (ln x )β
2
[2, +∞[.
– Si α = 1, alors φ : t 7→ e t est injective et de classe C 1 sur [2, +∞[ et
Z φ(ln X )
Z ln X
Z ln X
ZX
dx
1
dt
dx
t
=
=
e dt =
β
β
t [ln e t ]β
x
(ln
x
)
x
(ln
x
)
e
tβ
φ(ln 2)
ln 2
ln 2
2
1
est intégrable sur [2, +∞[ si et seulement si
Comme lim ln X = +∞, il vient que x 7→
X →+∞
x (ln x )β
ZX
dt
1
X 7→
admet une limite finie lorsque X tend vers +∞, i.e. t 7→ β est intégrable sur [ln 2, +∞[.
β
t
t
ln 2
1
est intégrable sur [2, +∞[ si et seuleEn utilisant les résultats précédents, il vient que x 7→
x (ln x )β
ment si β > 1.
1.3
Fonctions à valeurs quelconques
Par « à valeurs quelconques », on entend « réels ou complexes ». L’une des stratégies possibles
sera de revenir (lorsque cela est possible) dans le cadre des fonctions à valeurs réelles positives.
1.3.1
Integrabilité absolue. Semi-intégrabilité
Définition 1.3 (Intégrabilité absolue). Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b et f une application
définie et continue sur l’intervalle [a ,b [.
L’application f est dite absolument intégrable sur [a ,b [ si et seulement si l’application | f |
est intégrable sur [a ,b [.
Romain Dujol
18
Théorème 1.12 (Intégrabilité absolue et intégrabilité). Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b .
Une application f absolument intégrable sur [a ,b [ est intégrable sur [a ,b [ et
Z
Z
b
b
f
(x
)
dx
| f (x )| dx
≤
a
a
L’ensemble des applications absolument intégrables sur [a ,b [ est un sous-espace vectoriel
de l’ensemble des applications intégrables sur [a ,b [.
Notamment, si f et g sont deux applications absolument intégrables sur [a ,b [, alors pour
réel (ou complexe) λ, f + λg est absolument intégrable sur [a ,b [.
Remarque. Il existe des applications intégrables sur un intervalle qui ne sont pas absolument
intégrables sur ce même intervalle.
Exemple. L’application f : R∗+
x
intégrable.
→ R
sin x
7→
x
est intégrale sur [1, +∞[ sans y être absolument
Démonstration. Soit X ∈ [1, +∞[. Alors
X
Z
1
ZX
ZX
˜
•
− cos x X
− cos X
cos x
cos x
sin x
dx =
−
dx =
+ cos 1 −
dx
2
x
x
x
X
x2
1
1
1
1
1
cos x Pour tout x ∈ [1, +∞[, 2 ≤ 2 . Comme x 7→ 2 est une fonction à valeurs réelles positives intégrable
x
x
x
sur [1, +∞[, il vient d’après le théorème de majoration pour les fonctions intégrables à valeurs réelles poZX
cos x
cos x
est absolument intégrable sur [1, +∞[ : donc elle y est intégrable et X 7→
dx
sitives que x 7→
2
x
x2
1
admet une limite finie lorsque X tend vers +∞.
R X sin x
cos X
De plus lim
= 0, donc X 7→ 1
dx admet une limite finie lorsque X tend vers +∞ et
X →+∞
X
x
sin x
x 7→
est intégrale sur [1, +∞[.
x
sin x | sin x | sin2 x
1 − cos(2x )
1
cos(2x )
=
≥
=
=
−
. En reprenant le même
Soit X ∈ [1, +∞[. Alors x x
x
2x
2x
2x
cos(2x )
1
raisonnement, on démontre que x →
7
est intégrable sur [1, +∞[. Comme x 7→
n’est pas inté2x
2x
sin x n’est pas intégrable sur [1, +∞[.
grable sur [1, +∞[, il vient que x 7→ x Romain Dujol
19
Définition 1.4. Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b .
Une application f intégrable sur [a ,b [ qui n’est pas absolument intégrable sur [a ,b [ est dite
semi-intégrable sur [a ,b [.
1.3.2
Conditions de semi-intégrabilité
Théorème 1.13 (Condition de convergence de CAUCHY). Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b .
Une application f définie et continue sur [a ,b [ est intégrable sur [a ,b [ si et seulement si
Z
v
∀ǫ > 0, ∃c ∈ [a ,b [, ∀u ∈ [c ,b [, ∀v ∈ [c ,b [, f (x ) dx < ǫ
u
Corollaire. Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b et f une application définie et continue sur [a ,b [.
Si il existe deux fonctions α et β définies et continues sur [a ,b [ telles que :
– α≤β ;
– lim α(x ) = lim β (x ) = b − ;
x →b −
x →b −
Z β (X )
– X 7→
f (x ) dx ne tend pas vers 0 lorsque X vers b − .
α(X )
alors f n’est pas intégrable sur [a ,b [.
Théorème 1.14 (Règle d’ABEL pour les fonctions intégrables).
Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b .
Soit ǫ et g deux applications définies et continues sur [a ,b [ telles que :
– ǫ est une application à valeurs réelles positives, décroissante telle que lim ǫ(x ) = 0 ;
x →b −
Zx
– l’application G : x 7→
g (x ) dx est bornée sur [a ,b [.
a
Alors l’application ǫ · g est intégrable sur [a ,b [.
Romain Dujol
20
Démonstration. Montrons que f = ǫ · g vérifie la condition de convergence de CAUCHY.
On note M = supx ∈[a ,b [ |G (x )|.
η
Soit η > 0 : comme lim− ǫ(x ) = 0, il existe un réel c ∈ [a ,b [ tel que |ǫ(x )| <
pour tout x ∈ [c ,b [.
x →b
M
Soit u et v deux réels de [c ,b [. Alors en utilisant la deuxième formule de la moyenne :
Z
Zv
v
g (x ) dx ≤ M |ǫ(u )| < η
ǫ(x )g (x ) dx = ǫ(u )
u
u
On en conclut donc que f = ǫ · g est intégrable sur [a ,b [.
Théorème 1.15 (Inégalité de CAUCHY-SCHWARTZ pour les intégrales généralisées).
Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b .
Soit f et g deux applications définies et continues sur [a ,b [ telles que f 2 et g 2 sont intégrables sur [a ,b [. Alors f g est absolument intégrable et :
Z
!2
b
f (x )g (x ) dx
a
b
Z
≤
!
2
f (x ) dx
!
2
g (x ) dx
·
a
b
Z
a
De plus, le cas d’égalité est atteint lorsque f et g sont colinéaires :

!
!2
! Zb
Zb
Zb
”
—


g (x )2 dx  ⇐⇒ ∃(λ, µ) ∈ R2 , λ f + µg = 0
f (x )g (x ) dx
f (x )2 dx ·
=

a
a
a
f 2+g2
, donc d’après le théorème de majoration pour les fonctions à va2
leurs réelles positives, f g est absolument intégrable sur [a ,b [.
Soit X ∈ [a ,b [, alors on applique l’inégalité de CAUCHY-SCHWARTZ sur le segment [a , X ] :
Démonstration. On a | f g | ≤
Z
!2
X
f (x )g (x ) dx
a
Z
≤
X
!
2
f (x ) dx
a
Z
·
X
!
2
g (x ) dx
a
Comme f 2 , g 2 et f g sont intégrables sur [a ,b [, on peut passer à la limite lorsque X tend vers b − .
Romain Dujol
21
1.4
Méthodes de calcul d’une intégrale généralisée
1.4.1
Intégration par parties
Proposition 1.9 (Intégration par parties). Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b et u et v deux applications de classe C 1 sur [a ,b [.
Si deux conditions parmi les trois suivantes sont vérifiées :
– la fonction u ′ · v est intégrable sur [a ,b [ ;
– la fonction u · v ′ est intégrable sur [a ,b [ ;
– la fonction u · v admet une limite finie en b − ;
alors la troisième est également vérifiée et :
Z
b
′
u (x )v (x ) dx =
lim u (x )v (x ) − u (a )v (a ) −
x →b −
a
Z
b
u (x )v ′ (x ) dx
a
Démonstration. Soit X ∈ [a ,b [. On effectue une intégration par parties sur le segment [a , X ] :
Z
X
Z
′
u (x )v (x ) dx
= [u (x )v (x )]Xa
a
−
X
Z
X
′
a
u (x )v (x ) dx = [u (X )v (X ) − u (a )v (a )] −
u (x )v ′ (x ) dx
a
Comme au moins deux termes sur trois admettent une limite finie, le troisième terme admet également
une limite finie et on peut conclure en passant à la limite lorsque X tend vers b − .
ATTENTION. Selon le choix des termes de l’intégration par parties, celle-ci peut mener à deux
termes divergents, ce qui est incorrect.
Il est donc préférable d’écrire l’intégration par parties sur le segment [a , X ] puis de passer à
la limite lorsque X tend vers b − .
Exemple. La fonction f : ]0, 1] → R
est intégrable sur ]0, 1] d’après la règle « x α f (x ) »
−x
x
7→ −e ln x
p
en 0 : en effet lim x f (x ) = 0.
x →0+
Soit ǫ ∈]0, 1]. Alors
– lim e
ǫ→0+
−ǫ
R1
ǫ
e −x ln x dx = [−e −x ln x ]1ǫ −
= 1 et lim ln ǫ = −∞ : donc x
ǫ→0+
R 1 e −x
ǫ x
7 e −x ln x
→
dx = e −ǫ ln ǫ −
R 1 e −x
dx . Or :
x
n’admet pas de limite finie en 0+ ;
ǫ
1
1
: comme x 7→
n’est pas intégrable sur ]0, 1], il vient par théorème
x
x
e −x
d’équivalence que x 7→
n’est pas intégrable sur ]0, 1].
x
e −x
– on a
x
Romain Dujol
∼
x →0+
22
1.4.2
Changement de variables
Théorème (Changement de variables). Soit φ : [α, β [→ R une application injective et de classe
C 1 sur [α, β [ telle que φ admette une limite b ∈ R ∪ {+∞} en β − .
Soit f une application à valeurs réelles définie et continue sur φ([α, β [).
Alors f est intégrable sur φ([α, β [) si et seulement si t 7→ f φ(t ) ·φ ′ (t ) est intégrable sur [α, β [.
Auquel cas, on a la relation suivante :
Zβ
Zb
f φ(t ) · φ ′ (t ) dt
f (x ) dx =
α
φ(α)
1.5
Fonctions doublement intégrables
Définition 1.5 (Fonction intégrable sur un intervalle ouvert).
Soit (a ,b ) ∈ R×R tel que a < b et f une application définie et continue sur l’intervalle ]a ,b [.
On dit que f est intégrable sur ]a ,b [ si et seulement si il existe un réel c ∈]a ,b [ tel que f soit
intégrable sur ]a , c ] et sur [c ,b [.
Zb
Auquel cas, on définit l’intégrale de f sur [a ,b [, notée
f (x ) dx par
a
Z
b
Z
c
f (x ) dx
f (x ) dx +
f (x ) dx =
a
b
Z
a
c
Remarque.
– Une telle intégrale est appelée une intégrale doublement généralisée.
– Si f n’est pas intégrable sur l’un des deux intervalles ]a , c ] ou [c ,b [, alors elle n’est pas
intégrable sur ]a ,b [.
Proposition 1.10. Soit (a ,b ) ∈ R × R tel que a < b et f une application définie et continue sur
l’intervalle ]a ,b [.
Alors f est intégrable sur ]a ,b [ si et seulement si l’application F : ]a ,b [2 → R
Zv
(u , v )
7→
admet une limite finie en (a ,b ).
ZX
ATTENTION. Bien que
−X
x dx = 0 pour tout réel X , x 7→ x n’est pas intégrable sur R : en effet
x 7→ x n’est pas intégrable sur [1, +∞[.
Romain Dujol
f (x ) dx
u
23
Intégrales généralisées : Exercices
Exercice 1.1. Pour les fonctions suivantes, étudier leur intégrabilité sur leur espace de départ.
1.
f 1 : ]0, 1] → R
p
−1 + 1 − x
x
7→
x
f 2 : [0, +∞[ → R
cos(x 2 )
x
7→
x2 +1
f 3 : [1, +∞[ → R
ln x
x
7→
1+x2
f 4 : ]0, 1] → R
2
x
7→ e ln x
2.
3.
4.
5.
f 5 : ]0, 1] → R
ln3 x
x
7→ p
x
f 6 : [0, +∞[ → R
−α
p
x
7→
x + x2 +1
6.
Exercice 1.2. Pour les fonctions suivantes, étudier leur intégrabilité sur leur domaine de définition :
1.
f 1 : ]0, 1[ → R
1
x
7→
ln x
f 2 : ]0, +∞[ → R
x
7→ e −x ln x
2.
3.
f 3 : ]0, +∞[ → R
ln x
x
7→
x2 −1
avec α ≥ β
f 4 : ]0, +∞[ → R
1
x
7→
xα +xβ
f 5 : ]0, +∞[ → R €
p Š
x
7→ x α 1 − e −1/ x
4.
5.
6.
f 6 : ]α, β [ → R
x
7→
p
1
avec α < β
(x − α)(β − x )
x −α
.
Indication : On pourra utiliser le changement de variable t =
β −x
Romain Dujol
24
Exercice 1.3. Pour les fonctions suivantes, étudier leur intégrabilité sur leur domaine de définition et, le cas échéant, calculer leur intégrale sur ce domaine
1.
f 1 : [0, +∞[ → R
x
7→ x 2 e −x
2.
f 2 : ]0, +∞[ → R
x
3.
1
1 2
1+ x −
x
7→
1
Indication : On pourra utiliser le changement de variable t = .
x
f 3 : ]0, 1[ → R
x
7→
1
p
3
x2 −x3
Exercice 1.4.
sin x
sur ]0, +∞[.
xα
2. À l’aide de la question précédente, étudier l’intégrabilité sur ]0, +∞[ des fonctions x 7→ sin(x 2 ),
x 7→ cos(x 2 ) et x 7→ sin(x β ) où β est un nombre réel quelconque.
1. Soit α un nombre réel strictement positif. Étudier l’intégrabilité de x 7→
Exercice 1.5.
1. Soit α un nombre réel.
(a) Montrer que x 7→ x α−1 cos x est absolument intégrable sur [1, +∞[
(b) En déduire que x 7→ x α sin x est intégrable sur [1, +∞[
2. À l’aide de la question précédente, étudier l’intégrabilité de x 7→
p
x · sin(x 2 ) sur [1, +∞[.
Exercice 1.6.
Z π/2
˜
π
Montrer que x →
7 ln(sin x ) est intégrable sur 0,
ln(sin x ) dx .
. On note I =
2
0
Z π/2
•
•
π
ln(cos x ) dx .
Montrer que x 7→ ln(cos x ) est intégrable sur 0,
et que I =
2
0
Z π/2 ˜
•
π
sin 2x
sin 2x
1
est intégrable sur 0,
dx .
Montrer que x 7→ ln
ln
et que I =
2
2
2 0
2
Z π/2
˜
•
π
Montrer que x 7→ ln(sin 2x ) est intégrable sur 0,
ln(sin 2x ) dx .
et que I =
2
0
˜
1.
2.
3.
4.
5. Déduire des questions précédentes la valeur de I .
Romain Dujol
25
Exercice 1.7.
+∞
Z
1. On définit Γ : x 7→
t x −1 e −t dt .
0
(a) Déterminer le domaine de définition DΓ de Γ.
(b) Pour tout x ∈ DΓ , exprimer Γ(x + 1) en fonction de Γ(x ).
En déduire Γ(n ) pour tout entier naturel non nul n .
2. On note g = ln ◦Γ.
(a) Montrer que pour x ∈ DΓ , g (x + 1) = g (x ) + ln(x ).
(b) En déduire que pour tout n ≥ 2,
g (x + n ) − g (x ) = g (n ) + ln(x ) +
Z
+∞
p
k =1
[ln(x + k ) − ln k ]
+∞
Z
3. (a) Pour tout x ∈ DΓ , montrer que Γ(x ) = 2
n−1
X
2
u 2x −1 e −u du
0
1
π
, calculer Γ
dx =
e
(b) En admettant que
2
2
0
1
(c) En utilisant la question 2.b, calculer Γ n +
pour tout entier naturel n .
2
−x 2
Romain Dujol
26
Chapitre 2
Intégrales dépendant d’un paramètre
2.1
2.1.1
Intégrales propres dépendant d’un paramètre
Continuité
Théorème 2.1 (Théorème d’interversion intégrale-limite).
Soit I un intervalle de R et f une application de I × [a ,b ] dans R.
Zb
Si f est continue, alors F : x 7→
f (x , t ) dt est continue sur I .
a
Démonstration. Soit x 0 ∈ I et h ∈ R tel que x 0 + h ∈ I . Alors
Zb
Zb
F (x 0 + h) − F (x 0 ) =
a
Z
Donc |F (x 0 + h) − F (x 0 )| ≤
f (x 0 + h, t ) dt −
Z
b
f (x 0 , t ) dt =
a
a
f (x 0 + h, t ) − f (x 0 , t ) dt
b
a
f (x 0 + h, t ) − f (x 0 , t ) dt .
L’application f est continue en (x 0 , t ), donc lim f (x 0 + h, t ) = f (x 0 , t ), c’est-à-dire :
h→0

∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀h ∈ R, |h| < η ⇒ | f (x 0 + h, t ) − f (x 0 , t )| <
ǫ
b −a
‹
Soit ǫ un réel strictement positif. Alors il existe un réel η tel que, pour tout réel h tel que |h| < η, on ait :
Zb
Zb
ǫ
dt = ǫ
f (x 0 + h, t ) − f (x 0 , t ) dt <
|F (x 0 + h) − F (x 0 )| ≤
b
−
a
a
a
Finalement lim F (x 0 + h) = F (x 0 ) et F est continue en x 0 . Donc F est continue sur I .
h→0
Romain Dujol
27
2.1.2
Dérivabilité
Théorème 2.2 (Théorème d’interversion intégrale-dérivation).
Soit I un intervalle fermé borné de R et f une application de I × [a ,b ] dans R. Si :
– f est continue sur I × [a ,b ] ;
∂f
– f admet une dérivée partielle première
continue sur I × [a ,b ] ;
∂x
Zb
Zb
∂f
1
′
f (x , t ) dt est de classe C sur I et ∀x ∈ I , F (x ) =
alors F : x 7→
(x , t ) dt .
∂x
a
a
Démonstration. Soit x 0 ∈ I . Il existe un voisinage ] − α, α[ de 0 tel que f (x 0 + h, t ) soit défini pour tout
h ∈ ] − α, α[ et pour tout t ∈ [a ,b ].
.
∂f
(x 0 , t )
h
7→ f (x 0 + h, t ) − h
∂x
1
est de classe C sur ] − α, α[ comme différence de fonctions de classe C 1 sur ] − α, α[ et :
On définit ϕx 0 ,t :
La fonction ϕx 0 ,t
] − α, α[
→
R
∀h ∈ ] − α, α[, ϕx′ 0 ,t (h) =
Comme
que
∂f
∂f
(x 0 + h, t ) −
(x 0 , t )
∂x
∂x
∂f
est continue sur I ×[a ,b ] qui est un compact de R2 , il vient d’après le théorème de HEINE
∂x
∂f
est uniformément continue sur I × [a ,b ] :
∂x
‚
Œ
∂ f
ǫ
∂f
(x 1 , t 1 ) −
(x 2 , t 2 ) <
∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀(x 1 , x 2 ) ∈ I 2 , ∀(t 1 , t 2 ) ∈ [a ,b ]2 , k(x 1 − x 2 , t 1 − t 2 )k < η ⇒ ∂x
∂x
b −a
En particulier, si x 1 = x 0 + h, x 2 = x 0 et t 1 = t 2 = t ;
‚
2
∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀x 0 ∈ I , ∀h ∈ ] − α, α[, ∀t ∈ [a ,b ] ,
Œ
∂ f
ǫ
∂f
k(h, 0)k < η ⇒ (x 0 + h, t ) −
(x 0 , t ) <
∂x
∂x
b −a
p
En utilisant la norme euclidienne sur R2 (par exemple), il vient que k(h, 0)k2 = h 2 = |h| et :

‹
ǫ
∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀x 0 ∈ I , ∀h ∈ ] − α, α[, ∀t ∈ [a ,b ]2 , |h| < η ⇒ ϕx′ 0 ,t (h) <
b −a
Quitte à supposer que η ≤ α, on a :
∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀x 0 ∈ I , ∀h ∈ ] − η, η[, ∀t ∈ [a ,b ]2 , ϕx′ 0 ,t (h) <
Donc ∀ǫ > 0, ∃η > 0, ∀x 0 ∈ I , ∀t ∈ [a ,b ]2 ,
Romain Dujol
sup ϕx′ 0 ,t <
h∈ ]−η,η[
ǫ
b −a
ǫ
.
b −a
28
Soit ǫ un réel strictement positif : d’après ce qui précède, il existe un réel η strictement positif tel que
ǫ
ǫ
-lipschitzienne. Donc ∀h ∈ ] − η, η[, |ϕx 0 ,t (h) − ϕx 0 ,t (0)| ≤ h
avec :
est
b −a
b −a
ϕx′ 0 ,t
ϕx 0 ,t (h) − ϕx 0 ,t (0) = f (x 0 + h, t ) − h
∂f
(x 0 , t ) − f (x 0 , t )
∂x
On en déduit que pour tout h ∈ ] − η, η[ :
Z
Zb
Zb
Zb
b
∂f
∂f
(x 0 , t ) dt = (x 0 , t ) dt f (x 0 + h, t ) dt −
f (x 0 , t ) dt − h
F (x 0 + h) − F (x 0 ) − h
∂
x
∂
x
a
a
a
a
Z b
∂f
(x 0 , t ) dt =
f (x 0 + h, t ) − f (x 0 , t ) − h
a
∂x
Z
b
ϕx 0 ,t (h) − ϕx 0 ,t (0) dt =
a
Zb
Zb
ǫ
ϕx ,t (h) − ϕx ,t (0) dt ≤
≤
h
dt = ǫh
0
0
b
−
a
a
a
Zb
Zb
F (x 0 + h) − F (x 0 )
∂f
∂f
F (x 0 + h) − F (x 0 )
−
(x 0 , t ) dt < ǫ : donc lim
=
(x 0 , t ) dt .
Finalement ∀ǫ > 0, ∃η > 0, h→0
h
∂
x
h
∂x
a
a
Zb
∂f
′
F est dérivable en tout point x 0 de I et F (x 0 ) =
(x 0 , t ) dt .
∂x
a
∂f
est continue sur I ×[a ,b ], il vient d’après le théorème d’interversion intégrale-limite que
Comme
∂x
F ′ est continue : donc F est de classe C 1 sur I .
2.1.3
Intégrabilité
Théorème 2.3 (Théorème d’interversion intégrale-intégrale).
Soit [c , d ] un intervalle fermé borné de R et f une application de I × [a ,b ] dans R.
Zb
Si f est continue, alors F : x 7→
d
Z
d
Z
F (x ) dx =
c
Romain Dujol
Z
f (x , t ) dt est continue sur I et
a
b
Z
b
f (x , t ) dt  dx =

c

a
d
Z
f (x , t ) dx  dt

a

c
29
Démonstration. Soit φ :
[c , d ]
→
X
On définit également φ1 :
et ψ :
R 
Zb Z

7→
X
f (x , t ) dx  dt
a
c
[c , d ] × [a ,b ]
→
(X , t )
7→
→
X
et ψ1 :
R
ZX
→
x
7→
X
Z
φ1 (X , t ) dt et ψ(X ) =
a
7→
[c , d ]
f (x , t ) dx
c
b
Z
Alors ∀X ∈ [c , d ], ∀t ∈ [a ,b ], φ(X ) =
[c , d ]

R 
ZX Z

.
b

f (x , t ) dt  dx
a
c
.
R
Zb
f (x , t ) dt
a
ψ1 (x ) dx .
c
– Comme f est continue, il vient que φ1 est continue d’après le théorème d’interversion intégrale∂ φ1
: (X , t ) 7→ f (X , t ) qui est continue.
limite. De plus φ1 admet une dérivée partielle première
∂X
D’après le théorème d’interversion intégrale-dérivation, il vient que φ est de classe C 1 et :
Zb
∀X ∈ [c , d ], φ ′ (X ) =
f (X , t ) dt = ψ1 (X )
a
– Comme f est continue, il vient que ψ1 est continue d’après le théorème d’interversion intégralelimite. Alors ψ est de classe C 1 et ψ′ = ψ1 .
On en déduit donc que φ ′ = ψ1 = ψ′ . De plus :

Z b –Z c
™
Zb
Z c Z b
f (x , t ) dx dt =
φ(c ) =
a
c
0 dt = 0
et
ψ(c ) =
a
Donc pour tout X ∈ [c , d ], φ(X ) =
RX
c
φ ′ (x ) dx =
RX
c
f (x , t ) dt  dx = 0

a
c
ψ′ (x ) dx = ψ(X ), notamment en X = d .
Proposition 2.1 (Fonction à variables séparées). Sous les hypothèses du théorème d’interversion
intégrale-limite, si il existe deux fonctions g et h respectivement définies sur [c , d ] et [a ,b ] telles
que
∀(x , t ) ∈ [c , d ] × [a ,b ], f (x , t ) = g (x )h(t )
alors
d
Z
d
Z
F (x ) dt =
c
! Z
b
g (x ) dx
c
!
h(t ) dt
a
Intégrales dont les bornes dépendent d’un paramètre
Proposition 2.2. Soit I un intervalle de R et f une application à valeurs réelles continue sur I .
Soit I 1 un intervalle de R et u et v deux applications de classe C 1 sur I 1 telles que u (I 1 ) ⊂ I et
est de classe C 1 sur I et
v (I 1 ) ⊂ I . Alors ψ : I 1 → R
Z v (x )
x
7→
f (t ) dt
u (x )
∀x ∈ I 1 , ψ′ (x ) = f (v (x )) · v ′ (x ) − f (u (x )) · u ′ (x )
Démonstration. Soit F une primitive de f . Alors pour tout x ∈ I 1 , ψ′ (x ) = F (v (x )) − F (u (x )). Comme
F ′ = f , on en déduit l’expression annoncée.
Romain Dujol
30
2.2
Intégrales généralisées dépendant d’un paramètre
Définition 2.1 (Convergence normale).
Soit I est un intervalle de R, ]a ,b [ un intervalle ouvert de R et f une application de I ×]a ,b [
dans R.
Z
b
f (x , t ) dt converge normalement sur I ×]a ,b [ si il
On dit que l’intégrale généralisée
a
existe une fonction g intégrable sur ]a ,b [ telle que ∀x ∈ I , ∀t ∈ ]a ,b [, | f (x , t )| ≤ g (t ).
2.2.1
Continuité
Théorème 2.4 (Interversion intégrale-limite pour les intégrales généralisées).
Soit I est un intervalle de R, ]a ,b [ un intervalle ouvert de R et f une application à valeurs
réelles continue sur I ×]a ,b [.
Zb
f (x , t ) dt converge normalement sur
Si pour tout segment [α, β ] inclus dans I ,
[α, β ]×]a ,b [, alors F :
2.2.2
a
I
→ R
Zb
x
7→
est continue sur I .
f (x , t ) dt
a
Dérivabilité
Théorème 2.5 (Interversion intégrale-dérivation pour les intégrales généralisées).
Soit I est un intervalle de R, ]a ,b [ un intervalle ouvert de R et f une application à valeurs
réelles continue sur I ×]a ,b [. Si :
– l’application t 7→ f (x , t ) est intégrable sur ]a ,b [ pour tout x ∈ I ;
∂f
– f admet une dérivée partielle première
définie et continue sur I ×]a ,b [ ;
∂x
Zb
∂f
– pour tout segment [α, β ] inclus dans I , l’intégrale généralisée
(x , t ) dt converge
∂x
a
normalement sur [α, β ]×]a ,b [ ;
Zb
∂f
1
(x , t ) dt pour tout x ∈ I .
est C sur I et F ′ (x ) =
alors F : I → R
Zb
∂x
a
x
Romain Dujol
7→
f (x , t ) dt
a
31
Intégrales dépendant d’un paramètre : Exercices
Exercice 2.1.
1
Z1
x
x
1. A-t-on lim
dt =
dt ? Sinon, expliquer pourquoi.
lim
2
x →0
x →0 (x + t )2
(x + t )
0
0
Z1
Z1
x
x
lim
dt =
dt ? Sinon, expliquer pourquoi.
2. A-t-on lim
x
→0
x →0
x +t
x +t
0
0
Z
Exercice 2.2. Calculez (lorsque c’est possible) la fonction dérivée des fonctions suivantes :
Zx
dt
1. F1 : x 7→
2
x +t +1
−x
Z x 2

sin(x t )
2. F2 : x 7→ ln 
dt 
t
0
Exercice 2.3. Calculez (lorsque c’est possible) les fonctions dérivées partielles des fonctions suivantes :
Zx
p
1. F1 : (x , y ) 7→
1 + t 3 y 2 dt
0
Z
2. F2 : (x , y ) 7→
x 2 −y 2
(t 2 + y 2 ) dt
x 2 +y 2
Exercice 2.4.
+∞
Z
1. Montrer que t
2
7 e −t
→
2
e −t dt .
est intégrable sur [0, +∞[. On note I =
2. Soit l’application G : [0, +∞[ → R
Z1
0
.
2
2
e −(t +1)x
dt
x
7→
t2 +1
0
Calculer G ′ et montrer que G est solution d’une équation différentielle que l’on explicitera.
3. En déduire la valeur de I .
Romain Dujol
32
Exercice 2.5.
1. Montrer que pour tout x ∈ [1, +∞[, l’application t 7→ e −t x
2. (a) Montrer que G : [1, +∞[ → R
Z +∞
x
7→
0
sin t
dt
t
+∞
Z
(b) Pour x ∈ [1, +∞[, calculer
e −t x
sin t
est intégrable sur [0, +∞[.
t
est dérivable sur [1, +∞[.
e −t x sin t dt .
0
[ Indication : On pourra effectuer deux intégrations par parties successives.]
(c) En déduire qu’il existe un réel C tel que G : x 7→ C − arctan x .
Déterminer la valeur de C en étudiant la limite de G en +∞.
Romain Dujol
33
Chapitre 3
Intégrales multiples
3.1
3.1.1
Intégrales doubles
Intégrales doubles sur un compact élémentaire
Définition 3.1 (Compact élémentaire de R2 ). Une partie K de R2 est dit compact élémentaire
du premier type si et seulement si il existe deux réels a et b tels que a ≤ b et deux fonctions
continues y 1 et y 2 de classe C 1 par morceaux sur [a ,b ] tels que
K = {(x , y ) ∈ R2 , a ≤ x ≤ b et y 1 (x ) ≤ y ≤ y 2 (x )}
Une partie K de R2 est dit compact élémentaire du deuxième type si et seulement si il existe
deux réels c et d tels que c ≤ d et deux fonctions continues x 1 et x 2 de classe C 1 par morceaux
sur [c , d ] tels que
K = {(x , y ) ∈ R2 , x 1 (y ) ≤ x ≤ x 2 (y ) et c ≤ y ≤ d }
Proposition 3.1. Tout compact élémentaire est une partie compacte de R2 .
Définition 3.2 (Intégrale double sur un compact élémentaire).
Soit K 1 = {(x , y ) ∈ R2 , a ≤ x ≤ b et y 1 (x ) ≤ y ≤ y 2 (x )} un compact élémentaire du premier type.
Si f est une application définie et continue sur K 1 , on définit :

ZZ
Z b Z y (x )
2
f (x , y ) dx dy =
K
f (x , y ) dy  dx

a
y 1 (x )
Soit K 2 = {(x , y ) ∈ R2 , x 1 (y ) ≤ x ≤ x 2 (y ) et c ≤ y ≤ d } un compact élémentaire du deuxième
type. Si f est une application définie et continue sur K 2 , on définit :

ZZ
Z d Z x 2 (y )

f (x , y ) dx dy =
f (x , y ) dx  dy
K
Romain Dujol
c
x 1 (y )
34
Exemple. Calculer les intégrales doubles suivantes :
ZZ
1.
D1
x y dx dy avec D 1 = {(x , y ) ∈ R2 , 0 ≤ x ≤ 2 et 0 ≤ 2y ≤ x } ;
ZZ
2.
D2
x y dx dy avec D 2 = {(x , y ) ∈ R2 , x ≥ 0, y ≥ 0 et x + y ≤ 1}.
Proposition 3.2 (Intégration par morceaux). Soit D 1 et D 2 deux compacts élémentaires de R2
1 ∩ D
2 = ∅ et f une application continue sur D 1 ∪ D 2 . Alors
tels que D
ZZ
ZZ
ZZ
f (x , y ) dx dy =
f (x , y ) dx dy +
D 1 ∪D 2
3.1.2
f (x , y ) dx dy
D1
D2
Intégrale double sur un pavé
Définition 3.3 (Pavé de R2 ). Une partie P de R2 est un pavé si et seulement si il existe quatre
réels a , b , c et d tels que a ≤ b et c ≤ d et tels que P = [a ,b ] × [c , d ].
Théorème 3.1 (Théorème de FUBINI sur un pavé de R2 ). Soit f une application continue
sur un pavé P = [a ,b ] × [c , d ]. Alors
ZZ
Z
b
f (x , y ) dx dy =
P
d
Z
d
Z
f (x , y ) dy  dx =

a

c
Z
b
f (x , y ) dx  dy

c

a
Proposition 3.3 (Fonction à variables séparées). Soit f une application continue sur un pavé
P = [a ,b ] × [c , d ] telle qu’il existe deux fonctions g et h respectivement définies sur [a ,b ] et [c , d ]
telles que
∀(x , y ) ∈ [a ,b ] × [c , d ], f (x , y ) = g (x )h(y )
alors
ZZ
Z
b
f (x , y ) dx dy =
P
Romain Dujol
d
! Z
g (x ) dx
a
!
h(y ) dy
c
35
3.1.3
Changement de variables
Théorème 3.2 (Changement de variables). Soit K et K ′ deux compacts élémentaires de R2
et φ un C 1 -difféomorphisme de K ′ dans K . Alors :
ZZ
ZZ
f (x , y ) dx dy =
K′
K
( f ◦ φ)(u , v ) · | det J φ (u , v )| du dv
ZZ
Exemple. Calculer
D
3.2
dx dy avec D = {(x , y ) ∈ R × R+ , x 2 + y 2 ≤ R 2 }.
Intégrales triples
Définition 3.4 (Compact élémentaire de R3 ). Une partie K de R3 est dit compact élémentaire
si et seulement si il existe une partie compacte D de R2 et deux fonctions continues z 1 et z 2 de
classe C 1 par morceaux sur D telles que
K = {(x , y , z ) ∈ R3 , (x , y ) ∈ D et z 1 (x , y ) ≤ z ≤ z 2 (x , y )}
Définition 3.5 (Intégrale triple sur un compact élémentaire).
Soit K = {(x , y , z ) ∈ R3 , (x , y ) ∈ D et z 1 (x , y ) ≤ z ≤ z 2 (x , y )} un compact élémentaire de R3 . Alors
on définit

ZZZ
Z Z Z z 2 (x ,y )

f (x , y , z ) dz  dx dy
f (x , y , z ) dx dy dz =
D
z 1 (x ,y )
Remarque. Si K = {(x , y , z ) ∈ R3 , a ≤ z ≤ b et (x , y ) ∈ D(z )} où D(z ) est une partie compacte de
R2 pour tout z ∈ [a ,b ], alors

ZZZ
Z b Z Z
f (x , y , z ) dx dy dz =
K
f (x , y ) dx dy  dz

a
D(z )
ZZZ
Exemple. Calculer
K
Romain Dujol
z dx dy dz avec K = {(x , y , z ) ∈ R3+ , z ≤ 1 − y 2 et x + y ≤ 1}.
36
Définition 3.6 (Pavé de R3 ). Une partie P de R3 est un pavé si et seulement si il existe six réels
a , b , c , d , e et f tels que a ≤ b , c ≤ d , e ≤ f et tels que P = [a ,b ] × [c , d ] × [e , f ].
Théorème 3.3 (Théorème de FUBINI sur un pavé de R3 ). Soit f une application continue
sur un pavé P = [a ,b ] × [c , d ] × [e , f ].
ZZZ
Alors l’ordre d’intégration n’influe pas sur le calcul de
f (x , y , z ) dx dy dz .
P
Proposition 3.4 (Fonction à variables séparées). Soit f une application continue sur un pavé
P = [a ,b ]×[c , d ]×[e , f ] telle qu’il existe trois fonctions g , h et i respectivement définies sur [a ,b ],
[c , d ] et [e , f ] telles que
∀(x , y , z ) ∈ [a ,b ] × [c , d ] × [e , f ], f (x , y , z ) = g (x )h(y )i (z )
alors
ZZZ
Z
b
a
f
! Z
c
!
i (z ) dz
h(y ) dy
g (x ) dx
f (x , y , z ) dx dy dz =
P
d
! Z
e
Théorème 3.4 (Changement de variables). Soit K et K ′ deux compacts élémentaires de R3
et φ un C 1 -difféomorphisme de K ′ dans K . Alors :
ZZZ
ZZZ
f (x , y , z ) dx dy dz =
K′
K
( f ◦ φ)(u , v, w ) · | det J φ (u , v, w )| du dv dw
ZZZ
Exemple. Calculer
D
Romain Dujol
dx dy dz avec D = {(x , y , z ) ∈ (R+ )3 , x 2 + y 2 + z 2 ≤ R 2 }.
37
Intégrales multiples : Exercices
Exercice 3.1. Soit a un réel strictement positif et K le compact limité par les côtés du triangle
dont les sommets
Z Z sont les points (0, 0), (2a , a ) et (3a , 3a ).
Calculer
x y dx dy .
K
Exercice 3.2. Soit a et b deux réels strictement positifs tels que a < b et
1 y
2
K = (x , y ) ∈ R , a ≤ x + y ≤ b et ≤ ≤ 3
3 x
ZZ
e −(x +y )
y
Calculer
.
dx
dy
.
On
pourra
utiliser
le
changement
de
variables
(u
,
v
)
=
x
+
y
,
p
xy
x +y
K
Exercice 3.3. Soit D le domaine délimité par les deux courbes d’équations y 2 = 4x + 4 et y 2 =
−4x + 4.
1. Représenter graphiquement D.
2. Calculer l’aire du domaine D.
Exercice 3.4.
x2 y 2
+
= 1.
a2 b2
x2 y 2 z2
2. Calculer le volume de la surface limitée par l’ellipsoïde d’équation 2 + 2 + 2 = 1.
a
b
c
1. Calculer l’aire de la surface limitée par l’ellipse d’équation
ZZ
Exercice 3.5. Calculer
f (x , y ) dx dy dans les cas suivants.
D
1. f : (x , y ) 7→ x y 2 et D est le disque délimité par le cercle d’équation x 2 + y 2 − 2Rx = 0 (R > 0) ;
x2 y 2
2
2
2
2. f : (x , y ) 7→ x + y et D = (x , y ) ∈ R , 2 + 2 ≤ 1 (a > 0, b > 0) ;
a
b
3. f : (x , y ) 7→
x2 +y 2
et D = {(x , y ) ∈ R2 , x 2 + y 2 ≤ 1}.
x2 +y 2 +1
4. f : (x , y ) 7→ x y et D est le domaine limité par les deux courbes d’équation y = x 2 et x = y 2 .
ZZZ
Exercice 3.6. Soit Ω = {(x , y , z ) ∈ (R+
Romain Dujol
)3 ,
x + y + z ≤ 1}. Calculer
dx dy dz
.
(1 + x + y + z )3
Ω
38
Chapitre 4
Intégrales curvilignes
4.0
4.0.1
Formes différentielles
Définition
Définition 4.1 (Forme différentielle sur un ouvert).
Soit n un entier naturel non nul et U un ouvert de Rn .
Une forme différentielle sur U est une application de U dans L (Rn , R) et de classe C 1 sur U .
Proposition 4.1. Soit n un entier naturel non nul et U un ouvert de Rn .
Soit ω une forme différentielle sur U . Alors il existe un unique n -uplet (A i )1≤i ≤n de fonctions
de U dans R de classe C 1 sur U telle que
n
X
∀(x , y ) ∈ U , ω(x , y ) =
A i (x , y ) · dx i
i =1
Remarque.
– Si n = 2, ω : (x , y ) 7→ P(x , y ) dx +Q(x , y ) dy
– Si n = 3, ω : (x , y ) 7→ P(x , y , z ) dx +Q(x , y , z ) dy + R(x , y , z ) dz
4.0.2
Forme différentielle exacte. Forme différentielle fermée
Définition 4.2 (Forme différentielle exacte).
Soit n un entier naturel non nul et U un ouvert de Rn .
Une forme différentielle ω sur U est dite exacte sur U si et seulement si il existe une applin
X
∂F
cation F de U dans R de classe C 1 sur U telle que ω = dF =
· dx i .
∂ xi
i =1
Auquel cas, F est une primitive de ω.
Romain Dujol
39
Définition 4.3 (Forme différentielle fermée).
Soit n un entier naturel non nul et U un ouvert de Rn .
n
X
Une forme différentielle ω =
A i · dx i sur U est dite fermée sur U si et seulement si
i =1
2
∀(i , j ) ∈ J1, n K ,
∂Aj
∂ Ai
=
∂xj
∂ xi
Remarque.
∂ P ∂Q
=
∂y
∂x
– Si n = 3, ω = P dx +Q dy + R dz est fermée si et seulement si
– Si n = 2, ω = P dx +Q dy est fermée si et seulement si
∂ P ∂Q
=
∂y
∂x
,
∂Q ∂ R
=
∂z
∂y
et
∂R ∂P
=
∂x
∂z
Proposition 4.2.
Soit n un entier naturel non nul et U un ouvert de Rn .
Toute forme différentielle exacte sur U est fermée sur U .
Démonstration. Soit ω une forme différentielle exacte sur U et F l’application de classe C 1 telle que
∂F
ω = dF . Alors pour tout entier i entre 1 et n, A i =
.
∂ xi
Donc toutes les fonctions dérivées partielles de F sont de classe C 1 sur U : on en déduit que F est
donc de classe C 2 sur U et d’après le théorème de SCHWARTZ :
‚
Œ
∂Aj
∂F
∂F
∂
∂ 2F
∂
∂ 2F
∂ Ai
=
=
=
=
=
∂xj
∂ x j ∂ xi
∂ x j ∂ xi
∂ xi ∂ x j
∂ xi ∂ x j
∂ xi
On conclut donc que ω est fermée sur U .
4.0.3
Théorème de POINCARÉ
Définition 4.4 (Partie convexe. Partie étoilée).
Soit x et y deux points de Rn . On note [x , y ] = {(1 − λ)x + λy , λ ∈ [0, 1]}.
Une partie C de Rn est dite convexe si et seulement si :
∀(x , y ) ∈ C , [x , y ] ⊂ C
Une partie C de Rn est dite étoilée par rapport à a ∈ C si et seulement si :
∀x ∈ C , [a , x ] ⊂ C
Une partie C de Rn est dite étoilée si et seulement si il existe a ∈ C telle que C soit étoilée par
rapport à a .
Proposition 4.3. Toute partie convexe de Rn est étoilée (par rapport à chacun de ses points).
Romain Dujol
40
Théorème 4.1 (Théorème de POINCARÉ).
Soit n un entier naturel non nul et U un ouvert étoilé de Rn .
Alors toute forme différentielle fermée sur U est exacte sur U .
Définition 4.5 (Champ de vecteurs. Forme différentielle associée).
Un champ de vecteurs sur Rn est une application d’une d’un ouvert U de Rn dans Rn .
On définit la forme différentielle associé à un champ de vecteurs V comme la forme diffén
X
rentielle ω =
Vi · dx i où les applications Vi sont les applications composantes de V .
i =1
4.0.4
Exemples d’étude
Plan général d’étude d’une forme différentielle ω définie sur un ouvert U
Étape no 1 · Si ω est fermée, on passe à l’étape suivante.
· Si ω n’est pas fermée, alors elle n’est pas exacte :
– si l’énoncé le demande, on cherche un facteur intégrant de la forme indiquée et
on passe à l’étape suivante ;
– sinon, l’étude est terminée.
Étape no 2 · Si U est étoilé, alors ω est exacte (théorème de POINCARÉ)
⇒ calcul des primitives de ω
· Si U n’est pas étoilé, alors il est possible que ω soit exacte
⇒ tentative de calcul des primitives de ω (il y a réussite ssi ω est exacte)
Romain Dujol
41
4.0.4.1
Étude de ω : (x , y ) 7→ 2y 2 (x + y ) dx + 2x y (x + 3y ) dy
Étape no 1 On note P : (x , y ) 7→ 2y 2 (x +y ) etQ : (x , y ) 7→ 2x y (x +3y ) de sorte que ω = Pdx +Qdy .
P et Q sont des fonctions polynômiales sur R2 donc elles sont de classe C 1 et :
∀(x , y ) ∈ R2 ,
∂P
(x , y ) = 4y (x + y ) + 2y 2 · 1 = 4x y + 6y 2
∂y
∂Q
(x , y ) = 2y (x + 3y ) + 2x y · 1 = 4x y + 6y 2
∂x
Donc ω est fermée sur R2 .
Étape no 2 R2 est une partie convexe donc étoilée. D’après le théorème de POINCARÉ, ω est
∂F
· dx +
exacte et il existe une fonction F de classe C 1 sur R2 telle que ω = Pdx +Qdy = dF =
∂x
∂F
· dy et par identification, on a :
∂y
∀(x , y ) ∈ R2 ,
∂F
= P(x , y ) = 2y 2 (x + y ) = 2x y 2 + 2y 3
∂x
Donc il existe une application g de classe C 1 sur R telle que F : (x , y ) 7→ x 2 y 2 + 2y 3 x + g (y ).
Alors
∀(x , y ) ∈ R2 , 2x 2 y + 6x y 2 = 2x y (x + 3y ) = Q(x , y ) =
∂F
(x , y ) = 2x 2 y + 6x y 2 + g ′ (y )
∂y
On en déduit donc que g ′ est nulle, puis que g est constante.
Finalement, toute primitive de ω est F : (x , y ) 7→ x 2 y 2 + 2y 3 x + C , C ∈ R.
4.0.4.2
Étude de ω : (x , y , z ) 7→ 2x z dx − 2y z dy − (x 2 − y 2 ) dz
Étape no 1 On note P : (x , y , z ) 7→ 2x z , Q : (x , y , z ) 7→ −2y z et R : (x , y , z ) 7→ −(x 2 − y 2 ) de sorte
que ω = Pdx +Qdy + Rdz . P, Q et R sont des fonctions polynômiales sur R2 donc elles sont de
classe C 1 et :
∀(x , y , z ) ∈ R3 ,
Donc
∂P
(x , y , z ) = 2x
∂z
et
∂R
(x , y , z ) = −2x
∂x
∂P
∂R
(1, 0, 0) = 2 6= −2 =
(1, 0, 0) et ω n’est pas fermée.
∂z
∂x
Romain Dujol
42
On cherche alors un facteur intégrant de la forme (x , y , z ) 7→ f (z ). Donc on considère la
forme différentielle ω1 : (x , y , z ) 7→ f (z )·ω(x , y , z ) = 2x z f (z ) dx −2y z f (z ) dy −(x 2 −y 2 ) f (z ) dz =
P1 dx +Q 1 dy + R 1 dz . Sous réserve que le facteur intégrant soit de classe C 1 , il vient que P1 , Q 1
et R 1 sont de classe C 1 et :
∂ P1
∂Q 1
(x , y , z ) = 0
(x , y , z ) = 0
∂y
∂x
∂Q 1
∂ R1
(x , y , z ) = −2y [ f (z ) + z f ′ (z )]
(x , y , z ) = 2y f (z )
∂z
∂y
∂ R1
∂ P1
(x , y , z ) = −2x f (z )
(x , y , z ) = 2x [ f (z ) + z f ′ (z )]
∂x
∂z
Donc ω1 est fermée si et seulement si

0=0

∀(x , y , z ), −2y [ f (z ) + z f ′ (z )] = 2y f (z ) ⇐⇒ ∀(x , y , z ), z f ′ (z ) + 2 f (z ) = 0

2x [ f (z ) + z f ′ (z )] = −2x f (z )
Toute solution de l’équation z f ′ (z ) + 2 f (z ) = 0 s’écrit z →
7 e G (z ) où G est une primitive de
2
g : z 7→ − . On en déduit qu’il existe c ∈ R tel que G : z →
7 −2 ln |z | + c = ln z −2 + c , puis
z
K
−2
on conclut qu’il existe K ∈ R tel que f : z 7→ K e ln(z ) = 2 .
z
Étape no 2
Le domaine de définition de ω1 est U = R × R × R∗ . U n’est pas étoilé ; en effet :
∀a = (a 1 , a 2 , a 3 ) ∈ U , ∃x = (a 1 , a 2 , −a 3 ) ∈ U , (a 1 , a 2 , 0) ∈ [a , x ] et (a 1 , a 2 , 0) ∈
/U
Supposons que ω1 soit exacte sur U : alors il existe F1 tel que ω1 = dF1 et :
∀(x , y , z ) ∈ U ,
2x
∂ F1
(x , y , z ) = 2x z f (z ) =
∂x
z
Donc il existe une application g de classe C 1 sur R × R∗ telle que F1 : (x , y , z ) 7→
puis :
∀(x , y , z ) ∈ U , −
x2
+ h(y , z ),
z
2y
∂ F1
∂g
= −2y z f (z ) = Q 1 (x , y , z ) =
(x , y , z ) =
(y , z )
z
∂y
∂y
Donc il existe une application g 1 de classe C 1 sur R∗ telle que g : (y , z ) 7→ −
y2
+ g 1 (z ). Il vient
z
x2 −y 2
+ g 1 (z ) et
z
∂ F1
x2 −y 2
x2 −y 2
2
2
=
−(x
−
y
)
f
(z
)
=
R
(x
,
y
,
z
)
=
(x
,
y
,
z
)
=
−
+ g 1′ (z )
∀(x , y , z ) ∈ U , −
1
z2
∂z
z2
On en déduit donc que g 1′ est nulle, puis que g 1 est constante.
x2 −y 2
Finalement, toute primitive de ω1 est F1 : (x , y , z ) 7→
+ C , C ∈ R.
z
alors que F1 : (x , y , z ) 7→
Romain Dujol
43
4.1
4.1.1
Intégrale curviligne
Cas général
Définition 4.6 (Courbe de R2 ).
Une courbe de R2 est une partie Γ de R2 telle qu’il existe un segment [a ,b ] de R et une
application γ de classe C 1 de [a ,b ] dans R2 tels que Γ = γ([a ,b ]).
Une telle application γ est un paramétrage de Γ.
Définition 4.7 (Intégrale curviligne. Circulation d’un champ de vecteurs).
Soit Γ une courbe de R2 et γ un paramétrage de Γ défini sur le segment [a ,b ]. On note x et y
2
les applications composantes de γ. Soit ω = Pdx +Qdy
R une forme différentielle sur R .
On définit l’intégrale curviligne de ω sur Γ, noté Γ ω, par
Z
Z
b
ω=
Γ
a
P x (t ), y (t ) · x ′ (t ) +Q x (t ), y (t ) · y ′ (t ) dt
Si V le champ de vecteurs dont ω est la forme différentielle associée, alors
R
noté Γ V (M ) · dM et appelé circulation de V le long de Γ.
R
Γ
ω est également
Z
Théorème. L’intégrale curviligne
l’orientation.
ω ne dépend pas du paramétrage γ utilisé, mais dépend de
Γ
Exemple.
Z
1. Soit
Γ = {(x , y ) ∈ R2 ,
0 ≤ x ≤ 1 et y
= 2x 2 }.
Calculer
Γ
”
—
x 2 y dx + (x 2 − y 2 )dy .
2. Soit C le cercle de centre (0, 0) et de rayon un et le champ de vecteurs
V : R2 \{(0, 0)} → R2
−y
x
,
(x , y )
7→
x2 +y 2 x2 +y 2
Calculer la circulation de V le long de Γ = C ∩ (R × R+ ).
Romain Dujol
44
Théorème 4.2 (Cas d’une différentielle exacte). Soit Γ une courbe de R2 et γ un paramétrage de Γ défini sur [a ,b ].
Z
Si ω est exacte et telle que ω = d f , alors ω = f γ(b ) − f γ(a ) .
Γ
4.1.2
Cas d’une courbe fermée
Définition 4.8 (Courbe fermée). Une courbe Γ est dite fermée si et seulement si pour un paramétrage γ défini sur [a ,b ], on a γ(a ) = γ(b ).
Corollaire. Soit Γ une courbe fermée de R2 Z
et γ un paramétrage de Γ défini sur [a ,b ].
Si ω est exacte et telle que ω = d f , alors
ω = 0.
Γ
Définition 4.9 (Point double). Soit Γ une courbe de R2 . On dit que X ∈ R2 est un point double
de Γ si et seulement si il existe un paramétrage γ défini sur [a ,b ] et deux réels distincts t et t ′ de
[a ,b ] tels que X = γ(t ) = γ(t ′ ).
Définition 4.10 (Sens direct). Soit Γ une courbe fermée de R2 sans point double. Alors le sens
direct de Γ le sens pour lequel l’aire intérieure à Γ est laissée à la gauche de la courbe. Dans le
cas contraire, il s’agit
Z
Z du sens indirect de Γ.
Auquel on note
−
→
Γ
ω l’intégrale curviligne de ω selon Γ dans le sens direct et
dans le sens indirect.
Z
Z
Proposition 4.4.
Romain Dujol
←
−
Γ
ω=−
−
→
Γ
ω
45
←
−
Γ
ω l’intégrale
Exemple. Soit Γ le cercle de centre (0, 0) et de rayon un et le champ de vecteurs
V : R2 \{(0, 0)} → R2
x
−y
,
(x , y )
7→
x2 +y 2 x2 +y 2
Calculer la circulation de V le long de Γ dans le sens direct.
Théorème 4.3 (Théorème de GREEN-RIEMANN). Soit Γ une courbe fermée de R2 et D le domaine de R2 délimité par Γ.
Soit P et Q deux fonctions de classe C 1 sur D. Alors
ZZ Z
∂Q
∂P
[P(x , y ) dx +Q(x , y ) dy ] =
(x , y ) −
(x , y ) dx dy
−
→
∂x
∂y
Γ
D
Corollaire (Aire d’un domaine). Soit Γ une courbe fermée de R2 et D le domaine de R2 délimité
par Γ. Alors l’aire du domaine AD vérifie :
Z
Z
Z
1
−y dx =
x dy =
x dy − y dx
AD =
−
→
−
→
2 −→
Γ
Γ
Γ
Démonstration. On applique le théorème de GREEN-RIEMANN avec :
1. P : (x , y ) 7→ 0 et Q : (x , y ) 7→ x
2. P : (x , y ) 7→ −y et Q : (x , y ) 7→ 0
3. P : (x , y ) 7→ −y et Q : (x , y ) 7→ x
Romain Dujol
46
Intégrales curvilignes : Exercices
Formes différentielles
Exercice 4.1. Étudier les formes différentielles suivantes.
1. ω1 : (x , y ) 7→ x dy − y dx
2. ω2 : (x , y ) 7→ (x 2 + 3y ) dx − y 3 dy
x dx + y dy
3. ω3 : (x , y ) 7→
x2 +y 2
4. ω4 : (x , y , z ) 7→ x 2 dx + x y dy + z 2 dz
5. ω5 : (x , y , z ) 7→ x 3 dx + y 3 dy + z 3 dz
6. ω6 : (x , y ) 7→ e x (x + y ) dx + (e x + 3e y ) dy
7. ω7 : (x , y ) 7→ x (y − 1) dx − y (x + 1) dy
y dx − x dy
(on restreindra l’étude à x > 0)
8. ω8 : (x , y ) 7→
x2 +y 2
9. ω9 : (x , y ) 7→
(1 − x 2 + y 2 )y
(1 + x 2 − y 2 )x
dx
dy
(1 + x 2 + y 2 )2
(1 + x 2 + y 2 )2
Intégrales curvilignes
Z
Exercice 4.2. Calculer
”
−
→
Γ
—
y 2 dx + x 2 dy lorsque :
1. Γ = {(x , y ) ∈ R2 , x 2 + y 2 − a y = 0}
x2 y 2
2. Γ = (x , y ) ∈ R2 , 2 + 2 − 1 = 0
a
b
2
x
y 2 2x 2y
2
3. Γ = (x , y ) ∈ R , 2 + 2 −
−
=0
a
b
a
b
a et b étant deux réels strictement positifs.
Exercice 4.3. Soit Γ la boucle fermée constituée par les deux arcs de parabole y = x 2 et x = y 2 .
Z
”
—
(2x y − x 2 ) dx + (x + y 2 ) dy .
1. Calculer
−
→
Γ
2. Vérifier le résultat précédent en utilisant le théorème de GREEN-RIEMANN.
Romain Dujol
47
x2 y 2
Exercice 4.4. Soit D = (x , y ) ∈ (R+ )2 , 2 + 2 − 1 ≤ 0 .
b
ZaZ
Calculer de deux manières différentes
D
(2x 3 − y ) dx dy .
Exercice 4.5.
Z
1. Soit Γ = [A B ] ∪ [BC ] où A = (1, 1), B = (2, 1) et C = (2, 2). Calculer
”
—
(x y 2 + y ) dx + x 2 dy .
Γ
ZZ
2. Soit R > 0 et D = {(x , y ) ∈ (R+ )2 , x 2 + y 2 ≤ R 2 }. Calculer
Z
3. Soit Γ =
x , (x − 1) ln(x + 1) , x ∈ [0, 1] . Calculer
Γ
Exercice 4.6. Soit D = {(x , y ) ∈ [0, 1]2 , x 2 + y 2 ≥ 1}. Z Z
En utilisant le théorème de GREEN-RIEMANN, calculer
D
Romain Dujol
D
(x 2 − y 2 ) dx dy .
”p
—
p
x dy − x ln(x + 1) dx .
xy
dx dy .
(1 + x 2 + y 2 )2
48