Intégration des relations de comparaison

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Intégration des relations de comparaison
Exercice 1 [ 03892 ] [Correction]
Déterminer un équivalent quand x→+∞du terme
Z+∞
x
e−t2dt
Exercice 2 [ 03893 ] [Correction]
Déterminer un équivalent quand x→+∞du terme
Z+∞
x
e−t
tdt
Exercice 3 [ 03894 ] [Correction]
Déterminer un développement asymptotique à trois termes quand x→+∞de l’expression
Zx
1
et
tdt
Exercice 4 [ 04059 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→Rune fonction continue. Pour 0 <a<b, déterminer
lim
x→0+Zbx
ax
f(t)
tdt
Exercice 5 [ 04067 ] [Correction]
Déterminer un équivalent quand x→+∞de
Zx
e
dt
ln t
Exercice 6 [ 04068 ] [Correction]
(a) Justifier
Zx
1
ln(1 +t)
tdt∼
x→+∞
1
2(ln x)2
(b) Établir qu’il existe C∈Rtelle que
Zx
1
ln(1 +t)
tdt=1 2(ln x)2+C+ε(x) avec ε(x)−→
x→+∞0
(c) Déterminer un équivalent de la fonction εen +∞
Exercice 7 [ 04075 ] [Correction]
Soit f: [0 ; +∞[→R∗
+de classe C1et non intégrable. On suppose f0(x)=
x→+∞o(f(x)).
Montrer
f(x)=
x→+∞o Zx
0
f(t) dt!
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Corrections
Exercice 1 : [énoncé]
L’intégrale étudiée est convergente puisque t2e−t2−→
t→+∞0.
Écrivons Z+∞
x
e−t2dt=Z+∞
x
1
t×te−t2dt
Procédons à un intégration par parties avec u(t)=−e−t2/2 et v(t)=1/t.
Les fonctions uet vsont de classe C1et le produit uv converge en +∞. On a donc
Z+∞
x
e−t2dt=e−x2
2x−Z+∞
x
e−t2
2t2dt
Or e−t2
2t2=
t→+∞oe−t2
donc, par intégration de relation de comparaison
Z+∞
x
e−t2
2t2dt=o Z+∞
x
e−t2dt!
et donc
Z+∞
x
e−t2dt∼
x→+∞
e−x2
2x
Exercice 2 : [énoncé]
L’intégrale étudiée est convergente puisque t2e−t/t−→
t→+∞0.
Procédons à une intégration par parties avec u(t)=−e−tet v(t)=1/t.
Les fonctions uet vsont de classe C1et le produit uv converge en +∞. On a donc
Z+∞
x
e−t
tdt=e−x x−Z+∞
x
e−t
t2dt
Or e−t
t2=
t→+∞o e−t
t!
donc, par intégration de relation de comparaison
Z+∞
x
e−t
t2dt=o Z+∞
x
e−t
tdt!
et donc Z+∞
x
e−t
tdt∼
x→+∞
e−x
x
Exercice 3 : [énoncé]
Par intégration par parties
Zx
1
et
tdt="et t#x
1
+Zx
1
et
t2dt
et en répétant celle-ci
Zx
1
et
tdt="et t
+et
t2#x
1
+Zx
1
2et
t3dt
Or, toujours par intégration par parties
Zx
1
2et
t3dt="2 et t3#x
1
+Zx
1
6 et
t4dt
Mais et
t4=
t→+∞o et
t3!et t7→ et
test positive non intégrable sur [1 ; +∞[
donc, par intégration de relation de comparaison
Zx
1
et
t4dt=o Zx
1
et
t3!
Ceci donne Zx
1
2et
t3dt=
x→+∞
2 ex
x3−2 e +o Zx
1
et
t3dt!∼2 ex x3
puis, dans le calcul initial
Zx
1
et
tdt=
x→+∞
ex
x
+ex
x2+2 ex x3+o 2 ex x3!
en ayant intégré le terme constant dans le terme négligeable.
Exercice 4 : [énoncé]
Puisque fest continue en 0, on peut écrire
f(x)=f(0) +ε(x) avec ε−→
00
On a alors
Zbx
ax
f(t)
tdt=Zbx
ax
f(0)
tdt+Zbx
ax
ε(t)
tdt
D’une part
Zbx
ax
f(0)
tdt=f(0) ln b a
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et d’autre part
Zbx
ax
ε(t)
tdt
≤max
t∈[ax;bx]|ε(t)|ln b
a−→
x→00
On peut conclure
lim
x→0+Zbx
ax
f(t)
tdt=f(0) ln b a
Exercice 5 : [énoncé]
Par intégration par parties
Zx
e
dt
ln t
=t
ln tx
e
+Zx
e
dt
(ln t)2
Or 1
(ln t)2=
t→+∞o 1
ln t!
et la fonction t7→ 1/ln(t) est positive non intégrable sur [e ; +∞[. On a donc
Zx
e
dt
(ln t)2=
x→+∞o Zx
e
dt
ln t!
et on en déduit Zx
e
dt
ln t∼
x→+∞
x
ln x
Exercice 6 : [énoncé]
(a) On a ln(1 +t)
t∼
t→+∞
ln(t)
t
Puisque la fonction t7→ ln(t)/test positive, non intégrable sur [1 ; +∞[, on peut
affirmer Zx
1
ln(1 +t)
tdt∼
x→+∞Zx
1
ln t
tdt="1 2(ln t)2#x
1
=1
2(ln x)2
(b) On a
Zx
1
ln(1 +t)
tdt−1 2(ln x)2=Zx
1
ln(1 +t)
t−ln(t) tdt=Zx
1
1
tln 1+1 t!dt
et donc Zx
1
ln(1 +t)
tdt=1 2(ln x)2+C+o(1)
avec la constante Cégale à l’intégrale convergente
Z+∞
1
1
tln 1+1 t!dt
On peut montrer que cette constante vaut π2/12 (via intégration terme à terme), mais
c’est une autre histoire. . .
(c) En fait
ε(x)=−Z+∞
x
1
tln 1+1 t!dt
On a 1
tln 1+1 t!∼
t→+∞
1
t2
Puisque la fonction t7→ 1/t2est positive et intégrable sur [1 ; +∞[, on peut affirmer
ε(x)∼
x→+∞−Z+∞
x
dt
t2=−1
x
Exercice 7 : [énoncé]
Puisque fest positive et non intégrable, on sait
Zx
0
f(t) dt−→
x→+∞
+∞
Soit ε > 0. Il existe A≥0 tel que
∀x≥A,f0(x)≤ε|f(x)|
et alors
∀x≥A,f(x)=f(A)+Zx
A
f0(t) dt≤f(A)+εZx
0
f(t) dt
Puisque f(A) est une constante et Rx
0f(t) dt−→
x→+∞
+∞, il existe A0≥0 tel que
∀x≥A0,f(A)≤εZx
0
f(t) dt
Pour x≥max(A,A0), on obtient
0≤f(x)≤2εZx
0
f(t) dt
et on peut alors conclure.
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