Ecriture décimale illimitée d'un rationnel

Ecriture décimale illimitée d'un rationnel
Par Mathtous
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Tout le monde sait que = 0, 66666...
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Les points de suspension indiquant qu'il y a d'autres chires après les 6, et suggérant que ces
chires seraient tous des 6, en nombre inni.
Ce qui est eectivement le cas : l'écriture est indéniment périodique, sa plus petite période
est ici constituée du nombre 6 ( la longueur de cette période est donc 1).
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Pour traduire ceci, j'écrirai : = 0, [6].
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Le cas particulier des nombres décimaux n'échappe pas à cette règle, ainsi :
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= 0, 8 que l'on peut aussi écrire 0, 80 ou 0, 800 ou 0, 8000 ... c'est-à-dire 0, 8[0].
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I) Partie directe
Théorème :
Tout rationnel ( positif ) possède une écriture décimale illimitée périodique ( à partir d'un
certain rang ).
Démonstration :
On se restreint naturellement aux rationnels positifs ; pour les négatifs, il sut de placer le
signe moins devant.
Rappelons qu'un nombre rationnel est le quotient de deux nombres entiers ( positifs ici ), de
préférence premiers entre eux ( mais ce n'est nullement obligatoire ).
a
Soit un nombre rationnel positif ( b 6= 0 ) avec a et b positifs.
b
Le quotient de a par b peut s'obtenir en eectuant la division dite euclidienne de a par b,
mais en la poursuivant, si besoin, au-delà de la virgule.
A chaque étape, le reste sera strictement inférieur à b.
Si un reste est nul, on a l'habitude d'arrêter l'opération : le rationnel est décimal.
Mais rien n'empêche de la continuer : on aura alors systématiquement le chire 0 au quotient
et 0 pour reste. On a bien une écriture illimitée périodique de période [0].
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Exemple : = 1, 75 = 1, 75[0].
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Si par contre aucun reste n'est nul, la division ne s'arrête pas mais puisque tous les restes sont
inférieurs à b, on retombera tôt ou tard sur un reste déjà trouvé : à partir de ce moment, les
chires au quotient et les restes vont se répéter à l'identique de ce qu'ils étaient lors du premier
reste égal au reste trouvé. L'écriture est donc illimitée périodique.
Attention : la période n'a aucune raison d'apparaître dès le début.
1
155
= 0, 7[82] : on observe la partie périodique de longueur 2 : [82], et la partie
Exemple :
198
irrégulière : 0, 7.
Remarque : tous les restes étant inférieurs à b, il y en a b diérents, et b − 1 diérents et
non nuls. Donc, au pire , la période sera constituée de b − 1 chires. Mais ce n'est pas obligatoire comme le montre l'exemple ci-dessus où la période n'a que 2 chires alors qu'elle aurait
pu en avoir 197.
Mais il peut aussi arriver que la période possède b − 1 chires :
15
exemple :
= 2, [142857] : la période est de longueur 6 = 7 - 1.
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II) Réciproque
Théorème :
Si l'écriture décimale illimitée d'un réel ( positif ) est périodique ( à partir d'un certain rang ),
alors ce réel est rationnel.
Démonstration :
Soit x le nombre considéré ; soit a sa partie irrégulière : c'est un décimal donc un rationnel ; soit b la période, k sa longueur, et 10−n le premier rang où se situe le chire des unités de
b.
Ainsi, si x = 12, 23[47] alors a = 12, 23, b = 47, k = 2, et n = 4.
On a donc x = a + b.10−n + b.10−n−k + b.10−n−2k + b.10−n−3k + ...
x = a + b.10−n .[1 + (10−k ) + (10−k )2 + (10−k )3 + ...]
Dans le crochet, on reconnaît la somme d'une progression géométrique de raison 10−k inférieur
à 1.
10k
1
Cette somme est égale à :
=
−k
k
1 − 10
10 − 1
b.10k−n
: x est donc bien rationnel.
Donc x = a + k
10 − 1
Exemple 1 : Reprenons :
47 × 102−4
1223 47 × 10−2
1223
47
x = 12, 23[47] = 12, 23 +
=
+
=
+
102 − 1
100
99
100
9900
30281
x=
après simplication.
2475
Exemple 2 : x = 4, 029029029... = 4, [029] . Attention : il faut tenir compte du zéro.
On a donc : a = 4, b = 29, k = 3, n = 3.
On applique le résultat : x = 4 +
29 × 103−3
29
4025
=4+
=
.
3−1
10
999
999
2
Exemple 3 : x = 33, 33333...
Ici, la période commence dans la partie entière, et même dès le début. C'est sans importance,
ici n sera négatif.
On a : a = 0 ; b = 3 ; k = 1 ; et n = −1.
3 × 102
300
100
=
=
.
Donc x = 0 +
10 − 1
9
3
Remarque : on aurait pu faire partir la période après la virgule : x = 33, [3] .
Dans ce cas : a = 33 ; b = 3 ; k = 1 ; et n = 1 .
3 × 100
3
1
100
= 33 + = 33 + =
( heureusement ) .
Ce qui donne : x = 33 +
10 − 1
9
3
3
En fait, on peut compter la ou les première(s) période(s) dans le décimal a .
III) Ecriture décimale illimitée impropre d'un décimal
Que se passe-t-il si la période est 9 ?
9 × 101−n
= a + 101−n : le résultat est décimal.
10 − 1
Par exemple : 2, 3[9] = 2, 3 + 10−1 = 2, 4 .
b = 9 et k = 1 , donc x = a +
Ainsi, tout décimal est susceptible d'avoir deux écritures décimales illimitées : son écriture
propre et son écriture impropre .
2, 4[0] est le développement décimal illimité propre de 2, 4 alors que 2, 3[9] est son développement illimité impropre .
Ainsi se trouve une explication, par exemple du fait que l'égalité 0, 99999... = 1 soit valable.
( L'explication selon laquelle la diérence ne peut être constituée que de zéros est plus parlante mais moins rigoureuse ).
Remarquons pour terminer que si la période est 9, le nombre est nécessairement décimal. Les
rationnels non décimaux n'ont donc pas d'écriture impropre .
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