Feuille d`exercices 9 : corrigé

M2NA
Année 2016/2017
Feuille d'exercices 9 : corrigé
Exercice 1.
2×3×7
Les fractions 17 et 42
sont irréductibles et leur dénominateur
17 =
17
n
m
n'est pas de la forme 2 × 5 (avec n et m dans N), donc ces fractions ne
représentent pas des3 nombres décimaux.
3
La fraction 27
8 = 23 est irréductible et son dénominateur est de la forme
n
m
2 × 5 (avec n = 3 et m = 0), donc elle représente un nombre décimal (on
peut aussi poser la division et constater que 27/8 = 3, 375).
Enn, comme 91 = 7 × 13, on a 91
7 = 13. Ce nombre est un entier et donc en
particulier un décimal.
2. a) On a la division décimale suivante :
1.
1,0
30
20
60
40
50
1
7
0,142857
Le dernier reste de cette division est 1, qui est le nombre duquel on est parti.
Les quotients suivants seront donc à nouveau 1, 4, 2, 8, 5, 7, etc. L'écriture
décimale périodique de 1/7 est donc :
1
= 0, 142857.
7
b) Comme la période est de longueur 6, le chire 7, qui est en 6e position,
se retrouvera en 12e , 18e , 24e et 30e position. La 31e décimale est alors 1, et
e
la 32 décimale est 4.
42
e
3. a) La 20 décimale de l'écriture décimale de
17 est 5 (cellule B22).
b) Dans la celule A18, on retrouve le reste 8 qu'on avait déjà obtenu en A2.
La suite des divisions euclidiennes, et donc celle des restes et des quotients,
va alors se répéter à l'identique. L'écriture décimale périodique de 42/17 est
donc (les chires de la partie décimale se lisent dans les cellules B3 à B18
incluses) :
42
= 2, 4705882352941176.
17
c) La colonne A contient les restes des divisions euclidiennes successives par
17. Il y a 17 restes possibles dans une telle division par 17 (de 0 à 16 inclus).
Mais d'après la question 1, le reste 0 ne peut pas être obtenu car le rationnel
1
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n'est pas décimal. On peut donc obtenir 16 restes possibles au maximum
(de 1 à 16). Les 16 restes possibles ont été obtenus dans les cellules A2 à
A17, donc dans la cellule A18 on est certain d'obtenir un reste déjà obtenu
auparavant.
4. On a a = 1, 23, d'où 100a = 123, 23. On en déduit
42
17
100a − a = 123, 23 − 1, 23 = 122,
d'où 99a = 122 puis
a=
122
.
99
Exercice 2.
1. On cherche les entiers p tels que 1, 117 <
que
p
1789
⩽ 1, 118, autrement dit tels
1, 117 × 1789 < p ⩽ 1, 118 × 1789
soit encore
1998, 313 < p ⩽ 2000, 102.
Donc p = 1999 ou p = 2000.
1999
Remarque : on peut vérier avec la calculatrice que 1789
≈ 1, 1174 et 2000
1789 ≈
1, 1179.
2. a) On met par exemple les fractions au même dénominateur pour les
comparer. On a 1/2 = 3/6 et 2/3 = 4/6, donc 1/2 < 2/3.
12
168
13
13×13
169
12
13
De même, on a 13
= 12×14
13×14 = 182 et 14 = 14×13 = 182 , donc 13 < 14 .
31328
177
177×177
31329
176
177
176
= 176×178
De même, on a 177
177×178 = 31506 et 178 = 178×177 = 31506 , donc 177 < 178 .
n
On peut donc conjecturer qu'on a toujours n−1
n < n+1 ⋅
b) On met les fractions au même dénominateur. On a :
n − 1 (n − 1) × (n + 1)
n2 − 1
=
=
n
n × (n + 1)
n(n + 1)
et
n
n×n
n2
=
=
⋅
n + 1 (n + 1) × n n(n + 1)
n
Comme n2 − 1 < n2 , on en déduit qu'on a n−1
n < n+1 .
c) On applique le résultat du b) avec n = 987 654 322. On obtient que :
987 654 321
987 654 322
<
987 654 322
987 654 323 ⋅
Exercice 3.
1. Comme (OH) // (JT ), on peut appliquer le théorème de Thalès dans le
OH
3r
a
3
triangle EJT : on a EO
EJ = JT , donc 5r = r . Il en résulte a = 5 r .
2. Comme a = 3r5 et que r est un nombre entier, a est le quotient de deux
entiers, donc c'est un nombre rationnel.
6r
3. On peut écrire a = 10
. Donc a peut s'écrire comme une fraction décimale
(car 6r est un entier), donc a est toujours un nombre décimal.
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4. a = 3r5 sera entier si (et seulement si) 5 divise 3r, c'est-à-dire si (et seulement si) 5 est un diviseur de r (car 5 est un nombre premier, qui doit apparaître dans la décomposition en produit de facteurs premiers de 3r). Donc
les nombres r pour lesquels a est un nombre entier sont les entiers naturels
non nuls multiples de 5 : 5, 10, 15, etc.
5. Oui, le nombre a peut être un nombre premier : pour r = 5 on a a = 3 qui
est premier.
6. Appliquons le théorème de Pythagore dans le triangle OHB rectangle en
H . On a : OB 2 = OH 2 + HB 2 , donc r2 = a2 + HB 2 , d'où
9
9
16
3 2
HB 2 = r2 − a2 = r2 − ( r) = r2 − r2 = (1 − )r2 = r2 .
5
25
25
25
4
5
On en déduit HB = r.
7. Montrons que H est milieu de [AB] : le triangle OAB est isocèle en O
(car OA = OB ), donc la hauteur issue de O est aussi la médiatrice de [AB].
Donc (OH) est la médiatrice de [AB]. On sait que cette médiatrice coupe
[AB] en son milieu, donc H est le milieu de [AB].
Autre méthode : exactement de la même manière qu'on a calculé HB à la
question précédente, on calcule AH à l'aide du théorème de Pythagore dans
le triangle OAH ; on obtient que AH = HB . Donc H (qui est entre A et B )
est le milieu de [AB].
On en déduit que b = 2 HB = 58 r.
8. Supposons que b = 8r5 soit un nombre premier. Alors c'est en particulier
un nombre entier, et donc 5 divise 8r = 23 × r. Donc 5 est un diviseur de r
(car le facteur premier 5 doit apparaître dans 23 × r). Donc r = 5 × k, et donc
b = 8 × 5r = 8 × k . Donc b est divisible par 8, et donc il ne peut pas être un
nombre premier. On obtient donc une contradiction.
Conclusion : le nombre b ne peut jamais être un nombre premier.
Exercice 4.
1. VRAI. En eet, si ab est un nombre rationnel non nul, son inverse est ab ,
donc c'est aussi un nombre rationnel (quotient de deux entiers).
2. FAUX. Par exemple, 3/2 est un nombre rationnel non nul, mais son inverse
est 2/3, qui n'est pas un nombre décimal.
3. VRAI. En eet, un nombre décimal est en particulier un nombre rationnel,
donc son inverse est un nombre rationnel d'après le point 1.
Autre justication possible : un nombre décimal peut s'écrire 10an avec a ∈ Z
n
et n ∈ N, donc son inverse est 10a , qui est un nombre rationnel car quotient
de deux entiers.
4. FAUX. Par exemple, 3/2 = 1, 5 est un nombre décimal non nul, mais son
inverse est 2/3, qui n'en est pas un.
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Exercice 5.
1. On transforme le second membre :
1
)
p ( p+q
2
+
1
)
q ( p+q
2
=
2
2
2q
2p
+
=
+
p(p + q) q(p + q) pq(p + q) pq(p + q)
=
2p + 2q
2(p + q)
2
=
= ⋅
pq(p + q) pq(p + q) pq
2. Comme p et q sont des entiers impairs, leur somme p + q est un entier pair,
autrement dit un nombre entier divisible par 2. On en déduit que p+q
2 est un
nombre entier.
) est aussi un nombre entier (produit de deux entiers),
Il en résulte que p( p+q
2
)
est
un nombre entier. Enn, pq est un nombre entier car
et de même q( p+q
2
c'est le produit de deux entiers.
4