Chapitre 6 - Intégration

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2012-2013
Chapitre 6 - Intégration
Chapitre 6 - Intégration
I
Intégrale d’une fonction positive
TD1 : Des calculs d’aire
Définition 1
Dans un repère orthogonal (O, I, J), on appelle unité d’aire l’aire du rectangle de côtés les
segments [OI] et [OJ].
1. Pour chacune des figures ci-dessous, donner l’aire de la partie colorée en unités d’aire, en utilisant
les carreaux puis calculer chaque aire en utilisant une formule :
Figure 1
Figure 2
Figure 3
2. Dans la question précédente on a pu calculer les
aires car on connaissait des formules, vues dès
le collège, pour calculer l’aire d’un rectangle,
d’un triangle ou l’aire d’un trapèze. L’objectif
de ce chapitre est de découvrir un nouvel outil
permettant de calculer l’aire d’autres surfaces.
Sur la figure ci-contre, on a représenté la fonction carrée sur [0; 2].
(a) En utilisant le triangle OAI et le trapèze AIBC, déterminer une valeur approchée de l’aire
de la surface colorée en unités d’aires.
2
(b) Cette aire est égale à ∫ x2 dx, appelée intégrale de la fonction carré entre 0 et 2. La
0
calculatrice permet de déterminer une valeur approchée de cette intégrale :
– pour Casio, appuyer sur OPTN choisir CALC puis ∫ dx et saisir X2 ,0,2 .
– pour Texas, appuyer sur math choisir intégrFonct et saisir X2 ,X,0,2 .
Quelle est la valeur approchée donnée par la calculatrice ?
-1-
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Chapitre 6 - Intégration
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Définition 2
Soit f une fonction continue et positive sur une intervalle [a; b]et C sa courbe représentative dans
un repère orthogonal.
On appelle intégrale de f entre a et b, l’aire, exprimée en unités d’aire, de la surface délimitée
par la courbe C, l’axe des abscisses et les droites d’équation x = a et x = b.
Cette aire est appelée « aire sous la courbe de f ».
b
Cette intégrale se note : ∫ f (x) dx et se lit « intégrale de a à b de f ».
a
a est la borne inférieure de cette intégrale et b la borne supérieure
Propriété
1. L’intégrale d’une fonction positive entre a et b, avec a ⩽ b, est positive.
2. Si f est définie sur [a; b] par f (x) = k avec k une constante positive, alors
b
∫
a
f (x) dx = k(b − a).
Démonstration
1. L’intégrale d’une fonction positive sur [a; b] est une aire, une aire est toujours positive.
2. Si f (x) = k avec k > 0, alors l’aire recherchée est celle du rectangle de côtés k et b − a. Cette aire
est donc égale à k(b − a).
Lorsque k = 0, le rectangle est aplati et son aire est égale à 0.
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Chapitre 6 - Intégration
TD2 : Une aire variable
On s’intéresse à la fonction F telle que F (x) = ∫
x
0
sur R.
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f (t) dt où f est une fonction continue et positive
1. Sur la figure ci-dessous, on a représenté la fonction affine f définie sur [0; +∞[ par : f (x) = x + 2.
(a) On appelle S(x) l’aire, en unités d’aire, du domaine coloré. En utilisant la formule donnant
l’aire d’un trapèze, exprimer l’aire S(x) en fonction de x.
(b) Calculer la dérivée de la fonction S et la comparer à f .
(c) Quelle conjecture peut-on faire sur F ′ (x) pour x > 0 ?
2. Dans cette question, on va utiliser la fonction TABLE de la calculatrice pour comparer F ′ et f
pour différentes fonctions f .
(a) On compare d’abord F ′ et f lorsque f est la fonction carré.
Casio
Sélectionner le menu TABLE.
Texas
Appuyer sur la touche f(x).
Dans la ligne Y1, saisir X2 .
Dans la ligne Y2, OPTN puis CALC
Dans la ligne Y1, saisir X2 .
Dans la ligne Y2, math puis intégrFonct(
puis ∫ dx et saisir Y1,0,X .
Dans la ligne Y3, OPTN puis CALC
puis d/dx et saisir Y2,X .
et saisir Y1,X,0,X .
Dans la ligne Y3, math puis nbreDérivé(
et saisir Y2,X,X .
(b) Régler les paramètres de la TABLE de la calculatrice pour obtenir les valeurs de x de 0, 5 à
4 avec un pas de 0, 5. Que peut-on remarquer pour les colonnes Y1 et Y3 ? Quelle conjecture
peut-on faire pour F ′ ?
(c) En changeant l’expression saisie en Y 1, faire une conjecture concernant F ′ lorsque la fonction f est la fonction racine carrée.
Théorème
Si f est une fonction continue et positive sur [a; b], la fonction F définie sur [a; b] par
x
F (x) = ∫
0
Exemple
Pour F (x) = ∫
f (t) dt est dérivable sur [a; b] et a pour dérivée f . On a ainsi F ′ (x) = f (x).
x
0
t2 dt, on a f (t) = t2 . F est dérivable sur [0; +∞[ et F ′ (x) = f (x) ; c’est-à-dire F ′ (x) = x2 .
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II
Chapitre 6 - Intégration
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Primitives d’une fonction continue
Définition 3
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
On appelle primitive de f sur I, une fonction F dérivable sur I dont la dérivée est égale à f .
Ainsi, pour tout x de I, F ′ (x) = f (x).
Remarque
On dit que « F a pour dérivée f » et « f a pour primitive F ».
TD3 : À la recherche de fonctions
1. Compléter le tableau ci-dessous :
Fonction F définie sur I par
Fonction dérivée F ′
F (x) = x2
I =R
F ′ (x) =
F (x) = x3
I =R
F ′ (x) =
F (x) = ex
I =R
F ′ (x) =
I =] − ∞; 0[∪]0; +∞[
F ′ (x) =
F (x) =
1
x
F (x) = ln x
I =]0; +∞[
F ′ (x) =
2. (a) En utilisant le tableau précédent, déterminer une fonction F dont la dérivée est la fonctionf
définie sur R par f (x) = 2x. Existe-t-il d’autres fonctions qui admettent la même dérivée ?
(b) Donner une fonction F dont la dérivée est la fonction définie sur R par f (x) = 3x2 .
(c) En déduire une fonction G dont la dérivée est la fonction g définie sur R par g(x) = x2 .
1
(d) Déterminer des fonctions dont la dérivée est la fonction f telle que f (x) = sur ]0; +∞[.
x
3. Dans une usine, le coût marginal de fabrication en euros du x-ième kilogramme de bonbons est :
Cm (x) = 3x2 − 30x + 75.
Sachant que le coût fixe est nul et que Cm (x) = C ′ (x), déterminer la fonction coût.
Théorème
Toute fonction continue sur un intervalle I admet des primitives sur ce même intervalle.
Propriété
Soit f une fonction continue sur un intervalle I.
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Chapitre 6 - Intégration
– Si F est une primitive de f sur un intervalle I, alors toutes les primitives de f sont les fonctions
G définies sur I par G(x) = F (x) + k où k est un réel.
– Soit x0 un réel de I et y0 un réel ; il existe une unique primitive F de f qui prend en x0 la valeur
y0 , c’est-à-dire telle que F (x0 ) = y0 .
Primitives des fonctions usuelles
Par lecture inverse du tableau des dérivées, on obtient le tableau ci-dessous.
Fonction f
Une primitive F
Intervalle de validité
f (x) = a
F (x) = ax
R
f (x) = xn avec n ∈ N
1
x2
1
f (x) =
x
f (x) =
xn+1
n+1
1
F (x) = −
x
F (x) =
R
] − ∞; 0[∪]0; = ∞[
F (x) = ln x
]0; = ∞[
f (x) = ex
F (x) = ex
R
1
f (x) = √
x
√
F (x) = 2 x
]0; = ∞[
Propriété
Soit f et g deux fonctions continues sur un intervalle I et k un réel quelconque :
– Une primitive de kf est kF avec F une primitive de f .
– Une primitive de f + g est F + G avec F et G respectivement des primitives de f et g.
– Une primitive de u′ × eu est eu , avec u une fonction dérivable sur I.
Exemple
x4
Pour f telle f (x) = x3 , une primitive est F telle que F (x) =
.
4
2
−x2
Pour g telle que g(x) = 2xe , une primitive est G telle que G(x) = −e−x .
III
Intégrale d’une fonction continue
Propriété
Soit f une fonction continue et positive sur un intervalle [a; b].
Si F est une primitive de la fonction f , alors ∫
b
f (x)dx = F (b) − F (a).
a
Cette formule s’étend aux fonctions continues de signes quelconques sur un intervalle I avec a et b deux
réels quelconques de I et on peut alors définir l’intégrale d’une fonction continue de signe quelconque.
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Chapitre 6 - Intégration
Définition 4
Soit f une fonction continue sur un intervalle I, F une primitive de f , et a et b deux réels
quelconques de I.
b
On appelle intégrale de f entre a et b la différence F (b) − F (a) ; on note ∫ f (x)dx cette
a
intégrale.
Propriété
Soit f et g deux fonction continues sur un intervalle I, a, b, c trois réels de I et k un réel quelconque.
a
1 ∫
O
a
2 ∫
O
b
3 ∫
O
a
4 ∫
O
a
f (x)dx = 0.
a
b
f (x)dx = − ∫
kf (x)dx = k ∫
b
f (x)dx.
a
b
b
f (x)dx.
a
(f (x) + g(x)) dx = ∫
b
b
f (x)dx + ∫
a
b
5 Relation de Chasles : ∫
O
g(x)dx.
a
f (x)dx + ∫
a
c
b
6 Si f (x) ⩾ 0 pour tout x de [a; b], alors ∫
O
c
f (x)dx = ∫
b
a
f (x)dx.
a
f (x)dx ⩾ 0.
Démonstration
Soit F une primitive de f et G une primitive de g.
a
1 ∫
O
a
f (x)dx = F (a) − F (a) = 0.
a
b
2 ∫ f (x)dx = F (a) − F (b) = −(F (b) − F (a)) = − ∫ f (x)dx.
O
b
a
3 On sait que kF est une primitive de kf , donc :
O
b
b
∫ kf (x)dx = kF (b) − kF (a) = k(F (b) − F (a)) = k ∫ f (x)dx.
a
a
4 Ici on utilise le fait que F + G est une primitive de f + g.
O
b
c
c
5 ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx = F (b) − F (a) + F (c) − F (b) = F (c) − F (a) = ∫ f (x)dx.
O
a
b
a
6 Découle de la définition de l’intégrale dans le cas où f est positive.
O
6 :
Conséquence de la propriété O
Si f (x) ⩾ g(x) sur [a; b], alors ∫
a
b
b
f (x)dx ⩾ ∫
g(x)dx.
a
b
En effet : si f (x) ⩾ g(x), alors f (x)−g(x) ⩾ 0, donc ∫ (f (x) − g(x))dx ⩾ 0 d’où ∫
soit ∫
a
b
a
b
f (x)dx ⩾ ∫
g(x)dx.
a
-6-
a
b
b
f (x)dx − ∫
a
g(x)dx ⩾ 0
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Chapitre 6 - Intégration
Propriété (Calculs d’aires)
– Soit f une fonction continue et négative sur [a; b], l’aire exprimée en unités d’aire de la surface
plane délimitée par la courbe Cf , l’axe des abscisses et les droites d’équations x = a et x = b, est
égale à − ∫
b
f (x)dx.
a
– Soit f et g deux fonctions continues et positives sur [a; b] telles que f (x) ⩾ g(x) pour tout x
de [a; b]. L’aire exprimée en unités d’aire du domaine délimité par les courbes Cf et Cg et les
droites d’équations x = a et x = b est égale à ∫
b
a
(f (x) − g(x)) dx = ∫
b
a
b
f (x)dx − ∫
g(x)dx
a
Exemple
Soit f et g définies sur R par f (x) = 4 − x2 et g(x) = −x + 2. Leurs courbes Cf et Cg se coupent en -1 et 2, et sur
[−1; 2], Cf est située au-dessus de Cg
~
|
O
~
{
On calcule la différence : h(x) = f (x) − g(x) = 4 − x2 + x − 2 = −x2 + x + 2.
x3 x2
Une primitive de h sur [−1; 2] est H(x) = − +
+ 2x.
3
2
Alors, l’aire entre les deux courbes, en unité d’aire, est :
2
∫
−1
(f (x) − g(x)) dx = ∫
2
h(x)dx = H(2) − H(−1) =
−1
-7-
10 −7 9
−
= = 4, 5u.a.
3
6
2
TES
IV
IV.1
2012-2013
Chapitre 6 - Intégration
Applications du calcul intégral
Valeur moyenne d’une fonction continue
Définition 5
Soit f une fonction continue sur un intervalle [a; b].
La valeur moyenne de f sur [a; b] est le nombre m défini par : m =
b
1
∫ f (x)dx.
b−a a
Si f est strictement positive sur [a; b], la valeur moyenne de f est la hauteur du rectangle de
largeur b − a qui a la même aire que l’aire sous la courbe.
Exemple
Le bénéfice, en milliers d’euros, d’une production de q kg de produit de beauté est donné par : f (q) = −3q 2 + 6q − 1, 5
pour une quantité q de produit variant de 0 à 2 kg.
2
1
F (2) − F (0)
La valeur moyenne de ce bénéfice sur [0; 2] est : m =
, où F est une primitive de f
∫ f (q)dq =
2−0 0
2−0
sur [0; 2].
Une primitive de f est F (q) = −q 3 + 3q 2 − 1, 5q.
F (2) − F (0) 1 − 0 1
F (2) = −23 + 3 × 22 − 1, 5 × 2 = 1 et F (0) = 0 d’où m =
=
= = 0, 5.
2−0
2−0 2
Ainsi, la valeur moyenne du bénéfice de 0 à 2 kg est 0,5 millier d’euros.
Pour toute quantité x, la valeur moyenne du bénéfice sur [0; x] est :
x
1
F (x) − F (0) −x3 + 3x2 − 1, 5x
m(x) =
=
= −x2 + 3x − 1, 5.
∫ f (q)dq =
x−0 0
x−0
x
Attention à ne pas confondre avec le bénéfice moyen pour une quantité x donné par :
f (x) −3x2 + 6x − 1, 5
1, 5
=
= −3x + 6 −
.
Bm (x) =
x
x
x
IV.2
Indice de Gini (économiste italien de la fin du XIXe siècle)
Un application classique de l’intégrale est le calcul de l’indice de concentration d’une répartition de
biens, patrimoine, revenus ou salaires.
Dans un carré OBAC de côté 1 (ou 100%), on représente une fonction f de répartition par la courbe
de Lorenz et le segment [OA], segment de la droite ∆ d’équation y = x.
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Chapitre 6 - Intégration
C
1
b
A
b
B
P A
x
b
f (x)
O
b
b
x
b
M
1
L’aire de concentration A est l’aire située entre la courbe de Lorenz et le segment [OA] en u.a.
On mesure la concentration par l’indice de Gini, rapport de l’aire de concentration par rapport à
l’aire du triangle OAB.
γ=
1
aire de concentration
A
=
= 2A = 2 ∫ (x − f (x)) dx
aire du triangle OAB 0, 5
0
Comme l’indice de Gini est un rapport entre deux aires de même unité, l’indice de Gini n’a pas d’unité.
Application : 47 page 165
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