Chapitre 11

Chapitre 11
ZZ
ZZ (t)
ZZlim
t→0
t>0
g(t)g(x)−−−
x→+∞
kθk)ZZlim
t→0
t>0
g(t)g(x)−−−−−→
x→+∞ +∞
ZZlim
t→0
t>0
g(t)g(x)−−−−−→
x→+∞ +∞ X
k=1Z
ZZ g(t)g(x)−−−−−→
x→+∞ +∞
n
X
k=1Zπ
0e
(x)−−−−−→
x→+∞ +∞
n
X
k=1Zπ
0eıkθkλkcos(
−→+∞
n
X
k=1Zπ
0eıkθkλkcos(kθkZ
n
X
=1Zπ
0eıkθkλkcos(kθk)ZZlim
t→
t>0
XZπ
eıkθkλkcos(kθk)ZZlim
t→0
t>0
g(t)
Zλkcos(kθk)ZZlim
t→0
t>0
g(t)g(x)−−−
x→+∞
cos(kθk)ZZlim
t→0
t>0
g(t)g(x)
ZZlim
t→0
t>0
g(t
ZZ
I - Promenons-nous sur le cercle
a. Enroulons la droite des réels
Pour aller se promener, il est peu pratique d’emmener la droite des
réels telle quelle : elle prend trop de place. C’est pourquoi nous allons
l’enrouler autour d’un cercle, mais comment faire ?
On considère un cercle de rayon 1 et de centre le centre du repère
³O;−→
ı,−→ ´. On « colle » l’origine de la droite des réels sur le point I
de coordonnées (1 ; 0), et on enroule. Enfin, on imagine, car il va être
difficile de trouver le « bout » de la droite correspondant à −∞...Sans
compter qu’il va nous falloir pas mal de temps avant d’avoir fini de
l’enrouler, mais ceci est un autre problème...
Ox
y
0
−1
1
0,5
p2
R
Ox
y
R
0.5
p2
1
5
2
π
2π
2π+1
0
−1
Comme vous le savez bien, le périmètre du cercle unité vaut 2×π×rayon =2πpuisque le rayon vaut 1.
Donc, le point d’abscisse 2πde la droite des réels vient se « coller » sur 0, le point d’abscisse 2π+1 de la droite des réels vient se
« coller » sur 1 et plus généralement, tout point d’abscisse xvoit se coller sur lui x+2π,x−2π,x+2×2π,x+3×2π, ...

2TRIGONOMÉTRIE
Nous pouvons de plus observer que nous allons ainsi associer à chaque élément de la droite des réels, donc à chaque nombre
réel x, un unique point sur le cercle.
b. Cercle trigonométrique
Définition 1 Cercle trigonométrique
Dans un repère orthonormé ³O;−→ ı,−→ ´, Le cercle trigonométrique est le cercle de centre O, de rayon 1, muni d’une orien-
tation. Le sens positif est le sens inverse des aiguilles d’une montre.
O1
1+
c. La galette des Rois
Sachant qu’un « tour » correspond à 2π, on peut facilement savoir à quels points du cercle trigonométrique correspondent les
fractions de π
0
π
π
3
2π
3
−2π
3−π
3
π
6
π
2
5π
6
−5π
6
−π
2
−π
6
π
4
π
2
3π
4
π
−3π
4
−π
2
−π
4
Bien sûr, on pourrait placer les points correspondant à n’importe quel réel, mais c’est un peu moins pratiquea.
d. Le radian
Soit Cle cercle trigonométrique (de rayon 1).
Soit  RST un angle géométrique ; on effectue la translation de vecteur −−→ SO de cet angle : on obtient l’angle  R′OT′, qui est de même
mesure que  RST.
Soient A et M les points d’intersection respectifs des demi-droites [OR′) et [OT′) avec le cercle C. On a alors  RST = R′OT′= AOM
aEssayez donc de couper une galette des Rois en p2 parts...
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008

II -. SINUS ET COSINUS 3
R
S
T
R′
T′
O
A
M
Définition 2 Radian
La mesure en radians de l’angle géométrique  RST est égale à la longueur de l’arc  AM
Demandez aux latinistes l’étymologie du mot radian...
Correspondance entre degrés et radians
Il y a proportionnalité entre la mesure des angles en degrés et mesure en radians ; il faut juste retenir que 180 degrés corres-
pondent à πradians et on retrouve alors facilement que le coefficient de proportionnalité vaut...
Mesure en degrés 180 30 45 60 90 360
Mesure en radians π π/6π/4π/3π/22π
II - Sinus et cosinus
a. Définitions
Nous venons de voir qu’il est simple de repérer des points associés à des sous-multiples de π, moins pour les autres.
Pour y remédier, nous allons revenir à notre bon vieux système d’abscisses et d’ordonnées.
0I
J
sin(x)
cos(x)
x
Pour les désigner, nous allons choisir des petits noms qui sonnent bien, par exemple...sinus et cosinus ! Ces noms vous disent-
ils quelque chose ? Pourtant au collège, vous n’aviez pas du tout parlé de radian, de droite des réels qui tourne autour d’un
cercle et autres complications.
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008

4TRIGONOMÉTRIE
Définition 3 Cosinus et sinus
Quelque soit le réel x, on appelle cosinus et sinus du réel xl’abscisse et l’ordonnée du point du cercle trigonométrique
associé à x.
On les note cos(x) et sin(x).
Y aurait-il malgré tout un lien ? Mmmmm... regardons la figure précédente de plus près...
x
0I
J
C
M
cos(x)
sin(x)
1
Pour des valeurs de xcomprises entre 0 et π/2, on retrouve le soca
du socatoa vu au collège, donc au moins il n’y a pas de contradiction
avec ce qui a été vu dans le passé.
Nous avons même vu (cf exercice 1page 9) comment calculer géomé-
triquement les lignes trigonométriques de quelques valeurs particu-
lières.
Ce petit dessin nous permet en plus de vérifier certaines propriétés
importantes. Par exemple
Propriété 1 Première formule de trigonométrie
Pour tout réel x
(cosx)2+(sinx)2=1
Remarque 11.1 : On utilise souvent la notation cos2x au lieu de (cosx)2 et de même pour le sinus.
On peut encore remarquer que
Propriété 2
Pour tout réel x,
−16cosx61 et −16sinx61
On remarquera également que les réels xet x+2πsont associés au même point, donc ont le même cosinus et le même sinus.
Propriété 3 Périodicité
Pour tout réel x,
cos(x+2π)=cos(x) et sin(x+2π)=sin(x)
Retenez les valeurs particulières suivantes
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008

II -. SINUS ET COSINUS 5
0
1
2
−1
2
π
π
3
2π
3
−2π
3−π
3
p3
2
−p3
2
π
6
π
2
5π
6
−5π
6
−π
2
−π
6
p3
2
−p3
2
1
2
−1
2
π
4
π
2
3π
4
π
−3π
4
−π
2
−π
4
p2
2
−p2
2
p2
2
−p2
2
b. Fonctions sinus et cosinus
Nous venons de voir qu’à chaque réel x, nous pouvons associer une unique valeur de cos xet sinx. Nous allons donc pouvoir
définir deux fonctions cosinus et sinus
Définition 4 Fonctions cosinus et sinus
cos : R→[−1; 1]
x7→ cosx
sin : R→[−1; 1]
x7→ sinx
Guillaume Connan, 2nde 8, 2007-2008