cours d`algèbre de LCMA3

LICENCE DE MATHÉMATIQUES
TROISIÈME ANNÉE
Unité d’enseignement LCMA 5U12
ALGÈBRE
Françoise GEANDIER
Université Henri Poincaré Nancy I
Département de Mathématiques

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Table des matières
I Anneaux ····································································· 1
1. Anneaux.
2. Sous-anneaux.
3. Relations d’équivalence - Corps des fractions d’un anneau intègre.
4. Homomorphismes.
5. Idéaux.
6. Polynômes à coefficients dans un anneau.
7. Anneaux-quotients.
II Anneaux euclidiens, principaux, factoriels······························ 17
1. Anneaux euclidiens.
2. Anneaux principaux.
3. Anneaux factoriels.
4. Théorèmes de transfert aux anneaux de polynômes.
5. Polynômes irréductibles de Z[X].
III Groupes ·································································· 31
1. Groupes.
2. Homomorphismes.
3. Sous-groupes.
4. Relations d’équivalence dans les groupes.
5. Sous-groupes distingués - Groupes-quotients.
6. Groupes-quotients de (Z,+).
7. Groupes isomorphes.
8. Groupe symétrique.

IV Groupes commutatifs finis ············································· 57
1. Somme directe de groupes.
2. p-groupes.
3. Groupes p-élémentaires.
4. Théorèmes de décomposition.
V Extensions de corps ······················································ 71
1. Extensions algébriques.
2. Corps de rupture d’un polynôme.
3. Corps algébriquement clos - clôture algébrique.
4. Corps finis.
5. Théorème de Wedderburn.

I ANNEAUX
1. Anneaux
1.1 Définition
On appelle anneau un ensemble non vide Amuni de deux lois internes +et .appelées
addition et multiplication, vérifiant les conditions suivantes :
a) ∀x, y, z ∈ A
∗x+y=y+x: commutativité de l’addition ;
∗(x+y) + z=x+ (y+z): associativité de l’addition ;
∗il existe un élément neutre pour l’addition noté 0A:∀x∈ A,0A+x=x+ 0A=x;
∗tout élément x∈ A admet un opposé noté −xappartenant à Atel que
x+ (−x) = (−x) + x= 0A.
Et aussi
b) ∀x, y, z ∈ A
∗(xy)z=x(yz): associativité de la multiplication ;
∗(x+y)z=xz +yz et z(x+y) = zx +zy : distributivité (à gauche et à droite) de la
multiplication par rapport à l’addition ;
∗il existe un élément neutre pour la multiplication noté 1A:∀x∈ A,1A.x =x.1A=x.
Si de plus la multiplication est commutative, on dit que Aest un anneau commutatif.
1.2 Exemples
∗Z,Q,R,Csont des anneaux commutatifs.
∗Nn’est pas un anneau.
∗Z[i] := {a+ib/ a, b ∈Z}est un anneau commutatif : on l’appelle l’anneau des entiers
de Gauss.
∗Pour tout n≥1, l’ensemble Z/nZest un anneau commutatif.
∗L’ensemble Mn(R)des matrices réelles carrées d’ordre nest un anneau non commutatif.
1.3 Propriétés
a) Pour tout x∈ A, l’opposé −xest unique ;
b) un anneau Aest régulier pour l’addition :
∀x, y, z ∈ A, x +z=y+z=⇒x=y;
c) ∀x∈ A,0A.x = 0A: on dit que 0Aest absorbant ;
d) ∀x, y ∈ A,−x= (−1A)x=x(−1A)et −(xy) = (−x)y=x(−y);
e) ∀x∈ A,∀n∈N, on note
nx =
nfois
z}| {
x+x+···+xet xn=
nfois
z}| {
x.x ···x
1