APPLICATIONS LINEAIRES

SYSTEMES d'EQUATIONS LINEAIRES
_________________
I - DIFFERENTES FORMES d'ECRITURE
Notations générales
Exemple
⎧ a11x1 + a12x 2 ......+ a1p xp = b1
⎪
..........
⎨
⎪a x + a x ......+ a x = b
n2 2
np p
p
⎩ n1 1
(S)
⎧2x1 + x 2 + x 3 = 4
⎨
⎩ − 3x 2 − x 3 = 3
Forme analytique
p
∑a
x = bi
i = 1,.., n
ij j
j=1
Forme analytique abrégée
⎛ x1 ⎞
⎛ 2 1 1 ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ 4⎞
⎜
⎟ x2 = ⎜ ⎟
⎝ 0 −3 −1⎠ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ 3⎠
⎝ x3 ⎠
A.x =b
nx p px 1 n x 1
Forme matricielle
p
∑x A
j
j
=b
⎛ 2⎞
⎛ 1⎞
⎛ 1 ⎞ ⎛ 4⎞
x1⎜ ⎟ + x 2 ⎜ ⎟ + x 3 ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟
⎝ 0⎠
⎝ −3⎠
⎝ −1⎠ ⎝ 3⎠
j=1
Forme vectorielle
Remarque Les vecteurs A1, A 2 ,.., A p de Rn sont les colonnes de la matrice des coéfficients A
II - THEOREME GENERAL
{
(S) a des solutions ssi b appartient à l'espace ImA engendré par A1, A 2 ,.., Ap
Si b ∈ ImA et si
Si b ∈ ImA et si
}
{A , A ,.., A } est libre, il admet une solution et une seule
{A , A ,.., A } est lié, toute solution x s'écrit sous la forme x=x
1
2
p
1
2
p
0
+ z avec x0 solution
particulière et z vecteur du noyau de A (tel que Az=0)
III - SYSTEME de CRAMER
3.1 Définition (S) est un système de CRAMER ssi
1/ n=p
2/ detA ≠ 0
(La matrice des coéfficients A est carrée)
{
}
(le système A1, A 2 ,.., Ap est libre)
3.2 Théorème Un système de CRAMER admet une solution et une seule fournie par :
xj =
det( A1, A 2 ,..., A j −1, b , A j + 1,..., Ap )
det( A1, A 2 ,..., A j − 1, A j , A j +1,..., Ap )
3.3 Exemple
⎧ x1 − x 2 + x 3 = 4
⎪ − x + x + x 4 = −2
Pour ⎨ 1 2
x + x3 − x4 = 3
⎪ 1
x
⎩ 2 − x 3 + x 4 = −3
⎛1
⎜ −1
On a : A = ⎜
1
⎜
⎝0
−1
1
0
1
0
1
1
−1
0⎞
1⎟
−1⎟
⎟
1⎠
⎛ 4⎞
⎜ −2⎟
b=⎜ ⎟
3
⎜ ⎟
⎝ −3⎠
detA=-3
x1 =
−6
det(b, A 2 , A 3 , A 4 ) −3
det( A 1, b, A 3 , A 4 )
3
=2
=
= 1; x2 =
=
= −1 ; x 3 =
det A
−3
det A
−3
−3
; x4 =
0
=0
−3
Remarque : Il est souvent plus simple de resoudre directement le système ...
3.4 Application : Matrice inverse A-1 d'une matrice carrée A d'ordre n
Définition
Une matrice carrée A est inversible ssi l'une des conditions équivalentes suivantes est réalisée :
(1) detA≠0
(2) les colonnes de A sont libres
(3) les lignes de A sont libres
(4) ∃X carrée telle que AX=Id (matrice identité d'ordre n)
(5) ∃Y carrée telle que YA=Id
La matrice X ou Y est la matrice inverse de A ; elle est notée A-1
Propriétés
[P1] Cof(A) étant la matrice des cofacteurs des éléments de A, on a A.tCof(A)=det(A) Id
[P2] Si A,B sont inversibles, tA et AB sont inversibles et on a : (tA)-1= t(A-1)
t
Calcul de A-1
Méthode 1 : on a. A -1 =
Exemple 1
a
Si ad-bc≠0, ⎛⎜
⎝c
Exemple 2
A =
⎛0
⎜1
⎜
⎝0
0 1⎞
0 0⎟
⎟
1 0⎠
b⎞
⎟
d⎠
−1
=
Cof(A)
detA
⎛⎜ d
ad − bc ⎝ − c
Cof ( A ) =
1
⎛0
⎜1
⎜
⎝0
− b⎞
a
⎟
⎠
0 1⎞
0 0⎟
⎟
1 0⎠
detA= 1 ;
Méthode 2 : On résoud le système Av =
⎛0
on résoud ⎜ 1
⎜
⎝0
Exemple 2
d'où
A
−1
=
⎛0
⎜0
⎜
⎝1
0 1⎞ ⎛ x⎞
0 0⎟ ⎜ y⎟ =
⎟⎜ ⎟
1 0⎠ ⎝ z ⎠
; (AB)-1=B-1A-1
V
⎛ X⎞
⎜ ⎟
⎜ Y⎟ on obtient
⎜ ⎟
⎝ Z⎠
A
−1
=
⎛0
⎜0
⎜
⎝1
1 0⎞
0 1⎟
⎟
0 0⎠
équivalent à A −1V = v
⎧z = X
⎧Y =
⎪
⎪
⎨x = Y ⇔ ⎨ Z =
⎪y = Z
⎪X =
⎩
⎩
x
y
z
⎛0
⇔ ⎜0
⎜
⎝1
1 0⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟
0 1⎟ ⎜ Y⎟ =
⎟
0 0⎠ ⎜ ⎟
X
⎝ Z⎠
⎛ x⎞
⎜ y⎟
⎜ ⎟
⎝ z⎠
1 0⎞
0 1⎟
⎟
0 0⎠
IV - SYSTEMES RECTANGULAIRES
Les notations sont celles de du paragraphe I
4.1 Exemple 4
⎧
⎪
⎨
⎪
⎩
x1 + x 2 − x 3 = 3
− x1 + x 2 + x 3 = 1
2x1 − x 2 − 2 x 3 = 0
3x 1 + 2 x 2 − 3x 3 = m
⎛ 1⎞
⎜ −1⎟
A1 = ⎜ ⎟
2
⎜ ⎟
⎝ 3⎠
⎛ 1⎞
⎜ 1⎟
A2 = ⎜ ⎟
−1
⎜ ⎟
⎝ 2⎠
⎛ −1⎞
⎜ 1⎟
A3 = ⎜ ⎟
−2
⎜ ⎟
⎝ −3⎠
⎛1
⎜ −1
A=⎜
2
⎜
⎝3
1 −1⎞
1 1⎟
−1 −2⎟
⎟
2 −3⎠
⎛ 3⎞
⎜ 1⎟
b=⎜ ⎟
0
⎜ ⎟
⎝ m⎠
4.2 Sous système principal
Définition 1 On appelle
rang du système de vecteurs {A1,A2,...,Ap} le nombre maximum de vecteurs d'un sous système libre
rang d'une matrice A le rang du système de ses vecteurs colonnes {A1,A2,...,Ap}
rang du système d'équation (S) le rang de la matrice A de ses coéfficients
Pour l'exemple, on a A3=-A1 et rang(S) =2
Théorème 1 Le rang d'une matrice A est l'ordre maximum d'un sousdéterminant non nul.
Définition 2 (Eléments principaux d'un système)
Soit un système dr rang r,
Toute sous matrice carrée Ar de A d'ordre r de déterminant non nul est dite principale
Le soussystème (de Cramer) de matrice de coéfficients Ar est dit principal (les colonnes de Ar sont les vecteurs
principaux; ses lignes correspondent aux équations principales)
Dans l'exemple 4, toutes les matrices carrées d'ordre 3 ont un déterminant nul ;si on considère la sous matrice
1 1⎞
⎟ ; detA2=2≠0 c'est une matrice principale à
formée des 2 premières lignes et des 2 premières colonnes A2= ⎛⎜
⎝ −1 1⎠
laquelle sont associés:
⎛ 1⎞
⎛ 1⎞
⎜ −1⎟
⎜ 1⎟
⎧ x1 + x 2 = 3 + x 3
le soussystème principal ⎨
et les vecteurs principaux A1 = ⎜ ⎟ A 2 = ⎜ ⎟
−1
2
⎩ − x1 + x 2 = 1 − x 3
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ 3⎠
⎝ 2⎠
les équations principales qui caractérisent ce système de Cramer
les inconnues principales x1 et x2;
l'inconnue non principale x3
les équations principales (les équations de ce système)
les équations non principales (les équations 3 et 4 du système (S) initial)
Remarque
Il existe en général plusieurs systèmes principaux
4.3 Résolution du système (S)
1ère étape
2ième étape
3ième étape
Elle s'effectue en 3 étapes
Recherche d'un système principal)
Résolution du système principal (de Cramer)
Vérification de la compatibilité des équations non principales
⎧ x + x = 3 + x3
Dans l'exemple, le sous système principal ⎨ 1 2
⎩ − x1 + x 2 = 1 − x 3
Reportant
ces
valeurs
dans
les
équations
non
⎧ x = 1 + x3
de Cramer admet pour solution ⎨ 1
.
⎩ x2 = 2
⎧ 2x − x − 2x 3 = 0
principales ⎨ 1 2
, on obtient
⎩3x1 + 2 x 2 − 3x 3 = m
⎧ 2(1 + x 3 ) − 2 − 2x 3 = 0
⎨3(1 + x ) + 2 * 2 − 3x = m qui sont compatibles ssi m=7. On déduit :
3
3
⎩
Si m≠7 (S) est un système incompatible de rang 2 (il n'admet pas de solution)
⎧x = 1 + x
3
⎪ 1
Si m=7 (S) de rang 2, admet les solutions ⎨x 2 = 2
; c'est un sytème à un degré de liberté
⎪ x arbitraire
⎩ 3
4.4 Théorème de compatibilité) Le sytème (S) de rang r de vecteurs principaux {P1,P2,...,Pr} admet des
solutions ssi le système {P1,P2,...,Pr, b} est lié
⎛ 1 1 3⎞
⎜ −1 1 1 ⎟
Ainsi, le système (S) est compatible ssi les colonnes de la matrice A = ⎜
⎟ sont liées.
2 −1 0
⎟
⎜
⎝ 3 2 m⎠
c'est à dire ssi b=A1+2A2 ; ce qui conduit à m=7
V - SYSTEMES HOMOGENES
5.1 Définition (S) est un système HOMOGENE ssi b=0
Conséquence : un système homogène admet toujours (au moins) la solution x=0 (dite banale !)
5.2 Exemple de système homogène rectangulaire
⎧x 1 − 2x 2 + 3x 3 = 0
⎨
⎩x 1 + x 2 − 4x 3 = 0
⎛ 1 −2 3 ⎞
A=⎜
⎟
⎝ 1 1 −4⎠
⎛ 0⎞
b=⎜ ⎟
⎝ 0⎠
Une sous matrice principale (de déterminant non nul d'ordre maximum extraite de A) est formée des 2 premières
lignes et des 2 premières colonnes, et conduit au soussystème principal :
⎧x 1 − 2x 2 = −3x 3
⎨
⎩ x 1 + x 2 = 4x 3
soit
Py=d avec
⎛ 1 −2⎞
P=⎜
⎟
⎝1 1 ⎠
⎛x ⎞
y = ⎜ 1 ⎟ inconnu
⎝x2 ⎠
−1
⎛ 53 x 3 ⎞
⎛ 1 −2⎞ ⎛ −3⎞
1 ⎛ 1 2⎞ ⎛ −3⎞
On obtient : y = P−1d = ⎜
x
x
=
=
⎟ ⎜ ⎟ 3
⎜
⎟⎜ ⎟ 3 ⎜ 7 ⎟
3 ⎝ −1 1⎠ ⎝ 4 ⎠
⎝1 1 ⎠ ⎝ 4 ⎠
⎝ 3 x3 ⎠
⎛ −3⎞
d = ⎜ ⎟x3
⎝ 4⎠
⎧ x1 = 53 x 3
⎪
On obtient : ⎨ x 2 = 73 x 3
⎪x arbitraire
⎩ 3
5.3 Système carré homogène
Théorème un système carré (n équations n inconnues) admet d'autres solutions que la solution banale x=0 ssi
detA=0
Exemple
⎧
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
= 0
λx 1 + x 2 + x 3 + x
4
= 0
x 1 + λx 2 + x 3 + x
4
x 1 + x 2 + λx 3 + x
4
x 1 + x 2 + x 3 + λx
4
= 0
= 0
⎛ λ 1 1 1⎞
⎜
⎟
1 λ 1 1⎟
⎜
A=
⎜ 1 1 λ 1⎟
⎜
⎟
⎝ 1 1 1 λ⎠
detA=(λ+3)(λ-1)3
On obtient les resultats suivants:
- Si λ≠-3 et λ≠1, le système carré de déterminant non nul est de Cramer; il admet la seule solution x=0
- Si λ=-3, le système (S) est de rang 3 à 1 dégré de liberté; il admet pour solutions
⎧ x1 = x 4
⎪ x =x
⎪ 2
4
⎨
x
=
x
4
⎪ 3
⎪⎩x 4 arbitraire
- Si λ=1, le système (S) est de rang 1 à 3 dégrés de liberté; il admet pour solutions
⎧x1
⎪
⎪
⎨
⎪
⎪⎩
= −x 2 − x 3 − x4
x 2 arbitraire
x 3 arbitraire
x 4 arbitraire