APPLICATIONS LINEAIRES

SYSTEMES d'EQUATIONS LINEAIRES
_________________
I - DIFFERENTES FORMES d'ECRITURE
Notations générales Exemple
aa a
..........
aa a
11 12 1p
n1 n2 np
xx x
xx x
p
pp
12
12
++
++
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
......
......
b
b
1
=
=
n
(S)
Forme analytique
aij
j=1
pxbi
ji
∑==1,..,
Forme analytique abrégée
2xxx
xx
123
23
4
33
++=
−−=
⎧
⎨
⎩
A . x = b
nxp px1 nx1
Forme matricielle
21 1
031 4 3
1
2
3
−−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟=⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
x
x
x
xA b
jj
j=1
p
∑=
Forme vectorielle
xx x
12 3
2
01 31 14 3
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟+−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟+−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
Remarque Les vecteurs de R
AA A
p12
,,.., n sont les colonnes de la matrice des coéfficients A
II - THEOREME GENERAL
(S) a des solutions ssi b appartient à l'espace ImA engendré par
{
}
AA A
p12
, ,..,
Si b ∈ ImA et si est libre, il admet une solution et une seule
{
AA A
p12
, ,..,
}
}
Si b ∈ ImA et si
{
est lié, toute solution x s'écrit sous la forme x=x
AA A
p12
, ,.., 0 + z avec x0 solution
particulière et z vecteur du noyau de A (tel que Az=0)
III - SYSTEME de CRAMER
3.1 Définition (S) est un système de CRAMER ssi
1/ n=p (La matrice des coéfficients A est carrée)
2/ detA ≠ 0 (le système
{}
est libre)
AA A
p12
, ,..,
3.2 Théorème Un système de CRAMER admet une solution et une seule fournie par :
xAA A bA A
AA A AA A
jjj
jjj p
=−+
−+
det(,,...,,,,...,
det( , ,..., , , ,..., )
12 1 1
12 1 1
p
)
3.3 Exemple
Pour On a : detA=-3
xx x
xxx
xxx
xxx
123
4
1242
134
3
2343
−+ =
−+ + =−
+−=
−+=−
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪Ab=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
−
−
−
−
−
1110
11 0 1
101 1
01 11
4
2
3
3

xbA A A
A
1234 3
31==
−
−=
det( , , , )
det ; xAbAA
A
21343
31== −=−
det( , , , )
det ; xx
34
6
320 30=− −==
−
=;
Remarque : Il est souvent plus simple de resoudre directement le système ...
3.4 Application : Matrice inverse A-1 d'une matrice carrée A d'ordre n
Définition Une matrice carrée A est inversible ssi l'une des conditions équivalentes suivantes est réalisée :
(1) detA≠0 (2) les colonnes de A sont libres (3) les lignes de A sont libres
(4) ∃X carrée telle que AX=Id (matrice identité d'ordre n) (5) ∃Y carrée telle que YA=Id
La matrice X ou Y est la matrice inverse de A ; elle est notée A-1
Propriétés
[P1] Cof(A) étant la matrice des cofacteurs des éléments de A, on a A.tCof(A)=det(A) Id
[P2] Si A,B sont inversibles, tA et AB sont inversibles et on a : (tA)-1= t(A-1) ; (AB)-1=B-1A-1
Calcul de A-1 Méthode 1 : on a. A= Cof(A)
detA
-1 t
Exemple 1 Si ad-bc≠0, ab
cd ad bc
db
ca
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
−
=−
−
−
11
Exemple 2 detA= 1 ;
A=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
001
100
010 Cof A()=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
001
100
010 A−=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
1010
001
100
Méthode 2 : On résoud le système
A
v
V
=
équivalent à
A
v
V
−
=
1
Exemple 2 on résoud on obtient ⇔ ⇔
001
100
010
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
=
x
y
z
X
Y
Z
z
x
y
X
Y
Z
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
Y
Z
X
x
y
z
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
010
001
100
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
=
X
Y
Z
x
y
z
d'où
A−=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
1010
001
100
IV - SYSTEMES RECTANGULAIRES Les notations sont celles de du paragraphe I
4.1 Exemple 4
xx x
xxx
xx x
xxxm
12 3
23
23
123
3
11
2120
32 3
+−=
−++=
−− =
+−=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪ AAA
123
1
1
2
3
1
1
1
2
1
1
2
3
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
−
−
−
−
Ab
m
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
−
−−
−
11 1
11 1
212
32 3
3
1
0
4.2 Sous système principal
Définition 1 On appelle
rang du système de vecteurs {A1,A2,...,Ap} le nombre maximum de vecteurs d'un sous système libre
rang d'une matrice A le rang du système de ses vecteurs colonnes {A1,A2,...,Ap}
rang du système d'équation (S) le rang de la matrice A de ses coéfficients
Pour l'exemple, on a A3=-A1 et rang(S) =2
Théorème 1 Le rang d'une matrice A est l'ordre maximum d'un sousdéterminant non nul.

Définition 2 (Eléments principaux d'un système)
Soit un système dr rang r,
Toute sous matrice carrée Ar de A d'ordre r de déterminant non nul est dite principale
Le soussystème (de Cramer) de matrice de coéfficients Ar est dit principal (les colonnes de Ar sont les vecteurs
principaux; ses lignes correspondent aux équations principales)
Dans l'exemple 4, toutes les matrices carrées d'ordre 3 ont un déterminant nul ;si on considère la sous matrice
formée des 2 premières lignes et des 2 premières colonnes A2= ; detA
11
11−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟2=2≠0 c'est une matrice principale à
laquelle sont associés:
le soussystème principal et les vecteurs principaux
xx x
xx x
1233
12
13
+=+
−+ =−
⎧
⎨
⎩AA
12
1
1
2
3
1
1
1
2
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
−
les équations principales qui caractérisent ce système de Cramer
les inconnues principales x1 et x2; l'inconnue non principale x3
les équations principales (les équations de ce système)
les équations non principales (les équations 3 et 4 du système (S) initial)
Remarque Il existe en général plusieurs systèmes principaux
4.3 Résolution du système (S) Elle s'effectue en 3 étapes
1ère étape Recherche d'un système principal)
2ième étape Résolution du système principal (de Cramer)
3ième étape Vérification de la compatibilité des équations non principales
Dans l'exemple, le sous système principal de Cramer admet pour solution .
Reportant ces valeurs dans les équations non principales , on obtient
qui sont compatibles ssi m=7. On déduit :
xx x
xx x
1233
12
13
+=+
−+ =−
⎧
⎨
⎩
xx
x113
22
=+
=
⎧
⎨
⎩
212 230
312233
xx x
xxxm
−− =
+−=
⎧
⎨
⎩
21 322
30
31 3223
3
()
()*
+−− =
++ − =
⎧
⎨
⎩
xx
xxm
Si m≠7 (S) est un système incompatible de rang 2 (il n'admet pas de solution)
Si m=7 (S) de rang 2, admet les solutions ; c'est un sytème à un degré de liberté
xx
x
x arbitraire
113
22
3
=+
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
4.4 Théorème de compatibilité) Le sytème (S) de rang r de vecteurs principaux {P1,P2,...,Pr} admet des
solutions ssi le système {P1,P2,...,Pr, b} est lié
Ainsi, le système (S) est compatible ssi les colonnes de la matrice sont liées.
A
m
=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
−
−
113
11 1
210
32
c'est à dire ssi b=A1+2A2 ; ce qui conduit à m=7

V - SYSTEMES HOMOGENES
5.1 Définition (S) est un système HOMOGENE ssi b=0
Conséquence : un système homogène admet toujours (au moins) la solution x=0 (dite banale !)
5.2 Exemple de système homogène rectangulaire
xxx
xxx
123
123
23
40
−+=
+−=
⎧
⎨
⎩
0
3
3
Ab=−
−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
123
11 4 0 0
Une sous matrice principale (de déterminant non nul d'ordre maximum extraite de A) est formée des 2 premières
lignes et des 2 premières colonnes, et conduit au soussystème principal :
xx x
xxx
12
12
23
4
−=−
+=
⎧
⎨
⎩ soit Py=d avec
Py
x
xinconnu d x=−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
12
11 3 4
1
23
On obtient : yPd x x x
x
==
−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟−
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟=⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
−
−
11
33
5
33
7
33
12
11 3 41 312 11 3 4On obtient :
xx
xx
xarbitraire
15
33
27
33
3
=
=
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
5.3 Système carré homogène
Théorème un système carré (n équations n inconnues) admet d'autres solutions que la solution banale x=0 ssi
detA=0
Exemple
λ
λ
λ
λ
xx x x
xxxx
xx x x
xx x x
12 3
123
12 3
12 3
40
40
40
40
+++ =
+++ =
++ + =
+++ =
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
A=
⎛
⎝
⎜
⎜
⎜
⎜
⎞
⎠
⎟
⎟
⎟
⎟
λ
λ
λ
λ
111
111
11 1
111
detA=(λ+3)(λ-1)3
On obtient les resultats suivants:
- Si λ≠-3 et λ≠1, le système carré de déterminant non nul est de Cramer; il admet la seule solution x=0
- Si λ=-3, le système (S) est de rang 3 à 1 dégré de liberté; il admet pour solutions
xx
xx
xx
xarbitraire
14
24
34
4
=
=
=
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
- Si λ=1, le système (S) est de rang 1 à 3 dégrés de liberté; il admet pour solutions
x xxx
x
x
x
arbitraire
arbitraire
arbitraire
123
2
3
4
=− − −
⎧
⎨
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
4