PROBABILITÉS 1. Expérience aléatoire Expérience A Expérience B

PROBABILITÉS
1. Expérience aléatoire
Expérience A
On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 4 boules rouges.
Quelle est la couleur de la boule ?
Un seul résultat est possible : "rouge". (expérience sans intérêt)
Expérience B
On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 4 boules de couleurs différentes.
Quelle est la couleur de la boule ?
Quatre résultats sont possibles mais on ne sait pas lesquels. (expérience sans intérêt)
Expérience C
On tire au hasard une boule dans une urne qui contient 3 boules rouges et 1 boule noire.
Quelle est la couleur de la boule ?
Deux résultats sont possibles : rouge ou noire
Le résultat est dû au hasard.
Définition
Une expérience est dite aléatoire lorsqu’elle vérifie les trois conditions suivantes :
— elle conduit à plusieurs résultats possibles.
— on peut décrire tous ces résultats
— le résultat obtenu est dû au hasard.
2. Evénement. Probabilité.
A) Evénement
On jette un dé à 6 faces. (expérience aléatoire)
"Obtenir le chiffre 2" est un événement. "Obtenir un chiffre pair" est aussi un événement.
Un événement est un ensemble de un ou plusieurs résultats possibles.
B) Probabilité
La probabilité d’obtenir le 2 est de 1/6
La probabilité d’obtenir un chiffre pair est de 3/6 ou 1/2.
La probabilité d’un événement est le quotient qui exprime "la chance"
que cet événement a de se réaliser.
C) Remarques
1. La probabilité d’un événement est un nombre compris entre 0 et 1.
2. La somme des probabilités de tous les résultats possibles est égale à 1.
Exemple de l’expérience C ( 2 résultats possibles )
Probabilité de tirer une boule rouge : 3/4 ; Probabilité de tirer une boule noire : 1/4
3/4 + 1/4 = 1
CQFD
3. Calculer une probabilité
A) Procédé
On tire une carte dans un jeu de 32 cartes.
Soit l’événement A « tirer un as ». Quelle est la probabilité de A ?
Chaque carte du jeu a la même probabilité d'être tirée.
4
1
p(A) =
=
32 8
p(A) =
nombre de résultats favorables à l′événement A
nombre total de résultats possibles
B) Evénement contraire
On a 10 cartons numérotés de 1 à 10. On tire un carton au hasard.
Soit l’événement A : "tirer un nombre premier"
L’événement contraire de A est A : "tirer un nombre non premier"
p(A) =
donc
4
10
=
p( A ) = 1 –
p( A ) =
2
5
( 4 nombres sont premiers : 2 / 3 / 5 / 7 )
2
5
3
5
p( A ) = 1 – p(A)
4. Probabilité et fréquence
Dans une urne, il y a des boules, les unes noires et les autres blanches.
On tire une boule. Quelle est la probabilité de tirer une boule blanche ?
Solution
On ne connaît pas le nombre de boules blanches donc on ne peut pas calculer cette probabilité
comme dans les exemples précédents.
Idée : on teste un très grand nombre de fois l’expérience ( 100 par exemple ) et on regarde la
fréquence du tirage d’une boule blanche .
Cette fréquence est . . . . . . . . .
On vérifie : Il y a . . . . boules blanches sur un total de . . . .
Donc la probabilité de tirer une boule blanche est 2/5 = 0,4.
C’est à peu près la fréquence obtenue.
Conclusion
Si on répète une expérience aléatoire un très grand nombre de fois, la fréquence d’un
événement est un nombre qui se rapproche de la probabilité de cet événement.
5. Expérience à deux épreuves
Expérience A ( expérience à une seule épreuve )
On lance 1 pièce de monnaie non truquée. Quelle est la probabilité d’obtenir pile » ?
Deux résultats possibles : F ou P
Donc la probabilité de tirer P est 1/2.
Expérience B ( expérience à deux épreuves )
On lance deux pièces de monnaie. Quelle est la probabilité d’obtenir pile et face ?
Quatre résultats sont possibles. On utilise « un arbre »
1ère pièce
P
F
2ème pièce
Résultat
P
P-P
F
P-F
P
F-P
F
F-F
Donc, 4 résultats sont possibles et deux résultats conviennent : P - F et F - P
La probabilité d’obtenir pile et face est donc de 2/4 ou 1/2.