chapitre5 1
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0$7+(0$7,48(6287,/63285/$%,2/2*,(
&KDSLWUH3ULPLWLYHV,QWpJUDWLRQ
Sandrine CHARLES (09/10/2001)
Introduction
Un exemple en Biologie
Vers d’autres sites…
1
2
3
4
Primitives
1.1
Définitions - Théorème fondamental
1.2
Primitives des fonctions usuelles
1.3
Linéarité
1.4
Fonctions composées
La notion d’intégrale
2.1
Intégrale d’une fonction
2.2
Intégrale et primitive
2.3
Premières propriétés
Intégrales et inégalités
3.1
Valeur moyenne d’une fonction sur un intervalle
3.2
Inégalités de la moyenne
3.3
Valeur absolue d’une intégrale
Méthodes de calcul exact d’intégrales
4.1
Utilisation des primitives usuelles
4.2
Intégration par décomposition en somme (linéarisation)
4.3
Changement de variable
4.4
Cas des fractions rationnelles
4.5
Cas simples de fonctions trigonométriques
4.6
Cas complexes de fonctions trigonométriques et hyperboliques
4.7
Intégrations par parties
4.8
Cas des fonctions de la forme P ( x )eα x avec P ( x ) polynôme
4.9
Compléments
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
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5
Méthodes de calcul approché d’intégrales
5.1
Méthode des rectangles
5.2
Méthode des trapèzes
5.3
Autres méthodes
6
Applications du calcul intégral
7
Exemples d’application en Biologie
7.1
Un exemple en Démographie
7.2
Un exemple en Médecine
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p2/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
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&KDSLWUH3ULPLWLYHV²,QWpJUDWLRQ
,QWURGXFWLRQ
Ce chapitre repose sur les notions abordées aux chapitres 1 à 4, en particulier le chapitre 3 sur
les dérivées. Le chapitre 5 revient sur la définition des primitives et intégrales, et donne toute
une liste de « recettes » pour le calcul d’intégrales « non élémentaires ».
Le formulaire des primitives contient une liste des plus usuelles. Il est donc obligatoire de le
connaître. Le contenu du chapitre 5 permet d’aborder des intégrales jugées au premier abord
plus difficiles. Le programme de Deug SV correspond au premier niveau de lecture de ce
cours. Pour ceux qui voudrait aller plus loin, vous trouverez au travers de nombreux liens,
matière à vous satisfaire.
8QH[HPSOHHQ%LRORJLH
Tout au long de ce chapitre, nous essaierons d’illustrer les différentes notions abordées, en
traitant un exemple d’application en Médecine, dans lequel intervient la fonction suivante :
f (t ) = 3e −0.1t
f est définie sur l’intervalle [0; 20] et relie la quantité d’un certain médicament dans le sang
après injection au temps t, pendant une période de 20h qui suit l’injection.
9HUVG·DXWUHVVLWHV«
http://perso.wanadoo.fr/math.15873/primitives.htm
3ULPLWLYHV
Dans tout le chapitre 5, I désignera un intervalle fermé (ou segment) de \ .
'pILQLWLRQV7KpRUqPHIRQGDPHQWDO
Définition (primitive sur un intervalle) :
Soit une fonction f : I → \ . On dit que F : I → \ est une primitive de f sur I si F est
dérivable sur I, et si ∀x ∈ I F ′ ( x ) = f ( x ) .
Exemple 1
Un exemple en Biologie
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p3/27 -
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Proposition (primitives d’une même fonction) :
Soit une fonction f : I → \ admettant une primitive F sur I. La fonction G : I → \ est aussi
une primitive de f sur I si et seulement si il existe une constante C ∈ \ telle que ∀x ∈ I ,
G (x ) = F (x ) + C .
Remarque : Une fonction ne peut pas avoir une seule primitive ; il est donc « interdit » de
parler de la primitive d’une fonction.
Démonstration
Exemple 3
Conséquence (primitive prenant une valeur donnée en un point) :
Soit une fonction f : I → \ admettant une primitive F sur I. Soient x0 ∈ I et y0 ∈ \ .
Il n’existe qu’une seule primitive G de f telle que G ( x0 ) = y0 ; elle est donnée par
G = F − F ( x0 ) + y0 .
En particulier, H = F − F ( x0 ) est l’unique primitive de f sur I qui s’annule en x0 .
Remarque : La formule H = F − F ( x0 ) peut paraître troublante…en effet, H est une fonction
bien définie et F est une quelconque des primitives de f : quel que soit le choix de F, H reste
inchangée.
Exemple 4
Un exemple en Biologie
Théorème fondamental :
Si f : I → \ est une fonction continue, alors elle admet une primitive (donc une infinité).
3ULPLWLYHVGHVIRQFWLRQVXVXHOOHV
Le formulaire des primitives vous propose une liste de primitives des fonctions usuelles, qu’il
est impératif de connaître par cœur.
Exemples 5
¹ Nous allons voir dans la suite que la plupart des théorèmes que nous avons démontré pour
la dérivation (chapitre 3) fournissent des théorèmes sur les primitives.
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p4/27 -
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/LQpDULWp
Nous avons vu que si f et g sont dérivables sur I, alors ∀α , β ∈ \ la fonction h = α f + β g
est dérivable sur I avec h′ = α f ′ + β g ′ (cf. chapitre 3, § 4.1).
Il en découle la proposition suivante :
Proposition :
Soient f et g deux fonctions définies sur un même intervalle I et admettant des primitives. Si F
est une primitive de f et G une primitive de g, alors, ∀α , β ∈ \ , la fonction α F + β G est une
primitive sur I de la fonction α f + β g .
Cette proposition découle directement des propriétés de dérivation d’une somme de fonctions
et du produit d’une réel par une fonction (Chapitre 3, § 4.1).
Exemple 6
)RQFWLRQVFRPSRVpHV
Nous avons également vu au chapitre 3 ( § 4.3) que si u est dérivable sur I et G dérivable sur
′
J, alors G D u est dérivable sur I et que ∀x ∈ I , G (u ( x )) = u′ ( x )G′ (u ( x )) .
(
)
La proposition suivante découle donc directement du théorème de dérivation des fonctions
composées :
Proposition :
Soient u une fonction dérivable sur un intervalle I, et g une fonction définie sur intervalle J tel
que ∀x ∈ I , u ( x )∈ J .
Si g admet une primitive G sur J, alors une primitive sur I de la fonction définie par
f ( x ) = u′ ( x )× g (u ( x )) est la fonction F définie par F ( x ) = G (u ( x )) .
Ce théorème, appliqué lorsque g est une fonction usuelle, permet de rechercher les primitives
de nombreuses fonctions f dérivables sur I. Exemple 7.
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p5/27 -
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/DQRWLRQG·LQWpJUDOH
,QWpJUDOHG·XQHIRQFWLRQ
Soit f : I → \ une fonction admettant une primitive sur I.
Soient F et G deux primitives de f sur I. Alors, ∀x ∈ I G ( x ) = F ( x ) + C avec C ∈ \ .
Ainsi, ∀a, b ∈ I G (b ) − G (a ) = F (b ) + C − F (a ) − C = F (b ) − F (a ) .
Ce nombre est donc indépendant du choix de la primitive.
Définition 1 :
Soit f : I → \ une fonction admettant une primitive sur I et F l’une d’entre elles.
Soient a, b ∈ I . Alors le nombre F (b ) − F (a ) est appelé intégrale de f sur [a, b] .
Remarque : On peut remarquer que F (b ) − F (a ) ne dépend pas du choix de la primitive F
parmi l’infinité des primitives de f.
Interprétation géométrique
Considérons la fonction f définie sur [a, b ] = [1;3] par f ( x ) = − x 2 + 6 x − 3 .
Voici la courbe représentative de f :
Désignons par $ l’aire en bleu clair sous la courbe bleue.
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p6/27 -
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Découpons l’intervalle [a, b] en n intervalles plus petits de longueur ∆x =
x0 = a
x1
x2
#
xi
xi +1
#
xn = b
∀i xi +1 − xi = ∆x
(A)
(B)
avec 5 intervalles entre a et b
•
b−a
:
n
avec 15 intervalles entre a et b
On désigne alors par $ − l’expression suivante :
n −1
$ − = f (a ) ∆x + f ( x1 ) ∆x + ! + f ( xi ) ∆x + ! + f ( xn −1 ) ∆x = ∑ f ( xi )( xi +1 − xi )
i=0
⇒ $ − représente alors la somme de tous les rectangles rouges
Il est clair que $ − < $ et que $ − est d’autant plus proche de $ que ∆x est petit (Fig. A).
•
On désigne alors par $ + l’expression suivante :
n
$ + = f ( x1 ) ∆x + ! + f ( xi +1 ) ∆x + ! + f (b ) ∆x = ∑ f ( xi )( xi +1 − xi )
i =1
⇒ $ + représente alors la somme de tous les rectangles verts.
Il est clair que $ + > $ et que $ + est d’autant plus proche de $ que ∆x est petit (Fig. B).
Par conséquent $ − < $ $ + et on définit l’intégrale de f sur I par :
b
$ = lim $ = lim $ = ∫ f ( x ) dx
−
∆x → 0
+
∆x → 0
a
Remarque
dx désigne un ∆x infiniment petit : dx = lim ∆x
xi → xi+1
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p7/27 -
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Définition 2 (Intégrale et Aire) :
Soit f : [a, b ] → \ une fonction positive admettant une primitive sur [a, b] et (C) sa courbe
représentative.
L’aire du domaine (A) délimitée par :
- la courbe (C)
- l’axe des abscisses
- les droites d’équations x = a et x = b
b
est (A ) = ∫ f ( x ) dx , exprimée en unités d’aire (u.a.). Voir figure ci-dessous.
a
d’après Misset et al
.
Exemple 8
Un exemple en Biologie
Définition 3 :
Soit f : I → \ une fonction admettant une primitive sur I et F l’une d’entre elles.
L’intégrale de f sur [a, b] (définition 1) se note
b
∫ f ( x ) dx . Ainsi :
a
b
F (b ) − F (a ) = ∫ f ( x ) dx que l’on note aussi F ( x ) a
b
a
b
∫ f ( x ) dx se lit « somme de a à b de f ( x ) dx ».
a
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p8/27 -
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Historiquement, on doit une telle définition à Riemann qui donna son nom aux sommes dites
de Riemann
∑ f ( x )( x
i +1
i
− xi ) . On parle alors d’intégrale de Riemann.
i
La façon dont nous venons de définir l’intégrale d’une fonction sur un intervalle revient à
minorer ou à majorer l’intégrale par une somme de rectangles ; on parle de méthode des
rectangles. Nous verrons ultérieurement d’autres méthodes d’approximation numérique des
intégrales (chapitre 5, § 5).
b
Remarque :
∫ f ( x ) dx est un nombre réel (voir définitions 1 et 2). Pour des raisons qui restent
a
encore mystérieuses on dit que « l’on intègre f par rapport à la variable x sur l’intervalle
[a, b] ».
Bien évidemment, le symbole x n’a pas de rôle particulier (c’est une variable « muette ») et
b
b
a
a
∫ f ( x ) dx représente la même quantité que ∫ f (t ) dt
b
ou
∫ f (u ) du .
a
Conséquences des définitions 1 et 3 :
a
(i)
a
∫ f ( x ) dx = F (a ) − F (a )
a
∫
f ( x ) dx = 0
a
f ( x ) dx = − ∫ f ( x ) dx
a
(ii)
∫
b
b
a
F (b ) − F (a ) = − (F (a ) − F (b ))
Exemple 9
Un exemple en Biologie
,QWpJUDOHHWSULPLWLYH
Définition 4 :
Soit une fonction f : I → \ admettant des primitives sur I.
On note
∫ f ( x ) dx l’ensemble des primitives de f.
Exemple 10
Un exemple en Biologie
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p9/27 -
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Proposition :
Soient une fonction f : I → \ admettant des primitives sur I et x0 ∈ I .
x
La fonction F définie sur I par l’intégrale F ( x ) =
∫ f (t )dt
est l’unique primitive de f sur I
x0
qui s’annule en x0 .
Démonstration
Exemple 11
3UHPLqUHVSURSULpWpV
/LQpDULWp
Proposition :
Soient f et g deux fonctions continues sur [a, b] . ∀α , β ∈ \ :
b
b
b
a
a
a
∫ (α f + β g )( x )dx = α ∫ f ( x )dx + β ∫ g ( x )dx
Remarque :
On dit que l’intégrale d’une somme est la somme des intégrales.
Démonstration
1
1
x3 x 2
1
Exemple : ∫ ( x − x ) dx = ∫ x dx − ∫ xdx = − = −
6
3 0 2 0
0
0
0
1
1
2
1
2
6LJQHGHO·LQWpJUDOH
Propositions :
(i)
Soit f une fonction continue sur [a, b] .
Si ∀x ∈ [a, b] , f ( x ) ≥ 0 (resp. ≤ 0 ), alors
b
∫ f ( x ) dx ≥ 0 (resp. ≤ 0 ).
a
(ii)
Soit f une fonction continue sur [a, b] . Si ∀x ∈ [a, b] , f ( x ) ≤ g ( x ) , alors :
b
∫
a
b
f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx
a
Démonstration
Exemple 12
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p10/27 -
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Un exemple en Biologie
Par extension, si f, g et h sont trois fonctions intégrables sur [a, b] telles que f ≤ g ≤ h sur
b
b
b
a
a
a
[a, b] , alors ∫ f ( x )dx ≤ ∫ g ( x ) dx ≤ ∫ h ( x ) dx .
Ainsi, si on ne connaît pas de primitive de la fonction g, on peut malgré tout obtenir un
encadrement de son intégrale sur [a, b] .
5HODWLRQGH&KDVOHV
Proposition :
Soit f une fonction continue sur [a, b] . Alors ∀c ∈ [a, b] :
b
∫
a
c
b
a
c
f ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx
Ce théorème découle immédiatement de la définition de l’intégrale. F étant une primitive de f
sur [a, b] , pour tout c ∈ [a, b] , on a : F (c ) − F (a ) + F (b ) − F (c ) = F (b ) − F (a ) .
π 2
Exemple :
∫
π 2
0
cos xdx =
−π 2
∫
−π 2
cos xdx +
∫ cos xdx
0
Un exemple en Biologie
,QWpJUDOHVHWLQpJDOLWpV
9DOHXUPR\HQQHG·XQHIRQFWLRQVXUXQLQWHUYDOOH
Définition :
Soit f une fonction continue sur [a, b] ( a < b ). On appelle valeur moyenne de f sur [a, b] , le
b
1
réel µ =
f ( x ) dx .
b − a ∫a
Interprétation graphique :
Dans le cas d’une fonction positive, la valeur moyenne d’une fonction est le réel µ tel que
l’aire du rectangle de hauteur µ et de base (b-a) (rose + violet) soit égal à l’aire sous la courbe
(rose + bleu).
Les aires des domaines D1 (bleu) et D2 (violet) sont identiques.
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p11/27 -
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Exemple 13
Théorème (théorème de la moyenne) :
Soit f une fonction continue sur [a, b] ( a < b ). Il existe c ∈ [a, b] tel que :
b
∫ f ( x ) dx = (b − a ) f ′ (c )
a
,QpJDOLWpVGHODPR\HQQH
Propositions :
Soit f une fonction admettant des primitives sur [a, b] .
b
(i)
Si m ≤ f ≤ M , alors m (b − a ) ≤ ∫ f ( x ) dx ≤ M (b − a ) .
a
b
(ii)
Si f ≤ M , alors
∫ f ( x )dx ≤ M b − a .
a
Démonstration
Interprétation graphique :
Voir figure ci-dessous
Dans le cas d’une fonction positive sur [a, b] et m > 0 , l’inégalité de la moyenne (i) traduit le
fait que l’aire du domaine D (
base (b – a) (
+
) comprise entre l’aire du rectangle de hauteur m et de
), et l’aire du rectangle de hauteur M et de même base (
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p12/27 -
).
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Remarque :
L’inégalité de la moyenne (i) correspond en fait à l’inégalité des accroissements finis
appliquée à l’intégrale fonction de sa borne supérieure, définie par F ( x ) =
x
∫ f ( x )dx .
x0
9DOHXUDEVROXHG·XQHLQWpJUDOH
Proposition :
Soit f une fonction continue sur [a, b] . On a alors :
b
∫
a
b
f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx .
a
0pWKRGHVGHFDOFXOH[DFWG·LQWpJUDOHV
8WLOLVDWLRQGHVSULPLWLYHVXVXHOOHV
Le plus souvent le calcul d’une intégrale se ramène à la recherche d’une primitive.
b
Ainsi, le calcul de
∫ f ( x ) dx
revient généralement à justifier l’existence d’une primitive F de
a
f sur
[a, b] ,
puis à calculer F à l’aide du tableau des primitives usuelles ; on a alors
b
immédiatement
∫ f ( x )dx = F (b ) − F (a ) .
a
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p13/27 -
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2
Exemple 14 : Calculer
∫ xe
x2 2
dx .
Réponse.
−1
,QWpJUDWLRQSDUGpFRPSRVLWLRQHQVRPPHOLQpDULVDWLRQ
On a vu précédemment (Chapitre 5, § 2.3.1) que :
b
b
b
a
a
a
∫ (α f + β g )( x )dx = α ∫ f ( x )dx + β ∫ g ( x )dx
Par généralisation, on obtient aisément que :
n
n
λ
f
x
dx
λk ∫ f k ( x ) dx
=
∑
k k ( )
∫a ∑
k =1
k =1
a
b
b
1
Exemple d’utilisation 15 : Calculer ∫ x −
dx .
x
1
2
Réponse.
&KDQJHPHQWGHYDULDEOH
&DVJpQpUDOGHVLQWpJUDOHV
Théorème :
Soient φ : [a, b ] → \ une fonction de classe C 1 (continue et telle que ) strictement monotone
et f : φ (a ), φ (b ) → \ une fonction continue sur φ (a ), φ (b ) . Alors :
φ (b )
∫
φ (a )
b
f ( x ) dx = ∫ ( f D φ )(t )φ ′ (t ) dt
a
avec x = φ (t ) et dx = φ ′ (t ) dt .
Remarque 1 :
Dans le théorème précédent, on a φ ([a, b ]) = φ (a ), φ (b ) , c’est-à-dire que φ est bijective de
[a, b] sur
φ (a ), φ (b ) .
Remarque 2 :
Si F est une primitive de f, alors on peut écrire :
b
∫ ( f D φ )(t )φ ′ (t ) dt = (F D φ )(t )
b
a
= F (φ (b )) − F (φ (a ))
a
Cas particuliers :
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p14/27 -
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b
φ ′ (t ) dt = eφ (t )
φ (t )
∫e
a
b
φ ′ (t )
b
a
∫ φ (t ) dt = ln φ (t )
b
a
a
φ n +1 (t )
′
=
φ
t
φ
t
dt
(
)
(
)
∫a
n + 1 a
b
b
n
1
Exemple : Calculer
∫
1 − x 2 dx .
Réponse
0
$SSOLFDWLRQDXFDOFXOGHVSULPLWLYHV
Théorème :
Soient φ une fonction bijective de classe C 1 de J sur I et f une fonction continue sur I.
Si F ( x ) = ∫ f ( x ) dx (F est une primitive de f), alors :
F φ (t ) = ∫ ( f D φ )(t )φ ′ (t ) dt
Autre formulation :
Si G est une primitive de ( f D φ )φ ′ sur J, alors G D φ est une primitive de f sur I :
G ( x ) = ∫ ( f D φ )(t )φ ′ (t ) dt avec x = φ (t ) et dx = φ ′ (t ) dt
Il vient G (φ (t )) = ∫ f ( x ) dx
&KDQJHPHQWVGHYDULDEOH©SUDWLTXHVª
&RQVpTXHQFHV
X Si
∫ f ( x ) dx = F ( x ) + C , alors ∫ f (α x )dx =
Y f paire ⇒
a
∫
−a
Z f impaire ⇒
F (α x )
+ C avec α ≠ 0
α
a
f ( x ) dx = 2 ∫ f ( x ) dx
0
a
∫ f ( x ) dx = 0
−a
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p15/27 -
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[
π 2
π 2
0
0
∫ f (sin x, cos x ) dx = ∫ f (cos t ,sin t ) dt .
En effet, le remplacement de sin x par cos x ne change pas l’intégrale entre 0 et π 2 d’une
fonction de sin x et cos x . Le changement de variable correspondant est x = π 2 − t .
π 2
En particulier,
∫ sin
π 2
n
xdx =
0
\ f T-périodique ⇒
∫ cos
n
tdt .
0
a +T
T
b +T
b
a
0
a +T
a
∫ f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx ou bien encore ∫ f ( x )dx = ∫ f ( x ) dx
Exemples 21
1
x5 x3
14
(1) ∫ ( x + x − 1) dx = 2 ∫ ( x + x − 1) dx = 2 + − x = −
15
5 3
0
−1
0
1
1
4
3π 2
(2)
∫
2
4
sin (2 x ) dx
π 2
=
N
avec a =π
2
π
π
1
sin (2 x ) dx = cos (2 x ) = 0 ;
∫
2
0
20
La fonction sin (2x ) est π -périodique.
&DVGHVIUDFWLRQVUDWLRQQHOOHV
Définition :
Une fraction rationnelle se présente sous la forme
P (x )
Q (x )
où P ( x ) et Q ( x ) sont des
polynômes à coefficients dans \ (ou ^ ).
Sauf cas particuliers (qui confirment que la première méthode à essayer doit toujours être le
changement de variable), par exemple :
3x2 + 2 x − 1
u′
3
2
∫ x3 + x 2 − x dx = ∫ u dx = ln x + x − x + C
l’intégration des fractions rationnelles nécessite la décomposition de la fraction en éléments
simples. Cette dernière repose sur la connaissance des racines des polynômes P et Q.
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p16/27 -
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'pFRPSRVLWLRQHQpOpPHQWVVLPSOHV
¾Si d ° (Q ) ≤ d ° ( P ) , on peut effectuer la division euclidienne de P ( x ) par Q ( x ) suivant
les puissances décroissantes pour faire apparaître une partie entière, qui est un polynôme
en x, et une nouvelle fraction rationnelle
P1 ( x )
Q (x )
où d ° (Q ) ≥ d ° (P1 ) .
On effectue dans ce cas une décomposition en éléments simples de
P1 ( x )
Q (x )
.
¾Si d ° (Q ) ≥ d ° ( P ) , et α i étant l’ordre de multiplicité de la racine réelle xi , β i celui des
deux racines complexes conjuguées de x 2 + pi x + qi = 0 avec pi2 − 4qi < 0 , alors :
P (x )
Ai
Bi x + Ci
=∑
+∑
γi
Q (x )
( x − xi )
(x2 + p x + q
i
i
)
δi
avec 1 ≤ γ i ≤ α i et 1 ≤ δ i ≤ β i
Les sommes sont prises pour chacune des racines réelles et des couples de racines
complexes conjuguées.
Cette décomposition s’appelle la décomposition en éléments simples de
Exemple 22 : Décomposer en éléments simples
P (x )
Q (x )
=
dx
∫ ( x − x )γ
Q (x )
1
.
x −x
.
Réponse
4
,QWpJUDWLRQG·XQpOpPHQWVLPSOHGHODIRUPH ∫
Il s’agit de calculer
P (x )
dx
( x − x0 )
γ
pour γ entier ≥ 1 .
0
Deux cas peuvent se présenter :
(1) γ = 1 :
dx
∫ ( x − x ) = ln x − x
+C
0
0
(2) γ ≠ 1 :
dx
∫ ( x − x )γ = ∫ ( x − x )
−γ
0
0
Exemple 23 : Calculer
( x − x0 )
dx =
1−γ
1− γ
+C
3x + 1
dx .
2
−1
∫x
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p17/27 -
Réponse
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
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,QWpJUDWLRQG·XQpOpPHQWVLPSOHGHODIRUPH
Il s’agit de calculer F ( x ) = ∫
(x
Ax + B
+ px + q )
δ
2
(x
Ax + B
2
+ px + q )
δ
dx pour δ entier ≥ 1 , avec p 2 − 4q < 0 .
Le mieux est de procéder selon les quatre étapes suivantes :
(0) S’armer de patience… !
(1) Faire apparaître dans Ax + B la dérivée de x 2 + px + q :
Ax + B =
A
Ap
(2 x + p ) + B −
2
2
A
2x + p
Ap
dx
dx + B −
∫ 2
δ
∫
2
2 ( x + px + q )
2 ( x + px + q )δ
Ainsi, F ( x ) =
C’est-à-dire F ( x ) =
du
∫ uδ
A du
dx
+ λ∫
δ
δ
∫
2 u
(x 2 + px + q )
est l’intégrale d’un élément simple de la forme précédente (voir § 4.4.2).
∫
Reste donc à calculer
(x
dx
2
+ px + q )
δ
(2) Décomposer x 2 + px + q en une somme de carrés :
2
p
p2
p
p2
2
2
> 0 ( p 2 − 4q < 0 )
x + px + q = x + + q −
= t + k où t = x + et k = q −
2
4
2
4
2
∫
(x
dx
2
+ px + q )
δ
(3) Calculer
∫
(t
=∫
(t
dt
2
+ k2 )
δ
dt
2
+ k2 )
Si δ = 1 , alors
δ
∫t
2
dt
1
t
= arctan
2
+k
k
k
Si δ ≠ 1 , alors on pose tan u =
∫
(t
dt
2
+k
t
t
soit u = arctan . Ainsi, on obtient :
k
k
(1 + tan u ) du = k cos
∫ 1 + tan u
∫
(
)
2
)
2 δ
=k
1− 2δ
2
δ
1− 2δ
2δ − 2
udu
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p18/27 -
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S. Charles (09/10/2001)
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∫ cos
2δ − 2
udu s’obtient par linéarisation et/ou changement de variable (§ 4.3.).
(4) Rassembler tous les résultats intermédiaires précédents pour calculer F ( x ) .
Exemple 24 : Calculer
∫x
2
x+2
dx .
+ x +1
1
Exemple 26 : Calculer I = ∫
0
Réponse
dx
.
x + 1− x
Réponse
,QWpJUDWLRQG·XQHIRQFWLRQUDWLRQQHOOHGH sin x HW cos x &DVVLPSOHVGHIRQFWLRQVWULJRQRPpWULTXHV
Soit f une fonction trigonométrique de la forme f ( x ) = sin p x cos q x . Le changement de
variable qui doit être utilisé va dépendre de la parité de p, q.
On cherche à calculer : F ( x ) = ∫ sin p x cos q xdx
On pose t = sin x
Cas n°1 : q est impair
q −1
F ( x ) = ∫ sin p x cos q xdx = ∫ sin p x cos q −1 x cos xdx = ± ∫ t p (1 − t 2 ) 2 dt
Exemple : ∫ cos5 xdx = ∫ (1 − t 2 ) dt = t −
2
+ si cos x > 0
− si cos x < 0
2t 3 t 5
2sin 3 x sin 5 x
+ + C = sin x −
+
+C
3
5
3
5
On pose t = cos x
Cas n°2 : p est impair
⇒ même principe que dans le cas n°1.
Exemple : ∫ sin 3 x cos 4 xdx = ∫ (t 2 − 1)t 4 dt =
t7 t5
cos7 x cos5 x
− +C =
−
+C
7 5
7
5
Cas n°3 : p et q sont pairs et positifs
On diminue le degré en utilisant les formules :
sin 2 x =
1 − cos 2 x
1 + cos 2 x
et cos 2 x =
2
2
On recommence alors comme précédemment avec sin r 2 x et cos s 2 x .
Exemple : ∫ cos 4 xdx =
1
sin 4 x sin 2 x 3 x
+
+ +C
(cos 4 x + 4 cos 2 x + 3)dt =
∫
8
32
4
8
Cas n°4 : p et q sont pairs (ou impairs), l’un au moins étant négatif
On pose t = tan x
Exemple d’application du § 4.5 :
cos3 x
Calculer I1 = ∫ 4 dx
sin x
Réponse
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p19/27 -
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&DVFRPSOH[HVGHIRQFWLRQVWULJRQRPpWULTXHVHWK\SHUEROLTXHV
Exercice
,QWpJUDWLRQVSDUSDUWLHV
Si l’intégrale cherchée ne peut pas être obtenue par utilisation d’une primitive usuelle, il peut
être commode de la transformer en une ou plusieurs autres intégrales que l’on sait calculer.
Cette méthode n’est à utiliser que si toutes les autres méthodes ont échoué.
,QWpJUDWLRQSDUSDUWLHV
Proposition :
Soient u ( x ) et v ( x ) deux fonctions dérivables sur un même intervalle [a, b] et f une fonction
continue sur [a, b] telle que f ( x ) = u ( x ) v′ ( x ) . Alors :
b
∫
a
b
b
f ( x ) dx = ∫ u ( x )v′ ( x ) dx = u ( x )v ( x ) a − ∫ u ′ ( x )v ( x ) dx
b
a
a
Remarque :
Cette technique permet dans la pratique d’intégrer ou de simplifier certaines intégrales où
f ( x ) est le produit d’une fonction u de dérivée simple et d’une fonction w facile à
intégrer ; dans ce cas, on prendra v′ = w .
1
Exemple 16 : Calculer
∫
0
x
dx .
x +1
Réponse.
Cas particuliers
Exemples 17
2
Calculer
∫x
2
ln xdx
Réponse
∫ ( x + 2 )sin xdx
Réponse
1
π
Calculer
0
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p20/27 -
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,QWpJUDWLRQSDUSDUWLHVVXFFHVVLYHV
Proposition :
Soient u ( x ) et v ( x ) deux fonctions de classe C n sur un même intervalle [a, b] . On a alors
l’égalité suivante :
b
n −1
k (k )
n
(n − k )
u
x
v
x
dx
=
(
)
(
)
( x ) + (−1) ∫ u (n ) ( x )v ( x ) dx
∑ (−1) u ( x )v
∫a
k =0
a
a
b
(n )
b
•
b
b
Si n = 2 , alors ∫ u ( x )v′′ ( x ) dx = u ( x )v′ ( x ) − u ′ ( x )v ( x ) a + ∫ u ′′ ( x )v ( x ) dx
b
a
a
b
•
b
Si n = 3 , alors ∫ u ( x )v′′′ ( x ) dx = u ( x )v′′ ( x ) − u ′ ( x )v′ ( x ) + u ′′ ( x )v ( x ) a − ∫ u ′′′ ( x )v ( x ) dx
b
a
a
La démonstration de cette proposition se fait par récurrence.
Exemple 18
0
Calculer I = ∫ x 2 1 − xdx par deux intégrations successives puis en appliquant l’égalité de la
−1
proposition précédente. Vérifier que les résultats sont identiques.
Réponse
&DVGHVIRQFWLRQVGHODIRUPH P ( x )eα x DYHF P ( x ) SRO\Q{PH
On cherche ici à calculer F ( x ) = ∫ P ( x )eα x dx
Lorsque le degré de P est petit, on peut utiliser des intégrations par parties successives (en
nombre égal au degré de P), en posant u ( x ) = P ( x ) .
Par contre, si le degré de P est élevé, il est recommandé d’utiliser une méthode de coefficients
indéterminés, c’est-à-dire que l’on cherche F ( x ) = Q ( x )eα x avec deg Q = deg P .
Exemple 29 : Calculer I = ∫ ( x3 − 2 x + 1)e− x dx
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p21/27 -
Réponse
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&RPSOpPHQWV
0pWKRGHVGHFDOFXODSSURFKpG·LQWpJUDOHV
Lorsque la primitive de f ( x ) ne peut pas être calculée de façon simple, ou que cela demande
b
des calculs trop longs, on est alors amené à calculer
∫ f ( x ) dx
de manière approchée à l’aide
a
d’une méthode numérique.
Nous présentons dans ce paragraphe les méthodes graphiques les plus classiques.
Soit f une fonction positive et intégrable sur un intervalle [a, b] et
xk + xk +1
sa courbe
2
b
représentative ; On cherche une valeur approchée de
∫ f ( x ) dx .
a
L’idée de départ, commune aux méthodes graphiques qui vont nous intéresser, est que l’on
partage l’intervalle d’intégration [a, b] en n intervalles égaux [xk ; xk +1 ] de longueur h =
avec x0 = a et xn = b .
Les points Ak ont pour coordonnées ( xk , f ( xk )) ;
Les points Bk ont pour coordonnées ( xk , 0 ) .
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p22/27 -
b−a
,
n
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On désigne par g k une approximation de la fonction f sur les intervalles [xk ; xk +1 ] .
b
Ainsi, on peut décomposer
f ( x ) dx en
∫
a
valeur approchée de I k : J k =
xk +1
∫
n −1
xk +1
k =0
xk
∑ I k avec I k =
∫ f ( x ) dx . On prend alors comme
g k ( x ) dx .
xk
Le choix de la fonction g k conduit à l’une des trois méthodes présentées ci-dessous.
0pWKRGHGHVUHFWDQJOHV
Cette méthode est directement inspirée de la définition des intégrales.
x + xk +1
On prend comme fonction g k , la fonction constante f k
qui correspond à la valeur
2
de f au point milieu de l’intervalle [xk ; xk +1 ] .
x + xk +1
Ainsi, on a J k = f k
2
xk +1
xk + xk +1
xk + xk +1
( xk +1 − xk ) = hf
.
2
2
∫ dx = f
xk
La valeur approchée de I est alors donnée par (voir figure ci-dessous) :
IJ=
b − a n −1
∑
n k =0
x + xk +1
f k
2
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p23/27 -
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Remarque : cette méthode avait déjà été présentée sous un autre point de vue au début de ce
chapitre 5 (§ 2.1).
0pWKRGHGHVWUDSq]HV
On prend comme fonction g k , la fonction affine égale à f aux points extrêmes de l’intervalle
[xk ; xk +1 ] ; graphiquement, cela revient à considérer des trapèzes au lieu des rectangles de la
figure précédente. J k est alors égale à l’aire du trapèze Ak Bk Bk +1 Ak +1 .
Ainsi J k =
h
f ( xk ) + f ( xk +1 ) , ce qui conduit à l’approximation suivante :
2
IJ=
n −1
b−a
2
f
a
+
( ) ∑ f ( xk ) + f (b )
2n
k =1
$XWUHVPpWKRGHV
Il existe de nombreuses autres méthodes : méthode du point milieu, méthode de Simpson…
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p24/27 -
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$SSOLFDWLRQVGXFDOFXOLQWpJUDO
Une des applications est celle du calcul de l’aire d’un domaine.
Prenons un exemple : on cherche à calculer l’aire du domaine D défini par :
D = {( x, y )∈ \ 2 / 0 ≤ x ≤ 1 et x 2 ≤ y ≤ x}
Dessinons d’abord le domaine D.
L’aire du domaine D correspond à la différence entre l’aire du triangle ABC (
l’aire sous la courbe de x 2 (
):
A = I1 − I 2
1
1
0
0
A = ∫ xdx − ∫ x 2 dx
1
1
x 2 x3
A= −
2 0 3 0
A=
1 1 1
− = u.a.
2 3 6
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p25/27 -
+
) et
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......................................................................................................................................................................................................
([HPSOHVG·DSSOLFDWLRQHQ%LRORJLH
8QH[HPSOHHQ'pPRJUDSKLH
L’évolution de la taille de la population du Botswana ces 25 dernières années est représentée à
l’aide des données ci-dessous :
Temps
(année)
Nombre
d’habitants
(millions)
1975
0.755
1980
0.901
1985
1.078
1990
1.285
2001
1.6
La fonction exponentielle permet de décrire cette évolution et l’on obtient la relation
suivante :
P = 0.7835e0.0291t
Si on désigne par P la taille de la population du Botswana et par t l’année ( t = 0
correspondant à 1975).
On peut ainsi calculer le temps de doublement de la population, c’est-à-dire la valeur θ de t
telle que P (t + θ ) = 2 P (t ) :
P (t + θ ) = 2 P (t )
8
0.7835e
0.0291(t +θ )
= 2 × 0.7835e0.0291t
8
e
0.0291θ
=2
8
θ 24 années
Supposons qu’en 2001, certains habitants craignent cette augmentation massive de la
population prévue d’ici 25 ans ; en effet, selon l’équation précédente, la taille de la population
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p26/27 -
Mathématiques : Outils pour la Biologie – Deug SV1 – UCBL
S. Charles (09/10/2001)
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aura doublé par rapport à celle de 2001 en 2025 pour passer à 3.2 millions d’habitants. On
peut raisonnablement imaginer que ces habitants vont alors chercher à émigrer vers d’autres
pays.
L’intégrale du taux d’émigration sur 25 ans est égal à l’émigration totale pendant cette
période.
Si on suppose qu’un quart de la population de 2001 (soit 0.4 millions d’habitants) va émigrer
ces 25 prochaines années, et si on suppose que le taux d’émigration a va augmenter de façon
linéaire pendant cette période, il vient :
25
∫ atdt =
0
1.6
4
Nous en déduisons que le taux d’émigration a est égal à : a = 0.0128 , exprimé en millions
d’habitants par an.
8QH[HPSOHHQ0pGHFLQH
Considérons la fonction f définie sur [0; 20] par :
f (t ) = 3e −0.1t
f relie la quantité d’un certain médicament dans le sang au temps t, pendant les 20h qui
suivent l’injection.
On peut calculer la quantité moyenne de médicament présente dans le sang pendant les 10
premières heures :
µ=
10
1
f (t ) dt = 3 (1 − e−1 ) 1.8964 u .
10 ∫0
- Chapitre 5 : Primitives - Intégration, p27/27 -
