Chp 4 mouvements celestes - Enseignement des Sciences

Terminale S_Thème 2_COMPRENDRE : LOIS ET MODELES
chapitre 4_Les mouvements céleste
M.Meyniel 1/6
THEME
COMPRENDRE
Sous -thème
Temps, mouvement et évolution
Chapitre 4 : LES MOUVEMENTS CELESTES
NOTIONS ET CONTENUS
COMPETENCES ATTENDUES
Mouvement d’un satellite.
Révolution de la Terre autour du Soleil.
Lois de Kepler
- Démontrer que, dans l’approximation des
trajectoires circulaires, le mouvement d’un
satellite, d’une planète, est uniforme. Etablir
l’expression de sa vitesse et de sa période.
- Connaître les trois lois de Kepler ; exploiter la
troisième dans le cas d’un mouvement circulaire.
SOMMAIRE
I. Les lois de Kepler.
1. Première loi : loi des orbites.
2. Deuxième loi : loi des aires.
3. Troisième loi : loi des périodes.
II. Applications aux mouvements célestres.
1. Rappel sur la loi de gravitation universelle.
2. Le repère de Frenet.
3. Révolution d’une planète autour du Soleil.
4. Application aux satellites géostationnaire.
ACTIVITE
Activité documentaire : Evolution des idées en astronomie
Repère de Frenet
EXERCICES
11 ; 20 p 215-219 + 15 ; 25 p 217-220
MOTS CLES
Force d’attraction gravitationnelle, lois de Kepler, mouvement uniforme et circulaire, repère de Frenet,
période de révolution, satellite géostationnaire.

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LES MOUVEMENTS CELESTES
Dans le cours précédent, nous avons vu que l’application des trois lois de la mécanique de Newton nous
permettait de connaître la trajectoire d’un objet dans un champ de pesanteur comme dans un champ électrique ainsi
que son évolution dans le temps.
Il convient, maintenant, de voir ce qu’il se passe au-delà de la surface terrestre.
Les lois de Newton s’appliquent-elles toujours en s’éloignant du centre de la Terre ?
En effet, ces connaissances sont essentielles en astronomie et pour la recherche spatiale.
Prenons l’exemple du voyage sur Mars. Le 06 août 2 012, au terme d’un voyage de plus de huit mois (la sonde spatiale
ayant été lancée le 26 novembre 2011) et après avoir parcouru 567 millions de kilomètres, le robot Curiosity s’est posé
sur le sol Martien dans le cratère Gale. Compte tenu du budget, il a fallu calculer avec une grande précision la position
de Mars, sa vitesse, sa période de révolution entre autres paramètres (composition atmosphérique, pression,
température, …) pour mener à bien ce projet.
http://www.nasa.gov/multimedia/videogallery/index.html?media_id=150378151
Nous allons donc nous intéresser, ici, aux mouvements célestes en considérant notamment ceux des satellites
autour de la Terre et des planètes autour du Soleil. Et pour cela, nous allons nous appuyer sur trois nouvelles lois
établies pour l’astronomie.
Document 1 : Evolution des idées en astronomie
* Ptolémée (grec, IIème s. av J.C) pense que la Terre est le centre du monde (système géocentrique).
* Nicolas Copernic (polonais, 1473-1543) pense que le soleil est le centre du monde (système héliocentrique).
* Johannes Kepler (allemand, 1571-1630) exploite les mesures de son maître danois Tycho Brahé et énonce 3
lois qui régissent le mouvement des planètes : les trois lois de Kepler -1606-.
* Galilée (italien, 1564-1642) défend le système héliocentrique dans son «dialogue sur les deux principaux
systèmes du monde» -1632-.
* Isaac Newton (anglais, 1642-1727) énonce la loi de la gravitation universelle -1687- qui explique aussi bien le
mouvement des astres que la chute des corps.

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I. Les lois de Kepler.
On se place donc dans un référentiel héliocentrique.
(L’origine est au centre du Soleil et les axes dirigés vers des étoiles lointaines considérés fixes.)
1. Première loi : loi des orbites.
Le centre d’une planète décrit une ellipse dont le centre du Soleil occupe l’un des foyers.
Rq : * Le cercle est un cas particulier d’ellipse dont les foyers sont confondus en son centre et a = rayon.
(Une ellipse est l’ensemble des points P tels que : PF + PS = 2a)
2. Deuxième loi : loi des aires.
Le segment reliant le centre du soleil S au centre de la planète P balaye
des aires Ai égales pendant des durées ∆t égales.
Rq : * La vitesse d’une planète n’est donc pas constante. Elle augmente en s’approchant du Soleil.
* Seule une trajectoire circulaire permet d’obtenir une vitesse constante.
3. Troisième loi : loi des périodes.
Le rapport entre le carré de la période de révolution T (temps mis par une planète pour faire le tour
de son orbite) d’une planète et le cube du demi-grand axe a de l’orbite d’une planète est constant :
Rq : * La constante K ne dépend pas de la planète considérée. Elle ne dépend que du Soleil …
* Si la trajectoire est circulaire, alors « a = r » => 
NB : Les trois lois de Kepler sont aussi valables pour le mouvement d’un satellite naturel ou
artificiel autour d’une planète. Cette dernière joue alors le rôle du soleil.
S
F
P
2a
A1
A2

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II. Applications aux mouvements célestres.
Document 2 : Rappel sur la loi de gravitation universelle
Deux corps ponctuels A et B, de masses mA et mB,
séparés d’une distance d = AB, exercent l’un sur l’autre des
forces attractives  et  telles que :
avec la constante de gravitation universelle : G = 6,67.10-11 N.m².kg-2
Rq : * Cette loi est universelle ! Elle s’applique aux corps
ponctuels et aux corps non ponctuels si la répartition de leur
masse est à symétrie sphérique et si leur dimension est négligeable
devant la distance d = AB (ce qui est le cas de tous les astres).
Rappel : Au voisinage de la Terre pour un corps de masse m, la force d’attraction gravitationnelle 
correspond au poids du système : FG = P => FG = 
  = P = m.g
=> g = 
Document 3 : Le repère de Frenet (Jean Frédéric, 1816-1900)
Pour étudier un mouvement circulaire (ou curviligne), il existe un repère permettant d’obtenir des
équations plus simple. Il s’agit d’un repère mobile lié au point G, appelé repère de Frenet ( P , ,  ) :
-  : vecteur unitaire Tangent à la trajectoire et dirigé dans le sens du mouvement,
-  : vecteur unitaire Normal à la trajectoire à .
Dans ce repère, ont pour expression :
- le vecteur-vitesse : 
- le vecteur-accélération : 
𝑭𝑨𝑩
𝑭𝑩𝑨
𝑮𝒎𝑨𝒎𝑩
𝒅𝒖𝑨𝑩
N
kg
m
A
B
𝑭𝑨𝑩
𝑭𝑩𝑨
𝑢𝐴𝐵
P
𝑡
𝑛
O
R

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1. Révolution d’une planète autour du Soleil.
 Système : {planète de masse m} dans le repère de Frenet
 Bilan des forces : - force d’attraction gravitationnelle : 
On néglige l’influence de tous les autres astres car trop éloignés ou de masse très inférieure à celle du Soleil.
 P.F.D : Dans le référentiel héliocentrique supposé galiléen : 
=>  => 
 Le vecteur-accélération  est donc radial et centripète car il s’exprime selon le vecteur  .
 Projection : 
 Le mouvement circulaire d’une planète autour du Soleil est uniforme car « 
 = 0 ».
 La vitesse a pour expression : 
 => 
Rq : * Cette vitesse dépend de la masse du Soleil mais pas celle de la planète.
* Le vecteur-accélération est radial (porté par le rayon) et centripète (dirigé vers O).
* On note que, sur le schéma,  orthogonal  soit «  . = 0 » => Le mouvement est donc uniforme.
(Cf chp 2)
Exploitation : Détermination de la période de révolution
Il s’agit de la durée d’une rotation autour du Soleil.
Pour une rotation : 
 avec d : le périmètre de l’orbite = 2.π.r
∆t : la période de révolution = T
=> 
Rq : * La période de révolution ne dépend pas non plus de la masse de la planète.
* Cette révolution se fait dans le plan de l’écliptique qui contient le centre du Soleil.
* En élevant au carré, on retrouve la 3ème loi de Kepler :  
 => 
* Si l’on connaît T et R pour une planète, on peut en déduire la masse du Soleil …
A représenter sur schéma
(cas d’une chute libre)