Géométrie différentielle élémentaire Frédéric Paulin Cours de première année de mastère

Géométrie différentielle élémentaire
Frédéric Paulin
Version préliminaire
Cours de première année de mastère
École Normale Supérieure
Année 2006-2007
1

1 Introduction
On peut considérer un objet géométrique selon plusieurs échelles, et les outils d’études
diffèrent alors :
infinitésimal ←→ algèbre linéaire et multilinéaire
local ←→ calcul différentiel
global ←→ géométrie/topologie différentielle
asymptotique ←→ géométrie asymptotique à la Gromov.
Une grande partie de ce cours sera consacré au passage de l’infinitésimal et du local au
global. Nous supposerons acquis les deux premiers points (voir par exemple [Bou1, Ave,
CarH, Die1]), et nous ne parlerons pas du dernier (voir par exemple [Gro1, Gro2]).
Dans cet ouvrage élémentaire, nous ne traiterons pas de géométrie riemannienne, ni de
géométrie symplectique, ni de géométrie de contact, qui sont traditionnellement des cours
de seconde année de mastère (voir par exemple [GHL, McDS]). Nous n’aborderons pas non
plus certains points plus avancés de géométrie différentielle, comme les fibrés principaux et
les classes caractéristiques, la transversalité et ses applications, ainsi que quelques points sur
les formes différentielles, comme la formule de Kunneth (voir par exemple [BT, Hir, God]).
Nous ne parlerons pas des variétés différentielles à bord, pourtant si utiles en topologie
différentielle (et en particulier, nous n’aborderons pas la suite exacte d’une paire en coho-
mologie de de Rham, voir par exemple [God]).
Nous mettrons l’accent d’une part sur les exemples de variétés différentielles, qu’elles
viennent en familles ou en points remarquables, d’autres part sur leurs groupes de trans-
formations, chers aux physiciens. En ce qui concerne les champs de tenseurs, nous restrein-
drons notre étude aux champs de vecteurs et aux formes différentielles. Nous n’aborderons
quasiment pas les spécificités de la géométrie différentielle complexe, pourtant si riche (voir
par exemple [Voi, Laz, BPV]). Pour les aspects de théorie de jauge et d’analyse sur les va-
riétés, qui ont eu un impact important sur la topologie des variétés, avec les travaux par
exemple de Donaldson et de Perelman, nous renvoyons aux textes [Aub, Don, Bes] par
exemple.
Nous espérons que le plaisir du lecteur dans la découverte de ces espaces (les variétés
différentielles), ces groupes (les groupes de Lie), ces champs (champs de vecteurs et formes
différentielles) sera renforcé par les très nombreux exercices et problèmes de ce recueil,
issus de trois années d’enseignements à l’École Normale Supérieure. Une partie d’entre eux
est accompagnée d’un schème 1de preuve ou d’indications de résolution, pas forcément
rédigées de manière optimales ni complètes.
Souhaitant revenir aux Éléments d’Euclide, nous dirons porisme (π´oρισµα) au lieu de
corollaire.
Remerciements. Une partie des 189 exercices et problèmes, avec leurs solutions, et de nombreuses
corrections, ont été fournis par Sébastien Gouëzel. Je l’en remercie chaleureusement. Je remercie
tous les élèves de l’ENS m’ayant signalé des incorrections dans les premières versions de ce texte.
Je remercie aussi les étudiants de l’Université Paris-Sud, dont François Delgove en 2014, pour leurs
corrections.
1. n.m. (gr. σχηµα). Structure d’ensemble d’un processus.
2

Table des matières
1 Introduction 2
2 Variétés différentielles 6
2.1 Variétés topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.2 Sous-variétés de Rn................................ 11
2.3 La catégorie des variétés différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Objets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
Flèches . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Le point de vue des faisceaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4 Exemples de variétés différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.1 Exemples triviaux, contre-exemples et culture . . . . . . . . . . . . . 19
2.4.2 Exemples familiaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
Plongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
Sommes disjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
Homéomorphismes locaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.4.3 Exemples cruciaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Les sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Les tores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
Les espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Les variétés grassmanniennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
Les groupes classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3 Fibrés vectoriels 64
3.1 Sous-espaces tangents d’une sous-variété de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.2 Fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
3.3 Fibré tangent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.4 Application tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.5 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Sous-variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Plongements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Images réciproques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Sommes disjointes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.6 Fibrations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3.7 Le fibré des formes alternées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.8 Opérations sur les fibrés vectoriels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Préimage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
Produit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3

Somme directe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.9 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
3.10 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4 Champs de vecteurs et feuilletages 92
4.1 Champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.2 Opérations sur les champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.1 Addition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.2 Multiplication par une fonction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.2.3 Restriction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.4 Image réciproque. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.2.5 Expression d’un champ de vecteurs dans une carte. . . . . . . . . . 95
4.3 Flot local d’un champ de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
4.4 Dérivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
4.5 Dérivations et champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
4.6 Crochets de champs de vecteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
4.7 Champs de plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
4.8 Feuilletages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
4.9 Théorème de Frobénius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
4.10 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
4.11 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5 Groupes de Lie et espaces homogènes 155
5.1 Groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155
Culture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159
5.2 Algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
5.3 Algèbre de Lie d’un groupe de Lie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
5.4 Champs de vecteurs invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
5.5 Application exponentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169
5.6 Sous-groupes de Lie immergés et sous-algèbres de Lie . . . . . . . . . . . . . 173
5.7 Revêtements et groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176
5.8 Espaces homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Actions continues de groupes topologiques . . . . . . . . . . . . . . . . 185
Actions différentiables de groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Espaces homogènes quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
Actions transitives de groupes de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189
Exemples de variétés homogènes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191
Variétés quotients . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.9 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
5.10 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
6 Formes différentielles 216
6.1 Formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Structure d’algèbre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 216
Image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
Différentielle extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
Produit intérieur et dérivée de Lie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
4

Gradient, divergence, rotationnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228
6.2 Cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Algèbre de cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 229
Invariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232
Suite exacte de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Calcul de la cohomologie des sphères . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
Autres calculs de cohomologie de de Rham . . . . . . . . . . . . . . . . 241
6.3 Intégration des formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Intégration dans les ouverts de Rn. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
Orientation des variétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
Intégration de formes différentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252
Le théorème de Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Régularité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
6.4 Cohomologie à support compact . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258
Invariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
Suite exacte de Mayer-Vietoris . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260
6.5 Dualité de Poincaré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262
Cohomologie de de Rham des espaces projectifs réels . . . . . . . . . . 266
6.6 Théorie du degré . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 267
6.6.1 Degré d’une application entre variétés de même dimension. . . . . . 267
6.6.2 Indice d’un champ de vecteurs en un zéro isolé. . . . . . . . . . . . . 273
6.6.3 Nombre d’enlacement. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274
6.7 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277
6.8 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290
A Annexes : rappels divers 316
A.1 Rappels de topologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 316
A.2 Rappels sur les actions de groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 320
A.3 Rappels de calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 322
A.4 Rappels sur les revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Revêtements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 327
Homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 329
Revêtements universels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 330
A.5 Rappels d’algèbre multilinéaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Algèbre tensorielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332
Algèbre extérieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333
A.6 Rappels d’algèbre homologique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Catégories, foncteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341
Complexes de cochaînes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343
A.7 Indications pour la résolution des exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348
Index 355
Bibliographie 361
5