alg`ebre et théorie de galois cours de m1 2011/12 - IMJ-PRG

ALG` EBRE ET TH´ EORIE DE GALOIS
COURS DE M1 2011/12, UNIVERSIT´
E PARIS VI
Jan Nekov´aˇr
Introduction
Ce cours comprend deux parties :
(I) Groupes, Th´eorie de Galois (semaines 1–7).
R´ef´erences : [Co] (r´ef´erence principale), [Es], [Ti 1,2], [CL], [Ga], [Ar], [Sa], [La], [Pe], [Po]
(II) Introduction `a l’alg`ebre commutative (semaines 8–12).
R´ef´erences : [Po]
Le cours va ressembler (un peu) `a mon ancien cours de Maˆıtrise de 2003/04. En particulier, les anciens
polycopi´es [Ne] pourraient ˆetre utiles.
Il y a aura un partiel portant sur les groupes ab´eliens de type fini et (les aspects calculatoires de) la th´eorie
de Galois. Les documents du cours (polycopi´es, notes de cours, notes de TD) seront autoris´es.
Le texte qui suit traite plusieurs th`emes de (I) qui n’ont pas ´et´e abord´es dans [Ne].
1. Groupes (rappels, exemples)
1.1 Groupes agissant sur des ensembles
1.1.1. D´efinition. Une action (`a gauche) d’un groupe Gsur un ensemble Xest une application
G×X−→ X
(g, x)7→ g·x
telle que
g·(g0·x) = gg0·x(∀g, g0∈G) (∀x∈X)
e·x=x(∀x∈X)
(o`u e∈Gest l’´el´ement neutre de G).
On note
XG:= {x∈X| ∀g∈G g ·x=x} ⊂ X
l’ensemble des points fixes.
Une action `a droite de Gsur Xest une application
c
Jan Nekov´aˇr 2011
1

X×G−→ X
(x, g)7→ x·g
telle que
(x·g)·g0=x·gg0(∀g, g0∈G) (∀x∈X)
x·e=x(∀x∈X).
On peut la transformer `a une action `a gauche en utilisant la formule suivante : g·x:= x·g−1.
Sauf mention au contraire, toutes les actions seront des actions `a gauche.
1.1.2. Exemple (le groupe des permutations de X) : les permutations de X
SX={f:X−→ X|fest une application bijective (= inversible)}
forment un groupe pour l’op´eration de composition (g◦f)(x) = g(f(x)), l’´el´ement neutre ´etant l’application
identit´e id = idX(id(x) = xpour tout x∈X). Le groupe SXagit naturellement sur X:f·x=f(x)
(f∈SX,x∈X).
1.1.3. Fid´elit´e. Une action de Gsur Xn’est rien d’autre qu’un morphisme de groupes α:G−→ SX
(g·x= (α(g))(x)). On dit qu’un ´el´ement g∈Gagit trivialement sur Xsi l’on a g·x=xpour tout
x∈X(⇐⇒ α(g) = id ⇐⇒ g∈Ker(α)). On dit que l’action de Gsur Xest fid`ele si Ker(α) = {e}.
Dans ce cas Gs’identifie (est isomorphe via α) `a son image α(G), qui est un sous-groupe de SX.
1.1.4. Exemple (Cayley). Gagit fid`element sur lui-mˆeme par translations `a gauche : X=G,
g·h:= gh. Par cons´equent, Gest isomorphe `a un sous-groupe de SG.
1.1.5. Conjugaison. Il y a une autre action de Gsur lui-mˆeme, celle par conjugaison : X=G,
g·h:= ghg−1. Cette action (“l’action adjointe”) n’est pas forc´ement fid`ele; le noyau du morphisme
α= Ad : G−→ SGqui d´efinit l’action (Ad(g) : h7→ ghg−1) est ´egal au centre de G:
Ker(Ad) = Z(G):={g∈G| ∀h∈G gh =hg}.
Par exemple, le groupe Gest ab´elien ⇐⇒ G=Z(G)⇐⇒ tout g∈Gagit trivialement.
1.1.6. Exemple g´eom´etrique. Soit Kun corps. Le groupe matriciel
GLn(K) = {A∈Mn(K)|det(A)6= 0}
agit fid`element sur l’espace vectoriel Kn(pour obtenir une action `a gauche, il faut qu’on consid`ere un ´el´ement
de Kncomme un vecteur colonne). En particulier, le groupe
O(n) = {A∈Mn(R)|t AA =In} ⊂ GLn(R)
agit fid`element sur Rn(pour toute matrice A∈O(n), l’application x7→ Ax (x∈Rn) est une isom´etrie qui
conserve l’origine; la r´eciproque est aussi vraie).
1.1.7. Produit (direct) de groupes. Le produit des groupes Get Hest le groupe G×H={(g, h)|g∈
G, h ∈H}(muni de l’op´eration (g1, h1)(g2, h2) = (g1g2, h1h2)). Les morphismes de groupes i:G →G×H
(i(g) = (g, eH)) et j:H →G×H(j(h) = (eG, h)) sont injectifs; on identifie G(resp., H) au sous-groupe
i(G) (resp., j(H)) de G×H. Un ´el´ement g´en´eral du produit G×Hs’´ecrit (g, h)=(g, eH)(eG, h) =
(eG, h)(g, eH) = i(g)j(h) = j(h)i(g).
1.1.8. Si Gagit sur Xpar une action qui n’est pas transitive (voir 1.3.2 ci-dessous), alors il existe une
d´ecomposition X=X1∪X2telle que Xi6=∅,X1∩X2=∅et ∀g∈G g(Xi) = Xi. Par cons´equent, l’image
du morphisme α:G−→ SXqui d´efinit l’action est contenue dans le sous-groupe suivant de SX:
{g∈SX|g(X1) = X1, g(X2) = X2}∼ −→ SX1×SX2.
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1.2. Le groupe sym´etrique, le groupe altern´e
1.2.1. Le groupe sym´etrique. Le groupe sym´etrique op´erant sur n≥1lettres est le groupe Sn
des permutations de l’ensemble X={1,2, . . . , n}. L’ordre de Snest ´egal `a |Sn|=n! = 1 ·2···(n−1) ·n.
On ´ecrit une permutation σ∈Snsous la forme
σ= 1 2 ··· n
σ(1) σ(2) ··· σ(n)!.
On peut aussi utiliser l’´ecriture cyclique, qui exprime σcomme un produit de cycles disjoints. Par
exemple, la permutation
σ= 123456
453621!∈S61−→ 4−→ 6,2−→ 5,3
est un produit de trois cycles disjoints, dont les longuers respectives sont ´egales `a 3,2,1. On ´ecrit
σ= (146)(25)(3).
Parfois, les cycles de longeur 1 sont supprim´es de la notation : on n’´ecrit que σ= (146)(25).
1.2.2. Transpositions. Une transposition est une permutation σ∈Sn(n≥2) qui ´echange deux
´el´ements de {1, . . . , n}et fixe tous les autres. Par exemple, la permutation
σ= 123456
153426!= (25)(1)(3)(4)(6) = (25) ∈S6
est une transposition.
1.2.3. Th´eor`eme-D´efinition. Soit n≥2.(1) Toute permutation σ∈Snest un produit de transpositions
σ=s1···sr(cette ´ecriture n’est pas unique).
(2) La parit´e de rne d´epend que de σ; on d´efinit la signature de σcomme sgn(σ) = (−1)r.
(3) On a ∀σ, τ ∈Snsgn(στ ) = sgn(σ) sgn(τ).
Terminologie : si sgn(σ) = +1 (resp., sgn(σ) = −1), on dit que σest une permutation paire (resp.,
impaire). Les permutations paires forment un sous-groupe Ande Snqu’on appelle le groupe altern´e
op´erant sur nlettres. L’ordre de Anest ´egal `a |An|=|Sn|/2 = n!/2.
Preuve (esquisse). (1) σest un produit de cycles (disjoints), et chaque cycle de longeur kest un produit de
k−1 transpositions : (12 ···k) = (12)(23) ···(k−1k).
(2), (3) On montre que la formule
sgn0(σ) = (−1)|{(i,j)|1≤i<j≤n, σ(i)>σ(j)}|
d´efinit une application sgn0:Sn−→ {±1}qui v´erifie ∀σ, τ ∈Snsgn0(στ) = sgn0(σ) sgn0(τ). Comme
sgn0(si) = −1, le th´eor`eme en r´esulte.
1.2.4. Exemples. (1) Le groupe S3contient trois transpositions (qui v´erifient sgn = −1)
s1= 123
132!, s2= 123 321!, s3= 123 213!=s1s2s1=s2s1s2.
Les autres ´el´ements de S3(qui forment le groupe A3) s’´ecrivent, par exemple,
e= 123
123!=s2
1=s1s1, 123
231!=s1s2=s2s1s2s1, 123 312!=s2s1=s1s2s1s2.
3

(2) La preuve de 1.2.3 montre que la signature d’un cycle de longeur kest ´egale `a (−1)k−1.
(3) Exercice. Montrer : si la notation cyclique d’un ´el´ement σ∈Sncomprend rcycles disjoints (il ne faut
pas supprimer les cycles de longeur 1), alors on a sgn(σ) = (−1)n−r.
1.2.5. Conjugaison dans Sn.(1) Un ´el´ement σ∈Snd´efinit un changement de num´erotation de
l’ensemble X={1, . . . , n}: ancien num´ero i←→ nouveau num´ero σ(i). Si τ∈Snagit sur Xselon
l’ancienne num´erotation, alors l’action dans la nouvelle num´erotation est la suivante :
nouveau j←→ ancien σ−1(j)7→ ancien τσ−1(j)←→ nouveau στ σ−1(j),
ce qui signifie que le changement de num´erotation par σse manifeste par la conjugaison par σ.
(2) Par cons´equent, deux ´el´ements σ, τ ∈Snsont conjugu´es ⇐⇒ les longeurs de cycles disjoints qui
interviennent dans la notation cyclique sont les mˆemes pour σet τ.
(3) Exercice. Expliciter les classes de conjugaison (voir 1.3.12 ci-dessous) dans S3et S4. D´eterminer la
cardinalit´e et l’ordre commun de tous les ´el´ements de chaque classe de conjugaison.
1.2.6. Sous-groupes de Sn.Si un groupe Gagit sur un ensemble fini X, un choisisant une num´erotation
de X(⇐⇒ une bijection entre Xet {1, . . . , n}, o`u n=|X|) on obtient un morphisme de groupes α:G−→
SX
∼
−→ Sn. Si l’on choisit une notre num´erotation, αsera remplac´e par un morphisme α0conjugu´e `a α
(∀g∈G α0(g) = σα(g)σ−1); voir 1.2.5(1).
En particulier, si l’action de Gsur Xest fid`ele, on peut identifier Gau sous-groupe α(G) de Sn, qui est
bien d´efini `a conjugaison pr`es. En particulier, l’exemple 1.1.4 montre que tout groupe fini Gest isomorphe
`a un sous-groupe de Sn, o`u n=|G|.
1.2.7. Exercice. Soit n≥3. (1) Montrer que le groupe Anest engendr´e par les cycles de longeur 3.
(2) Montrer qu’un sous-groupe H⊂Snd’ordre |H|=n!/2 est forc´ement ´egal `a H=An.
1.3. Orbites, fixateurs
1.3.1. Dans tout ce paragraphe, Gest un groupe agissant sur un ensemble X.
1.3.2. D´efinition. Pour un ´el´ement x∈X, on d´efinit le fixateur de x
Gx={g∈G|g(x) = x} ⊂ G
comme le sous-groupe de Gcontenant tous les ´el´ements qui fixent x; on d´efinit l’orbite de x
O(x) = {g(x)|g∈G} ⊂ X
comme l’image de xsous l’action de G. On dit que l’action est transitive (ou que “Xest un espace
homog`ene de G”) s’il n’y a qu’une seule orbite :
(∀x, y ∈X) (∃g∈G)g·x=y
(⇐⇒ (∀x∈X)O(x) = X⇐⇒ (∃x∈X)O(x) = X).
1.3.3. Proposition. Si le groupe Gest fini, alors on a, pour tout x∈X,
|G|=|O(x)|·|Gx|.
Preuve. Voir 1.3.9 ci-dessous.
1.3.4. Exemple. Lorsque G=Sn(n≥2), X={1, . . . , n}et x=n, on a O(x) = {1, . . . , n}et Gx=Sn−1,
ce qui entraˆıne, par r´ecurrence, que
|Sn|=n· |Sn−1|=n·(n−1) ···2·1 = n!
1.3.5. L’espace homog`ene G/H.Soit H⊂Gun sous-groupe de G. La relation ∼Hqui est d´efinie sur
Gpar la formule suivante
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g∼Hg0⇐⇒ ∃h∈H gh =g0
est une relation d’´equivalence. On note G/H := G/ ∼Hl’ensemble des classes d’´equivalence, et gH ∈G/H
la classe d’´equivalence d’un ´el´ement g∈G. Par d´efinition, on a gH ={gh |h∈H} ⊂ G.
Pour tout u∈Gon a
g∼Hg0=⇒ug ∼Hug0,
ce qui entraˆıne que Gagit sur G/H selon la r`egle u·gH = (ug)H. Cette action est transitive; le fixateur de
eH ∈G/H est ´egal `a H.
On a g∼He⇐⇒ g∈H, et la multiplication `a gauche par gd´efinie une bijection entre Het
l’ensemble des ´elements de la classe gH. En particulier, toutes les classes gH ont la mˆeme cardinalit´e, `a
savoir |H|. Il en r´esulte que l’indice de Hdans G, qui est d´efini comme (G:H) := |G/H|, est ´egal `a
|G|/|H|(si le groupe Gest fini).
Si Hest un sous-groupe distingu´e de G(c’est-`a-dire si gHg−1=Hpour tout g∈G; notation :
HCG), alors on a
g1∼Hg0
1, g2∼Hg0 2=⇒g1g2∼Hg0 1g0 2,
ce qui entraˆıne que G/H muni de l’op´eration (g1H)(g2H) := (g1g2)Hest un groupe (“le quotient de Gpar
H”), et que le noyau du morphisme naturel surjectif G−→ G/H (g7→ gH) est ´egal `a H. R´eciproquement,
le noyau de tout morphisme de groupes β:G−→ G1est un sous-groupe distingu´e de G, et l’application
gKer(β)7→ β(g) d´efinit un isomorphisme de groupes G/ Ker(β)∼ −→ Im(β); en particulier, on a |G|=
|Ker(β)|·|Im(β)|(si le groupe Gest fini).
1.3.6. D´efinition. Soit Yun autre ensemble muni d’une action de G. Une application f:X−→ Yest
dite G-´equivariante si fcommute avec l’action de G:
∀g∈G∀x∈X f(g(x)) = g(f(x)).
1.3.7. Lemme. Soient x∈Xet y∈O(x). On fixe un ´el´ement h∈Gtel que h(x) = y.
(1) O(x) = O(y).
(2) Gy=hGxh−1.
(3) {g∈G|g(x) = y}=hGx.
(4) La formule f(gGx) = g(x)d´efinit une bijection G-´equivariante f:G/Gx
∼
−→ O(x).
Preuve. Exercice (facile).
1.3.8. Exemple. Si G=SO(n) = O+(n) := {A∈O(n)|det(A) = 1}et X=Rn, alors l’orbite
(resp., le fixateur) du point x=
0
.
.
.
0
1
∈Xest la sph`ere Sn−1={y∈Rn| kyk= 1}(resp., le groupe
SO(n−1) ⊂SO(n)), ce qui nous permet d’identifier l’espace homog`ene SO(n)/SO(n−1) `a Sn−1.
1.3.9. Corollaire. Soit x∈X; pour tout y∈O(x)on fixe hy∈Gtel que hy(x) = y. On a une r´eunion
disjointe
G=a
y∈O(x){g∈G|g(x) = y}=a y∈O(x)
hyGx.
En particulier, si le groupe Gest fini, on a
|G|=X
y∈O(x)|hyGx|=X y∈O(x)|Gx|=|O(x)|·|Gx|.
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