Matrices - Université de La Rochelle

Agr´egation interne de Math´ematiques
D´epartement de Math´ematiques
Universit´e de La Rochelle
F. Geoffriau
2006-2007
Matrices
D´ efinition 1. – Matrices
Soit m, n ∈N∗. On appelle matrice m×n`a coefficients dans ktout tableau de mlignes et
ncolonnes d’´el´ements de k.
L’ensemble des matrices m×nest not´e Mm,n(k).
Une matrice n×nest appel´ee matrice carr´ee et l’ensemble des matrices n×nest not´ee
Mn(k).
Une matrice m×nsur kse note A=(aij )1!i!m,1!j!n. Le premier indice est le num´ero
de la ligne et le deuxi`eme indice le num´ero de la colonne en num´erotant les lignes de haut en
bas et les colonnes de gauche `a droite.
On appelle vecteur-ligne de la matrice Atout vecteur de knde la forme (aij )1!j!n
avec i∈{1, . . . , m}et on appelle vecteur-colonne de Atout vecteur de kmde la forme
(aij )1!i!mavec j∈{1, . . . , n}.
Exemple 2. – a. Le tableau A=!1 3 2
4 1 6 "est une matrice 2 ×3.
Si A=(aij )1!i!2,1!j!3, alors a11 = 1, a21 = 4, a12 = 3, a22 = 1, a13 = 2, a23 = 6.
D´ efinition 3. – Matrices particuli` eres et ´ egalit´ e de matrices
a. On d´efinit deux matrices particuli`eres
a.. La matrice de Mn,p(k) dont tous les coefficients sont nuls est appel´ee la matrice nulle
et est not´ee 0n,p ou 0.
a.. La matrice identit´e Inde Mn(k) est d´efinie par : In=(δij )1!i,j!navec, pour tous
indices i, j ∈{1, . . . , n},δii = 1 et δij = 0 si i#=j(δij est le symbole de Kr¨onecker).
b. On a l’´egalit´e de deux matrices A=(aij )i,j et B=(bij )i,j de Mm,n(k) si
∀i∈{1, . . . , m}∀j∈{1, . . . , n}aij =bij
Exemple 4. – Les matrices !12
34
",!12
36
"et !21
34
"sont distinctes.
D´ efinition 5. – Op´ erations matricielles
On d´efinit des op´erations sur les matrices :
a. l’addition matricielle
∀A=(aij )1!i!n,1!j!m∈Mm,n(k)∀B=(bij )1!i!n,1!j!m∈Mm,n(k)
A+B=(aij +bij )1!i!n,1!j!m
b. la multiplication externe
∀λ∈k∀A=(aij )1!i!n,1!j!m∈Mm,n(k)λ·A=(λaij )1!i!n,1!j!m

– 2 – Matrices
c. le produit matriciel
∀A=(aij )1!i!m,1!j!p∈Mm,p(k)∀B=(bij )1!i!p,1!j!n∈Mp,n(k)
A·B=(cij )1!i!m,1!j!navec ∀i∈{1, . . . , m}∀j∈{1, . . . , n}cij =
p
#
k=1
aik bkj
Remarque 6. – Soit Aet Bdeux matrices. Pour que le produit matriciel AB existe, il
faut et il suffit que le nombre de colonnes de Acorresponde au nombre de lignes de B.
Exemple 7. – a. !1 5 3
4 2 6 "+!2 3 4 5 6 7 "=!3 8 7 9 8 13 "
b. 2 ·!12
34
"=!24
68
".
c. !12
34
"!1 2 3
4 5 6 "=!9 12 15 19 26 33 "
d. Le produit de !1 2 3
4 5 6 "par !12 34
"n’a pas de sens.
Proposition 8. – Le k-espace vectoriel des matrices
L’ensemble des matrices Mm,n(k)muni de l’addition et de la multiplication externe est un
k-espace vectoriel.
En particulier l’´el´ement neutre pour l’addition est la matrice nulle et l’oppos´e d’une
matrice A=(aij )i,j est la matrice −A=(−aij )i,j .
Preuve – a. La commutativit´e et l’associativit´e de l’addition r´esultent de la commuta-
tivit´e et l’associativit´e de l’addition dans k.
b. Soit A=(aij )i,j une matrice. Posons B=(−aij )i,j . Alors
A+0
m,n =(aij + 0)i,j =(aij )i,j =A, A +B=(aij −aij )i,j =0 m,n
Donc la matrice nulle est l’´el´ement neutre de l’addition et la matrice Best l’oppos´e de la
matrice A.
c. Soit A=(aij )i,j ,B=(bij )i,j deux matrices et λ,µ∈k, alors
λ·(A+B)=$λ(aij +bij )%i,j =(λaij +λbij )i,j =(λaij )i,j +(λbij )i,j =λ·A+λ·B
(λ+µ)·A=$(λ+µ)aij %i,j =(λaij +µa
ij )i,j =(λaij )i,j +(µa ij )i,j =λ·A+µ·A
(λµ)·A=(λµa
ij )i,j =λ·(µa ij )i,j =λ·(µ·A)
1·A=1·(aij )i,j = (1 aij )i,j =(aij )i,j =A
Par cons´equent, (Mm,n,+,·) est un k-espace vectoriel. !
Proposition 9. – Propri´ et´ es ´ el´ ementaires du produit matriciel
Soit A, B, C ∈Mn(k)et λ∈k. On a
AI
n=InA=A(A+B)C=AC +B C A (B+C)=AB+AC
(AB)C=A(BC)(λA)B=A(λB)=λ(AB)
Preuve – Posons A=(aij )i,j ,B=(bij )i,j et C=(cij )i,j .
F. Geoffriau

Matrices – 3 –
a. On a
AIn=(aij )i,j (δij )i,j =&n
#
k=1
aikδkj 'i,j =(aij )i,j =A
InA=(δij )i,j (aij )i,j =&n
#
k=1
δikakj 'i,j =(aij )i,j =A
b. On a
A(B+C) = (aij )i,j (bij +cij )i,j =&n
#
k=1
aik(bkj +ckj )'i,j
=&n
#
k=1
aikbkj +aik ckj'i,j =&n
#
k=1
aikbkj 'ij +&n
#
k=1
aikckj 'i,j =AB+AC
(A+B)C=(aij +bij )i,j (cij )i,j =&n
#
k=1
(aik +bik)ckj 'i,j
=&n
#
k=1
aikckj +bik ckj'i,j =&n
#
k=1
aikckj 'ij +&n
#
k=1
bikckj 'i,j =AC +BC
c. On a
(AB)C=&n
#
k=1
aikbkj 'ij (cij )i,j =&n
#
!=1
n
#
k=1
aikbk!c!j'ij
A(BC) = (aij )i,j &n
#
!=1
bi!c!j'ij =&n
#
k=1
n
#
!=1
aikbk!c!j'ij
donc (AB)C=A(BC).
d. On a clairement (λA)B=A(λB)=λ(AB). !
Remarque 10. – Non commutativit´ e du produit matriciel
Le produit matriciel n’est pas commutatif. Par exemple,
!10
00
"·!01
00
"=!01
00
"et !01
00
"·!10
00
"=!00
00
"
et le produit de deux matrices non nulles peut ˆetre nul.
D´ efinition 11. – Matrice inversible
On dit qu’une matrice A∈Mn(k) est une matrice inversible s’il existe une matrice
B∈Mn(k) telle que AB =BA=In.
L’ensemble des matrices inversibles, not´e GLn(k), est appel´e le groupe lin´eaire.
Remarque 12. – Il existe des matrices non nulles de Mn(k) non inversibles.
Proposition 13. – Inverse d’une matrice
a. Soit A∈Mn(k)une matrice inversible. Il existe alors une unique matrice B∈Mn(k)telle
que
AB =BA=In
elle est not´ee A−1et est appel´ee matrice inverse de A. C’est une matrice inversible d’inverse
A.
F. Geoffriau

– 4 – Matrices
b. Soit A, B ∈Mn(k)deux matrices inversibles. Le produit AB est alors inversible et
(AB)−1=B−1A−1
Preuve – a. Supposons qu’il existe B, C ∈Mn(k) telles que AB =BA =Inet
AC =CA =In. Alors
B=BIn=B(AC) = (BA)C=InC=C
Il est clair que A−1est une matrice inversible et que (A−1)−1=A.
b. On a
(AB)(B−1A−1)=A(BB−1)A−1=AInA−1=AA−1=In
(B−1A−1)(AB)=B−1(A−1A)B=B−1InB=B−1B=In
Donc AB est alors inversible d’inverse B−1A−1.!
D´ efinition 14. – Application lin´ eaire et matrice
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels de dimension finie de bases respectives e=(e1, . . . , ep)
et f=(f1, . . . , fn) et soit u∈L(E, F ).
Pour tout j∈{1, . . . , p}, il existe des coefficients uniques a1j, . . . , anj ∈ktels que
u(ej)=
n
#
i=1
aij fi
La matrice (aij )1!i!n,1!j!p∈Mn,p(k) est appel´ee la matrice associ´ee `a l’application
lin´eaire urelativement aux bases eet fet est not´ee mat(u;e, f).
Si E=F, on peut prendre e=fet on note mat(u;e) la matrice de udans la base e.
Exemple 15. – Soit e=(e1,e
2,e 3) et f=(f1,f 2,f 3,f 4) les bases canoniques de R3et de
R4et l’application
u(
(
(
(
R3→R4
(x1,x
2,x 3)'→ (3x1+4x2−x3,x 3−2x1,x 2,x 1+x3)
Alors
u(e1)=u(1,0,0) = (3,−2,0,1) = 3f1−2f2+f4
u(e2)=u(0,1,0) = (4,0,1,0) = 4f1+f3
u(e3)=u(0,0,1) = (−1,1,0,1) = −f1+f2+f4
Donc
mat(u;e, f)= 
34−1
−2 0 1
0 1 0
1 0 1
Pour x∈E, il existe x1,x
2,x 3,y 1,y 2,y 3,y 4∈ktels que x=x1e1+x2e2+x3e3et
u(x)=y1f1+y2f2+y3f3+y4f4, et alors
y1=3x1+4x2−x3=3x1+4x2−x3
y2=x3−2x1=−2x1+x3
y3=x2=x2
y4=x1+x3=x1+x3
F. Geoffriau

Matrices – 5 –
Remarque 16. – Avec les notations de 14.
a. Les vecteurs-colonne de la matrice mat(u;e, f) sont les vecteurs coordonn´ees dans la base
fdes images par ude la base e.
b. Attention `a l’inversion, nest la dimension de Fet pla dimension de E.
c. La matrice de idEdans la base eest la matrice identit´e Ipet la matrice de l’application
nulle de Edans Fest la matrice nulle.
Proposition 17. – Correspondance entre application lin´ eaire et matrice
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels de dimension finies de bases respectives eet f.
L’application de L(E;F)dans Mn,p(k)qui `a u∈L(E, F )associe mat(u;e, f )est une
bijection.
Preuve – La matrice d’une application lin´eaire la caract´erise enti`erement puisque l’appli-
cation lin´eaire est enti`erement d´efinie par la donn´ees des vecteurs images de la base.
Et inversement, la donn´ee de pvecteurs g1, . . . , gpde Fd´eterminent une (unique)
application lin´eaire utelle que u(e1)=g1, . . . , u(ep)=gp, donc on peut associer `a toute
matrice M∈Mn,p(k) une application lin´eaire u∈L(E, F ) telle que M= mat(u;e, f). !
Remarque 18. – Soit Eet Fdeux espaces vectoriels de dimension finie de bases respectives
e=(e1, . . . , ep) et f=(f1, . . . , fn), soit u∈L(E, F ). On pose A= mat(u;e, f)=
(aij )1!i!n,1!j!p.
Soit x∈E, il existe x1, . . . , xn,y
1, . . . , yp∈ktels que x=x1e1+· · · +xpepet
u(x)=y1f1+· · · +ynfn, alors on a
y1
.
.
.
yn
=
a11x1+· · · +a1pxp
.
.
.
an1x1+· · · +anpxp
=
a11 · · · a1p
.
.
..
.
.
an1· · · anp
x1
.
.
.
xp
Proposition 19. – Somme et produit par un scalaire
Soit Eet Fdeux espaces vectoriels de dimension finie de bases respectives eet f. Soit
u, v ∈L(E, F )et λ∈k, on a
mat(u+v;e, f) = mat(u;e, f) + mat(v;e, f) et mat(λu;e, f)=λmat(u;e, f)
Preuve – Notons e=(e1, . . . , ep) et f=(f1, . . . , fn). On pose mat(u;e, f) = (aij )ij et
mat(v;e, f) = (bij )ij . Pour j∈{1, . . . , p}, on a
u(ej)=
n
#
k=1
aij fiet v(ej)=
n
#
k=1
bij fi
donc
(u+v)(ej)=u(ej)+v(ej)=
n
#
k=1
aij fi+
n
#
k=1
bij fi=
n
#
k=1
(aij +bij )fi
(λu)(ej)=λu(ej)=λ
n
#
k=1
aij fi=
n
#
k=1
λaij fi
Ainsi mat(u+v;e, f) = (aij +bij )ij =(aij )ij +(bij )ij = mat(u;e, f) + mat(v;e, f) et
mat(λu, ;e, f) = (λaij )ij =λ(aij )ij =λmat(u;e, f). !
F. Geoffriau