Diviseurs – PGCD

Diviseurs – PGCD
EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances
Capacités
Commentaires
2. Nombres et calculs
− Connaître et utiliser un algorithme
donnant le PGCD de deux entiers
(algorithme des soustractions, algorithme
des soustractions, algorithme d’Euclide).
− Calculer le PGCD de deux entiers.
2.1 Nombres entiers
et rationnels
Diviseurs communs à deux
entiers, PGCD.
− Déterminer si deux entiers donnés sont
premiers entre eux.
− Simplifier une fraction donnée pour
la rendre irréductible.
Fractions irréductibles.
Plusieurs méthodes peuvent être envisagées.
La connaissance de relations arithmétiques entre
nombres − que la pratique du calcul mental à permis de
développer − permet d’identifier des diviseurs communs
de deux entiers.
Le recours à une décomposition en produits de facteurs
premiers est possible dans des cas simples mais ne doit
pas être systématisée.
Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul formel
sont exploités.
Dans le cadre du socle commun, les élèves utilisent
leur calculatrice pour rendre irréductible une fraction
donnée.
Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des
compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font
pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les
élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.
Ouverture
On peut paver le rectangle de dimensions 21 × 15
avec 35 carrés rouges de côté 3.
• On peut paver un rectangle de dimensions 14 × 18
avec 63 carrés de côté 2.
• On peut paver un rectangle de dimensions 25 × 35
avec 35 carrés de côté 5.
Je prends un bon départ
d. Les diviseurs positifs de 27 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27.
e. Les diviseurs positifs de 54 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ;
18 ; 27 ; 54.
13 1. a.
18 3
=
24 4
81 9
=
45 5
8×5 5
2. a.
=
8×4 4
3 × 10
d.
=1
5×6
d.
35 5
=
14 2
55 5
e.
= .
22 2
2× 9 2
=
b.
27
3
6×7 7
e.
= .
3×8 4
b.
c.
26 13
=
44 22
c.
7×2 1
=
4×7 2
QCM
2 B
3 A
4 B
5 C
6 B
7 B
8 A
9 C
10 B
11 a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER
Diviseur
Nombre
567
144
2 316
1 548
780
2
3
4
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Activités
(ANNEXE 1)
5
9
10
X
X
X
X
X
12 a. Les diviseurs positifs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;
6 ; 8 ; 12 ; 24.
b. Les diviseurs positifs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35.
c. Les diviseurs positifs de 40 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ;
10 ; 20 ; 40.
28
1
SC3
Objectifs
− Revoir la définition d’un diviseur.
− Découvrir la notion de plus grand diviseur commun.
− Découvrir la définition de deux nombres premiers entre
eux.
1. a. 7 divise 28 car le reste de la division euclidienne
de 28 par 7 est égal à 0. (28 = 7 × 4)
b. 1 et 28 sont des diviseurs de 28 car :
28 = 28 × 1 + 0.
c. 7 est un diviseur de 42 car : 42 = 7 × 6 + 0.
2. a. • Tous les diviseurs positifs de 28 sont : 1 ; 2 ;
4 ; 7 ; 14 ; 28.
• Tous les diviseurs positifs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ;
7 ; 14 ; 21 ; 42.
b. Les diviseurs positifs communs à 28 et à 42 sont :
1 ; 2 ; 7 ; 14.
© Éditions Belin, 2012.
1 A
2
Objectifs
− Revoir la simplification d’une fraction.
− Découvrir la notion de fraction irréductible.
− Connaître la méthode permettant d’obtenir la fraction
irréductible égale à une fraction donnée à partir du PGCD
du numérateur et du dénominateur.
78 13
132 66
=
b.
=
90 15
86
43
58
29
105 7
c.
=
d.
= .
114 57
75 5
2. a. 78 et 90 ont été divisés par 6 pour obtenir la
78
fraction irréductible égale à
.
90
b. PGCD (78 ; 90) = 6.
78
c. Pour obtenir la fraction irréductible égale à
,
on a divisé 78 et 90 par leur PGCD égal à 6. 90
1. a.
d. Pour obtenir la fraction irréductible égale à une
fraction donnée, il suffit de diviser le numérateur
et le dénominateur par leur PGCD.
3. a. • PGCD (132 ; 86) = 2
• PGCD (58 ; 114) = 2
• PGCD (105 ; 75) = 15.
b. On vérifie que les fractions irréductibles égales
aux fractions proposées à la question 1 s’obtiennent
en divisant le numérateur et le dénominateur par leur
PGCD.
3
Objectifs
− Découvrir la propriété : PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a − b),
a étant plus grand que b.
− Utiliser cette propriété pour déterminer le PGCD de deux
nombres.
1. a. 4 est un diviseur de 248 et de 32 car :
248 = 4 × 62 et 32 = 4 × 8.
b. 248 − 32 = 216.
c. 4 est un diviseur de 216 car : 216 = 4 × 54.
d. On peut conjecturer que si un nombre est un
diviseur commun à deux nombres, alors il est aussi
un diviseur de leur différence.
2. a. Si d un diviseur commun à a et b, alors a et b
sont des multiples de d, d’où : il existe deux entiers n
et n’ tels que : a = d n et b = d n’.
b. a − b = d n − d n’ = d(n − n’).
c. La différence a − b est donc un multiple de d,
par conséquent d est un diviseur de a − b.
3. a. Si a − b = 0, alors a = b, d’où :
PGCD (a ; b) = a (ou b).
b. PGCD (144 ; 48) = 48
et PGCD (144 − 48 ; 48) = PGCD (96 ; 48) = 48.
c. PGCD (144 ; 48) = PGCD (96 ; 48)
= PGCD (96 − 48 ; 48) = PGCD (48 ; 48) = 48.
d. Pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers
en n’effectuant que des soustractions, il suffit de
soustraire le plus petit nombre au plus grand, puis
effectuer successivement les soustractions entre cette
différence et le plus petit terme de la différence
jusqu’à obtenir 0. Le PGCD est alors égal à la dernière
différence non nulle.
4
Objectifs
− Découvrir la propriété PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r),
r étant le reste de la division euclidienne de a par b.
− Utiliser cette propriété pour déterminer le PGCD de deux
nombres.
1. a. Le quotient de la division euclidienne de 154
par 42 est égal à 3 et le reste est égal à 28.
b. 14 est un diviseur de 154 et de 42 car :
154 = 14 × 11 et 42 = 14 × 3.
c. 14 est aussi un diviseur du reste 28 de la division
euclidienne de 154 par 42, car : 28 = 14 × 2.
d. On peut conjecturer que si un nombre est un
diviseur commun à deux nombres, alors il est aussi
un diviseur du reste de la division euclidienne du plus
grand nombre par le plus petit.
2. a. a = b × q + r, d’où : r = a − b × q.
b. Si d un diviseur commun à a et b, alors a et b sont
des multiples de d, d’où : il existe deux entiers n et n’
tels que : a = d n et d = d n’.
r = a − b × q = d n − d n’ × q = d(n − n’ q).
Le reste r est donc un multiple de d, donc d est un
diviseur de r.
3. a. Si le reste de la division euclidienne de a par b
est égal à 0, alors a est un multiple de b (ou b est un
diviseur de a).
On a alors : PGCD (a ; b) = b.
b. PGCD (154 ; 42) = 14 et PGCD (42 ; 28) = 14.
c. PGCD (154 ; 42) = PGCD (42 ; 28) = PGCD (28 ; 14)
(car 14 est le reste de la division euclidienne de 42
par 28).
Le reste de la division euclidienne de 28 par 14 est
égal à 0. 14 est donc un diviseur de 28, donc :
PGCD (28 ; 14) = 14.
d. Pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers
en n’effectuant que des divisions euclidiennes, il suffit
de diviser le plus grand nombre par le plus petit, puis
effectuer successivement les divisions du diviseur de
la division précédente par son reste jusqu’à obtenir
un reste égal à 0. Le PGCD est alors égal au dernier
reste non nul.
Chapitre
3
Diviseurs – PGCD
29
© Éditions Belin, 2012.
c. Le plus petit diviseur positif commun à 28 et à 42
est 1.
d. Le plus grand diviseur commun à 28 et à 42 est 14.
3. a. Le plus grand diviseur commun à deux nombres
égaux est égal à ces nombres.
b. Le plus grand diviseur commun à deux nombres
lorsque l’un est un multiple de l’autre est égal au plus
petit de ces deux nombres.
4. a. PGCD (25 ; 40) = 5
b. PGCD (110 ; 44) = 22
c. PGCD (30 ; 30) = 30
d. PGCD (25 ; 50) = 25.
5. a. PGCD (45 ; 32) = 1.
b. • PGCD (28 ; 63) = 7, donc 28 et 63 ne sont pas
premiers entre eux.
• PGCD (72 ; 30) = 6, donc 72 et 30 ne sont pas
premiers entre eux.
• PGCD (62 ; 35) = 1, donc 62 et 35 sont premiers
entre eux.
• PGCD (27 ; 50) = 1, donc 27 et 50 sont premiers
entre eux.
14 1. a. 182 − 117 = 65 ; 117 − 65 = 52 ;
65 − 52 = 13 ; 52 − 13 = 39 ; 39 − 13 = 26 ;
26 − 13 = 13 ; 13 − 13 = 0. D’où : PGCD (182 ; 117) = 13.
b. 728 − 630 = 98 ; 630 − 98 = 532 ; 532 − 98 = 434 ;
434 − 98 = 336 ; 336 − 98 = 238 ; 238 − 98 = 140 ;
140 − 98 = 42 ; 98 − 42 = 56 ; 56 − 42 = 14 ;
42 − 14 = 28 ; 28 − 14 = 14 ; 14 − 14 = 0.
D’où : PGCD (728 ; 630) = 14.
c. 333 − 189 = 144 ; 189 − 144 = 45 ; 144 − 45 = 99 ;
99 − 45 = 54 ; 54 − 45 = 9 ; 45 − 9 = 36 ; 36 − 9 = 27 ;
27 − 9 = 18 ; 18 − 9 = 9 ; 9 − 9 = 0.
D’où : PGCD (333 ; 189) = 9.
d. 245 − 165 = 80 ; 165 − 80 = 85 ; 85 − 80 = 5 ;
80 − 5 = 75 ; 75 − 5 = 70 ; 70 − 5 = 65 ; 65 − 5 = 60 ;
60 − 5 = 55 ; 55 − 5 = 50 ; 50 − 5 = 45 ; 45 − 5 = 40 ;
40 − 5 = 35 ; 35 − 5 = 30 ; 30 − 5 = 25 ; 25 − 5 = 20 ;
20 − 5 = 15 ; 15 − 5 = 10 ; 10 − 5 = 5 ; 5 − 5 = 0.
D’où : PGCD (245 ; 165) = 5.
2. a. 540 − 180 = 360 ; 360 − 180 = 180 ;
180 − 180 = 0. D’où : PGCD (540 ; 180) = 180.
b. 392 −161 = 231 ; 231 − 161 = 70 ; 161− 70 = 91 ;
91 − 70 = 21 ; 70 − 21 = 49 ; 49 − 21 = 28 ;
28 − 21 = 7 ; 21 − 7 = 14 ; 14 − 7 = 7 ; 7 − 7 = 0.
D’où : PGCD (392 ; 161) = 7.
c. 880 − 784 = 96 ; 784 − 96 = 688 ; 688 − 96 = 592 ;
592 − 96 = 496 ; 496 − 96 = 400 ; 400 − 96 = 304 ;
304 − 96 = 208 ; 208 − 96 = 112 ; 112 − 96 = 16 ;
96 − 16 = 80 ; 80 − 16 = 64 ; 64 − 16 = 48 ;
48 − 16 = 32 ; 32 − 16 = 16 ; 16 − 16 = 0.
D‘où : PGCD (880 ; 784) = 16.
d. 783 − 325 = 458 ; 458 − 325 = 133 ;
325 − 133 = 192 ; 192 − 133 = 59 ; 133 − 59 = 74 ;
74 − 59 = 15 ; 59 − 15 = 44 ; 44 − 15 = 29 ;
29 − 15 = 14 ; 15 − 14 = 1 ; 14 − 1 = 13 ; 13 − 1 = 12 ;
12 − 1 = 11 ; 11 − 1 = 10 ; 10 − 1 = 9 ; 9 − 1 = 8 ;
8−1=7;7−1=6;6−1=5;5−1=4;
4 − 1 = 3 ; 3 − 1 = 2 ; 2 − 1 = 1 ; 1 − 1 = 0.
D’où : PGCD (783 ; 325) = 1.
3. a. 279 − 155 = 124 ; 155 − 124 = 31 ;
124 − 31 = 93 ; 93 − 31 = 62 ; 62 − 31 = 31 ;
31 − 31 = 0. D’où : PGCD (155 ; 279) = 31.
b. 204 − 68 = 136 ; 136 − 68 = 68 ; 68 − 68 = 0.
D’où : PGCD (68 ; 204) = 68.
c. 184 − 154 = 30 ; 154 − 30 = 124 ; 124 − 30 = 94 ;
94 − 30 = 64 ; 64 − 30 = 34 ; 34 − 30 = 4 ;
30 − 4 = 26 ; 26 − 4 = 22 ; 22 − 4 = 18 ; 18 − 4 = 14 ;
14 − 4 = 10 ; 10 − 4 = 6 ; 6 − 4 = 2 ; 4 − 2 = 2 ;
2 − 2 = 0. D‘où : PGCD (154 ; 184) = 2.
d. 175 − 126 = 49 ; 126 − 49 = 77 ; 77 − 49 = 28 ;
49 − 28 = 21 ; 28 − 21 = 7 ; 21 − 7 = 14 ; 14 − 7 = 7 ;
7 − 7 = 0. D’où : PGCD (175 ; 126) = 7.
15 1. a. 182 = 117 × 1 + 65 ; 117 = 65 × 1 + 52 ;
65 = 52 × 1 + 13 ; 52 = 13 × 4 + 0.
D’où : PGCD (182 ; 117) = 13.
b. 728 = 630 × 1 + 98 ; 630 = 98 × 6 + 42 ;
98 = 42 × 2 + 14 ; 42 = 14 × 3 + 0.
D’où : PGCD (728 ; 630) = 14.
30
c. 333 = 189 × 1 + 144 ; 189 = 144 × 1 + 45 ;
144 = 45 × 3 + 9 ; 45 = 9 × 5 + 0.
D’où : PGCD (333 ; 189) = 9.
d. 245 = 165 × 1 + 80 ; 165 = 80 × 2 + 5 ;
80 = 5 × 16 + 0. D’où : PGCD (245 ; 165) = 5.
2. a. 540 = 180 × 3 + 0. D’où : PGCD (540 ; 180) = 180.
b. 392 = 161 × 2 + 70 ; 161 = 70 × 2 + 21 ;
70 = 21 × 3 + 7 ; 21 = 7 × 3 + 0.
D’où : PGCD (392 ; 161) = 7.
c. 880 = 784 × 1 + 96 ; 784 = 96 × 8 + 16 ;
96 = 16 × 6 + 0. D‘où : PGCD (880 ; 784) = 16.
d. 783 = 325 × 2 + 133 ; 325 = 133 × 2 + 59 ;
133 = 59 × 2 + 15 ; 59 = 15 × 3 + 14 ; 15 = 14 × 1 + 1 ;
14 = 1 × 14 + 0. D’où : PGCD (783 ; 325) = 1.
3. a. 279 = 155 × 1 + 124 ; 155 = 124 × 1 + 31 ;
124 = 31 × 4 + 0. D’où : PGCD (155 ; 279) = 31.
b. 204 = 68 × 3 + 0. D’où : PGCD (68 ; 204) = 68.
c. 184 = 154 × 1 + 30 ; 154 = 30 × 5 + 4 ;
30 = 4 × 7 + 2 ; 4 = 2 × 2 + 0.
D‘où : PGCD (154 ; 184) = 2.
d. 175 = 126 × 1 + 49 ; 126 = 49 × 2 + 28 ;
49 = 28 × 1 + 21 ; 28 = 21 × 1 + 7 ; 21 = 7 × 3 + 0.
D’où : PGCD (175 ; 126) = 7.
16 1. a.
612 51
=
156 13
b.
213
71
=
840 280
187
est une fraction irréductible.
351
784
170 34
f.
=2
g.
=
392
245 49
d.
805 161
=
335 67
435 15
e.
=
928 32
117 13
h.
=
189 21
c.
17 PGCD (150 ; 180) = 30, donc le plus grand nombre
d’équipes ayant la même répartition de garçons et de
filles que le professeur peut constituer avec 150 filles
et 180 garçons est égal à 30. Chaque équipe sera
composée de 5 filles et de 6 garçons.
18 a. PGCD (8 954 ; 658) = 2.
b. PGCD (873 ; 1 650) = 3.
c. PGCD (3 025 ; 2 875) = 25.
d. PGCD (532 ; 875) = 7.
19 a. PGCD (651 ; 746) = 1.
b. PGCD (258 ; 1 214) = 2.
c. PGCD (4 584 ; 1 216) = 8.
c. PGCD (1 372 ; 770) = 14.
Exercices
À l’oral
20 a. Vrai.
b. Vrai.
c. Faux.
d. Vrai.
21 a. Les diviseurs positifs de 25 sont : 1 ; 5 ; 25.
b. Les diviseurs positifs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18.
c. Les diviseurs positifs de 32 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32.
d. Les diviseurs positifs de 63 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63.
22 1. Faux (car 6 ⬎ 4).
4. Faux.
2. Vrai.
5. Faux.
3. Vrai.
6. Vrai.
© Éditions Belin, 2012.
Savoir-faire
SC3
24 SC3 a. PGCD (2 ; 6) = 2
c. PGCD (14 ; 28) = 14
b. PGCD (15 ; 45) = 15
d. PGCD (6 ; 27) = 3
25 Le plus grand diviseur commun à 27 et 12 est la
dernière différence non nulle, soit 3.
26 1. • 58 = 16 × 3 + 10.
Dividende : 58 ; diviseur : 16 ; quotient : 3 ; reste : 10.
• 16 = 10 × 1 + 6.
Dividende : 16 ; diviseur : 10 ; quotient : 1 ; reste : 6.
• 10 = 6 × 1 + 4.
Dividende : 10 ; diviseur : 6 ; quotient : 1 ; reste : 4.
• 6 = 4 × 1 + 2.
Dividende : 6 ; diviseur : 4 ; quotient : 1 ; reste : 2.
• 4 = 2 × 2 + 0.
Dividende : 4 ; diviseur : 2 ; quotient : 2 ; reste : 0.
2. Le plus grand diviseur commun à 58 et 16 est le
dernier reste non nul, soit 2.
27 a + b = 12 avec a ⬎ b et PGCD (a ; b) = 1,
d’où : a = 11 et b = 1 ou a = 7 et b = 5.
35
28 a.
n’est pas irréductible, car 35 et 14 sont
14
⎛ 35 = 5⎞
divisibles par 7. ⎜⎝
⎟
14 2⎠
40
b.
est irréductible.
23
9
c.
n’est pas irréductible, car 9 et 27 sont
27
⎛ 9 = 1⎞
divisible par 3 (et 9). ⎜⎝
⎟
27 3⎠
12
d.
n’est pas irréductible, car 12 et 54 sont
54
⎛ 12 = 2⎞
divisibles par 2 (et 3). ⎜⎝
⎟
54 9⎠
29 a. 2 744 et 3 128 sont divisibles par 2, donc la
2 744
⎛ 2 744 343⎞
=
n’est pas irréductible. ⎜
⎝ 3 128 391⎟⎠
3 128
b. 1 155 et 4 970 sont divisibles par 5, donc la fraction
1155
33 ⎞
⎛ 1155
n’est pas irréductible. ⎜
=
⎝ 4 970 142⎟⎠
4 970
c. 243 et 45 sont divisibles par 9, donc la fraction
243
243 27⎞
= ⎟
n’est pas irréductible. ⎛⎜
⎝
45
45
5⎠
d. 3 346 et 970 sont divisibles par 2, donc la fraction
3 346
⎛ 3 346 1673⎞
n’est pas irréductible. ⎜
=
⎟
⎝ 970
485 ⎠
970
fraction
30 a.
18 3
=
24 4
b.
40 8
=
25 5
c.
28 4
=
49 7
d.
63 7
=
36 4
31
6 750 6 750 : 54 125
=
=
.
4 212 4 212 : 54
78
7 × 5 × 12 × 9 × 4 7
= .
45 × 48 × 3
3
6 × 25 × 13 13
B=
= .
50 × 3 × 4
4
32 A =
50
est irréductible car PGCD (50 ; 49) = 1.
49
b. 50 et 49 sont premiers entre eux.
50 50 × 3 150
=
.
2. a.
=
49 49 × 3 147
b. PGCD (150 ; 147) = 3.
33 1. a.
Je m’entraîne
34 a. 30 est le plus petit multiple commun à 6 et à
10, donc les deux bus se retrouveront au même arrêt
dans 30 minutes, soit à 8 h 50 min.
35 1. A = 5 634
2. B = 1 374
a. Les diviseurs positifs communs à 55 et 60
sont : 1 et 5. D’où : PGCD (55 ; 60) = 5.
b. Les diviseurs positifs communs à 56 et 42 sont :
1 ; 2 ; 7 ; 14. D’où : PGCD (56 ; 42) = 14.
c. Les diviseurs positifs communs à 54 et 78 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 6. D’où : PGCD (54 ; 78) = 6.
36
SC3
1. a. 364 = 2 × 2 × 7 × 13
et 156 = 2 × 2 × 3 × 13.
b. PGCD (364 ; 156) = 2 × 2 × 13 = 52.
2. a. 225 = 3 × 3 × 5 × 5 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
b. PGCD (225 ; 210) = 3 × 5 = 15.
37
SC3
38 a. 285 − 114 = 171 ; 171 − 114 = 57 ; 114 − 57 = 57 ;
57 − 57 = 0. D’où : PGCD (285 ; 114) = 57.
b. 364 −195 = 169 ; 195 − 169 = 26 ; 169 − 26 = 143 ;
143 − 26 = 117 ; 117 − 26 = 91 ; 91 − 26 = 65 ;
65 − 26 = 39 ; 39 − 26 = 13 ; 26 − 13 = 13 ; 13 − 13 = 0.
D’où : PGCD (364 ; 195) = 13.
c. 987 − 378 = 609 ; 609 − 378 = 231 ;
378 − 231 = 147 ; 231 − 147 = 84 ; 147 − 84 = 63 ;
84 − 63 = 21 ; 63 − 21 = 42 ; 42 − 21 = 21 ; 21 − 21 = 0.
D’où : PGCD (987 ; 378) = 21.
d. 500 − 448 = 52 ; 448 − 52 = 396 ; 396 − 52 = 344 ;
344 − 52 = 292 ; 292 − 52 = 240 ; 240 − 52 = 188 ;
188 − 52 = 136 ; 136 − 52 = 84 ; 84 − 52 = 32 ;
52 − 32 = 20 ; 32 − 20 = 12 ; 20 − 12 = 8 ; 12 − 8 = 4 ;
8 − 4 = 4 ; 4 − 4 = 0. D’où : PGCD (500 ; 448) = 4.
e. 273 − 189 = 84 ; 189 − 84 = 105 ; 105 − 84 = 21 ;
84 − 21 = 63 ; 63 − 21 = 42 ; 42 − 21 = 21 ; 21 − 21 = 0.
D’où : PGCD (273 ; 189) = 21.
f. 945 − 756 = 189 ; 756 − 189 = 567 ;
567 − 189 = 378 ; 378 − 189 = 189 ; 189 − 189 = 0.
D’où : PGCD (945 ; 756) = 189.
39 a. 3 575 − 2 730 = 845 ; 2 730 − 845 = 1 885 ;
1 885 − 845 = 1 040 ; 1 040 − 845 = 195 ;
Chapitre
3
Diviseurs – PGCD
31
© Éditions Belin, 2012.
a. Les diviseurs positifs communs à 14 et 49
sont : 1 ; 7.
b. Les diviseurs positifs communs à 35 et 50 sont :
1 ; 5.
c. Les diviseurs positifs communs à 27 et 63 sont :
1 ; 3 ; 9.
d. Les diviseurs positifs communs à 40 et 72 sont :
1 ; 2 , 4 ; 8.
23
40 a. 616 = 495 × 1 + 121 ; 495 = 121 × 4 + 11 ;
121 = 11 × 11 + 0. D’où : PGCD (616 ; 495) = 11.
b. 162 = 114 × 1 + 48 ; 114 = 48 × 2 + 18 ;
48 = 18 × 2 + 12 ; 18 = 12 × 1 + 6 ; 12 = 6 × 2 + 0.
D’où : PGCD (162 ; 114) = 6.
c. 624 = 408 × 1 + 216 ; 408 = 216 × 1 + 192 ;
216 = 192 × 1 + 24 ; 192 = 24 × 8 + 0.
D’où : PGCD (624 ; 408) = 24.
d. 703 = 456 × 1 + 247 ; 456 = 247 × 1 + 209 ;
247 = 209 × 1 + 38 ; 209 = 38 × 5 + 19 ;
38 = 19 × 2 + 0. D’où : PGCD (703 ; 456) = 19.
e. 294 = 84 × 3 + 42 ; 84 = 42 × 2 + 0.
D’où : PGCD (294 ; 84) = 42.
f. 252 = 72 × 3 + 36 ; 72 = 36 × 2 + 0.
D’où : PGCD (252 ; 72) = 36.
41 a. 1 681 = 108 × 15 + 61 ; 108 = 61 × 1 + 47 ;
61 = 47 × 1 + 14 ; 47 = 14 × 3 + 5 ; 14 = 5 × 2 + 4 ;
5 = 4 × 1 + 1 ; 4 = 1 × 4 + 0.
D’où : PGCD (1 681 ; 108) = 1.
b. 6 652 = 924 × 7 + 184 ; 924 = 184 × 5 + 4 ;
184 = 4 × 46 + 0. D’où : PGCD (6 652 ; 924) = 4.
c. 1 599 = 273 × 5 + 234 ; 273 = 234 × 1 + 39 ;
234 = 39 × 6 + 0. D’où : PGCD (1 599 ; 273) = 39.
d. 2 312 = 145 × 15 + 137 ; 145 = 137 × 1 + 8 ;
137 = 8 × 17 + 1 ; 8 = 1 × 8 + 0.
D’où : PGCD (2 312 ; 145) = 1.
32
e. 3 473 = 2 162 × 1 + 1 311 ; 2 162 = 1 311 × 1 + 851 ;
1 311 = 851 × 1 + 460 ; 851 = 460 × 1 + 391 ;
460 = 391 × 1 + 69 ; 391 = 69 × 5 + 46 ;
69 = 46 × 1 + 23 ; 46 = 23 × 2 + 0.
D’où : PGCD (3 473 ; 2 162) = 23.
f. 1 003 = 697 × 1 + 306 ; 697 = 306 × 2 + 85 ;
306 = 85 × 3 + 51 ; 85 = 51 × 1 + 34 ; 51 = 34 × 1 + 17 ;
34 = 17 × 2 + 0. D’où : PGCD (1 003 ; 697) = 17.
42 a. PGCD (789 ; 502) = 1, donc 789 et 502
sont premiers entre eux.
b. PGCD (451 ; 625) = 1, donc 451 et 625
sont premiers entre eux.
c. PGCD (936 ; 1 118) = 26, donc 936 et 1 118
ne sont pas premiers entre eux.
d. PGCD (1 429 ; 976) = 1, donc 1 429 et 976
sont premiers entre eux.
e. PGCD (615 ; 1 476) = 123, donc 615 et 1 476
ne sont pas premiers entre eux.
f. PGCD (444 ; 725) = 1, donc 444 et 725
sont premiers entre eux.
43 1. a. PGCD (381 ; 1 016) = 127.
b.
c.
d.
2.
b.
c.
d.
PGCD (576 ; 1 248) = 96.
PGCD (2 459 ; 634) = 1.
PGCD (5 560 ; 1 872) = 8.
a. PGCD (425 ; 1 050) = 25.
PGCD (975 ; 793) = 13.
PGCD (478 ; 799) = 1.
PGCD (671 ; 542) = 1.
44 1. a. PGCD (682 ; 78) = 2.
b.
c.
d.
2.
b.
c.
d.
PGCD (451 ; 244) = 1.
PGCD (597 ; 343) = 1.
PGCD (1 145 ; 870) = 5.
a. PGCD (250 ; 984) = 2.
PGCD (735 ; 381) = 3.
PGCD (682 ; 884) = 2.
PGCD (613 ; 521) = 1.
45 1. PGCD (294 ; 210) = 42.
On peut composer au maximum 42 équipes.
2. 294 : 42 = 7 et 210 : 42 = 5.
Chaque équipe sera composée de 7 Français et 5 Italiens.
46 1. a. 92 = 3 × 30 + 2 et 138 = 3 × 46.
L’apiculteur pourra obtenir au maximum 30 lots
composés de 3 pots de miel de lavande et de 3 pots
de miel de thym.
b. Il restera 2 pots de miel de lavande et 48 pots
de miel de thym.
2. a. PGCD (92 ; 138) = 46.
L’apiculteur pourra réaliser au maximum 46 lots
identiques en utilisant tous ses pots.
b. 92 : 46 = 2 et 138 : 46 = 3.
Chaque lot sera composé de 2 pots de miel de lavande
et de 3 pots de miel de thym.
1036
7
=
1776 12
9 434 4 717
c.
=
7 310 3 655
47 a.
b.
d.
2 584 17
=
5 472 36
3 068
4 366
=
26
37
© Éditions Belin, 2012.
845 − 195 = 650 ; 650 − 195 = 455 ; 455 − 195 = 260 ;
260 − 195 = 65 ; 195 − 65 = 130 ; 130 − 65 = 65 ;
65 − 65 = 0. D’où : PGCD (3 575 ; 2 730) = 65.
b. 10 780 − 3 520 = 7 260 ; 7 260 − 3 520 = 3 740 ;
3 740 − 3 520 = 220 ; 3 520 − 220 = 3 300 ;
3 300 − 220 = 3 080 ; 3 080 − 220 = 2 860 ;
2 860 − 220 = 2 640 ; 2 640 − 220 = 2 420 ;
2 420 − 220 = 2 200 ; 2 200 − 220 = 1 980 ;
1 980 − 220 = 1 760 ; 1 760 − 220 = 1 540 ;
1 540 − 220 = 1 320 ; 1 320 − 220 = 1 100 ;
1 100 − 220 = 880 ; 880 − 220 = 660 ; 660 − 220 = 440 ;
440 − 220 = 220 ; 220 − 220 = 0.
D’où : PGCD (10 780 ; 3 520) = 220.
c. 5 148 − 1 386 = 3 762 ; 3 762 − 1 386 = 2 376 ;
2 376 − 1 386 = 990 ; 1 386 − 990 = 396 ;
990 − 396 = 594 ; 594 − 396 = 198 ; 396 − 198 = 198 ;
198 − 198 = 0. D’où : PGCD (5 148 ; 1 386) = 198.
d. 9 240 − 3 822 = 5 418 ; 5 418 − 3 822 = 1 596 ;
3 822 − 1 596 = 2 226 ; 2 226 − 1 596 = 630 ;
1 596 − 630 = 966 ; 966 − 630 = 336 ; 630 − 336 = 294 ;
336 − 294 = 42 ; 294 − 42 = 252 ; 252 − 42 = 210 ;
210 − 42 = 168 ; 168 − 42 = 126 ; 126 − 42 = 84 ;
84 − 42 = 42 ; 42 − 42 = 0.
D’où : PGCD (9 240 ; 3 822) = 42.
e. 416 − 325 = 91 ; 325 − 91 = 234 ; 234 − 91 = 143 ;
143 − 91 = 52 ; 91 − 52 = 39 ; 52 − 39 = 13 ;
39 − 13 = 26 ; 26 − 13 = 13 ; 13 − 13 = 0.
D’où : PGCD (325 ; 416) = 13.
f. 960 − 392 = 568 ; 568 − 392 = 176 ;
392 − 176 = 216 ; 216 − 176 = 40 ; 176 − 40 = 136 ;
136 − 40 = 96 ; 96 − 40 = 56 ; 56 − 40 = 16 ;
40 − 16 = 24 ; 24 − 16 = 8 ; 16 − 8 = 8 ; 8 − 8 = 0.
D’où : PGCD (392 ; 960) = 8.
48 1. PGCD (1725 ; 2 445) = 15.
1725 1725 : 15 115
.
=
=
2 445 2 445 : 15 163
1725 110 115 110
5
2.
.
−
=
−
=
2 445 163 163 163 163
49 DOCUMENT À PHOTOCOPIER
Fraction
a
b
PGCD (a ; b)
(ANNEXE 2)
Fraction irréductible
a
égale à
b
26
15
962
555
37
324
405
81
4
5
441
756
63
7
12
Je m’entraîne au brevet
50 1. PGCD (2 277 ; 1 449) est la dernière
différence non nulle, soit 207.
2. La formule écrite dans la cellule C2 est : =A2–B2 .
51 1. a. PGCD (850 ; 714) = 34.
850 850 : 34 25
.
=
=
714 714 : 34 21
2. a. PGCD (5 148 ; 2 431) = 143.
5 148 5 148 : 143 36
b.
.
=
=
2 431 2 431: 143 17
b.
• Les diviseurs positifs de 108 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 6 ; 9 ; 12 ; 18 ; 27 ; 36 ; 54 ; 108.
• Les diviseurs positifs de 70 sont :
1 ; 2 ; 5 ; 7 ; 10 ; 14 ; 35 ; 70.
b. Le plus grand diviseur commun aux nombres 126,
108 et 70 est 2.
2. a. d = PGCD (126 ; 108) = 18.
b. PGCD (d ; 70) = PGCD (18 ; 70) = 2.
On peut remarquer que pour calculer le PGCD de
trois nombres, on peut déterminer le PGCD de deux
nombres, puis le PGCD de ce PGCD et du troisième
nombre.
66 1. a. PGCD (2 940 ; 1 092) = 84.
b. PGCD (2 100 ; 1 092) = 84.
2. Le plus grand diviseur commun aux trois nombres
2 940, 1 092 et 2 100 est donc 84.
67 1. • 1 080 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 3 × 5.
• 1 764 = 2 × 2 × 3 × 3 × 7 × 7.
2. Le PGCD de 1 080 et 1 764 est le produit des
facteurs communs, soit :
PGCD (1 080 ; 1 764) = 2 × 2 × 3 × 3, soit :
PGCD (1 080 ; 1 764) = 36.
68 1. PGCD (92 ; 115) = 23.
92 : 23 = 4 et 115 : 23 = 5. La fraction irréductible
92
4
égale à
est donc égale à .
115
5
2.
52 1. PGCD (330 ; 270) = 30.
2. Chaque plaque est un carré de côté 30 cm.
330 : 30 = 11 et 270 : 30 = 9.
Il y aura 11 plaques sur la longueur et 9 sur la largeur,
soit 99 plaques isolantes au total.
53 1. PGCD (1 394 ; 255) = 17.
2. a. L’artisan peut réaliser au maximum 17 colliers
identiques en utilisant toutes ses graines.
b. 1 394 : 17 = 82 et 255 : 17 = 15.
Il y aura 82 graines d’açaï et 15 graines palmier pêche
par collier.
1737 9
735
7
=
=
b.
1544 8
2 520 24
3 700 25
5 341 49
=
=
c.
d.
.
2 072 14
1635 15
1737
735
9 7
34 17
2. A =
+
= +
=
=
1544 2 520 8 24 24 12
3 700 5 341 25 49 35
.
B=
×
=
×
=
2 072 1635 14 15
6
64 1. a.
65 SC3 1. a. • Les diviseurs positifs de 126 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 7 ; 9 ; 14 ; 18 ; 21 ; 42 ; 63 ; 126.
Chapitre
3
Diviseurs – PGCD
33
© Éditions Belin, 2012.
J’approfondis
4 16 40 60
.
=
=
=
5 20 50 75
b. On place les points M (16 ; 20), N (40 ; 50)
et P (60 ; 75).
c. On peut remarquer que les points M, N et P
appartiennent à la droite (AB).
4. Pour trouver les fractions égales à une fraction
donnée, on détermine la fraction irréductible égale
à cette fraction, puis on place les points A et B ayant
pour abscisses et ordonnées respectivement les
numérateurs et les dénominateurs de chaque fraction.
Les fractions égales à la fraction donnée sont les
fractions dont le numérateur et le dénominateur sont
respectivement égaux à l’abscisse et à l’ordonnée
(nombres entiers) d’un point de la droite (AB).
3. a.
69 1. Toutes les longueurs possibles (en nombre
entier de cm) du côté d’une part sont tous les diviseurs
communs à 110 et 88, soit : 1 cm, 2 cm, 11 cm, 22 cm.
Sachant que ces longueurs doivent être comprises
entre 4 cm et 12 cm, il y a donc une seule possibilité :
11 cm.
2. 110 : 11 = 10 et 88 : 11 = 8.
Il y aura alors 10 parts sur la longueur et 8 parts sur
la largeur, soit 80 parts carrées de 11 cm de côté.
70 Les nombres possible de panneaux contenant
autant de photos de paysages que de portraits sont
les diviseurs communs à 224 et 288, soit :
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32.
Nombre
Nombre
Nombre
de
de paysages de portraits
panneaux par panneau par panneau
1
224
288
2
112
144
4
56
72
8
28
36
16
14
18
32
7
9
Nombre
par
panneau
512
256
128
64
32
16
1. La plus grande longueur possible pour l’arête d’un
cube est le plus grand diviseur commun à 48, 40
et 72, soit : 8 cm.
2. 72 : 8 = 9 ; 48 : 8 = 6 et 40 : 8 = 5.
9 × 6 × 5 = 270. Il faudra donc 270 cubes d’arête
8 cm pour remplir la boîte.
74 1. La formule saisie en A2 permet de déterminer
le plus petit nombre entre les nombres entrés en
A1 et en B1 et la formule saisie en B2 permet
d’effectuer la différence entre le plus grand des deux
nombres de la ligne précédente et le plus petit pour
ne pas obtenir de résultat négatif.
2. On étend ces formules jusqu’à obtenir une
différence nulle, soit jusqu’à la ligne 16.
3. Le PGCD de 1 848 et 2 040 est la dernière
différence non nulle, soit 24.
Sachant que le nombre total de photos par panneau
ne doit pas excéder 40, le photographe pourra ainsi
réaliser 16 panneaux contenant chacun 14 paysages
et 18 portraits ou 32 panneaux contenant chacun
7 paysages et 9 portraits.
71 1. a. PGCD (798 ; 1 045) = 19.
b.
c.
2.
b.
c.
798
798 : 19
42
.
=
=
1045 1045 : 19 55
42 84
798
84
, d‘où :
.
=
=
55 110
1045 110
a. PGCD (392 ; 504) = 56.
392 392 : 56 7
=
= .
504 504 : 56 9
7 21
392 21
, d’où :
.
=
=
9 27
504 27
75 1. La formule que l’on doit entrer dans la cellule
B2 puis étendre verticalement pour obtenir les valeurs
de n2 − 1 pour toutes les valeurs de n de la colonne A
est : =A2^2–1 .
2. Si on obtient 0 dans la colonne C, alors le nombre
de la forme n2 − 1 correspondant est divisible par 4.
3. a.
Thème de convergence
73 Une boîte a la forme d’un parallélépipède
rectangle de dimensions 48 cm, 40 cm et 72 cm.
On souhaite remplir cette boîte avec des cubes
identiques dont la longueur de l’arête est un nombre
entier de centimètres.
34
© Éditions Belin, 2012.
72 La distance entre deux arbustes doit être égale
à un nombre entier de mètres, c’est donc un diviseur
commun à 1 309 et 1 001, soit : 1 m, 7 m ; 11 m ;
77 m.
Sachant que cette distance est comprise entre 3 m
et 8 m, il ne reste qu’une seule possibilité : 7 m.
Périmètre du terrain : 2(1 309 + 1 001), soit 4 620 m.
Nombre d’arbustes nécessaires pour entourer ce
terrain : 4 620 : 7, soit 660.
Démonstration
• Si n est impair, alors n peut s’écrire sous la forme
2k + 1, k étant un entier naturel.
D’où : n2 − 1 = (2k + 1)2 − 1 = 4k2 + 4k + 1 − 1
= 4(k2 + k).
Par conséquent lorsque n est impair, le nombre n2 − 1
est un multiple de 4, donc est divisible par 4.
• Si n est pair non nul, alors n peut s’écrire sous la
forme 2k, k étant un entier naturel non nul.
D’où : n2 − 1 = (2k)2 − 1 = 4k2 − 1 = 4(k2 − 1) + 3.
Par conséquent lorsque n est pair, le nombre n2 − 1
n’est pas un multiple de 4, donc n’est pas divisible
par 4 (le reste de la division de n2 − 1 par 4 est alors
égal à 3).
76 1. a. Soit a et b deux entiers strictement positifs
multiples de 71. Il existe donc deux nombres entiers n
et n’ tels que : a = 71n et b = 71n’.
a + b = 1 065,
d’où : 71n + 71n’ = 1 065.
On obtient ainsi : 71(n + n’) = 1 065.
D’où : n + n’ = 15.
n
1
2
3
4
5
6
7
n’
14
13
12
11
10
9
8
a
71
142
213
284
355
426
497
b
994
923
852
781
710
639
568
On obtient ainsi 14 possibilités de couples (a ; b) :
(71 ; 994) ; (142 ; 923) ; (213 ; 852) ; (284 ; 781) ;
(355 ; 710) ; (426 ; 639) ; (497 ; 568) ; (568 ; 497) ;
(639 ; 426) ; (710 ; 355) ; (781 ; 284) ; (852 ; 213) ;
(923 ; 142) ; (994 ; 71).
b. Si 71 est le PGCD de a et b, cela signifie que les
nombres n et n’ sont premiers entre eux.
On obtient ainsi 8 possibilités de couples (a ; b) :
(71 ; 994) ; (142 ; 923) ; (284 ; 781) ; (497 ; 568) ;
(568 ; 497) ; (781 ; 284) ; (923 ; 142) ; (994 ; 71).
2. a. Soit a et b deux entiers strictement positifs
(a ⬎ b) tels que PGCD (a ; b) = 37.
Il existe donc deux nombres entiers n et n’ tels que :
a = 37n et b = 37n’ avec n et n’ premiers entre eux.
a + b = 444,
d’où : 37n + 37n’ = 444.
On obtient ainsi : 37(n + n’) = 444.
D’où : n + n’ = 12.
n
11
7
n’
1
5
a
407
259
b
37
185
On obtient ainsi 2 possibilités de couples (a ; b) :
(407 ; 37) ; (259 ; 185).
Argumenter et débattre
77 1. Vrai. En effet, deux nombres pairs sont
toujours divisibles par 2.
2. Faux. Par exemple, 15 et 27 sont impairs et ne sont
pas premiers entre eux, puisqu’ils sont divisibles par 3.
3. Vrai. En effet, si les quotients de a par d et de
b par d n’étaient pas premiers entre eux, alors d ne
serait pas le plus grand diviseur commun à a et b.
4. Faux. Par exemple : PGCD (14 ; 6) = 2
et PGCD (38 ; 4) = 2, et 14 ≠ 38 ; 6 ≠ 4.
5. Faux. Par exemple : PGCD (24 ; 40) = 8
et PGCD (48 ; 80) = 16.
On a : PGCD (2a ; 2b) = 2 × PGCD (a ; b).
78 1. Soit x, x + 1 et x + 2, trois nombres entiers
consécutifs. x + x + 1 + x + 2 = 3x + 3 = 3(x + 1).
La somme de trois nombres entiers consécutifs est
donc toujours un multiple de 3.
2. • x + x + 1 + x + 2 + x + 3 = 4x + 6 = 4(x + 1) + 2.
On ne peut pas affirmer que la somme de quatre
nombres entiers consécutifs est toujours un multiple
de 4.
• x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 = 5x + 10 = 5(x + 2).
On peut donc affirmer que la somme de cinq nombres
entiers consécutifs est toujours un multiple de 5.
• x + x + 1 + x + 2 + x + 3 + x + 4 + x + 5 = 6x + 15
= 6(x + 2) + 3.
On ne peut donc pas affirmer que la somme de six
nombres entiers consécutifs est toujours un multiple
de 6.
•x+x+1+x+2+x+3+x+4+x+5+x+6
= 7x + 21 = 7(x + 3).
On peut donc affirmer que la somme de sept nombres
entiers consécutifs est toujours un multiple de 7. Etc.
79 Si le reste de la division euclidienne d’un nombre
n par 2, par 3, par 4, par 5, par 6, par 7, par 8
ou par 9 est toujours égal à 1, alors le reste de la
division euclidienne du nombre n – 1 par 2, par 3,
par 4, par 5, par 6, par 7, par 8, par 9 est égal à 0.
Ce qui signifie que le nombre n – 1 est un multiple
de 2, de 3, de 4, de 5, de 6, de 7, de 8 et de 9.
Par exemple :
n – 1 = 5 × 6 × 7 × 8 × 9 = 15 120, d’où : n = 15 121.
Vérification :
15 121 = 2 × 7 560 + 1
15 121 = 3 × 5 040 + 1
15 121 = 4 × 3 780 + 1
15 121 = 5 × 3 024 + 1
15 121 = 6 × 2 520 + 1
15 121 = 7 × 2 160 + 1
15 121 = 8 × 1 890 + 1
15 121 = 9 × 1 680 + 1
45䊐
soit irréductible,
216
le numérateur et le dénominateur ne doivent avoir
aucun diviseur commun autre que 1.
216 est divisible par 2, donc 45䊐 ne doit pas être
divisible par 2. Par conséquent, donc 䊐 ne peut être
remplacé par 0, 2, 4, 6, 8.
216 est divisible par 3, donc 45䊐 ne doit pas être
divisible par 3. Par conséquent, 䊐 ne peut être
remplacé par 0, 3, 6, 9.
80 Pour que la fraction
Chapitre
3
Diviseurs – PGCD
35
© Éditions Belin, 2012.
b. Les nombres n2 − 1 sont divisibles par 4 pour
n = 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, ou 19.
c. On peut conjecturer que le nombre n2 − 1 est
divisible par 4 lorsque n est un nombre impair.
Il reste trois possibilités : 1, 5 et 7.
PGCD (451 ; 216) = 1 ; PGCD (455 ; 216) = 1
et PGCD (457 ; 216) = 1. Par conséquent 䊐 peut être
remplacé par 1 ou par 5 ou par 7 pour que la fraction
45䊐
soit irréductible.
216
b. On obtient un nombre triangulaire en ajoutant
au nombre triangulaire précédent respectivement
les nombres 2, 3, 4, 5, 6, etc.
1 + 2 = 3 ; 3 + 3 = 6 ; 6 + 4 = 10 ; 10 + 5 = 15 ;
15 + 6 = 21 ; 21 + 7 = 28 ; etc.
En B3, on entre la formule : =B2+A3 .
2. a.
81 PGCD (780 ; 494) = 26.
780 et 494 sont des multiples de 26, donc la somme
de toutes les masses des caisses est aussi un multiple
de 26. Or 8 630 = 26 × 331 + 24. Donc 8 630 n’est
pas un multiple de 26. Par conséquent, le transporteur
a tort.
Atelier découverte
83 1. • Les diviseurs de 28 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 7 ; 14 ;
28. Et 1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.
• Les diviseurs de 496 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 31 ; 62 ;
124 ; 248 ; 496.
Et 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248 = 496.
• Les diviseurs de 8 128 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32 ;
64 ; 127 ; 254 ; 508 ; 1 016 ; 2 032 ; 4 064 ; 8 128.
Et 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 127 + 254 + 508
+ 1 016 + 2 032 + 4 064 = 8 128.
1 1 1 1 1
1
2. • + + + +
+
= 2.
1 2 4 7 14 28
1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
• + + + +
+
+
+
+
+
= 2.
1 2 4 8 16 31 62 124 248 496
1 1 1 1 1
1
1
1
1
1
• + + + +
+
+
+
+
+
1 2 4 8 16 32 64 127 254 508
1
1
1
1
+
+
+
+
= 2.
1016 2 032 4 064 8 128
3. En ajoutant les inverses de tous les diviseurs d’un
nombre parfait, on obtient toujours 2.
85 1. a. Les dix premiers nombres triangulaires sont :
1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 35, 44, 54, 65.
36
b. Les nombres parfaits 6, 28, 496 sont des nombres
triangulaires.
86 • Un nombre presque parfait est un nombre
entier n tel que la somme de ses diviseurs (lui-même
compris) est égale à 2n – 1.
• Un nombre abondant est un nombre inférieur à la
somme de ses diviseurs (excepté lui-même).
• Un nombre déficient est un nombre supérieur à la
somme de ses diviseurs (excepté lui-même).
© Éditions Belin, 2012.
84 1. Les cinq nombres parfaits qui suivent
33 550 336 sont : 8 589 869 056 ; 137 438 691 328 ;
2 305 843 008 139 952 128 ;
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 ;
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303
638 130 997 321 548 169 216.
2. Les deux derniers chiffres de ces nombres parfaits
se terminent par des multiples de 4 (28, 96, 36, 56, 76,
16), donc il semblerait que les nombres parfaits sont
tous des multiples de 4.
3. • 6 = 21(22 – 1)
• 28 = 22(23 – 1)
• 496 = 24(25 – 1)
• 8 128 = 26(27 – 1)
On peut conjecturer que les nombres parfaits peuvent
s’écrire sous la forme : 2n(2n + 1 – 1), n étant un
nombre entier.
4. 23(24 – 1) = 120. Or 120 n’est pas un nombre
parfait. Tous les nombres de la forme 2n(2n + 1 – 1) ne
sont donc pas des nombres parfaits.