Diviseurs – PGCD

28
EXTRAIT DU B.O. SPÉCIAL N° 6 DU 28 AOÛT 2008
Connaissances Capacités Commentaires
2. Nombres et calculs
2.1 Nombres entiers
et rationnels
Diviseurs communs à deux
entiers, PGCD.
Fractions irréductibles.
− Connaître et utiliser un algorithme
donnant le PGCD de deux entiers
(algorithme des soustractions, algorithme
des soustractions, algorithme d’Euclide).
− Calculer le PGCD de deux entiers.
− Déterminer si deux entiers donnés sont
premiers entre eux.
− Simplifier une fraction donnée pour
la rendre irréductible.
Plusieurs méthodes peuvent être envisagées.
La connaissance de relations arithmétiques entre
nombres − que la pratique du calcul mental à permis de
développer − permet d’identifier des diviseurs communs
de deux entiers.
Le recours à une décomposition en produits de facteurs
premiers est possible dans des cas simples mais ne doit
pas être systématisée.
Les tableurs, calculatrices et logiciels de calcul formel
sont exploités.
Dans le cadre du socle commun, les élèves utilisent
leur calculatrice pour rendre irréductible une fraction
donnée.
Note : les points du programme (connaissances et capacités) qui ne sont pas exigibles pour le socle commun des connaissances et des
compétences sont en italiques. Certains commentaires ou exemples d’activités, liés à des connaissances et des capacités qui ne font
pas partie du socle, sont écrits en italique dans la troisième colonne mais correspondent à des situations que doivent travailler tous les
élèves car ces connaissances et ces capacités restent des objectifs d’enseignement du programme.
Ouverture
On peut paver le rectangle de dimensions 21 × 15
avec 35 carrés rouges de côté 3.
• On peut paver un rectangle de dimensions 14 × 18
avec 63 carrés de côté 2.
• On peut paver un rectangle de dimensions 25 × 35
avec 35 carrés de côté 5.
Je prends un bon départ
QCM
1
A
2
B
3
A
4
B
5
C
6
B
7
B
8
A
9
C
10
B
11
a. DOCUMENT À PHOTOCOPIER (ANNEXE 1)
Diviseur
Nombre 2345910
567 XX
144 XXX X
2 316 XXX
1 548 XXX X
780 XXXX X
12
a. Les diviseurs positifs de 24 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ;
6 ; 8 ; 12 ; 24.
b. Les diviseurs positifs de 35 sont : 1 ; 5 ; 7 ; 35.
c. Les diviseurs positifs de 40 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 8 ;
10 ; 20 ; 40.
d. Les diviseurs positifs de 27 sont : 1 ; 3 ; 9 ; 27.
e. Les diviseurs positifs de 54 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ;
18 ; 27 ; 54.
13
1. a. =
18
24
3
4 b. =
35
14
5
2 c. =
26
44
13
22
d. =
81
45
9
5 e. =
55
22
5
2
.
2. a. ×
×=
85
84
5
4 b. ×=
29
27
2
3 c. × ×=
72
47
1
2
d. ×
×=
310
56 1
e. ×
×=
67
38
7
4
.
Activités
1
SC3
Objectifs
− Revoir la défi nition d’un diviseur.
− Découvrir la notion de plus grand diviseur commun.
− Découvrir la défi nition de deux nombres premiers entre
eux.
1. a. 7 divise 28 car le reste de la division euclidienne
de 28 par 7 est égal à 0. (28 = 7 × 4)
b. 1 et 28 sont des diviseurs de 28 car :
28 = 28 × 1 + 0.
c. 7 est un diviseur de 42 car : 42 = 7 × 6 + 0.
2. a. • Tous les diviseurs positifs de 28 sont : 1 ; 2 ;
4 ; 7 ; 14 ; 28.
• Tous les diviseurs positifs de 42 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ;
7 ; 14 ; 21 ; 42.
b. Les diviseurs positifs communs à 28 et à 42 sont :
1 ; 2 ; 7 ; 14.
Diviseurs – PGCD
© Éditions Belin, 2012.© Éditions Belin, 2012.

Chapitre 3 Diviseurs – PGCD 29
c. Le plus petit diviseur positif commun à 28 et à 42
est 1.
d. Le plus grand diviseur commun à 28 et à 42 est 14.
3. a. Le plus grand diviseur commun à deux nombres
égaux est égal à ces nombres.
b. Le plus grand diviseur commun à deux nombres
lorsque l’un est un multiple de l’autre est égal au plus
petit de ces deux nombres.
4. a. PGCD (25 ; 40) = 5 b. PGCD (110 ; 44) = 22
c. PGCD (30 ; 30) = 30 d. PGCD (25 ; 50) = 25.
5. a. PGCD (45 ; 32) = 1.
b. • PGCD (28 ; 63) = 7, donc 28 et 63 ne sont pas
premiers entre eux.
• PGCD (72 ; 30) = 6, donc 72 et 30 ne sont pas
premiers entre eux.
• PGCD (62 ; 35) = 1, donc 62 et 35 sont premiers
entre eux.
• PGCD (27 ; 50) = 1, donc 27 et 50 sont premiers
entre eux.
2 Objectifs
− Revoir la simplifi cation d’une fraction.
− Découvrir la notion de fraction irréductible.
− Connaître la méthode permettant d’obtenir la fraction
irréductible égale à une fraction donnée à partir du PGCD
du numérateur et du dénominateur.
1. a. =
78
90
13
15 b. =
132
86
66
43
c. =
58
114
29
57 d. =
105
75
7
5
.
2. a. 78 et 90 ont été divisés par 6 pour obtenir la
fraction irréductible égale à 78
90
.
b. PGCD (78 ; 90) = 6.
c. Pour obtenir la fraction irréductible égale à 78
90
,
on a divisé 78 et 90 par leur PGCD égal à 6.
d. Pour obtenir la fraction irréductible égale à une
fraction donnée, il suffit de diviser le numérateur
et le dénominateur par leur PGCD.
3. a. • PGCD (132 ; 86) = 2
• PGCD (58 ; 114) = 2
• PGCD (105 ; 75) = 15.
b. On vérifie que les fractions irréductibles égales
aux fractions proposées à la question 1 s’obtiennent
en divisant le numérateur et le dénominateur par leur
PGCD.
3 Objectifs
− Découvrir la propriété : PGCD (a ; b) = PGCD (b ; a − b),
a étant plus grand que b.
− Utiliser cette propriété pour déterminer le PGCD de deux
nombres.
1. a. 4 est un diviseur de 248 et de 32 car :
248 = 4 × 62 et 32 = 4 × 8.
b. 248 − 32 = 216.
c. 4 est un diviseur de 216 car : 216 = 4 × 54.
d. On peut conjecturer que si un nombre est un
diviseur commun à deux nombres, alors il est aussi
un diviseur de leur différence.
2. a. Si d un diviseur commun à a et b, alors a et b
sont des multiples de d, d’où : il existe deux entiers n
et n’ tels que : a = d n et b = d n’.
b. a − b = d n − d n’ = d(n − n’).
c. La différence a − b est donc un multiple de d,
par conséquent d est un diviseur de a − b.
3. a. Si a − b = 0, alors a = b, d’où :
PGCD (a ; b) = a (ou b).
b. PGCD (144 ; 48) = 48
et PGCD (144 − 48 ; 48) = PGCD (96 ; 48) = 48.
c. PGCD (144 ; 48) = PGCD (96 ; 48)
= PGCD (96 − 48 ; 48) = PGCD (48 ; 48) = 48.
d. Pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers
en n’effectuant que des soustractions, il suffit de
soustraire le plus petit nombre au plus grand, puis
effectuer successivement les soustractions entre cette
différence et le plus petit terme de la différence
jusqu’à obtenir 0. Le PGCD est alors égal à la dernière
différence non nulle.
4 Objectifs
− Découvrir la propriété PGCD (a ; b) = PGCD (b ; r),
r étant le reste de la division euclidienne de a par b.
− Utiliser cette propriété pour déterminer le PGCD de deux
nombres.
1. a. Le quotient de la division euclidienne de 154
par 42 est égal à 3 et le reste est égal à 28.
b. 14 est un diviseur de 154 et de 42 car :
154 = 14 × 11 et 42 = 14 × 3.
c. 14 est aussi un diviseur du reste 28 de la division
euclidienne de 154 par 42, car : 28 = 14 × 2.
d. On peut conjecturer que si un nombre est un
diviseur commun à deux nombres, alors il est aussi
un diviseur du reste de la division euclidienne du plus
grand nombre par le plus petit.
2. a. a = b × q + r, d’où : r = a − b × q.
b. Si d un diviseur commun à a et b, alors a et b sont
des multiples de d, d’où : il existe deux entiers n et n’
tels que : a = d n et d = d n’.
r = a − b × q = d n − d n’ × q = d(n − n’ q).
Le reste r est donc un multiple de d, donc d est un
diviseur de r.
3. a. Si le reste de la division euclidienne de a par b
est égal à 0, alors a est un multiple de b (ou b est un
diviseur de a).
On a alors : PGCD (a ; b) = b.
b. PGCD (154 ; 42) = 14 et PGCD (42 ; 28) = 14.
c. PGCD (154 ; 42) = PGCD (42 ; 28) = PGCD (28 ; 14)
(car 14 est le reste de la division euclidienne de 42
par 28).
Le reste de la division euclidienne de 28 par 14 est
égal à 0. 14 est donc un diviseur de 28, donc :
PGCD (28 ; 14) = 14.
d. Pour déterminer le PGCD de deux nombres entiers
en n’effectuant que des divisions euclidiennes, il suffit
de diviser le plus grand nombre par le plus petit, puis
effectuer successivement les divisions du diviseur de
la division précédente par son reste jusqu’à obtenir
un reste égal à 0. Le PGCD est alors égal au dernier
reste non nul.
© Éditions Belin, 2012.

30
Savoir-faire
14
1. a. 182 − 117 = 65 ; 117 − 65 = 52 ;
65 − 52 = 13 ; 52 − 13 = 39 ; 39 − 13 = 26 ;
26 − 13 = 13 ; 13 − 13 = 0. D’où : PGCD (182 ; 117) = 13.
b. 728 − 630 = 98 ; 630 − 98 = 532 ; 532 − 98 = 434 ;
434 − 98 = 336 ; 336 − 98 = 238 ; 238 − 98 = 140 ;
140 − 98 = 42 ; 98 − 42 = 56 ; 56 − 42 = 14 ;
42 − 14 = 28 ; 28 − 14 = 14 ; 14 − 14 = 0.
D’où : PGCD (728 ; 630) = 14.
c. 333 − 189 = 144 ; 189 − 144 = 45 ; 144 − 45 = 99 ;
99 − 45 = 54 ; 54 − 45 = 9 ; 45 − 9 = 36 ; 36 − 9 = 27 ;
27 − 9 = 18 ; 18 − 9 = 9 ; 9 − 9 = 0.
D’où : PGCD (333 ; 189) = 9.
d. 245 − 165 = 80 ; 165 − 80 = 85 ; 85 − 80 = 5 ;
80 − 5 = 75 ; 75 − 5 = 70 ; 70 − 5 = 65 ; 65 − 5 = 60 ;
60 − 5 = 55 ; 55 − 5 = 50 ; 50 − 5 = 45 ; 45 − 5 = 40 ;
40 − 5 = 35 ; 35 − 5 = 30 ; 30 − 5 = 25 ; 25 − 5 = 20 ;
20 − 5 = 15 ; 15 − 5 = 10 ; 10 − 5 = 5 ; 5 − 5 = 0.
D’où : PGCD (245 ; 165) = 5.
2. a. 540 − 180 = 360 ; 360 − 180 = 180 ;
180 − 180 = 0. D’où : PGCD (540 ; 180) = 180.
b. 392 −161 = 231 ; 231 − 161 = 70 ; 161− 70 = 91 ;
91 − 70 = 21 ; 70 − 21 = 49 ; 49 − 21 = 28 ;
28 − 21 = 7 ; 21 − 7 = 14 ; 14 − 7 = 7 ; 7 − 7 = 0.
D’où : PGCD (392 ; 161) = 7.
c. 880 − 784 = 96 ; 784 − 96 = 688 ; 688 − 96 = 592 ;
592 − 96 = 496 ; 496 − 96 = 400 ; 400 − 96 = 304 ;
304 − 96 = 208 ; 208 − 96 = 112 ; 112 − 96 = 16 ;
96 − 16 = 80 ; 80 − 16 = 64 ; 64 − 16 = 48 ;
48 − 16 = 32 ; 32 − 16 = 16 ; 16 − 16 = 0.
D‘où : PGCD (880 ; 784) = 16.
d. 783 − 325 = 458 ; 458 − 325 = 133 ;
325 − 133 = 192 ; 192 − 133 = 59 ; 133 − 59 = 74 ;
74 − 59 = 15 ; 59 − 15 = 44 ; 44 − 15 = 29 ;
29 − 15 = 14 ; 15 − 14 = 1 ; 14 − 1 = 13 ; 13 − 1 = 12 ;
12 − 1 = 11 ; 11 − 1 = 10 ; 10 − 1 = 9 ; 9 − 1 = 8 ;
8 − 1 = 7 ; 7 − 1 = 6 ; 6 − 1 = 5 ; 5 − 1 = 4 ;
4 − 1 = 3 ; 3 − 1 = 2 ; 2 − 1 = 1 ; 1 − 1 = 0.
D’où : PGCD (783 ; 325) = 1.
3. a. 279 − 155 = 124 ; 155 − 124 = 31 ;
124 − 31 = 93 ; 93 − 31 = 62 ; 62 − 31 = 31 ;
31 − 31 = 0. D’où : PGCD (155 ; 279) = 31.
b. 204 − 68 = 136 ; 136 − 68 = 68 ; 68 − 68 = 0.
D’où : PGCD (68 ; 204) = 68.
c. 184 − 154 = 30 ; 154 − 30 = 124 ; 124 − 30 = 94 ;
94 − 30 = 64 ; 64 − 30 = 34 ; 34 − 30 = 4 ;
30 − 4 = 26 ; 26 − 4 = 22 ; 22 − 4 = 18 ; 18 − 4 = 14 ;
14 − 4 = 10 ; 10 − 4 = 6 ; 6 − 4 = 2 ; 4 − 2 = 2 ;
2 − 2 = 0. D‘où : PGCD (154 ; 184) = 2.
d. 175 − 126 = 49 ; 126 − 49 = 77 ; 77 − 49 = 28 ;
49 − 28 = 21 ; 28 − 21 = 7 ; 21 − 7 = 14 ; 14 − 7 = 7 ;
7 − 7 = 0. D’où : PGCD (175 ; 126) = 7.
15
1. a. 182 = 117 × 1 + 65 ; 117 = 65 × 1 + 52 ;
65 = 52 × 1 + 13 ; 52 = 13 × 4 + 0.
D’où : PGCD (182 ; 117) = 13.
b. 728 = 630 × 1 + 98 ; 630 = 98 × 6 + 42 ;
98 = 42 × 2 + 14 ; 42 = 14 × 3 + 0.
D’où : PGCD (728 ; 630) = 14.
c. 333 = 189 × 1 + 144 ; 189 = 144 × 1 + 45 ;
144 = 45 × 3 + 9 ; 45 = 9 × 5 + 0.
D’où : PGCD (333 ; 189) = 9.
d. 245 = 165 × 1 + 80 ; 165 = 80 × 2 + 5 ;
80 = 5 × 16 + 0. D’où : PGCD (245 ; 165) = 5.
2. a. 540 = 180 × 3 + 0. D’où : PGCD (540 ; 180) = 180.
b. 392 = 161 × 2 + 70 ; 161 = 70 × 2 + 21 ;
70 = 21 × 3 + 7 ; 21 = 7 × 3 + 0.
D’où : PGCD (392 ; 161) = 7.
c. 880 = 784 × 1 + 96 ; 784 = 96 × 8 + 16 ;
96 = 16 × 6 + 0. D‘où : PGCD (880 ; 784) = 16.
d. 783 = 325 × 2 + 133 ; 325 = 133 × 2 + 59 ;
133 = 59 × 2 + 15 ; 59 = 15 × 3 + 14 ; 15 = 14 × 1 + 1 ;
14 = 1 × 14 + 0. D’où : PGCD (783 ; 325) = 1.
3. a. 279 = 155 × 1 + 124 ; 155 = 124 × 1 + 31 ;
124 = 31 × 4 + 0. D’où : PGCD (155 ; 279) = 31.
b. 204 = 68 × 3 + 0. D’où : PGCD (68 ; 204) = 68.
c. 184 = 154 × 1 + 30 ; 154 = 30 × 5 + 4 ;
30 = 4 × 7 + 2 ; 4 = 2 × 2 + 0.
D‘où : PGCD (154 ; 184) = 2.
d. 175 = 126 × 1 + 49 ; 126 = 49 × 2 + 28 ;
49 = 28 × 1 + 21 ; 28 = 21 × 1 + 7 ; 21 = 7 × 3 + 0.
D’où : PGCD (175 ; 126) = 7.
16
1. a. =
612
156
51
13 b. =
213
840
71
280 c. =
805
335
161
67
d. 187
351 est une fraction irréductible. e. =
435
928
15
32
f. =
784
392 2 g. =
170
245
34
49 h. =
117
189
13
21
17
PGCD (150 ; 180) = 30, donc le plus grand nombre
d’équipes ayant la même répartition de garçons et de
filles que le professeur peut constituer avec 150 filles
et 180 garçons est égal à 30. Chaque équipe sera
composée de 5 filles et de 6 garçons.
18
a. PGCD (8 954 ; 658) = 2.
b. PGCD (873 ; 1 650) = 3.
c. PGCD (3 025 ; 2 875) = 25.
d. PGCD (532 ; 875) = 7.
19
a. PGCD (651 ; 746) = 1.
b. PGCD (258 ; 1 214) = 2.
c. PGCD (4 584 ; 1 216) = 8.
c. PGCD (1 372 ; 770) = 14.
Exercices
À l’oral
20
a. Vrai. b. Vrai. c. Faux. d. Vrai.
21
a. Les diviseurs positifs de 25 sont : 1 ; 5 ; 25.
b. Les diviseurs positifs de 18 sont : 1 ; 2 ; 3 ; 6 ; 9 ; 18.
c. Les diviseurs positifs de 32 sont : 1 ; 2 ; 4 ; 8 ; 16 ; 32.
d. Les diviseurs positifs de 63 sont : 1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 21 ; 63.
22
1. Faux (car 6 ⬎ 4). 2. Vrai. 3. Vrai.
4. Faux. 5. Faux. 6. Vrai.
© Éditions Belin, 2012.

Chapitre 3 Diviseurs – PGCD 31
31
==
6 750
4 212
6 750 : 54
4 212 : 54
125
78
.
32
A = ×× ××
×× =
751294
45 48 3
7
3
.
B = ××
×× =
62513
50 3 4
13
4
.
33
1. a. 50
49 est irréductible car PGCD (50 ; 49) = 1.
b. 50 et 49 sont premiers entre eux.
2. a. =×
×=
50
49
50 3
49 3
150
147
.
b. PGCD (150 ; 147) = 3.
Je m’entraîne
34
a. 30 est le plus petit multiple commun à 6 et à
10, donc les deux bus se retrouveront au même arrêt
dans 30 minutes, soit à 8 h 50 min.
35
1. A = 5 634 2. B = 1 374
36
SC3
a. Les diviseurs positifs communs à 55 et 60
sont : 1 et 5. D’où : PGCD (55 ; 60) = 5.
b. Les diviseurs positifs communs à 56 et 42 sont :
1 ; 2 ; 7 ; 14. D’où : PGCD (56 ; 42) = 14.
c. Les diviseurs positifs communs à 54 et 78 sont :
1 ; 2 ; 3 ; 6. D’où : PGCD (54 ; 78) = 6.
37
SC3
1. a. 364 = 2 × 2 × 7 × 13
et 156 = 2 × 2 × 3 × 13.
b. PGCD (364 ; 156) = 2 × 2 × 13 = 52.
2. a. 225 = 3 × 3 × 5 × 5 et 210 = 2 × 3 × 5 × 7.
b. PGCD (225 ; 210) = 3 × 5 = 15.
38
a. 285 − 114 = 171 ; 171 − 114 = 57 ; 114 − 57 = 57 ;
57 − 57 = 0. D’où : PGCD (285 ; 114) = 57.
b. 364 −195 = 169 ; 195 − 169 = 26 ; 169 − 26 = 143 ;
143 − 26 = 117 ; 117 − 26 = 91 ; 91 − 26 = 65 ;
65 − 26 = 39 ; 39 − 26 = 13 ; 26 − 13 = 13 ; 13 − 13 = 0.
D’où : PGCD (364 ; 195) = 13.
c. 987 − 378 = 609 ; 609 − 378 = 231 ;
378 − 231 = 147 ; 231 − 147 = 84 ; 147 − 84 = 63 ;
84 − 63 = 21 ; 63 − 21 = 42 ; 42 − 21 = 21 ; 21 − 21 = 0.
D’où : PGCD (987 ; 378) = 21.
d. 500 − 448 = 52 ; 448 − 52 = 396 ; 396 − 52 = 344 ;
344 − 52 = 292 ; 292 − 52 = 240 ; 240 − 52 = 188 ;
188 − 52 = 136 ; 136 − 52 = 84 ; 84 − 52 = 32 ;
52 − 32 = 20 ; 32 − 20 = 12 ; 20 − 12 = 8 ; 12 − 8 = 4 ;
8 − 4 = 4 ; 4 − 4 = 0. D’où : PGCD (500 ; 448) = 4.
e. 273 − 189 = 84 ; 189 − 84 = 105 ; 105 − 84 = 21 ;
84 − 21 = 63 ; 63 − 21 = 42 ; 42 − 21 = 21 ; 21 − 21 = 0.
D’où : PGCD (273 ; 189) = 21.
f. 945 − 756 = 189 ; 756 − 189 = 567 ;
567 − 189 = 378 ; 378 − 189 = 189 ; 189 − 189 = 0.
D’où : PGCD (945 ; 756) = 189.
39
a. 3 575 − 2 730 = 845 ; 2 730 − 845 = 1 885 ;
1 885 − 845 = 1 040 ; 1 040 − 845 = 195 ;
23
SC3
a. Les diviseurs positifs communs à 14 et 49
sont : 1 ; 7.
b. Les diviseurs positifs communs à 35 et 50 sont :
1 ; 5.
c. Les diviseurs positifs communs à 27 et 63 sont :
1 ; 3 ; 9.
d. Les diviseurs positifs communs à 40 et 72 sont :
1 ; 2 , 4 ; 8.
24
SC3
a. PGCD (2 ; 6) = 2 b. PGCD (15 ; 45) = 15
c. PGCD (14 ; 28) = 14 d. PGCD (6 ; 27) = 3
25
Le plus grand diviseur commun à 27 et 12 est la
dernière différence non nulle, soit 3.
26
1. • 58 = 16 × 3 + 10.
Dividende : 58 ; diviseur : 16 ; quotient : 3 ; reste : 10.
• 16 = 10 × 1 + 6.
Dividende : 16 ; diviseur : 10 ; quotient : 1 ; reste : 6.
• 10 = 6 × 1 + 4.
Dividende : 10 ; diviseur : 6 ; quotient : 1 ; reste : 4.
• 6 = 4 × 1 + 2.
Dividende : 6 ; diviseur : 4 ; quotient : 1 ; reste : 2.
• 4 = 2 × 2 + 0.
Dividende : 4 ; diviseur : 2 ; quotient : 2 ; reste : 0.
2. Le plus grand diviseur commun à 58 et 16 est le
dernier reste non nul, soit 2.
27
a + b = 12 avec a ⬎ b et PGCD (a ; b) = 1,
d’où : a = 11 et b = 1 ou a = 7 et b = 5.
28
a. 35
14 n’est pas irréductible, car 35 et 14 sont
divisibles par 7. =
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
35
14
5
2
b. 40
23 est irréductible.
c. 9
27 n’est pas irréductible, car 9 et 27 sont
divisible par 3 (et 9). =
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
9
27
1
3
d. 12
54 n’est pas irréductible, car 12 et 54 sont
divisibles par 2 (et 3). =
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
12
54
2
9
29
a. 2 744 et 3 128 sont divisibles par 2, donc la
fraction 2 744
3128 n’est pas irréductible. =
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
2 744
3128
343
391
b. 1 155 et 4 970 sont divisibles par 5, donc la fraction
1155
4 970 n’est pas irréductible. 1155 4 970
33
142
=
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
c. 243 et 45 sont divisibles par 9, donc la fraction
243
45 n’est pas irréductible. =
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟
243
45
27
5
d. 3 346 et 970 sont divisibles par 2, donc la fraction
3 346
970 n’est pas irréductible. =
⎛
⎝
⎜⎞
⎠
⎟
3 346
970
1673
485
30
a. =
18
24
3
4 b. =
40
25
8
5 c. =
28
49
4
7 d. =
63
36
7
4
© Éditions Belin, 2012.

32
e. 3 473 = 2 162 × 1 + 1 311 ; 2 162 = 1 311 × 1 + 851 ;
1 311 = 851 × 1 + 460 ; 851 = 460 × 1 + 391 ;
460 = 391 × 1 + 69 ; 391 = 69 × 5 + 46 ;
69 = 46 × 1 + 23 ; 46 = 23 × 2 + 0.
D’où : PGCD (3 473 ; 2 162) = 23.
f. 1 003 = 697 × 1 + 306 ; 697 = 306 × 2 + 85 ;
306 = 85 × 3 + 51 ; 85 = 51 × 1 + 34 ; 51 = 34 × 1 + 17 ;
34 = 17 × 2 + 0. D’où : PGCD (1 003 ; 697) = 17.
42
a. PGCD (789 ; 502) = 1, donc 789 et 502
sont premiers entre eux.
b. PGCD (451 ; 625) = 1, donc 451 et 625
sont premiers entre eux.
c. PGCD (936 ; 1 118) = 26, donc 936 et 1 118
ne sont pas premiers entre eux.
d. PGCD (1 429 ; 976) = 1, donc 1 429 et 976
sont premiers entre eux.
e. PGCD (615 ; 1 476) = 123, donc 615 et 1 476
ne sont pas premiers entre eux.
f. PGCD (444 ; 725) = 1, donc 444 et 725
sont premiers entre eux.
43
1. a. PGCD (381 ; 1 016) = 127.
b. PGCD (576 ; 1 248) = 96.
c. PGCD (2 459 ; 634) = 1.
d. PGCD (5 560 ; 1 872) = 8.
2. a. PGCD (425 ; 1 050) = 25.
b. PGCD (975 ; 793) = 13.
c. PGCD (478 ; 799) = 1.
d. PGCD (671 ; 542) = 1.
44
1. a. PGCD (682 ; 78) = 2.
b. PGCD (451 ; 244) = 1.
c. PGCD (597 ; 343) = 1.
d. PGCD (1 145 ; 870) = 5.
2. a. PGCD (250 ; 984) = 2.
b. PGCD (735 ; 381) = 3.
c. PGCD (682 ; 884) = 2.
d. PGCD (613 ; 521) = 1.
45
1. PGCD (294 ; 210) = 42.
On peut composer au maximum 42 équipes.
2. 294 : 42 = 7 et 210 : 42 = 5.
C h a q u e é q u i p e s e r a c o m p o s é e d e 7 F r a n ç a i s e t 5 I t a l i e n s .
46
1. a. 92 = 3 × 30 + 2 et 138 = 3 × 46.
L’apiculteur pourra obtenir au maximum 30 lots
composés de 3 pots de miel de lavande et de 3 pots
de miel de thym.
b. Il restera 2 pots de miel de lavande et 48 pots
de miel de thym.
2. a. PGCD (92 ; 138) = 46.
L’apiculteur pourra réaliser au maximum 46 lots
identiques en utilisant tous ses pots.
b. 92 : 46 = 2 et 138 : 46 = 3.
Chaque lot sera composé de 2 pots de miel de lavande
et de 3 pots de miel de thym.
47
a. =
1036
1776
7
12 b. =
2 584
5 472
17
36
c. =
9 434
7 310
4 717
3 655 d. 3 068
4 366 =26
37
845 − 195 = 650 ; 650 − 195 = 455 ; 455 − 195 = 260 ;
260 − 195 = 65 ; 195 − 65 = 130 ; 130 − 65 = 65 ;
65 − 65 = 0. D’où : PGCD (3 575 ; 2 730) = 65.
b. 10 780 − 3 520 = 7 260 ; 7 260 − 3 520 = 3 740 ;
3 740 − 3 520 = 220 ; 3 520 − 220 = 3 300 ;
3 300 − 220 = 3 080 ; 3 080 − 220 = 2 860 ;
2 860 − 220 = 2 640 ; 2 640 − 220 = 2 420 ;
2 420 − 220 = 2 200 ; 2 200 − 220 = 1 980 ;
1 980 − 220 = 1 760 ; 1 760 − 220 = 1 540 ;
1 540 − 220 = 1 320 ; 1 320 − 220 = 1 100 ;
1 100 − 220 = 880 ; 880 − 220 = 660 ; 660 − 220 = 440 ;
440 − 220 = 220 ; 220 − 220 = 0.
D’où : PGCD (10 780 ; 3 520) = 220.
c. 5 148 − 1 386 = 3 762 ; 3 762 − 1 386 = 2 376 ;
2 376 − 1 386 = 990 ; 1 386 − 990 = 396 ;
990 − 396 = 594 ; 594 − 396 = 198 ; 396 − 198 = 198 ;
198 − 198 = 0. D’où : PGCD (5 148 ; 1 386) = 198.
d. 9 240 − 3 822 = 5 418 ; 5 418 − 3 822 = 1 596 ;
3 822 − 1 596 = 2 226 ; 2 226 − 1 596 = 630 ;
1 596 − 630 = 966 ; 966 − 630 = 336 ; 630 − 336 = 294 ;
336 − 294 = 42 ; 294 − 42 = 252 ; 252 − 42 = 210 ;
210 − 42 = 168 ; 168 − 42 = 126 ; 126 − 42 = 84 ;
84 − 42 = 42 ; 42 − 42 = 0.
D’où : PGCD (9 240 ; 3 822) = 42.
e. 416 − 325 = 91 ; 325 − 91 = 234 ; 234 − 91 = 143 ;
143 − 91 = 52 ; 91 − 52 = 39 ; 52 − 39 = 13 ;
39 − 13 = 26 ; 26 − 13 = 13 ; 13 − 13 = 0.
D’où : PGCD (325 ; 416) = 13.
f. 960 − 392 = 568 ; 568 − 392 = 176 ;
392 − 176 = 216 ; 216 − 176 = 40 ; 176 − 40 = 136 ;
136 − 40 = 96 ; 96 − 40 = 56 ; 56 − 40 = 16 ;
40 − 16 = 24 ; 24 − 16 = 8 ; 16 − 8 = 8 ; 8 − 8 = 0.
D’où : PGCD (392 ; 960) = 8.
40
a. 616 = 495 × 1 + 121 ; 495 = 121 × 4 + 11 ;
121 = 11 × 11 + 0. D’où : PGCD (616 ; 495) = 11.
b. 162 = 114 × 1 + 48 ; 114 = 48 × 2 + 18 ;
48 = 18 × 2 + 12 ; 18 = 12 × 1 + 6 ; 12 = 6 × 2 + 0.
D’où : PGCD (162 ; 114) = 6.
c. 624 = 408 × 1 + 216 ; 408 = 216 × 1 + 192 ;
216 = 192 × 1 + 24 ; 192 = 24 × 8 + 0.
D’où : PGCD (624 ; 408) = 24.
d. 703 = 456 × 1 + 247 ; 456 = 247 × 1 + 209 ;
247 = 209 × 1 + 38 ; 209 = 38 × 5 + 19 ;
38 = 19 × 2 + 0. D’où : PGCD (703 ; 456) = 19.
e. 294 = 84 × 3 + 42 ; 84 = 42 × 2 + 0.
D’où : PGCD (294 ; 84) = 42.
f. 252 = 72 × 3 + 36 ; 72 = 36 × 2 + 0.
D’où : PGCD (252 ; 72) = 36.
41
a. 1 681 = 108 × 15 + 61 ; 108 = 61 × 1 + 47 ;
61 = 47 × 1 + 14 ; 47 = 14 × 3 + 5 ; 14 = 5 × 2 + 4 ;
5 = 4 × 1 + 1 ; 4 = 1 × 4 + 0.
D’où : PGCD (1 681 ; 108) = 1.
b. 6 652 = 924 × 7 + 184 ; 924 = 184 × 5 + 4 ;
184 = 4 × 46 + 0. D’où : PGCD (6 652 ; 924) = 4.
c. 1 599 = 273 × 5 + 234 ; 273 = 234 × 1 + 39 ;
234 = 39 × 6 + 0. D’où : PGCD (1 599 ; 273) = 39.
d. 2 312 = 145 × 15 + 137 ; 145 = 137 × 1 + 8 ;
137 = 8 × 17 + 1 ; 8 = 1 × 8 + 0.
D’où : PGCD (2 312 ; 145) = 1.
© Éditions Belin, 2012.