Fonctions continues et dérivables

Chapitre 2
Fonctions continues et dérivables
2.1
2.1.1
La notion de fonction
Definition
Une fonction est une relation particulière entre deux variables. De façon précise, on dit qu’une variable
y est fonction de la variable x si pour toute valeur de x, il correspond une et une seule valeur de y.
Les fonctions se notent par des lettres f, g, h, ... ou parfois des lettres grecques : Φ, φ, ϕ, Ψ, ψ, ... On
note la relation fonctionnelle sous la forme
y = f (x),
ou
f : x 7→ y.
On peut penser à la fonction comme une “règle”, ou une “machine” qui prend la variable x comme
input et qui produit la variable y en output.
Si y = f (x) est une fonction, on dit que x est une préimage et y est l’image de cette préimage, on dit
aussi que x est la variable libre et y est la variable dépendante.
Voyons quelques fonctions familière :
– La fonction constante : f (x) = c (= constante) pour tout x.
– La fonction identité : f (x) = x pour tout x.
2
– f (x) = x
√.
– f (x) = x.
1
– f (x) = .
x
– Les polynômes : P (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn .
– Les fonctions trigonométriques sin(x), cos(x).
– Les exponentielles f (x) = ax .
– les logarithmes...
Domaine de définition
Nous avons dit qu’une fonction est une relation particulière entre deux variables, mais nous n’avons
pas précisé ce que recouvre le mot “variable”. Pour le moment, nous nous limiterons au cas ou les
variables sont des nombres réels (on parle de variable réelle), dans certains cas les variables sont
même des nombres entiers. En général, la variable est restreinte : elle ne peut pas prendre toutes les
valeurs réelles et elle appartient à un un sous-ensemble D ⊂ R qu’on appelle le domaine de la variable.
17
Le domaine D de la variable x est souvent un intervalle, par exemple :
[a, b] =
x ∈ Ra ≤ x ≤ b
[a, b[ =
x ∈ Ra ≤ x < b
[a, ∞[ =
x ∈ Ra ≤ x
]a, b] =
x ∈ Ra < x ≤ b
]∞, b] =
x ∈ Rx ≤ b
]a, b[ =
x ∈ Ra < x < b .
Si la fonction f transforme x en la variable y, alors le domaine de x s’appelle le domaine de définition
de la fonction et se note D(f ). La fonction doit être bien définie pour tout x dans le domaine D(f ).
Par exemple si f (x) = x1 , alors le domaine de définition maximal est R∗ = R \ {0} (l’ensemble R privé
de 0).
√
Si f (x) = x, alors le domaine de définition maximal est R+ = [0, ∞[.
2.1.2
Construction de nouvelles fonctions
A partir d’une fonction f (x) ou de plusieurs fonctions f (x), g(x), ..., on peut en obtenir de nouvelles
par diverses opérations algébrique :
A) La somme de deux fonctions f et g est la nouvelle fonction (f + g) définie par
(f + g)(x) = f (x) + g(x)
(f + g) : x 7→ f (x) + g(x).
B) Le produit de deux fonctions f et g est la nouvelle fonction (f · g) définie par
(f · g)(x) = f (x) · g(x)
(f · g) : x 7→ f (x) · g(x).
(l’une de ces deux fonctions peut -être constante, on obtient alors le produit d’une fonction par une
constante (a · f : x 7→ a · f (x)).
C) Le quotient de deux fonctions f et g est la nouvelle fonction
f (x)
f
(x) =
g
g(x)
f
g
définie par
f (x)
f
: x 7→
.
g
g(x)
Exemple : si f (x) = sin(x) et g(x) = cos(x), alors
f
g (x)
= tan(x).
D) La composition de deux fonctions f et g est la nouvelle fonction g ◦f obtenue en appliquant d’abord
f puis g :
g ◦ f (x) = g(f (x)).
Exemple : si f (x) = x2 et g(y) = y 3 , alors g ◦ f (x) = x6 , car
g ◦ f (x) = g(f (x)) = g(x2 ) = (x2 )3 = x2·3 = x6 .
E) Le maximum de deux fonctions f et g est la nouvelle fonction max{f, g} obtenue en prenant pour
chaque x la plus grande des deux images f (x) et g(x) :
max{f, g} : x 7→ max{f (x), g(x)}
Exemple : |x| = max{x, −x}.
18
2.1.3
La notion de limite d’une fonction
Soit y = f (x) une fonction. On veut donner un sens précis à la phrase :
La variable y tend vers b lorsque x tend vers a.
Supposons pour cela que a ∈ D(f ) et b ∈ R :
Définition On dit que y = f (x) converge vers b lorsque x converge vers a et on note
b = lim f (x)
x→a
si pour toute suite xk d’éléments du domaine D(f ) qui converge vers a, la suite yk = f (xk ) des images
converge vers b :
Si lim xk = a, alors lim f (xk ) = b
k→∞
k→∞
On définit aussi
lim f (x) = ∞
x→a
si pour toute suite xk d’éléments du domaine D(f ) qui converge vers a, la suite yk = f (xk ) des images
tend vers ∞ :
Si lim xk = a, alors lim f (xk ) = ∞
k→∞
k→∞
Propriétés des limites Les propriétés de la convergence répètent celles de la convergences des
suites :
a) Si lim f (x) = b = lim h(x) et si f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) pour tout x, alors
x→a
x→a
lim g(x) = b.
x→a
b) Si lim f (x) = ∞ et si g(x) ≥ f (x) pour tout x, alors lim g(x) = ∞ ;
x→a
x→a
c) lim (f + g)(x) = lim f (x) + lim g(x) ;
x→a
x→a
x→a
d) lim (f · g)(x) = ( lim f (x)) · ( lim g(x)) ;
x→a
x→a
x→a
lim f (x)
f
(x) = x→a
.
e) lim
x→a
g
lim g(x)
x→a
On suppose dans ces règles que les limites écrites existent et que lim g(x) 6= 0 pour la dernière règle.
x→a
2.1.4
Fonctions continues
Définition La fonction y = f (x) est continue en a ∈ D(f ) si pour toute suite xk qui converge vers a,
la suite des images yk = f (xk ) converge vers f (a) :
lim f (x) = f (a)
x→a
Si ça n’est pas le cas, on dit que la fonction a une discontinuité en a.
On dit que la fonction f est continue si elle est continue en tout point de son domaine de définition.
Exemple : Considérons la fonction f : R → R définie par
(
1
si x 6= 0;
f :x→ x
0
si x = 0.
est discontinue en x = 0.
19
Propriétés des fonctions continues
i.) Si f et g sont continues en a, alors (f + g) et (f · g) aussi.
ii.) Si f et g sont continues en a et g ne s’annule pas, alors
f
g
est continue en a.
iii.) Si f est continue en a et g est continue en b = f (a), alors g ◦ f est continue en a.
Théorème 2.1 (Théorème de la valeur intermédiaire) Soit f une fonction continue sur l’intervalle fermé [a, b]. Supposons que f (a) < f (b). Alors pour tout nombre y tel que f (a) ≤ y ≤ f (b),
il existe (au moins) une valeur de x dans l’intervalle [a, b] telle que f (x) = y.
Remarque : Ce théorème est faux si la fonction n’est pas continue !
Exemple : On veut prouver que la racine carrée de 5 existe. Considérons pour cela la fonction
f (x) = x2 , cette fonction est continue. Observons que f (0) = 0 et f (3) = 9. Or 0 ≤ 5 ≤ 9, donc (par
le théorème de la valeur intermédiaire) il existe un x entre 0 et 3 tel que x2 = f (x) = 5.
√
Exemple : Cette méthode permet aussi de prouver que n x existe pour tout x > 0 et tout entier
naturel n.
Corollaire 2.2 Soit f : [a, b] → R une fonction qui est continue et strictement croissante. Alors il
existe une fonction x = g(y), g : [f (a), f (b)] → [a, b] qui est inverse de f , c’est-à-dire
pour tout x ∈ [a, b].
g ◦ f (x) = x,
De plus. cette fonction g est continue.
Cette fonction s’appelle l’inverse ou la réciproque de f et se note
f −1 : [f (a), f (b)] → [a, b]
On fera attention de ne pas confondre la fonction inverse f −1 avec l’inverse algébrique
2.2
1
f.
La dérivée d’une fonction
Exemple : la notion de vitesse instantanée Considérons une particule qui se déplace au cours
du temps, et notons s(t) la distance parcourue par cette particule jusqu’au temps t.
La vitesse moyenne de cette particule entre les temps t0 et t1 est le quotient
s(t1 ) − s(t0 )
t1 − t0
et la vitesse instantanée est la limite suivante (si elle existe)
lim
t1 →t0
s(t1 ) − s(t0 )
.
t1 − t0
Cette limite est un exemple de dérivée.
D’une manière générale, si y = f (x) est une fonction de x, alors la variation moyenne d’amplitude h
en x de cette fonction est le quotient
f (x + h) − f (x)
.
h
La dérivée de f en x est la limite de ce quotient lorsque h → 0 (à condition que cette limite existe).
On la note f ′ (x), ainsi
f (x + h) − f (x)
.
f ′ (x) = lim
h→0
h
20
Attention, cette limite est une limite du type ‘ 00 ’. Elle n’existe pas toujours. On dit que la fonction f
est dérivable en x si la limite existe.
Exemple 1 Considérons la fonction f (x) = 3x − 5. Alors
f (x + h) − f (x) = 3(x + h) − 3x = 3h,
donc
f (x+h)−f (x)
h
= 3 et
f ′ (x) = lim
h→0
f (x + h) − f (x)
= 3.
h
Plus généralement, si f (x) = a x + b, alors f est dérivable et f ′ (x) = a pour tout x.
Exemple 2 Soit f (x) = x2 . Alors
f (x + h) = (x + h)2 = x2 + 2xh + h2 ,
donc
2xh + h2
f (x + h) − f (x)
=
= 2x + h,
h
h
et donc
f (x + h) − f (x)
h
= lim (2x + h)
f ′ (x) = lim
h→0
h→0
= 2x.
On a montré que
(x2 )′ = 2x.
Exemple 3 Soit f (x) = xn .
La formule du binôme pour (x + h)n s’écrit
(x + h)n = xn + n xn−1 h + C2n xn−2 h2 + · · · + hn
donc
(x + h)n − xn = n xn−1 h + C2n xn−2 h2 + · · · + hn
et
finalement
(x + h)n − xn
= n xn−1 + h · (· · · )
h
(x + h)n − xn
= n xn−1 .
h→0
h
f ′ (x) = lim
On a montré que
(xn )′ = n xn−1 .
21
Règles de dérivations :
(f + g)′ = f ′ + g ′
(a · f )′ = a · f ′
(a est une constante)
(f · g)′ = f ′ · g + f · g ′
′
g′
1
=− 2
g
g
′
′
f
f · g − f · g′
=
2
g
g
(Règle de Leibniz)
(f g(x) )′ = f ′ g(x) · g ′ (x)
si g(f (x)) = x, alors g ′ =
1
f′ ◦ g
(dérivation en chaîne)
(dérivation de la fonction réciproque)
Preuve de la Règle de Leibniz
on a
(f · g)(x + h) − (f · g)(x) = f (x + h) · g(x + h)f (x) · g(x)
= f (x + h) · g(x + h)−f (x)g(x + h) + f (x)g(x + h) − f (x) · g(x)
= (f (x + h) − f (x))g(x + h) + f (x)(g(x + h) − g(x))
donc
(f · g)(x + h) − (f · g)(x)
(f (x + h) − f (x))
(g(x + h) − g(x))
=
g(x + h) + f (x)
h
h
h
D’où la règle de Leibniz.
Exemple 1 : La règle de Leibniz entraîne que
(f 2 (x))′ = 2f (x) · f ′ (x)
(poser f = g).
Exemple 2 : Soit f (x) =
c’est à dire
√
x dans l’exemple précédent, alors f 2 (x) = x. Donc
√ √
1 = x′ = 2 x( x)′ ,
√
1
( x)′ = √ .
2 x
22
Quelques dérivées importantes :
Si f est constante, alors f ′ = 0
(ax + b)′ = a
ex
′
= ex
′
loga (x) =
1
ln(a) x
pour tout a > 0.
′
1
ln x =
x
(xa )′ = axa−1
pour tout a 6= 0.
(sin x)′ = cos x
(cos x)′ = − sin x
(tan(x))′ =
1
= 1 + tan2 (x)
cos2 (x)
1
arcsin(x) = √
1 − x2
1
arccos(x) = − √
1 − x2
arctan(x) =
2.2.1
1
1 + x2
Approximation linéaire d’une fonction
Proposition 2.3 Si f est une fonction dérivable en x, alors on a au voisinage de x :
f (x + h) = f (x) + f ′ (x) · h + ϕ1 (x, h),
où ϕ1 est un “infiniment petit d’ordre 1”, c’est à dire
ϕ1 (x, h)
= 0.
h→0
h
lim
Cette formule s’appelle la formule d’approximation linéaire de la fonction f en x.
Preuve On définit la fonction ϕ1 (x, h) par la formule ϕ1 (x, h) = (f (x + h) − f (x)) − f ′ (x) · h. Divisons
cette équation par h
ϕ1 (x, h)
(f (x + h) − f (x))
=
− f ′ (x),
h
h
et faisons tendre h vers 0. Il vient
(f (x + h) − f (x))
ϕ1 (x, h)
= lim
− f ′ (x).
h→0
h→0
h
h
lim
Et cette quantité vaut 0 par définition de la dérivée f ′ (x).
23
Cette formule est utilisée dans les calculs approximatifs. (Les calculs sont approximatifs, mais on peut
contrôler l’erreur effectuée, le raisonement reste donc rigoureux.)
√
Supposons par exemple que nous voulons estimer 98. On observe que
s
r
√
√
2
2
= 10 · 1 −
.
98 = 100 − 2 = 100 · 1 −
100
100
On a donc
√
√
2
) avec f (x) = 10 · 1 − x.
98 = f ( 100
5
et en particulier f ′ (0) = −5. En utilisant l’approximation linéaire
La dérivée de f est f ′ (x) = − √1−x
f (x + h) ∼
= f (x) + f ′ (x) · h
avec x = 0, f (0) = 10 f ′ (0) = −5 et h = 0.02, on trouve que
√
98 = f (0.02) ∼
= f (x) + f ′ (x) · h = 10 − 5 · 0.02 = 9.9.
√
L’approximation n’est pas si mauvaise, puisque 98 = 9.8995 (l’erreur est de l’ordre de 0.5 × 10−3 ).
2.2.2
La règle de l’Hospital
′′
Le résultat suivant est utile lorsqu’il faut calculer des limites du type “ 00 .
Proposition 2.4 Soient f (x) et g(x) deux fonctions qu’on suppose dérivables en un point a.
Si f (a) = g(a) = 0 et f ′ (a) 6= 0, g ′ (a) 6= 0, alors
f ′ (a)
f (x)
= ′
.
lim
x→a
g(x)
g (a)
Remarques 1. Cette formule est utile car on ne peut pas écrire
lim
x→a
f (x)
f (a)
0
=
=
g(x)
g(a)
0
puisque cette dernière fraction n’a aucun sens précis.
2. Si f ′ (a) = g ′ (a) = 0, alors la règle de l’Hopital dit que
f ′ (x)
f (x)
= lim ′
x→a g (x)
x→a g(x)
lim
et on peut essayer de dériver une seconde fois.
Preuve de la proposition Ecrivons les approximations linéaires de f et g au point a :
f (a + h) = f (a) + f ′ (a) · h + ϕ1 (a, h),
g(a + h) = g(a) + g ′ (a) · h + ψ1 (a, h)
ϕ1 (a, h)
ψ1 (a, h)
= lim
= 0.
h→0
h
h
On a alors
Avec lim
h→0
f ′ (a) + ϕ1 (a,h)
h
f (a) + f ′ (a) · h + ϕ1 (a, h)
f ′ (a) · h + ϕ1 (a, h)
f (a + h)
=
= ′
=
g(a + h)
g(a) + g ′ (a) · h + ψ1 (a, h)
g (a) · h + ψ1 (a, h)
g ′ (a) + ψ1 (a,h)
h
(n’oublions pas que f (a) = g(a) = 0).
24
On a donc en posant x = a + h
f (x)
f (a + h)
= lim
x→a g(x)
h→0 g(a + h)
f ′ (a) + ϕ1 (a,h)
h
= lim
ψ1 (a,h)
h→0 ′
g (a) +
h
limh→0 f ′ (a) + ϕ1 (a,h)
h
=
ψ1 (a,h)
′
limh→0 g (a) +
h
lim
=
f ′ (a)
.
g ′ (a)
Exemple Avec la règle de l’Hospital , nous pouvons calculer la limite limx→0
nous avons sin(0) = 0, donc
sin(x)
x
= 1. En effet ,
cos(x)
sin′ (x)
sin(x)
= lim
= lim
= 1.
x→0
x→0
x→0
x
x′
1
lim
2.2.3
Interprétation géométrique de la dérivée
On vu l’interprétation cinématique de la dérivée comme vitesse instantanée. Géométriquement, la
dérivée f ′ (x) représente la pente de la droite tangente au graphe de y = f (x) au point (x, f (x)).
droite de pente f ′ (x0 )
y
y = f (x)
x0 , f (x0 )
h
f (x0 + h) − f (x0 )
x
x0
x0 + h
f ′ (x0 ) = pente de la droite tangente à la courbe y = f (x) au point x0 , f (x0 ) .
Conséquence :
– Si f ′ (x0 ) > 0, la fonction est croissante en x0 .
– Si f ′ (x0 ) < 0, la fonction est décroissante en x0 .
– Si f ′ (x0 ) = 0, la courbe y = f (x) a une tangente horizontale en x0 , f (x0 ) .
Définition La fonction y = f (x) possède un point critique en x0 si elle est dérivable et si f ′ (x0 ) = 0
Il y a trois sortes de points critiques, ce sont les maximums locaux, les minimums locaux et les points
d’inflexions plats. Un point x0 est un maximum local si la fonction f est croissante dans un intervalle
]x0 − h, x0 [ et décroissante dans ]x0 , x0 + h[ pour une valeur de h > 0 assez petite.
25
Un point x0 est un minimum local si au contraire la fonction f est décroissante dans un intervalle
]x0 −h, x0 [ et croissante dans ]x0 , x0 +h[ pour h > 0 assez petit. Le point t x0 est un points d’inflexions
plats si c’est un point critique et la fonction est monotone (croissante ou décroissante) au voisinage
de x0 .
2.3
La dérivée seconde
Soit f : [a, b] → R une fonction dérivable. La dérivée de f est une nouvelle fonction f ′ : [a, b] → R.
Définition On dit que f admet une dérivée seconde sur l’intervalle ]a, b[ si la fonction dérivée
f ′ : [a, b] → R est elle-même dérivable. On note f ′′ la dérivée de f ′ :
f ′ (x + h) − f ′ (x)
.
h→0
h
f ′′ (x) = lim
Exemple La fonction f (x) = 2x3 − x admet une dérivée seconde, et cette dérivée seconde est donnée
par f ′′ (x) = 12x.
En effet, f ′ (x) = 6x2 − 1 et f ′′ (x) = (6x2 − 1)′ = 12x.
Définition Soit f : [a, b] → R une fonction dérivable. La fonction f est dite convexe sur l’intervalle
[c, d] (avec a ≤ c ≤ d ≤ b) si la dérivée f ′ est croissante sur cet intervalle.
Elle est dite concave si la dérivée est décroissante.
Comme la dérivée mesure la croissance infinitésimale de la fonction, on voit qu’une fonction est convexe
si sa croissance augmente avec x.
Définition La fonction f possède un point d’inflexion en x0 si sa dérivée change de signe en ce point.
En un point d’inflexion, la dérivée seconde est nulle et la tangente à la courbe y = f (x) traverse cette
courbe.
Théorème 2.5 Si la fonction f : [a, b] → R admet une dérivée seconde, alors elle est convexe sur
l’intervalle [c, d] si f ′′ (x) ≥ 0 pour tout x ∈ [c, d].
La fonction est concave sur l’intervalle [c, d] si f ′′ (x) ≤ 0 pour tout x ∈ [c, d]
Exemple La fonction f (x) = 2x3 −x est convexe sur {x ≥ 0} et concave sur {x ≤ 0} (car f ′′ (x) = 12x).
Preuve du théorème On sait qu’une fonction dérivable g est croissante au voisinage d’un point x
si g ′ (x) > 0. On applique cette remarque à g = f ′ . Donc f est convexe, si g = f ′ est croissante, c’est
à dire si g ′ = f ′′ > 0.
On raisonne de la même façon pour la concavité.
Corollaire Soit x0 un point critique d’une fonction f . On suppose que f est deux fois dérivable (et
que la seconde dérivée f ′′ est une fonction continue), alors
a) Si f ′′ (x0 ) > 0, alors f a un minimum local en x0 ;
b) Si f ′′ (x0 ) < 0, alors f a un maximum local en x0 ;
c) Si f ′′ (x0 ) = 0, alors les trois cas cas peuvent se présenter (f peut avoir un maximum, un minimum
ou une inflexion en x0 ).
Preuve Supposons que f ′ (x0 ) = 0 et f ′′ > 0 au voisinage de x0 . Alors la dérivée f ′ est croissante (au
voisinage de x0 ) et comme f ′ (x0 ) = 0, on a :
f ′ (x) < 0, pour x < x0 (proche de x0 ) ;
f ′ (x) > 0, pour x > x0 (proche de x0 ).
Donc la fonction f elle-même vérifie
f est décroissante pour x < x0 (proche de x0 ) ;
26
f est croissante pour x > x0 (proche de x0 ).
Cela veut bien dire que f passe par minimum local au point x0 .
C’est un raisonnement semblable qui montre que si f ′ (x0 ) = 0 et f ′′ (x0 ) > 0, alors f passe par
maximum local au point x0 .
Nous pouvons illustrer les concepts précédents avec la fonction ci-dessous :
A
b
C
b
Bb
Cette fonction possède deux points critiques, le point A est un maximum local et le point B est un
minimum local. La fonction est concave à gauche du point C et convexe à droite de ce point. Le point
C est un point d’inflexion.
On
(a)
(b)
(c)
trouve ces points de la façon suivante :
Le point A = (a, f (a)) où f ′ (a) = 0 et f ′′ (a) < 0 (maximum local).
Le point B = (b, f (b)) où f ′ (b) = 0 et f ′′ (b) > 0 (minimum local).
Le point C = (c, f (c)) où f ′′ (c) = 0 et f ′′ change de signe en c.
2.3.1
Optimisation
Le mot “optimiser” signifie rechercher la plus grande ou la plus petite valeur possible d’une variable
y dans une situation donnée. Lorsque cette variable est fonction d’une autre : y = f (x). Alors les
considérations des paragraphes précédents nous disent qu’il faut rechercher le maximum ou le minimum
de y en annulant la dérivée de f , i.e. en résolvant l’équation f ′ (x) = 0. Nous appellerons cette méthode
le principe de Fermat :
Principe de Fermat : Pour optimiser une fonction y = f (x), on doit résoudre
l’équation f ′ (x) = 0, puis analyser la nature du ou des points critiques obtenus.
Pour décider si un point critique est un maximum ou un minimum, voire un point d’inflexion, on
calcule la dérivée seconde en ce point.
Exemple 1 Soit f (x) = 2x3 + 3x2 − 12x + 5, alors on a
f ′ (x) = 6x2 + 6x − 12,
f ′′ (x) = 12x + 6.
On trouve les points critiques en résolvant l’équation f ′ (x) = 0. Les solutions sont x1 = 1 et x2 = −2.
En ces points on a f ′′ (1) = 12 · 1 + 6 = 18 > 0 et f ′′ (−2) = 12 · (−2) + 6 = −18 < 0. Donc f a un
minimum local en x1 = 1 et un maximum local en x2 = −2. Il n’y a pas d’autres points critiques.
Exemple 2 On se propose de résoudre le problème suivant : la somme de deux nombres vaut 7, quelle
est la valeur maximale de leurs produit ?
Solution On note x le premier de ces nombres, alors le second vaut 7 − x et leur produit vaut
P (x) = x · (7 − x) = −x2 + 7x.
27
La dérivée de cette fonction est P ′ (x) = −2x + 7 et le ou les points critique(s) se trouvent en résolvant
l’équation P ′ (x) = 0. Il n’y a qu’une solution qui est x = 7/2 = 3.5. Ce point critique est un maximum
car P ′′ (x) = −2 < 0. Donc la valeur maximale cherchée est
2
7
7
49
7
7
= · 7−
=
=
= 12.25.
P
2
2
2
2
4
28