Fonctions continues et dérivables

Chapitre 2
Fonctions continues et dérivables
2.1 La notion de fonction
2.1.1 Definition
Une fonction est une relation particulière entre deux variables. De façon précise, on dit qu’une variable
yest fonction de la variable xsi pour toute valeur de x, il correspond une et une seule valeur de y.
Les fonctions se notent par des lettres f, g, h, ... ou parfois des lettres grecques : Φ, φ, ϕ, Ψ, ψ, ... On
note la relation fonctionnelle sous la forme
y=f(x),
ou
f:x7→ y.
On peut penser à la fonction comme une “règle”, ou une “machine” qui prend la variable xcomme
input et qui produit la variable yen output.
Si y=f(x)est une fonction, on dit que xest une préimage et yest l’image de cette préimage, on dit
aussi que xest la variable libre et yest la variable dépendante.
Voyons quelques fonctions familière :
– La fonction constante : f(x) = c(= constante) pour tout x.
– La fonction identité : f(x) = xpour tout x.
–f(x) = x2.
–f(x) = √x.
–f(x) = 1
x.
– Les polynômes : P(x) = a0+a1x+a2x2+···+anxn.
– Les fonctions trigonométriques sin(x),cos(x).
– Les exponentielles f(x) = ax.
– les logarithmes...
Domaine de définition
Nous avons dit qu’une fonction est une relation particulière entre deux variables, mais nous n’avons
pas précisé ce que recouvre le mot “variable”. Pour le moment, nous nous limiterons au cas ou les
variables sont des nombres réels (on parle de variable réelle), dans certains cas les variables sont
même des nombres entiers. En général, la variable est restreinte : elle ne peut pas prendre toutes les
valeurs réelles et elle appartient à un un sous-ensemble D⊂Rqu’on appelle le domaine de la variable.
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Le domaine Dde la variable xest souvent un intervalle, par exemple :
[a, b] = x∈Ra≤x≤b
[a, b[ = x∈Ra≤x < b 
[a, ∞[ = x∈Ra≤x
]a, b] = x∈Ra < x ≤b
]∞, b] = x∈Rx≤b
]a, b[ = x∈Ra < x < b .
Si la fonction ftransforme xen la variable y, alors le domaine de xs’appelle le domaine de définition
de la fonction et se note D(f). La fonction doit être bien définie pour tout xdans le domaine D(f).
Par exemple si f(x) = 1
x, alors le domaine de définition maximal est R∗=R\{0}(l’ensemble Rprivé
de 0).
Si f(x) = √x, alors le domaine de définition maximal est R+= [0,∞[.
2.1.2 Construction de nouvelles fonctions
A partir d’une fonction f(x)ou de plusieurs fonctions f(x), g(x), ..., on peut en obtenir de nouvelles
par diverses opérations algébrique :
A) La somme de deux fonctions fet gest la nouvelle fonction (f+g)définie par
(f+g)(x) = f(x) + g(x) (f+g) : x7→ f(x) + g(x).
B) Le produit de deux fonctions fet gest la nouvelle fonction (f·g)définie par
(f·g)(x) = f(x)·g(x) (f·g) : x7→ f(x)·g(x).
(l’une de ces deux fonctions peut -être constante, on obtient alors le produit d’une fonction par une
constante (a·f:x7→ a·f(x)).
C) Le quotient de deux fonctions fet gest la nouvelle fonction f
gdéfinie par
f
g(x) = f(x) g(x)f g:x7→ f(x) g(x).
Exemple : si f(x) = sin(x)et g(x) = cos(x), alors f
g(x) = tan(x).
D) La composition de deux fonctions fet gest la nouvelle fonction g◦fobtenue en appliquant d’abord
fpuis g:
g◦f(x) = g(f(x)).
Exemple : si f(x) = x2et g(y) = y3, alors g◦f(x) = x6, car
g◦f(x) = g(f(x)) = g(x2) = (x2)3=x2·3=x6.
E) Le maximum de deux fonctions fet gest la nouvelle fonction max{f, g}obtenue en prenant pour
chaque xla plus grande des deux images f(x)et g(x):
max{f, g}:x7→ max{f(x), g(x)}
Exemple : |x|= max{x, −x}.
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2.1.3 La notion de limite d’une fonction
Soit y=f(x)une fonction. On veut donner un sens précis à la phrase :
La variable ytend vers blorsque xtend vers a.
Supposons pour cela que a∈D(f)et b∈R:
Définition On dit que y=f(x)converge vers blorsque xconverge vers aet on note
b= lim
x→af(x)
si pour toute suite xkd’éléments du domaine D(f)qui converge vers a, la suite yk=f(xk)des images
converge vers b:
Si lim
k→∞
xk=a, alors lim
k→∞
f(xk) = b
On définit aussi
lim
x→af(x) = ∞
si pour toute suite xkd’éléments du domaine D(f)qui converge vers a, la suite yk=f(xk)des images
tend vers ∞:
Si lim
k→∞
xk=a, alors lim
k→∞
f(xk) = ∞
Propriétés des limites Les propriétés de la convergence répètent celles de la convergences des
suites :
a) Si lim
x→af(x) = b= lim x→ah(x)et si f(x)≤g(x)≤h(x)pour tout x, alors
lim
x→ag(x) = b.
b) Si lim
x→af(x) = ∞et si g(x)≥f(x)pour tout x, alors lim x→ag(x) = ∞;
c) lim
x→a(f+g)(x) = lim x→af(x) + lim x→ag(x);
d) lim
x→a(f·g)(x) = ( lim x→af(x)) ·( lim x→ag(x)) ;
e) lim
x→af
g(x) =
lim
x→af(x)
lim
x→ag(x).
On suppose dans ces règles que les limites écrites existent et que lim
x→ag(x)6= 0 pour la dernière règle.
2.1.4 Fonctions continues
Définition La fonction y=f(x)est continue en a∈D(f)si pour toute suite xkqui converge vers a,
la suite des images yk=f(xk)converge vers f(a):
lim
x→af(x) = f(a)
Si ça n’est pas le cas, on dit que la fonction a une discontinuité en a.
On dit que la fonction fest continue si elle est continue en tout point de son domaine de définition.
Exemple : Considérons la fonction f:R→Rdéfinie par
f:x→(1
xsi x6= 0;
0si x= 0.
est discontinue en x= 0.
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Propriétés des fonctions continues
i.) Si fet gsont continues en a, alors (f+g)et (f·g)aussi.
ii.) Si fet gsont continues en aet gne s’annule pas, alors f
gest continue en a.
iii.) Si fest continue en aet gest continue en b=f(a), alors g◦fest continue en a.
Théorème 2.1 (Théorème de la valeur intermédiaire) Soit fune fonction continue sur l’in-
tervalle fermé [a, b]. Supposons que f(a)< f(b). Alors pour tout nombre ytel que f(a)≤y≤f(b),
il existe (au moins) une valeur de xdans l’intervalle [a, b]telle que f(x) = y.
Remarque : Ce théorème est faux si la fonction n’est pas continue !
Exemple : On veut prouver que la racine carrée de 5existe. Considérons pour cela la fonction
f(x) = x2, cette fonction est continue. Observons que f(0) = 0 et f(3) = 9. Or 0≤5≤9, donc (par
le théorème de la valeur intermédiaire) il existe un xentre 0et 3tel que x2=f(x) = 5.
Exemple : Cette méthode permet aussi de prouver que n
√xexiste pour tout x > 0et tout entier
naturel n.
Corollaire 2.2 Soit f: [a, b]→Rune fonction qui est continue et strictement croissante. Alors il
existe une fonction x=g(y),g: [f(a), f(b)] →[a, b]qui est inverse de f, c’est-à-dire
g◦f(x) = x, pour tout x∈[a, b].
De plus. cette fonction gest continue.
Cette fonction s’appelle l’inverse ou la réciproque de fet se note
f−1: [f(a), f(b)] →[a, b]
On fera attention de ne pas confondre la fonction inverse f−1avec l’inverse algébrique 1
f.
2.2 La dérivée d’une fonction
Exemple : la notion de vitesse instantanée Considérons une particule qui se déplace au cours
du temps, et notons s(t)la distance parcourue par cette particule jusqu’au temps t.
La vitesse moyenne de cette particule entre les temps t0et t1est le quotient
s(t1)−s(t0)
t1−t0
et la vitesse instantanée est la limite suivante (si elle existe)
lim
t1→t0
s(t1)−s(t0)
t1−t0
.
Cette limite est un exemple de dérivée.
D’une manière générale, si y=f(x)est une fonction de x, alors la variation moyenne d’amplitude h
en xde cette fonction est le quotient
f(x+h)−f(x)
h.
La dérivée de fen xest la limite de ce quotient lorsque h→0(à condition que cette limite existe).
On la note f′(x), ainsi
f′(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h.
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Attention, cette limite est une limite du type ‘0
0’. Elle n’existe pas toujours. On dit que la fonction f
est dérivable en xsi la limite existe.
Exemple 1 Considérons la fonction f(x) = 3x−5. Alors
f(x+h)−f(x) = 3(x+h)−3x= 3h,
donc f(x+h)−f(x)
h= 3 et
f′(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h= 3.
Plus généralement, si f(x) = a x +b, alors fest dérivable et f′(x) = apour tout x.
Exemple 2 Soit f(x) = x2. Alors
f(x+h) = (x+h)2=x2+ 2xh +h2,
donc f(x+h)−f(x)
h=2xh +h2 h= 2x+h,
et donc
f′(x) = lim
h→0
f(x+h)−f(x)
h
= lim
h→0(2x+h)
= 2x.
On a montré que
(x2)′= 2x.
Exemple 3 Soit f(x) = xn.
La formule du binôme pour (x+h)ns’écrit
(x+h)n=xn+n xn−1h+Cn
2xn−2h2+···+hn
donc
(x+h)n−xn=n xn−1h+Cn
2xn−2h2+···+hn
et (x+h)n−xn
h=n xn−1+h·(···)
finalement
f′(x) = lim
h→0
(x+h)n−xn
h=n xn−1.
On a montré que
(xn)′=n xn−1.
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