examen annule maths5

Université A. Mira de Béjaia
Faculté de la Technologie Examen de Maths 5
Département ST2 Année universitaire 2012-2013 29/05/2013
Exercice 1 (3 points) :
En utilisant des paramétrisations, calculer l’intégrale
curviligne : IC(z+z)dz ,
où Cest le carré (OABC), orienté positivement (voir la figure
ci-contre).
Exercice 2 (5 points) :
Soit fune fonction holomorphe sur C, donnée par sa forme algébrique :
f(z)=u(x,y)+iv(x,y),
où z=x+i y, u =Refet v =Imf.
On donne :
v(x,y)=x2−y2+2x y −x+y+4.
1. Déterminer u(x,y) sachant que f(1 −i)=2.
2. Ecrire f(z) en fonction de z.
Exercice 3 (6 points) :
Déterminer le développement en série de Laurent de chacune des fonctions complexes suivantes autour
du point singulier indiqué puis préciser la nature du point singulier en question ainsi que le résidu en
ce point.
i) f(z)=z2ei/z,z0=0;
ii) f(z)=1
z2(1 −z)2,z0=0;
iii) f(z)=e−2z2−cos2z
z4,z0=0.
Exercice 4 (6 points) :
Soit fla fonction complexe à variable complexe, définie par :
f(z)=z
(z−1)2(z2+1) .
1. Déterminer les singularités de ftout en précisant la nature de chacune d’entre elles.
2. Calculer les résidus de fen chacune de ses singularités.
Tournez la page svp

3. En utilisant le théorème des résidus, calculer
l’intégrale curviligne Hγf(z)d z, où γest la courbe
ci-contre.
O1 2−1−2
i
2i
−i
−2i
γ
X
Y
4. Soit Run nombre réel strictement positif et différent de 1. On note par CRle cercle de centre Oet
de rayon R, orienté positivement.
Montrer, en distinguant les cas, que l’on a :
ICR
f(z)dz =0.
Bonne chance

Université A. Mira de Béjaia
Faculté de la Technologie
Département ST2 29 mai 2013
Solution détaillée de l’Examen de Maths 5 (année 2012 - 2013)
B. FARHI
Exercice 1 (3 points) :
En utilisant des paramétrisations, calculer l’intégrale curvi-
ligne : Cz+zdz ,
où Cest le carré (OABC), orienté positivement (voir la figure
ci-contre).
Solution : L’intégrale C(z+z)d z se décompose en :
Cz+zdz =OA z+zdz +AB z+zdz +BC z+zd z +CO z+zd z (I)
Nous allons, dans ce qui suit, calculer les valeurs de chacune des 4 intégrales du membre droit de l’éga-
lité (I) en utilisant des paramétrisations.
Calcul de O A(z+z)d z :
Sur OA, on a z=t, avec t∈[0, 1]. D’où z+z=2tet d z =d t. L’intégrale OA(z+z)d z se transforme en :
OA z+zdz =1
0
2t dt =t21
0=1 ;
soit OA z+zdz =1 (a)
Calcul de AB (z+z)d z :
Sur AB, on a z=1+i t , avec t∈[0, 1]. D’où z+z=2 et d z =i d t. L’intégrale AB (z+z)d z se transforme
donc en : AB z+zdz =1
0
2i dt =[2i t]1
0=2i;
1

B. FARHI Solution de l’Examen de Maths 5
soit AB z+zdz =2i(b)
Calcul de BC (z+z)dz :
Sur BC, on a z=t+i, avec t∈[1,0]. D’où z+z=2tet d z =d t. L’intégrale BC (z+z)d z se transforme
donc en : BC z+zdz =0
1
2t dt =t20
1= −1 ;
soit BC z+zd z = −1 (c)
Calcul de CO (z+z)d z :
Sur CO, on a z=i t, avec t∈[1,0]. D’où z+z=0 et d z =i d t. L’intégrale CO (z+z)d z se transforme donc
en : CO z+zd z =0
1
0dt =0 ;
soit CO z+zd z =0 (d)
En reportant les résultats de (a), (b), (c) et (d) dans (I), on obtient finalement :
Cz+zdz =2i.
Exercice 2 (5 points) :
Soit fune fonction holomorphe sur C, donnée par sa forme algébrique :
f(z)=u(x,y)+iv(x,y),
où z=x+i y, u =Refet v =Imf.
On donne :
v(x,y)=x2−y2+2x y −x+y+4.
1. Déterminer u(x,y) sachant que f(1 −i)=2.
2. Ecrire f(z) en fonction de z.
Solution :
1. La fonction fest holomorphe sur Csi et seulement si les fonctions réelles u et v satisfont les condi-
tions de Cauchy-Riemann, qui sont : 
∂u
∂x=∂v ∂y
∂u
∂y= − ∂v ∂x
(⋆)
On a pour tout (x,y)∈R2:∂v
∂x(x,y)=2x+2y−1 et ∂v ∂y(x,y)= −2y+2x+1. On a donc (en vertu de (⋆)) :
∂u
∂x(x,y)= −2y+2x+1 ......(1)
∂u
∂y(x,y)= −2x−2y+1 ......(2)
2

B. FARHI Solution de l’Examen de Maths 5
En intégrant (1) par rapport à x, on a :
u(x,y)=(−2y+2x+1) d x ,
soit
u(x,y)= −2x y +x2+x+c(y) , (3)
où c(y) est une fonction de y. En reportant (3) dans (2), on obtient :
−2x+c′(y)= −2x−2y+1 ,
d’où :
c′(y)= −2y+1.
Par suite :
c(y)=(−2y+1)d y ,
soit
c(y)= −y2+y+k(avec k∈R).
Et en reportant ceci dans (3), on obtient :
u(x,y)= −2x y +x2+x−y2+y+k,
soit (en réordonnant) :
u(x,y)=x2−y2−2x y +x+y+k(4)
Il reste maintenant à déterminer la valeur de ken se servant de la condition f(1 −i)=2. On a :
f(1 −i)=2⇐⇒ u(1,−1) +iv(1,−1) =2⇐⇒ u(1,−1) =2
v(1,−1) =0
⇐⇒ 12−(−1)2−2(1)(−1) +1−1+k=2
12−(−1)2+2(1)(−1) −1−1+4=0⇐⇒ k=0 0=0.
D’où k=0. En reportant cette valeur de kdans (4), on obtient finalement :
u(x,y)=x2−y2−2x y +x+y.
2. On a :
f(z)=u(x,y)+iv(x,y)
=x2−y2−2x y +x+y+ix2−y2+2x y −x+y+4
=x2−y2+2i x y
=z2
+−2x y +i(x2−y2)
=i z2
+x+i y
=z
+y−i x
=−i z
+4i
=z2+i z2+z−i z +4i
=(1 +i)z2+(1 −i)z+4i.
soit
f(z)=(1 +i)z2+(1 −i)z+4i.
3