les espaces euclidiens

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1 Produit scalaire et orthogonalit´e
1.1 D´efinitions
D´efinition 1.1
Soit Eun R-espace vectoriel.
1. On dit que cet espace vectoriel est pr´ehilbertien r´eel d`es qu’il a ´et´e muni
d’une forme bilin´eaire sym´etrique, dont la forme quadratique associ´ee
est d´efinie positive.
2. La forme polaire est alors appel´ee produit scalaire.
3. Si de plus, on est en dimension finie, on dit que l’espace est euclidien.
Th´eor`eme 1.1
Soit Eun espace vectoriel euclidien.
L’application Edans E, qui `a Xassocie √X.X est une norme, dite
norme euclidienne.
Remarque 1
1. Soit El’espace vectoriel des fonctions d’une variable r´eelle continues sur un segment [a, b]
donn´e.
Alors
< f, g >=Zb
a
f(x)g(x)dx
est un produit scalaire. En particulier, les in´egalit´es de Cauchy-Schwartz et de Minkowsi
sont vraies.
2. Toutes les normes ne sont pas des normes euclidiennes. Cela bloque au moment de prouver
la lin´earit´e de l’addition pour la forme polaire associ´ee. On peut d’ailleurs remarquer
qu’une norme est euclidienne si et seulement si elle v´erifie l’identit´e du parall´elogramme.
1.2 Vecteurs orthogonaux
Dans toute la suite, on se place dans le cadre d’un espace vectoriel euclidien E, et on note le
produit scalaire ”.”
D´efinition 1.2
Deux vecteurs sont dits orthogonaux s’ils sont conjugu´es : X.Y = 0.

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Th´eor`eme 1.2
Le vecteur nul est le seul vecteur qui soit orthogonal `a tout vecteur de E.
Th´eor`eme 1.3
Une condition n´ecessaire et suffisante pour que deux vecteurs Xet Ysoient
orthogonaux est qu’ils v´erifient :
||X+Y||2=||X||2+||Y||2
1.3 Bases orthonorm´ees
D´efinition 1.3
Un syst`eme Vest dit orthogonal si deux vecteurs distincts de Vsont orthogo-
naux.
Un syst`eme Vest dit orthonorm´e s’il est orthogonal et que tous les vecteurs
sont de norme 1.
Proposition 1.4
Tout syst`eme orthogonal qui ne contient pas 0est libre.
Th´eor`eme 1.5 (Proc´ed´e d’orthogonalisation de Schmidt)
Si Eest un espace vectoriel euclidien, et E0un sous-espace de Ede dimension
finie, alors E0admet au moins une base orthonormale.
Preuve du Th´eor`eme 1.5:
Cette preuve est `a connaitre puisqu’elle fournit la construction d’une base orthonormale `a partir
d’une base quelconque.
Remarquons qu’il suffit d’obtenir une base orthogonale, puis de la normer i.e. de diviser chacun
des vecteurs de base par sa norme.
E0est de dimension finie p, donc il existe une base de E0: notons la e1, e2, ..., ep.

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On pose v1=e1, et on cherche v2∈V ect(e1, e2), qui soit orthogonal `a v1, et qui forme une
famille libre :
v2=e2−λv1
Le calcul montre qu’il suffit de prendre λ=e1.e2
||e1||2.
Supposons maintenant avoir construit v1, v2, ..., vn−1une base orthogonale de V ect{e1, ..., en−1},
avec n<p.
On cherche vnde la forme en−
n−1
X
i=1
λivi. Comme vivk= 0 d`es que i6=k, les conditions vivn= 0
implique que ∀i∈[[1, n −1]], on a λi=envi
||vi||2.
La propri´et´e de r´ecurrence est donc aussi vraie au rang n.
On peut conclure.
Proposition 1.6
Si (e1, ..., en)est une base orthonorm´ee, et si -
Xet - Ysont des vecteurs de
coordonn´ees X= (xi)et Y= (yj)dans cette base, alors
-
X.- Y=
n
X
i=1
xiyi.
=det(t X.Y ) = det(t Y.X)
|| -
X|| =v
u
u
t
n
X
i=1
x2
i
Le r´esultat des courses est int´eressant : si Eest un espace vectoriel r´eel donn´e, muni d’une
base quelconque, il suffit de consid´erer le produit scalaire -
X.- Y=
n
X
i=1
xiyipour le munir d’une
structure euclidienne (ce qui revient `a consid´erer arbitrairement que cette base est orthonorm´ee).
Ainsi lorsqu’on parle de Rncomme espace vectoriel euclidien, c’est que l’on consid`ere que sa
base canonique est orthonorm´ee.
De mˆeme un isomorphisme entre deux espaces vectoriels euclidiens garde la structure euclidienne
s’il envoie une b.o.n sur une b.o.n.
Donc tout espace euclidien de dimension nest isomorphe d’une infinit´e de mani`ere `a Rnmuni
de sa structure euclidienne.
Th´eor`eme 1.7
L’ensemble E00 des vecteurs orthogonaux `a tous les vecteurs d’un sev E0est
un sev de E; on dit que c’est le sous-espace vectoriel orthogonal de E0
Si un vecteur -
Vest orthogonal `a tous les vecteurs d’une partie Ade E, alors
il est orthogonal au sev engendr´e par A.
Pas de surprise dans ce th´eor`eme qui avait d´ej`a ´et´e vu. Par contre, comme la forme quadratique
est d´efinie positive, on a le th´eor`eme suivant :

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Th´eor`eme 1.8
Si Eest un espace vectoriel euclidien de dimension n, et si E00 est le sous-
espace orthogonal du sous-espace E0, le sous-espace orthogonal de E00 est E0;
E0et E00 sont suppl´ementaires.
Ils sont dits sous-espaces orthogonaux.
2 Groupes Orthogonaux
Dans cette section, on consid`ere Eun K-espace muni d’une forme quadratique Φ non d´eg´en´er´ee,
de forme polaire ϕ.
Certaines propr´et´es du produit scalaire restent n´eanmoins vraies :
1. Tout syst`eme de vecteurs 2 `a 2 conjugu´es dont aucun n’est le vecteur nul est libre,
2. Si Eest de dimension finie, le proc´ed´e d’orthogonalisation de Schmidt reste pertinent,
3. Si Eest de dimension finie, si E00 est l’espace conjugu´e de E0, alors E0est celui de E00 et
ils sont suppl´ementaires.
On a en plus si Kest alg´ebriquement clos, la propri´et´e suivante :
Proposition 2.9
En dimension finie, si Kest alg´ebriquement clos, ou si Eest euclidien, alors il
existe des bases r´eduites dans lesquelles la matrice de Φet donc de ϕest In.
On dira alors que ces bases sont orthonorm´eees relativement `a ϕ.
Th´eor`eme 2.10 (et D´efinition)
Les deux propri´et´es suivantes d’un endomorphisme de Esont ´equivalentes :
(i)∀-
X∈EΦ(f(- X)) = Φ(- X)
(ii)∀(-
X,- Y)∈E2ϕ(f(- X), f(- Y)) = ϕ(- X,- Y).
Quand fposs`ede ces propri´et´es, on dit qu’il conserve Φet ϕ.
D´efinition 2.4
Tout automorphisme fde Econservant la forme quadratique Φest dit
op´erateur orthogonal de E, relativement `a Φ;

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Th´eor`eme 2.11 (et D´efinition)
L’ensemble Oϕ(E)des op´erateurs orthogonaux de E, relativement
`a ϕest un sous-groupe de GL(E); on dit que Oϕ(E)est le
groupe orthogonal de Erelativement `a ϕ.
On se place d´esormais en dimension finie :
Th´eor`eme 2.12
Tout endomorphisme fd’un espace vectoriel de dimension finie qui conserve
la forme quadratique est un op´erateur orthogonal.
Th´eor`eme 2.13
Soit Bune base de Edans laquelle ϕest repr´esent´ee par la matrice
(sym´etrique) A.
L’endomorphisme fde Eest un op´erateur orthogonal relativement `a ϕsi et
seulement si la matrice Squi repr´esente fdans Bv´erifie :
A=t SAS.
Quand on applique ce th´eor`eme `a un op´erateur orthogonal dans une base orthonorm´ee, cela
donne
Corollaire 2.14
fest un op´erateur orthogonal si et seulement si sa matrice Sdans une base
orthonorm´ee v´erifie
t
SS =In
Corollaire 2.15
Le d´eterminant d’un op´erateur orthogonal est +1 ou -1.
Th´eor`eme 2.16 (et D´efinition)
L’ensemble SOϕ(E)des op´erateurs orthogonaux de E, relativement `a ϕ, dont
le d´eterminant est 1 est un sous-groupe distingu´e de Oϕ(E).
On dit que SOϕ(E)est le groupe sp´ecial orthogonal de E, relativement `a ϕ.