Feuille d`exercices n o 5 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Institut Galil´ee Licence de Math´ematiques
Universit´e Paris 13 semestre 5
Structures alg´ebriques
Feuille d’exercices n◦5
Exercice 1. Prouver que tout groupe d’ordre 35 est cyclique.
Exercice 2. Prouver qu’un groupe d’ordre 42 n’est pas simple.
Exercice 3. Prouver qu’un groupe d’ordre 300 n’est pas simple (regarder les 5-Sylow).
Exercice 4. (1) Soient Gun groupe simple d’ordre pkmavec ppremier, k∈N>0et
p∤m. Montrer que pk|(m−1)!
(2) Montrer que si k≥4, il n’existe pas de groupe simple d’ordre 2k.5.
Exercice 5. Soient pet qdeux nombres premiers tels que p < q, que qne divise pas
p2−1 et pne divise pas q−1. Soit Gun groupe d’ordre p2q. Montrer que Gest ab´elien.
Application : montrer qu’un groupe d’ordre 99 est ab´elien. Classifier `a isomorphisme pr`es
les groupes d’ordre 99.
Exercice 6. Soient pet qdeux nombres premiers. Montrer qu’il n’existe pas de groupe
simple d’ordre p2q.
Exercice 7. Soit Gun groupe d’ordre pqr o`u p > q > r sont premiers. On note np(resp.
nq, resp. nr) le nombre de p-Sylow (resp. de q-Sylow, resp. de r-Sylow) de G.
(1) En consid´erant les ´el´ements d’ordre p,qpuis r, montrer que
(∗)pqr ≥(p−1)np+ (q−1)nq+ (r−1)nr+ 1
(2) Supposons que np6= 1, nq6= 1 et nr6= 1. Montrer que np=qr,nq≥pet nr≥q.
En d´eduire une contradiction avec (∗), puis que Gn’est pas simple.
Exercice 8. Pour pun nombre premier, d´eterminer le nombre de p-Sylow du groupe
sym´etrique Sp.
Exercice 9. Soient Gun groupe fini, Hun sous-groupe distingu´e de G,pun nombre
premier pet Sun p-Sylow de H.
(1) Supposons Sunique, montrer qu’il est distingu´e dans G.
(2) Plus g´en´eralement, montrer que HNG(S) = G.
Exercice 10. Soient Gun groupe fini, pun nombre premier, Sun p-Sylow de Get
Hun sous-groupe de Gcontenant NG(S). Montrer que NG(H) = H. En particulier,
NG(NG(S)) = NG(S) (utiliser l’exercice pr´ec´edent).
Exercice 11. Soient Gun groupe fini et Hun sous-groupe distingu´e de G. On se donne
un nombre premier pet Sun p-Sylow de G. Montrer que H∩Sest un p-Sylow de Het que
HS/H est un p-Sylow de G/H. R´eciproquement, si Σ est un p-Sylow de G/H, montrer
qu’il existe un p-Sylow Sde Gtel que Σ = HS/H.
1

2
Exercice 12. (1) Soient Gun groupe fini et Hun sous-groupe de G. Soient pun
nombre premier et Sun p-Sylow de G. Montrer qu’il existe g∈Gtel que gSg−1∩H
soit un p-Sylow de H(indication : faire agir Hpar translations `a gauche sur
l’ensemble G/S).
(2) Soient pun nombre premier et n∈N>0. Calculer # GLn(Z/p Z). Quel est l’ordre
d’un p-Sylow de GLn(Z/p Z) ? En d´ecrire un explicitement.
(3) En d´eduire une nouvelle preuve des th´eor`emes de Sylow.
Exercice 13. Soit Gun groupe simple d’ordre 60.
(1) Combien Ga-t’il de 5-Sylow ? En d´eduire le nombre d’´el´ements d’ordre 5 dans G.
(2) Montrer que Ga 20 ´el´ements d’ordre 3.
(3) Montrer que Gn’a pas de sous-groupe d’ordre 15.
Exercice 14. (1) Soient n≥5 un entier et Hun sous-groupe de Antel que [An:H] =
n. On fait agir Ansur An/H par translation `a gauche. Quel est le stablilisateur de
H? Montrer que cette action fournit un isomorphisme ϕ:An→An. En d´eduire
que Hest isomorphe `a An−1.
(2) Soit Gun groupe simple d’ordre 60. En faisant agir Gsur l’ensemble de ses 5-Sylow,
montrer que G≃A5.
Exercice 15. Montrer GL2(Z/2Z)≃S3,PGL2(Z/3Z)≃S4.
Exercice 16. Soient G=N⋊Het Kun sous-groupe de Gcontenant N. Montrer que
l’on a K=N⋊(K∩H).
Exercice 17. Soit nun entier. Montrer que Sn≃An⋊ε{±1}, et que le produit n’est pas
direct.
Exercice 18. (1) Montrer que Aut(Z/n Z)≃(Z/n Z)×.
(2) Montrer que si pest premier (Z/p Z)×est cyclique.
(3) Plus g´en´eralement, montrer que si α∈N>0et p > 2 est premier, alors (Z/pαZ)×≃
Z/pα−1(p−1) Zest cyclique.
Exercice 19. Soient p < q deux nombres premiers. Soit Gun groupe de cardinal pq.
Montrer que Ga un seul q-Sylow et que Gest isomorphe `a un produit semi-direct (Z/q Z)⋊
(Z/p Z). En d´eduire que si pne divise pas q−1, tout groupe de cardinal pq est commutatif
et que si pdivise q−1, il y a deux groupes de cardinal pq non-isomorphes.
Exercice 20. Soient pun nombre premier impair et Gle sous-groupe de SL2(Z/p Z) form´e
des matrices triangulaires sup´erieures :
G=a b
0a−1,(a, b)∈(Z/p Z)××(Z/p Z)
´
Ecrire Gsous forme d’un produit semi-direct.
Exercice 21. Soit Gl’ensemble des ´el´ements de GL3(R) de la forme 
a0b
0a c
0 0 d
.

3
(1) V´erifier que Gest un sous-groupe de GL3(R).
(2) ´ Ecrire Gsous la forme d’un produit semi-direct. Est-ce un produit direct ?
Exercice 22. Soit ppremier impair.
(1) Montrer qu’il y a trois groupes ab´eliens non-isomorphes de cardinal p3.
Soit Gnon ab´elien de cardinal p3.
(2) Montrer que son centre Zap´el´ements et que G/Z ≃(Z/p Z)×(Z/p Z).
Soient alors xet ydans Gdont les images dans G/Z soient (1,0) et (0,1).
(3) Montrer que z=xyx−1y−1est un g´en´erateur de Z.
(4) Montrer que si xp6= 1 dans G, il existe k∈ {0,...,p−1}tel que yxksoit d’ordre p.
En d´eduire que l’on peut supposer xp= 1, quitte `a choisir un autre isomorphisme
entre G/Z et (Z/p Z)×(Z/p Z).
(5) Montrer que si yp= 1, le groupe Gest isomorphe au sous-groupe de GL3(Z/p Z)
form´e des matrices
1a b
0 1 c
001
a, b, c ∈Z/p Z.
et le d´ecrire comme un produit semi-direct.
(6) Montrer que si yp6= 1, le sous-groupe hyiest distingu´e dans Get que G≃ hyi⋊hxi.
Montrer qu’`a isomorphisme pr`es il y a un seul sous-groupe (non ab´elien) de ce type.
(7) En d´eduire la liste des groupes de cardinal p3: trois ab´eliens et deux non-ab´eliens.