le seul groupe d’ordre pq est alors le produit direct Z/pZ×Z/qZ'Z/pqZ.
Si qest congru `a 1 modulo p, un morphisme Z/pZ→Z/(q−1)Zexiste et est
injectif. De plus, si ϕet ψsont deux tels morphismes, il existe α∈Aut Z/pZ
tel que l’on ait ϕ=ψ◦α. Le (1) de l’exercice pr´ec´edent montre qu’alors on a
Z/qZoϕZ/pZ'Z/qZoψZ/pZ. Il en r´esulte qu’il y a dans ce cas-l`a, `a isomorphisme
pr`es, deux groupes d’ordre pq:Z/pqZet Z/qZoZ/pZ.
2. Comme qest congru `a 1 modulo 2, on a l’existence de deux groupes d’ordre 2q: le
groupe cyclique Z/2qZet un produit semi-direct Z/qZ o Z/2Z. Ce dernier est bien
isomorphe au groupe di´edral Dq: il suffit d’identifier (1,0) `a une rotation d’ordre
maximal et (0,1) `a une sym´etrie.
Exercice 9
1. Soit Gun groupe d’ordre 8. Si Gposs`ede un ´el´ement d’ordre 8, alors Gest cyclique,
isomorphe `a Z/8Z. Si Gest d’exposant 2, alors Gest ab´elien et isomorphe `a (Z/2Z)3.
Si Gest d’exposant 4 et est ab´elien, alors Gest isomorphe `a Z/4Z×Z/2Z.
Supposons maintenant Gd’exposant 4 et non ab´elien. Soit run ´el´ement d’ordre
4; il engendre un sous-groupe Risomorphe `a Z/4Z. Soit sun ´el´ement de Gr
{1, r, r2, r3}d’ordre minimal. S’il est d’ordre 2, alors le sous-groupe engendr´e S=
{1, s}intersecte Rtrivialement. Et Gest engendr´e par Ret S(puisque ces derniers
contiennent au moins 5 ´el´ements). De plus, Rest normal par lemme d’Ore et Gest
isomorphe au produit semi-direct Z/4ZoZ/2Z'D4.
Si sest d’ordre 4, on va renommer ret srespectivement par iet j. Reste `a ´etablir
la table de Get voir qu’elle co¨ıncide avec celle de H8.
2. Supposons H8=NoHde mani`ere non triviale. Alors l’un des sous-groupes N
ou Hest d’ordre 2, donc est exactement {±1}. Si c’´etait H,Hserait normal et
le produit semi-direct serait direct. Comme tout groupe d’ordre 4 est ab´elien, H8
serait ab´elien, ce qui n’est pas le cas. On peut donc supposer N={±1}. Mais
alors Aut Nest r´eduit `a un ´el´ement et tout morphisme H→Aut Nest trivial. Le
produit semi-direct serait encore direct et H8`a nouveau ab´elien. C’est donc que
l’hypoth`ese initiale est fausse.
3. En passant en revue les ´el´ements de SL2(F3), il y en a uniquement 8 d’ordre une
puissance de 2. Ce sont:
•ordre 1 : 1
1;
•ordre 2 : 2
2;
3