Cohomologie des super alg`ebres de Lie et cône

Caroline Gruson
Cohomologie des super algèbres de Lie et cône
autocommutant
Habilitation à diriger les recherches de l’Université Paris 7
Spécialité: Mathématiques
Présentée le 22 novembre 1999, devant le jury composé de:
Pierre Vogel (Président)
Michel Brion (Rapporteur)
Michel Duflo
Johannes Huebschmann
Bernhard Keller
Thierry Levasseur
Marc Rosso
Remerciements
En premier lieu, j’exprime ma très grande reconnaissance envers Michel Duflo
pour son enthousiasme scientifique et l’intérêt qu’il a toujours porté à mes travaux
ainsi que pour les innombrables conversations qui m’ont encouragée à prendre des initiatives (entre autres la participation à l’organisation du séminaire). Merci, Michel,
pour la qualité de ton attention.
Michel Brion et Vera Serganova ont bien voulu écrire les rapports pour cette
habilitation et je les en remercie vivement. De plus, j’ai eu à de nombreuses reprises
des discussions constructives avec Michel Brion, sa rapidité d’esprit et sa curiosité
scientifique m’ont beaucoup stimulée.
Je souhaite exprimer ma gratitude à Thierry Levasseur, interlocuteur attentif et
lecteur incomparable.
Michel Brion, Michel Duflo, Johannes Huebschmann, Bernhard Keller, Thierry
Levasseur, Marc Rosso et Pierre Vogel font aujourd’hui partie du jury et je leur en
suis très reconnaissante.
Je remercie également Pascale Harinck pour notre collaboration de cinq ans
autour du séminaire.
Un grand merci à l’ex-ura 748, actuel projet de théorie des groupes de l’institut
de mathématiques de Jussieu, qui m’a accueillie avec une gentillesse sans égale,
en particulier Alberto Arabia, Corinne Blondel, Bernhard Keller qui ont souvent
travaillé avec moi et Monique Douchez qui m’a rendu beaucoup de services.
De manière complémentaire, je suis très reconnaissante à l’ufr de mathématiques
de Lille de m’avoir laissée rester dans mon laboratoire d’origine tant que je le considérais comme nécessaire. Parmi les lillois que je veux particulièrement remercier,
je cite Jean D’Almeida et Robert Gergondey, ainsi qu’Elie Compoint, Anne Duval
et Frank Loray pour un groupe de travail confidentiel très réussi.
Au diable sa modestie! Cette fois-ci je le dis. Merci beaucoup à Laurent Gruson:
je lui dois mon goût pour les mathématiques et sa manière de répondre gentiment
à toutes les questions, aussi stupides soient-elles, sans jamais s’étonner, m’ont évité
mille fois de tout abandonner. Sa clarté d’esprit me remplit d’admiration.
Merci, enfin, à tous ceux qui, par leur présence et leur sourire, m’ont rendu la vie
plus facile et plus belle, entre autres Claire Bornais, Christel Couet, Frédéric Han,
Franck Melliez et Jean-François Robinet.
Je dédie ce travail à ma mère, Brigitte Niaudet.
1
Table des matières
Résumé des travaux
0.1 Généralisation au cas Z/2Z-gradué d’un théorème de Cartier . . . . .
0.2 Super algèbres à involution et super groupes complexes . . . . . . . .
0.2.1 Involutions des super algèbres semi-simples complexes . . . . .
0.2.2 Groupes d’automorphismes des algèbres semi-simples à involution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.3 Formes réelles des groupes d’automorphisme des algèbres semi-simples
complexes à involution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
0.4 Formes réelles des groupes simples complexes classiques. . . . . . . .
0.4.1 Super groupe de Brauer de R ([10]) . . . . . . . . . . . . . . .
0.4.2 Classification des involutions des super algèbres simples sur R
0.4.3 Groupes d’automorphismes des algèbres semi-simples réelles à
involution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 Sur les relations de Plucker dans le cas d’une super algèbre de Lie
basique classique complexe
1.1 Le complexe de Koszul d’une super algèbre de Lie à valeurs dans un
module et la suite spectrale qui en résulte . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Variété autocommutante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Complexe de Koszul associé aux équations [y, y] = 0 . . . . . . . . . .
1.4 Finitude de l’homologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5 Application à certaines super algèbres de Lie simples à partie paire
réductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.1 Anneaux d’invariants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Variétés autocommutantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.3 Cohomologie de certaines super algèbres de Lie simples à valeurs
dans le module trivial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6 Le cas de q(n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.1 Notations et description. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.6.2 Expression invariante du crochet impair. . . . . . . . . . . . .
1.6.3 Généralités sur la cohomologie des super algèbres de Lie . . .
1.6.4 Dimension de la cohomologie de q(n). . . . . . . . . . . . . . .
1.7 Le cas de p(n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
3
10
15
15
19
22
24
24
25
27
30
55
56
57
61
62
63
66
66
73
73
74
76
78
81
1.8
1.9
1.10
1.11
1.12
1.13
1.14
1.15
1.7.1 Notations et description . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
1.7.2 Anneau de cohomologie de p(n). . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Le cas de psl(n, n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Additif à [Gr] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
Schéma de démonstration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
Le cas orthosymplectique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.11.1 Désingularisation de Ared pour osp(2p + 1, 2n) . . . . . . . . . 89
1.11.2 Le cas de osp(2n + 1, 2n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
1.11.3 Cas de osp(2p + 1, 2n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
1.11.4 Cas de osp(2p, 2n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
Le cas de gl(m, n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
1.12.1 Désingularisation du cône autocommutant . . . . . . . . . . . 95
1.12.2 Anneau du cône autocommutant . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Les familles exceptionnelles et étranges . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.13.1 Les super algèbres de Lie exceptionnelles . . . . . . . . . . . . 101
1.13.2 La famille P (n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.13.3 La famille Q(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
Description du bloc atypique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
Cohomologie de osp(3, 2) à valeurs dans un module de dimension finie.115
1.15.1 Modules simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
1.15.2 Modules indécomposables . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
3
Résumé des travaux
L’ensemble des travaux présentés dans ce dossier porte sur les super groupes de
Lie et les super algèbres de Lie complexes de dimension finie. Les super algèbres de
Lie simples complexes ont été classifiées par Victor Kac dans [Ka1]. Parmi les super
algèbres de Lie simples, les seules qui sont étudiées ici sont à partie paire réductive
et de dimension finie. Contrairement à ce qui se passe dans le cas classique, les
représentations de dimension finie d’une super algèbre de Lie simple ne sont pas
complètement réductibles et de nombreuses questions restent posées à leur sujet.
La description des modules indécomposables et leur cohomologie n’est toujours pas
connue.
Super groupes de Lie vraiment classiques et algèbres à involution
Le point de départ de [1] est un article d’André Weil, [We]. Résumons cet article. Soit K un corps de caractéristique zéro. Soit AK une algèbre semi-simple
associative sur K, soit iK un antiautomorphisme de AK qui est involutif (on dit
que (AK , iK ) est une algèbre à involution sur K). Notons GK la composante neutre du groupe d’automorphismes de (Ak , iK ). Weil classifie les couples possibles
(AC , iC ) et démontre que les groupes GC ainsi obtenus sont les groupes classiques,
PGL(n, C), PSO(n, C), PSp(n, C) et leurs produits. Il constate de plus que si K est
algébriquement clos, dans chaque cas sauf PSO(8, K), le groupe d’automorphismes
de GK est exactement le groupe d’automorphismes de (AK , iK ), l’exception de
PSO(8, K) provient de l’automorphisme d’ordre 3 du diagramme de Dynkin D4 .
Lorsque K est un corps quelconque de cloture algébrique K, la méthode de descente
permet alors de montrer que toute K-forme de GK est la composante neutre des Kautomorphismes d’une K-forme de (AK , iK ) uniquement déterminée, à l’exception
de PSO(8).
La première partie de [1] généralise au cas Z/2Z-gradué le théorème de Cartier
qui assure que les schémas en groupes sont lisses en caractéristique zéro ([Ca])
Théorème 0.1 - Soit (G, OG ) un super groupe de Lie analytique réel ou complexe,
soit I un idéal cohérent de OG tel que pour toute algèbre proche P , IP définisse un
sous-groupe fermé de GP . Alors il existe un sous super groupe de Lie (H, OH ) de
(G, OG ) tel que I soit l’idéal des fonctions nulles sur H .
Ce résultat permet d’assurer que les objets obtenus comme groupes d’automorphismes
d’un super espace vectoriel muni d’un tenseur sont bien des super groupes de Lie.
La seconde partie classifie les super algèbres à involution sur C au moyen du
groupe de Brauer Z/2Z-gradué et d’une adaptation du théorème de Skolem-Noether.
Les super groupes qu’on obtient ainsi sont PGL(n, m, C), PSOSp(m, 2n, C), PP (n, C),
PQ(n, C) et leurs produits (avec les notations de Kac dans [Ka1]). Ceci définit
une notion de super algèbre de Lie “vraiment classique”, par opposition aux super
algèbres de Lie basiques classiques de Kac, sl(m, n, C), osp(m, 2n, C), G(3), F (4)
4
et D(2, 1, α). On constate qu’ici encore, les groupes d’automorphismes des super
groupes vraiment classiques concident avec les groupes d’automorphismes des super
algèbres à involution grâce à l’article [Se] de Vera Serganova.
La fin de l’article est consacré aux formes réelles des super algèbres à involution
(on sait que le groupe de Brauer Z/2Z-gradué de R est Z/8Z) et on en déduit, par
la méthode de Weil, la classification des formes réelles des super groupes vraiment
classiques. On retrouve ainsi la classification qu’avait donné Vera Serganova.
Super algèbres de Lie simples et représentations atypiques
Soit g = g0 ⊕ g1 une super algèbre de Lie basique classique. En particulier,
g0 est réductive et on dispose d’une forme bilinéaire symétrique non dégénérée ginvariante sur g, que l’on note (, ). Soit h une sous-algèbre de Cartan de g0 . On
note ∆0 le système de racines de g0 relativement à h et ∆1 l’ensemble des h-poids
de g1 . On choisit une sous-algèbre de Borel b ⊂ g, h ⊂ b (rappelons qu’elles ne sont
−
pas toutes nécessairement conjuguées).
Il s’ensuitPdes partitions ∆0 = ∆+
0 ∪ ∆0 et
P
+
−
1
1
∆1 = ∆1 ∪ ∆1 . On note ρ0 = 2 α∈∆+ α, ρ1 = 2 α∈∆+ α et ρ = ρ0 − ρ1 . Le réseau
0
1
(λ,α)
des poids de g0 , P , est constitué des λ ∈ h∗ tels que 2 (α,α)
∈ Z, ∀α ∈ ∆0 . Un poids de
P est dit g-dominant si c’est le plus haut poids d’un g-module simple de dimension
finie (pour l’ordre défini par la sous-algèbre de Borel). Les poids g-dominants sont
en particulier g0 -dominants, mais la réciproque est fausse. La description précise
des poids g-dominants est donnée dans Kac ([Ka1], [Ka2]).
Définition 0.1 - Soit λ un poids g-dominant tel qu’il existe une racine isotrope
α ∈ ∆1 telle que (λ + ρ, α) = 0. Alors le g-module simple de plus haut poids λ
est dit atypique (cette notion ne dépend pas du choix de b). Dans les autres cas, le
module est dit typique.
Les modules atypiques sont le défaut de semi-simplicité de la catégorie des modules
de dimension finie : un g-module typique est toujours scindé lorsqu’il intervient
dans un g-module qui est semi-simple comme g0 -module, contrairement aux modules
atypiques. Victor Kac démontre ces propriétés grâce au caractère infinitésimal, qui
est introduit maintenant.
Soit U(g) l’algèbre enveloppante de g et soit Z(g) son centre. Soit λ un poids
g-dominant. Un élément χ ∈ Z(g) agit par un scalaire sur le g-module simple de
plus haut poids λ, Vλ , et l’on note ce scalaire χ(λ). Le caractère infinitésimal de λ
associe à tout χ ∈ Z(g) le scalaire χ(λ). Contrairement à ce qui se passe dans le cas
classique, le caractère infinitésimal ne permet pas de séparer les poids g-dominants
entre eux. Plus précisemment, il existe des plus hauts poids de modules atypiques
λ et µ, λ 6= µ, tels que χ(λ + ρ) = χ(µ + ρ) pour tout χ ∈ Z(g). Par ailleurs, les
modules typiques sont isolés par le caractère infinitésimal.
5
Orbites de vecteurs de plus bas poids
Un théorème de Kostant ([Ga]) assure que si A est un groupe de Lie semisimple complexe d’algèbre de Lie a, l’orbite d’un vecteur de plus haut poids d’une
représentation irréductible Vλ de dimension finie de a est intersection de quadriques.
Le principe de démonstration consiste à considérer l’idéal de S(Vλ∗ ) des fonctions
polynomiales nulles sur cette orbite, I, puis à constater que l’opérateur de Casimir
(élément de degré 2 dans le centre de l’algèbre enveloppante de a) sépare le module
de plus haut poids kλ de tous les autres facteurs de S k (Vλ∗ ).
L’article [2] contient la formulation du problème analogue pour les super algèbres
de Lie. On utilise la définition de Kostant d’une orbite sous l’action d’un super
groupe de Lie (G, OG ) d’algèbre de Lie g. On garde les notations du paragraphe
Super algèbres de Lie simples et représentations atypiques.
Soit V = V0 ⊕ V1 un super espace vectoriel de dimension finie, on définit la
super algèbre symétrique S(V ) = ⊕n S n (V ), S n (V ) = ⊕0≤p≤n S p (V0 ) ⊗ Λn−p (V1 ). On
considère l’idéal I = ⊕k Ikλ de S(Vλ∗ ), Ikλ = I ∩S k (Vλ∗ ), des “fonctions polynomiales”
nulles sur l’orbite du vecteur de plus bas poids v−λ , où v−λ ∈ (Vλ )0 .
L’idéal I définit la sous-super variété de P(Vλ ) qui correspond à l’orbite de v−λ .
On introduit la notion de module complètement typique (Vλ est complètement typique si pour tout k dans N∗ , Vkλ est un module typique) et on démontre que l’on
peut trouver un entier N (qui dépend de g) tel que pour tout module complètement
typique Vλ , l’idéal I est engendré par ⊕0≤k≤N Ikλ . En étudiant des exemples pour
g = osp(3, 2) et g = sl(1, 2), on démontre qu’en général I2λ n’engendre pas I, même
dans le cas où Vλ est complètement typique.
Ceci démontre que, pour ce problème, les super algèbres de Lie se comportent
différemment des algèbres de Lie simples et des algèbres de Kac-Moody symétrisables.
Homologie et cohomologie des super algèbres de Lie
Soit g = g0 ⊕ g1 une super algèbre de Lie de dimension finie sur C. Soit M
un g-module de dimension finie. On forme le complexe de Koszul de g à valeurs
dans M , Λ(g) ⊗ M , où Λ(g) = ⊕n Λn (g), Λn (g) = ⊕0≤p≤n Λp (g0 ) ⊗ S n−p (g1 ). La
différentielle se décompose en la somme de trois applications homogènes, ∂1 , ∂2 et
∂3 , ∂1 étant la différentielle du complexe de Koszul de g0 agissant dans S(g1 ) ⊗ M ,
∂2 provenant de l’action de g1 dans M et ∂3 provenant du crochet de Lie purement
impair, g1 × g1 → g0 . On a ∂12 = 0 et ∂32 = 0. Comme ce complexe est de longueur
infinie, on s’interroge sur la finitude de son homologie. Si l’on gradue Λn (g) par
les couples (p, n − p), 0 ≤ p ≤ n, les applications ∂1 , ∂2 et ∂3 sont bihomogènes de
bidegrés respectifs (−1, 0), (0, −1) et (1, −2). On peut considérer deux filtrations
de ce complexe, l’une par les puissances extérieures ascendantes de g0 (qui donne
lieu à la suite spectrale de Hochschild-Serre pour l’induction de g0 à g), l’autre est
la filtration ascendante pour la graduation m = p + n, pour laquelle ∂3 est de degré
−1.
On note (C, ∂3 ) le complexe obtenu en passant au gradué associé à cette seconde
6
filtration, ce qui revient à considérer les termes E 0 de la suite spectrale associée.
Définition 0.2 - Le cône
C(A)red = {X ∈ g1 , [X, X] = 0}
s’appelle le cône autocommutatnt réduit de g, le cône C(A) défini par les équations
[X, X] = 0 (non nécessairement réduit) s’appelle le cône autocommutant de g. En
théorie des déformations, l’ équation [X, X] = 0 est appelée “master equation”.
On considère le complexe de l’algèbre extérieure (“complexe de Koszul” des
géomètres algébristes) de S(g∗1 ) ⊗ M ∗ associé aux quadriques dont le cône C(A)
est intersection, (ceci correspond à l’inclusion de g∗0 dans S 2 (g∗1 ) par transposition
du crochet de Lie purement impair) et on remarque que ce complexe est le transposé
de (C, ∂3 ).
En 1994, j’ai rédigé un calcul de l’homologie de osp(3, 2) à valeurs dans le module
trivial, au moyen de la suite spectrale à (C, ∂3 ): dans ce cas-là, le cône autocommutant est réduit et la variété projective qui s’en déduit est P1 × P1 plongé dans P5
par le faisceau inversible OP1 (2) ⊗C OP1 (1) . Elle est intersection de six quadriques et
l’homologie du complexe de l’algèbre extérieure correspondant se calcule au moyen
de la cohomologie d’un certain fibré exceptionnel (i.e. sans déformation) de rang 3
sur P1 × P1 . Cette rédaction n’a jamais été publiée. Elle a par contre entièrement
déterminé les travaux qui ont suivi et que je vais décrire maintenant, dans la mesure
où j’espérais voir apparaitre des situations géométriques analogues dans des cadres
plus généraux.
Dans la suite, on suppose que l’algèbre de Lie g0 est réductive, qu’il existe un
groupe algébrique réductif complexe G0 d’algèbre de Lie g0 qui agit de manière
semi-simple dans g1 et dans M de telle sorte que cette action se dérive en l’action
de g0 . On démontre dans [3]:
Théorème 0.2 - Supposons que tout polynôme homogène non constant G0 -invariant
sur g1 s’annule en tous les points de C(A). Alors H ∗ (g, M ) est de dimension finie.
On vérifie ensuite que les hypothèses de ce théorème s’appliquent dans le cas de
toutes les super algèbres de Lie basiques classiques à l’exception de psl(n, n). Pour
terminer, on calcule la cohomologie de ces super algèbres de Lie à valeurs dans le
module trivial, ce qui avait déja été fait par Fuks et Leites dans les cas de osp(m, 2n)
et gl(m, n).
Pour obtenir la liste complète des super algèbres de Lie simples à partie paire
réductive, il restait à traiter les cas de psl(n, n) et des super algèbres de Lie étranges,
p(n) et q(n). Ceci a fait l’objet du travail [4].
Dans celui-ci, on démontre que les hypothèses du théorème précédent ne sont pas
vérifiées pour psl(n, n), p(n) et q(2n + 1) alors qu’elles le sont pour q(2n). On donne
7
dans l’introduction une formule unifiée pour la cohomologie d’une super algèbre de
Lie simple à partie paire réductive à valeurs dans le module trivial:
•,q
E∞
' T orqS(g0
∗ )G0
(S(g1 ∗ )G0 , C)
On ne sait pas si cette formule reste vraie dans des cas plus généraux.
En particulier, les cohomologies de psl(n, n), p(n) et q(2n + 1) à valeurs dans
le module trivial sont des anneaux de dimension de Krull 1. On fait les calculs
explicitement pour p(n) et psl(n, n), mais pas pour q(2n + 1) : les calculs ont été
faits pour q(3) et q(5), et le résultat n’est pas très engageant...
Le dernier paragraphe de [4] est un complément à [3], où l’on démontre le résultat
suivant:
Théorème 0.3 - La cohomologie H ∗ (g, M ) est un module de type fini sur l’anneau
noethérien H ∗ (g, C).
La question du calcul de H ∗ (g, M ) reste ouverte en général. La cohomologie des modules typiques est toujours triviale. Dans le cas de osp(3, 2), on peut
faire entièrement les calculs, ce qui est rédigé dans [6]. Jérôme Germoni m’a fait
part l’année dernière de ses résultats sur les représentations de dimension finie de
osp(3, 2) ([Ge]). Dans [6], on donne une description explicite des représentations
indécomposables atypiques et on calcule leur cohomologie : on remarque que pour
un module indécomposable atypique, la dimension est au plus 16 comme espace
vectoriel et que les degrés de cette cohomologie ne sont pas bornés. La description
de Germoni (qui est précisée dans [6] par une construction fonctorielle) permet un
calcul explicite de la cohomologie dans tous les cas.
Géométrie du cône autocommutant
Il est bien connu que la cohomologie du complexe de l’algèbre extérieure associé
à une suite d’éléments de l’anneau de base est annulée par l’idéal engendré par ces
éléments. Dans la situation examinée dans [3], l’homologie du complexe (C, ∂3 ) (qui
est formée de modules sur S(g∗1 )) est donc annulée par les équations [X, X] = 0. Si
l’idéal engendré par ces équations est égal à son nilradical, l’homologie de (C, ∂3 )
est formée de modules sur l’anneau des fonctions sur le cône autocommutant réduit
de g (définition 2), on peut donc espérer en donner une interprétation géométrique:
c’est ce que nous avons expliqué précédemment dans le cas de osp(3, 2).
Dans [5], on démontre que pour toutes les super algèbres de Lie basiques classiques à l’exception de psl(n, n), pour gl(n, n), pour des extensions centrales (non
scindées) P (n) et Q(n) de p(n) et q(n), le cône autocommutant est réduit. La
démonstration se fait au cas par cas et son plan est le suivant: on désingularise le
cône C(A) en un fibré vectoriel sur un produit de grassmanniennes généralisées. On
décrit ensuite totalement la structure de g0 -module de l’anneau des fonctions sur le
cône, qui concide toujours avec l’anneau des fonctions globales du faisceau structural
8
de la désingularisée. Cet anneau est un quotient de S(g∗1 ) par un idéal I, dont on
veut démontrer qu’il est engendré par ses éléments de degré 2 (la composante de
degré 2 est isomorphe à g0 ). On parvient à ce résultat par des méthodes adaptées
de celle de Kostant pour démontrer que l’orbite d’un vecteur de plus haut poids est
intersection de quadriques.
Un théorème de Kempf assure que les composantes irréductibles du cône autocommutant sont normales à singularités rationnelles ([Ke]). On démontre de plus
dans [5] que l’anneau du cône autocommutant de gl(m, n) (qui n’est pas irréductible)
est de Cohen-Macaulay.
Projets de recherche
Les projets de recherche que j’ai actuellement sont les suivants:
D’une part je souhaite calculer la cohomologie d’une super algèbre de Lie à partie
paire réductive quelconque à valeurs dans un module de dimension finie.
D’autre part, j’aimerais étudier la géométrie de ce que Kac nomme le cône nilpotent de la g0 -représentation g1 pour une super algèbre de Lie basique classique,
qui est par définition le lieu où tous les polynômes homogènes, non constants, g0 invariants sur g1 s’annulent. Le cône autocommutant en fait partie. Je pense que
ce cône doit donner des informations sur ce que devrait être un analogue super du
groupe de Weyl (le groupe de Weyl de g est le groupe de Weyl de la partie paire g0 ,
mais celui-ci ne rend pas exactement les mêmes services que le groupe de Weyl d’une
algèbre de Lie réductive...), plus exactement il me semble intéressant de chercher à
construire grâce à ce cône un analogue des représentations de Springer.
Bibliographie
[1] C. Gruson, Description de certains super groupes classiques, Annales de l’Institut
Fourier, Grenoble, 44, 1 (1994), pp. 39-63.
[2] C. Gruson, Sur les relations de Plcker dans le cas d’une super algèbre de Lie
basique classique complexe, Journal of Geometry and Physics, 14, 1994, pp. 43-64.
[3] C. Gruson, Finitude de l’homologie de certains modules de dimension finie sur
une super algebre de Lie, Annales de l’Institut Fourier, tome 47, fascicule 2 (1997)
pp. 531-553.
[4] C. Gruson, Sur la cohomologie des super algèbres de Lie étranges, à paraitre au
Journal of Transformation Groups.
[5] C. Gruson, Sur l’idéal du cône autocommutant des super algèbres de Lie basiques
classiques et étranges, soumis.
[6] C. Gruson, Cohomologie des modules de dimension finie sur la super algèbre de
Lie osp(3, 2), preprint.
[Ca] P. Cartier, Groupes algébriques et groupes formels, Colloque sur la théorie des
groupes algébriques, CBRM, Librairie universitaire, Louvain (1962), pp. 87-111.
9
[Ga] D. Garfinkle, A new construction of the Joseph ideal, Ph.D. thesis, M.I.T.
Cambridge (1982).
[Ge] J. Germoni, Indecomposable representations of osp(3, 2) and D(2, 1, α), preprint
1998.
[Ka1] V.G. Kac, Lie superalebras, Advances in math. 26 (1977) pp. 8-96.
[Ka2] V.G. Kac, Representations of Lie superalgebras, LNM 676, Springer (1978)
pp. 597-626.
[Se] V.V. Serganova, Automorphisms of simple Lie superalgebras, Math. USSR
Izvestiya, 24 (1985), pp. 539-551.
[We] A. Weil, Algebras with involutions and the classical groups, J. Ind. Math. Soc,
24 (1960), pp. 589-623.
10
Description de certains super groupes classiques.
Introduction
Weil a donné dans [12] une description des groupes de Lie simples non exceptionnels
comme groupes d’automorphismes d’algèbres semi-simples à involution. Le but de
cet article est de généraliser cette construction au cas Z/2Z-gradué. Dans la première
partie, on démontre un résultat adaptant au cas d’un super groupe de Lie C ∞ un
théorème de Cartier, ce qui permet d’affirmer qu’un sous foncteur en groupes de
GL(n, m) défini par des équations est représentable par un super groupe de Lie.
Dans la seconde partie, on décrit les super algèbres semi-simples à involution
sur C et l’on montre que leurs groupes d’automorphismes sont des types suivants:
POSP (n, 2m, C),
PGL(n, m, C), PP(n, C), PQ(n, C).
La troisième partie est consacrée aux formes réelles: pour passer au cas réel, il
faut montrer que les automorphismes des super groupes complexes obtenus proviennent d’automorphismes des super algèbres à involution, ce qui chez Weil se traduit
par l’exclusion du groupe SO(8). En effet, celui-ci a six automorphismes extérieurs
dont deux seulement proviennent de l’algèbre à involution. Si l’on se place, comme
Weil, dans le cas d’un sous-corps k d’un corps K, on constate que si le groupe de
Galois de K sur k est S3 ou A3 , le phénomène de la trialité peut faire apparaitre
des k-formes de SO(8, K) auxquelles ne correspond aucune forme quadratique sur
k (voir Jacobson, Exceptional Lie algebras, Marcel Dekker, 1971, 5).
Le cas Z/2Z-gradué n’introduit pas de difficulté supplémentaire, d’après Serganova
[9].
Je souhaite remercier Michel Duflo, qui m’a proposé le sujet de ce travail et en
a suivi attentivement la réalisation.
0.1
Généralisation au cas Z/2Z-gradué d’un théorème
de Cartier
Cartier a démontré dans [3] que les schémas en groupes sont lisses en caractéristique zéro.
Le but de ce paragraphe est de démontrer le théorème suivant:
Théorème 0.4 - Soit (G, OG ) un super groupe de Lie différentiable, OG désignant
le faisceau des germes de fonctions C ∞ sur G. Soit I un idéal Z/2Z-gradué localement de type fini de OG . Notons (m, m∗ ) la multiplication de (G, OG ) ; on suppose
que m∗ (I) ⊂ p∗1 (I) + p∗2 (I), p1 et p2 étant les deux projections de G × G sur G.
11
Alors il existe un sous-super groupe (H, OH ) de (G, OG ) tel que I soit l’idéal des
germes de fonctions nulles sur H.
Montrons tout d’abord le résultat au voisinage de l’élément neutre e de G. Soit
(f1 , . . . , fm ,
ϕ1 , . . . , ϕq ) un système de générateurs de I au voisinage de e. Considérons la matrice
jacobienne:
∂fi /∂yj ∂fi /∂ηj
∂ϕi /∂yj ∂ϕi /∂ηj
dans un système (y1 , . . . , yn , η1 , . . . , ηp ) de coordonnées locales de G au voisinage de
e. Prenons sa valeur en e et extrayons un ensemble maximal de lignes indépendantes.
Supposons que ces lignes correspondent à (f1 , . . . , fk , ϕ1 , . . . , ϕl ).
Complétons (f1 , . . . , fk , ϕ1 , . . . , ϕl ) en un système de coordonnées locales, qu’on
notera dorénavant (x1 , . . . , xn , ξ1 , . . . , ξp ) (on a: x1 = f1 , . . . , xk = fk , ξ1 = ϕ1 , . . . , ξl =
ϕl ).
On considère maintenant la sous-super variété (X, OX ) de (G, OG ) définie par:
x1 = 0, . . . , xk = 0, ξ1 = 0, . . . , ξl = 0.
On définit un germe de loi de composition interne sur X, notée (g, h) → g ∗ h, de
la façon suivante: si g, h, et m(g, h) sont dans l’ouvert de coordonnées et que g et h
sont dans X, g ∗ h est la projection de m(g, h) sur X (i.e. l’élément de X ayant les
mêmes coordonnées que m(g, h) selon (xk+1 , . . . , xn , ξl+1 , . . . , ξp )).
On se propose de démontrer que les applications (fk+1 , . . . , fm , ϕl+1 , . . . , ϕq ) s’annulent
sur X.
Soit Te X l’espace tangent à X au point e. Soit d un élément de Te X, on lui associe
un germe en e de champ de vecteurs sur X, noté Vd , défini de la façon suivante: si
f est un germe de fonction sur X en e, on pose:
Vd (f )(g) = d(h 7→ f (g ∗ h)).
Lemme 0.1 - Si f est la restriction à X d’un élément de I, il en est de même pour
Vd (f ).
Démonstration - Soit u un élément de I dont la restriction à X est f . Composons le
germe de f avec le germe de projection de G sur X (qui a servi à définir la loi ∗) et
notons f X le résultat. Alors u − f X s’annule sur X, ce qui prouve que f X appartient
à I; sa restriction à X est f . De plus, si g, h, et m(g, h) sont assez voisins de e,
f X (m(g, h)) = f X (g ∗ h) par construction.
Calculons Vd (f X )(g) = d(h 7→ f X (g ∗ h)). Le germe
(g, h) 7−→ f X (g ∗ h) = f X (m(g, h))
appartient à m∗ (I). Or m∗ (I) ⊂ p∗1 (I) + p∗2 (I). Donc il existe des germes ai , bi , ci , di
de sections de OG×G en (e, e) tels que:
X
X
X
X
f X (g ∗ h) =
ai (g, h)fi (g) +
bi (g, h)φi (g) +
ci (g, h)fi (h) +
di (g, h)φi (h).
i
i
i
12
i
Donc
Vd (f X )(g) =
X
(dh ai )fi (g) +
i
X
(dh bi )φi (g) +
i
+
X
X
(dh ci )fi (e) +
i
(dh di )φi (e) +
i
X
X
d(fi )ci (g, e)+
i
(dφi )di (g, e)
i
où dh désigne la dérivation partielle par rapport à h dans la direction d. Or d(fi ) =
d(φi ) = 0: en effet le
locales a été construit pour!
Psystème de coordonnées
P
X
Donc Vd (f )(g) = dh ai fi (g) + dh bi φi (g) ∈ I. 2
Notons I l’idéal des germes en e des restrictions de I à X. On vient de voir
que I est stable par tous les Vd , d ∈ Te X, donc par toutes les dérivations de X au
voisinage de e.
Rappelons la définition d’une super algèbre proche, adaptée de Weil [11].
Définition 0.3 - Soit k un corps de caractéristique zéro, on appelle super algèbre
proche sur k une super algèbre locale de dimension finie super commutative de corps
résiduel k.
Par exemple, l’algèbre extérieure k[ξ1 , . . . ξn ] en n variables impaires est une super
algèbre proche.
Lemme 0.2 - Soit I un idéal gradué de type fini de l’anneau des germes en 0 de
fonctions C ∞ sur Rn+εp , stable par toutes les dérivations et ne contenant pas 1.
Alors I = 0.
Démonstration - Etudions le cas où n = 0, donc où il n’y a que des variables impaires.
On veut montrer qu’un idéal de Λ(Rp ) stable par toutes les dérivations est soit nul
soit Λ(Rp ). Soit I un tel idéal, supposons I 6= 0; soit β un élément non nul de I. On
considère un terme de β de plus bas degré possible, supposons que c’est αξ1 ∧. . .∧ξk .
On multiplie alors β par ξk+1 ∧ . . . ∧ ξp , et on trouve αξ1 ∧ . . . ∧ ξp . Donc I contient
Λp (Rp ). Or par dualité de l’algèbre extérieure, Λp (Rp ) correspond à Λ0 ((Rp )∗ ) = R,
et la dérivation dans une direction définie par un élément de (Rp )∗ correspond à la
multiplication par cet élément. Donc I = Λ(Rp ).
Plaçons nous maintenant dans le cas général ; notons (x1 , . . . , xn , ξ1 , . . . , ξp ) les coordonnées dans Rn+εp et f1 , . . . , fm , fm+1 , . . . , fm+q un système de générateurs homogènes de I au voisinage de 0. Tout élément de I est considéré comme un germe
d’application de Rn dans Λ(Rp ).
Soit v ∈ Rn . Dérivons le système de générateurs choisi dans la direction v. On
obtient ainsi un système homogène d’équations différentielles:
X
∂fk /∂v =
akj fj , k = 1, . . . , m + q. (akj ∈ End(Λ(Rp )) )
1≤j≤m+q
13
Le cas traité ci-dessus (n = 0) montre que les conditions initiales de ce système
sont nulles. Par le théorème d’unicité des solutions des équations différentielles, la
solution nulle est la seule possible.2
Donc I est nul, donc I est identique à l’idéal des fonctions nulles sur X, donc
(f1 , . . . , fk ,
ϕ1 , . . . , ϕl ) est un système submersif de générateurs de I au voisinage de e. La
condition
m∗ (I) ⊂ p∗1 (I) + p∗2 (I)
implique que HP est un sous-groupe de GP pour toute algèbre proche P : soit P une
algèbre proche, on note GP le groupe des points proches de G à valeurs dans P , qui
est défini comme suit: pour toute super variété différentiable (X, OX ), la théorie des
points proches [11] permet, pour toute algèbre proche P , de munir l’ensemble XP
des morphismes d’espaces annelés ({pt}, P ) −→ (X, OX ) d’une structure de variété
différentiable. .
Soit H = HR le sous-groupe de G = GR formé des points proches de G à valeurs
dans R où les sections de I sont nulles. C’est par définition le support du faisceau
d’anneaux OG /I, et par hypothèse, c’est un sous-groupe de G.
Pour prouver le théorème 1.1, il reste à voir que I peut être engendré, au voisinage de tout point h de H, par un système submersif d’équations.
Définissons la translation à gauche par h:
(Lh , L∗h ) : (G, OG ) → (G, OG ).
C’est la composée:
(id, h)
(m, m∗ )
(G, OG )
→
(G × G, OG×G )
→
(G, OG )
où les flèches sont: à droite la multiplication, à gauche le produit cartésien des deux
morphismes suivants de (G, OG ) dans lui même
id : (G, OG ) → (G, OG )
h, h ∈ GR
h : (G, OG ) → ({pt}, R)
→
(G, OG ).
Soit A l’anneau des germes de sections de OG au voisinage de e.
Si l’on note Ah l’anneau des germes de sections de OG au voisinage de h, (Lh , L∗h )
induit un isomorphisme ϕh : Ah −→ A.
Notons I l’idéal formé des germes de sections de I au voisinage de e.
Notons Ih l’idéal des germes de sections de I au voisinage de h. On est ramené
à montrer que ϕh (Ih ) = I.
Calculons l’application L(h,P ) : GP −→ GP qui correspond à (Lh , L∗h ).
14
L’application (m, m∗ ) induit le produit mP dans GP . L’identité devient l’identité,
il reste à déterminer ce que nous avons noté h. R s’injecte dans P , donc il y a un
unique point proche ({pt}, P ) dans (G, OG ) qui se factorise par
h
({pt}, R) → (G, OG ).
On note hP ce point de GP .
Compte tenu de ce qui précède, Lh,P est la translation à gauche (bien définie car
GP est un groupe) par hP .
Soit HP le sous-groupe de GP défini par IP ; (Rappelons comment est défini
IP : soit (X, OX ) une super variété différentiable, si U est un ouvert de X et
si f ∈ OX (U ), pour chaque x ∈ UP , on définit fP (x) comme l’image de f par
l’homomorphisme OX (U ) −→ P associé à la donnée de x. Alors fP est une fonction
différentiable sur UP à valeurs dans P . Par définition, IP est l’idéal des fonctions
différentiables sur GP engendré par les coefficients des fP , dans une base du R-espace
vectoriel P , lorsque f parcourt les sections locales de I.). L’élément hP appartient
à HP . En effet, hP est un morphisme ({pt}, P ) → (G, OG ), {pt} étant envoyé sur
h. On a donc un homomorphisme αhP : Ah −→ P
Or par construction de hP , ce morphisme se factorise par R. Donc Ker(αhP ) est
égal à l’idéal maximal de Ah et contient donc Ih . Donc hP annule les éléments de
IP , i.e. appartient à HP .
L’application Lh,P induit donc une bijection de HomAlg (A/I, P ) sur HomAlg (Ah /Ih , P ).
En faisant varier P , cela prouve que ϕh (Ih ) = I.
On a donc prouvé que l’on a des coordonnées locales partout, d’où le théorème.
2
Ce résultat tel qu’il est énoncé n’est pas très maniable. On a vu, au cours de
la démonstration, que la condition m∗ (I) ⊂ p∗1 (I) + p∗2 (I) implique que HP est un
sous groupe de GP pour toute algèbre proche P . Dans le cas C ∞ , cette seconde
condition est strictement plus faible que la première (présence de fonctions plates).
Par contre, dans le cas analytique, les deux conditions sont équivalentes:
Soient (G, OG ) un super groupe de Lie analytique réel, OG,e l’anneau local des
germes de sections de OG au voisinage de e, M l’idéal maximal de OG,e et A le
complété M-adique de OG,e . Soit I l’idéal des germes de sections de I au voisinage
de e. On note Iˆ son complété M-adique. Avec ces notations, la condition du
théorème 1.1 s’écrit:
ˆ ⊂ A⊗I
ˆ + I ⊗A,
ˆ
µ∗ (I)
ˆ est le produit
où µ∗ désigne la comultiplication dans l’algèbre de Hopf A et ⊗
tensoriel complété.
Montrons que si, pour toute algèbre proche P , IP définit un sous-groupe HP de
GP , alors cette condition est satisfaite:
ˆ par un idéal gradué J qui contienne
Soit P une algèbre proche quotient de A⊗A
ˆ
ˆ
ˆ
A⊗I + I ⊗A; notons f : A⊗A → P l’homomorphisme canonique. Montrons que
15
ˆ ⊂ J; on aura alors le résultat voulu par le théorème de Krull (car A⊗I
ˆ +I ⊗A
ˆ =
µ(I)
T
ˆ + I ⊗A
ˆ et de codimension finie comme R-espace
J pour J idéal contenant A⊗I
vectoriel).
Un point de GP d’image e dans GR est un homomorphisme de Â dans P . L’ˆ dans P définit donc un couple (g1 , g2 ) de GP .
homomorphisme f donné de A⊗A
ˆ + I ⊗A,
ˆ g1 et g2 sont dans HP . Par ailleurs,
Comme le noyau J de f contient A⊗I
f ◦ µ est l’homomorphisme de A dans P correspondant à g1 g2 . Or g1 g2 ∈ HP par
ˆ ⊂ J.
hypothèse, donc µ∗ (I)
On a donc l’énoncé suivant, qui est la généralisation du théorème de Cartier:
Théorème 0.5 - Soit (G, OG ) un super groupe de Lie analytique réel, soit I un
idéal cohérent de OG tel que pour toute algèbre proche P , IP définisse un sousgroupe fermé de GP . Alors il existe un sous super groupe de Lie (H, OH ) de (G, OG )
tel que I soit l’idéal des fonctions nulles sur H .
En effet, la démonstration du théorème 1.1 se reproduit identiquement en remplaçant C ∞ par analytique.
0.2
Super algèbres à involution et super groupes
complexes
0.2.1
Involutions des super algèbres semi-simples complexes
Définition 0.4 - Soit A une super algèbre complexe, on appelle involution sur A
un isomorphisme d’algèbres de A sur Aopp de carré l’identité ( Aopp désigne l’algèbre
opposée de A , i.e. la loi de multiplication est (a, b) 7→ (−1)p(a)p(b) ba ) .
Les super algèbres considérées dans la suite sont de dimension finie. On connait
la classification des super algèbres simples sur C ([7], chap.3, prop.6.4.7); nous les
noterons Mn+εm (C), (n, m) ∈ N × N\(0, 0) et Mn (C + εC), n ∈ N∗ (rappelons que
C+εC désigne le super corps de centre C défini par l’adjonction d’un élément impair
ε de carré 1 ). On remarque que Mn+εm (C) est isomorphe à Mm+εn (C). Une super
algèbre semi-simple complexe est un produit d’algèbres de ces types. Soit i une
involution sur une super algèbre semi-simple A = ΠAµ , où les Aµ sont simples.
Comme i est un isomorphisme d’algèbres, elle induit une permutation d’ordre ≤ 2
(car elle est de carré l’identité) de l’ensemble des indices. Distinguons ce qu’il se
passe pour un bloc stable Aµ × Aν de ce qui se passe pour un facteur simple unique.
Si A et B sont deux algèbres simples, se donner une involution sur A×B qui permute
les facteurs revient à identifier B et Aopp . Pour classifier les super algèbres simples
à involution, il reste à déterminer toutes les involutions des super algèbres simples
citées plus haut.
Soit A une super algèbre simple complexe, nous allons décrire un antiautomorphisme T de A tel que T 2 (x) = (−1)p(x) x pour tout x homogène dans A . Soit i
16
une involution de A , ioT −1 est un automorphisme de A , qui d’après la version
graduée du théorème de Skolem Noether, théorème 2.1 ci-dessous ( [7] chap. III,
prop. 6.5.1.) est intérieur au sens suivant: il existe un élément a homogène inversible
dans A tel que (ioT −1 )(x) = (−1)p(a)p(x) axa−1 ∀x ∈ A. Exprimons maintenant que
i est de carré l’identité. Soit a un élément homogène inversible de A , on note ϕa
l’automorphisme intérieur de A défini par a.
On calcule T oϕa :
T oϕa (x) = T ((−1)p(a)p(x) axa−1 )
T oϕa (x) = (−1)p(a)p(x) (−1)p(a
−1 )p(ax)
T (a−1 )T (ax)
T oϕa (x) = (−1)p(a)p(x) (−1)p(a)((p(a)+p(x)) (−1)p(a) T (a)−1 (−1)p(a)p(x) T (x)T (a)
T oϕa (x) = ϕT (a)−1 oT (x).
Or i = ϕa oT , donc 1 = i2 = ϕa oT oϕa oT = ϕa oϕT (a)−1 oT 2 .
Mais ϕa oϕT (a)−1 = ϕaT (a)−1 ; donc ϕaT (a)−1 oT 2 (x) = x pour tout x, donc ϕaT (a)−1 (x) =
(−1)p(x) x.
Remarque - De plus, on voudrait avoir la classification des algèbres à involution
à automorphisme près. Soit (A, i) une algèbre simple à involution, soit j = ϕb oi
un antiautomorphisme de A, un calcul analogue nous dit que pour que j soit une
involution, il faut et il suffit que bi(b)−1 = λI, λ ∈ C∗ .
Par ailleurs, i et j sont conjuguées par un automorphisme de A si et seulement
si il existe c ∈ A× tel que b = ci(c) (on a noté A× le groupe multiplicatif de A).
Définissons maintenant T dans les deux cas considérés.
1)Mn+εm (C), (n, m) ∈ N × N\{(0, 0)}
Soit Z une algèbre graduée super commutative ; rappelons que Mn+εm (Z) est constituée de matrices par blocs:
A B
C D
A étant une matrice (n,n), B une matrice (n,m), C une matrice (m,n) et D une
matrice (m,m), avec la graduation suivante:
A B
(Mn+εm (Z))0 =
A et D (resp. B et C) à coeff. dans Z0 (resp. Z1 )
C D
A B
(Mn+εm (Z))1 =
A et D (resp. B et C) à coeff. dans Z1 (resp. Z0 )
C D
On définit un antiautomorphisme, appelé la super transposition, de la façon suivante:
t
str
A B
A tC
A B
=
si
appartient à(Mn+εm (Z))0
C D
−t B t D
C D
17
str
A B
C D
=
t
A −t C
t
B tD
A B
si
appartient à(Mn+εm (Z))1
C D
voir [8], chap.3, 3, 1.
Il est clair que si Z est totalement pair, str (str (x)) = (−1)p(x) x pour tout x homogène
dans Mn+εm (Z).
On remarque que cette super transposition se déduit par extension des scalaires de
celle sur Mn+εm (C).
On peut maintenant calculer toutes les involutions sur Mn+εm (C).
Soit a un élément homogène inversible de Mn+εm (C). Alors ϕa ◦ T est une involution
de Mn+εm (C) si et seulement si (−1)p(x) ϕaT (a)−1 (x) = x pour tout x homogène de
Mn+εm (C).
Remarque: x7→ (−1)p(x)
x est l’automorphisme intérieur de Mn+εm (C) défini par la
I 0
matrice σ =
.
0 −I
Donc la condition peut s’écrire:
aT (a)−1 σ ∈ C∗ .
Distinguons maintenant deux cas suivant la parité de a.
A 0
Si a est un élément pair, on peut écrire a =
.
0 B
Il existe λ ∈ C∗ tel que aT (a)−1 σ = λI.
Donc T (aT (a)−1 σ) = T (λI) = λI, et T (aT (a)−1 σ) = T (σ)a−1 T (a) = σa−1 T (a).
Donc aT (a)−1 σσa−1 T (a) = λ2 I, soit aT (a)−1 a−1 T (a) = λ2 I.
Or a et T (a) commutent car chacun laisse stable la partie paire et la partie impaire
de Cn+εm et a = λT (a) sur la partie paire , a = −λT (a) sur la partie impaire.
On peut donc
que λ2= 1. Donc
aT (a)−1 σ = 1, soit:
en
tdéduire
A 0
A−1
0
I 0
= ±I
t −1
0
B
0 −I
0t B
A A−1
0
= ±I.
0
−B t B −1
Conclusion: ou bien A est une matrice symétrique et B est une matrice alternée, ou
bien A est une matrice alternée et B est une matrice symétrique. Il y a deux classes
d’automorphisme si n 6= m, en effet si l’on applique la remarque de la page 8, ceci
est clair, car les parties symétrique et alternée se séparent et chacune d’elles ressort
de la classification usuelle de ces matrices. De plus, si n 6= m, l’automorphisme
Mn+εm → Mm+εn permute les deuxclasses.
√ Si n = m, il n’y a qu’une classe
0
(−1)I
d’automorphisme, en choisissant c =
.
I
0
Si a est un élément impair, on a m = n, puisque a est inversible.
Posons 0 A
0 B −1
−1
a=
,a =
.
B 0
A−1
0
18
On écrit aT (a)−1 σ = λI, λ ∈ C∗ . Effectuons le calcul:
str 0 A
0 B −1
I 0
= λI.
B 0
A−1
0
0 −I
Donc
A t B −1
0
0
B t A−1
= −λI.
On obtient le système:
A = −λt B
B = −λt A
ce qui impose λ2 = 1.
On en déduit que a est de la forme:
0 A
0 −A
a= t
ou bien a = t
A 0
A 0
Il n’y a dans ce cas qu’une seule classe
d’automorphismes
d’après la remarque de
0 I
0 −I
la page 8 (les deux représentants
et
sont conjugués par la
I 0
I 0
0 I
matrice
).
−I 0
2)Mn (C + εC), n ∈ N∗
Un élément de Mn (C + εC) s’écrit a + εb où a et b appartiennent à Mn (C), avec
ε2 = 1, homogène de degré √
1.
√
t
On pose T (a + εb) = a + ε (−1) t b avec (−1)2 = −1
On remarque que (conformément au théorème de Skolem Noether énoncé ci-dessous)
x 7→ (−1)p(x) x est l’automorphisme ϕεi qui provient d’un élément impair.
Lorsqu’on écrit la condition nécessaire pour que ϕA ◦ T soit une involution, on
obtient:
√
AT (A)−1 .ε (−1) appartient au centre.
Celui-ci ne contenant que des éléments pairs puisqu’il s’agit de C, il y a une contradiction.
Conclusion: La super algèbre simple Mn (C + εC) n’a pas d’involution.
Proposition 0.1 - On a les classes d’isomorphismes suivantes d’algèbres semisimples à involution sur C:


In
0
0
0
Im 
a) (Mn+2εm (C), ϕa ◦ T ), (n, m) ∈ N2 \{(0, 0)} a =  0
0 −Im 0
0 In
b) (Mn+εn (C), ϕa ◦ T ), n ∈ N∗ , a =
,
In 0
c) (Mn+εm (C)×Mn+εm (C)opp , inversion des facteurs), (n, m) ∈ N2 \{(0, 0)}, n ≥
m,
d) (Mn (C + εC) × Mn (C + εC)opp , inversion des facteurs), n ∈ N∗ .
19
0.2.2
Groupes d’automorphismes des algèbres semi-simples
à involution
Soit (A, i) une super algèbre semi-simple complexe à involution.
Soit P une super algèbre proche sur C, on note A(P ) la super algèbre A ⊗C P
Décrivons les automorphismes (triviaux sur le centre, en particulier P -linéaires) de
(A(P ), iP ) où iP désigne l’involution sur A(P ) obtenue par extension des scalaires.
Rappelons que l’on appelle centre de A l’ensemble des éléments a ∈ A homogènes
tels que, pour tout x homogène dans A, ax = (−1)p(a)p(x) xa.
Théorème 0.6 (Skolem Noether) - Les automorphismes de A(P ) triviaux sur le
centre sont intérieurs (voir [7], chap.3, prop. 6.5.1 dans le cas où le centre est
totalement pair).
La démonstration classique s’adapte aisément.
Soit u appartenant à A(P ), u inversible et pair; soit ϕu l’automorphisme intérieur
associé. Exprimons que ϕu commute avec iP :
ϕu ◦ iP = iP ◦ ϕu ⇐⇒ uiP (a)u−1 = iP (uau−1 ), ∀a ∈ A(P )
ϕu ◦ iP = iP ◦ ϕu ⇐⇒ uiP (a)u−1 = iP (u−1 )iP (a)iP (u)
ϕu ◦ iP = iP ◦ ϕu ⇐⇒ iP (u)u appartient au centre de A(P ).
Dans le cas où A est simple, le centre de A(P ) est P , donc ϕu ◦ iP = iP ◦ ϕu
équivaut à iP (u)u = λ ∈ P0∗ (P0∗ est l’ensemble des éléments pairs inversibles de P ).
Remarque - Rappelons nous que u et µu, µ ∈ P0∗ , définissent le même automorphisme
intérieur de A(P ). Par ailleurs, on peut extraire des racines carrées dans P0∗ (lemme
de Hensel, voir [7], chap.2, démonstration du thm.4.6.1), donc il existe une racine
carrée µ de λ−1 et l’on a:
ϕµu = ϕu et iP (µu)µu = 1.
(Comme tout λ−1 a exactement deux racines carrées, on a deux choix possibles pour
le représentant de l’automorphisme intérieur.)
Donc, si on note G(P ) l’ensemble des v ∈ A(P )∗0 tels que iP (v)v = 1, v → ϕv est un
homomorphisme surjectif de noyau {−1, 1} de la composante neutre de A(P )∗0 sur
celle du groupe des automorphismes de (AP , iP ).
Si A est semi-simple, on a vu qu’il suffit de considérer le cas A = B×B opp , l’involution
étant la permutation des facteurs, le centre de A(P ) devient P × P et l’on a:
iP (u)u = iP (iP (u)u), donc iP (u)u ∈ P0∗ × P0∗ , et on peut l’écrire (λ, λ).
Si iP (µu)µu = 1, où µ = (µ1 , µ2 ), on a la relation µ1 µ2 = λ−1 , on a donc une infinité
de solutions et l’on en choisit arbitrairement une.
20
Donc, si on note G(P ) l’ensemble des v ∈ A(P )∗0 tels que iP (v)v = 1, v → ϕv de
B(P )∗0 dans A(P )∗0 est un homomorphisme surjectif de noyau P0∗ dans la composante
neutre de Aut(AP , iP ).
Associons maintenant à (A, i) un super groupe de Lie.
Soit V = V0 ⊕ V1 un super espace vectoriel de dimension n + εm, n ≥ 0, m ≥
0, m + n 6= 0. On choisit une base de V et on identifie les endomorphismes de V
avec les matrices de Mn+εm . Pour toute algèbre proche P , on définit:
GL(n, m, P ) = {g ∈ Mn+εm (P )0 , g inversible }, et l’on note GL(n, m) le super
groupe de Lie ainsi obtenu. Soit GL(A) le super groupe de Lie complexe associé à
l’espace vectoriel A.
Soit ϕ un élément de GL(A)(C). Dire que c’est un automorphisme de l’algèbre à
involution (A, i) peut se traduire par:
ϕ◦i−i◦ϕ=0
ϕ(xy) = ϕ(x)ϕ(y) pour tous x et y dans A.
La deuxième équation s’interprète comme suit: notons µ la multiplication de A, on
peut dire que µ est un élément de A∗ ⊗ A∗ ⊗ A; on fait agir GL(A) sur A∗ ⊗ A∗ ⊗ A
(par l’inverse de la transposée sur les deux premiers facteurs) et on note Aut(A)
l’ensemble des éléments qui fixent µ. Si P est une algèbre proche, Aut(A(P )) est
défini par les mêmes équations qui sont en nombre fini.
La première équation, [ϕ, i] = 0, est identique sur chaque algèbre proche.
On a donc un sous-ensemble de GL(A) défini par un nombre fini d’ équations,
que l’on peut noter f1 = 0, . . . , fk = 0, telles que pour toute algèbre proche P ,
f1,P = 0, . . . , fk,P = 0 définisse un sous-groupe de GL(A(P )). Comme GL(A) est un
super groupe analytique, nous sommes dans les hypothèses du théorème de Cartier,
ce qui permet de conclure que l’ensemble des automorphismes de (A, i) muni du
faisceau structural OGL(A) /I, où I est l’idéal engendré par f1 , . . . , fk , est un super
groupe de Lie, que nous notons Aut(A, i), et l’on a Aut(A, i)(P )=Aut(A(P ), i).
Rappelons les définitions suivantes de certains super groupes de Lie:
Soit V = V0 ⊕ V1 un super espace vectoriel de dimension n + εm, n ≥ 0, m ≥
0, m + n 6= 0.
Supposons que m est pair. Soit B une forme bilinéaire symétrique paire non
dégénérée sur V (i.e. B(V0 , V1 ) = 0, la restriction de B à V0 est symétrique, la
restriction de B à V1 est alternée.) OSP (n, m, P ) est défini comme étant le sous
groupe de GL(n, m, P ) préservant B. On note OSP (n, m) le super groupe de Lie
analytique complexe correspondant.
Si n = m, soit B une forme bilinéaire impaire symétrique non dégénérée sur V (la
restriction de B à V0 × V0 et à V1 × V1 est nulle). Le groupe P(n, P ) est l’ensemble
des automorphismes de GL(n, n, P ) qui préservent B, pour toute algèbre proche P .
On note P(n) le super groupe de Lie complexe correspondant.
21
Enfin, on définit Q(n, P ) comme étantle sous groupe de GL(n, n, P ) constitué des
0 I
matrices qui commutent à la matrice
. On notera Q(n) le super groupe
I 0
de Lie analytique complexe ainsi obtenu.
Faisons maintenant un tableau décrivant les groupes d’automorphismes.
On note PG le quotient du super groupe G par son centre, en remarquant que
si l’on définit, pour toute algèbre proche P , PG(P ) comme le quotient de G(P ) par
son centre, on obtient un super groupe de Lie.
Dans la colonne de droite, on indique le sous super groupe Autev (A, i) de Aut(A, i)
défini de la manière suivante: pour toute algèbre proche P , Autev (A, i)(P ) est le
sous-groupe de Aut(A, i)(P ) formé des automorphismes intérieurs provenant d’éléments
de A(P )0 . Il est d’indice 2 ou 1 dans Aut(A, i) suivant qu’il existe ou non des automorphismes intérieurs de (A, i) provenant d’éléments impairs de A.
Algèbre
T
Involution
Groupe obtenu
[indice dans
Aut(A, i)]
Mn+2εm (C)
str
ϕa ◦ T

POSP (n, 2m)

I 0 0




a= 0 0 I 


0 −I 0
(n, m) ∈ N2 \(0, 0)
= OSP (n, 2m)/{−1, 1}
[1]
Mn+εn (C)
str
ϕa ◦ T


0 I

a=
I 0
n ∈ N, n ≥ 1
PP(n)
= P(n)/{−1, 1}
[2]
Mn+εm (C) × Mn+εm (C)opp
Inversion
PGL(n, m)
(m, n) ∈ N2 \(0, 0), m ≥ n
des facteurs
= GL(n, m)/GL(1)
[2 si n = m
1 sinon]
Mn (C + εC) × Mn (C + εC)opp
Inversion
PQ(n)
n ∈ N, n ≥ 1
des facteurs
= Q(n)/GL(1)
[2]
22
Il y a des isomorphismes entres ces groupes: PGL(1, 2) est isomorphe à POSP (2, 2)
et pour tout n 6= m, PGL(n, m) est isomorphe à PGL(m, n) (ceci provient d’un
isomorphisme entre les algèbres à involution correspondantes.
Le groupe POSP (n, 2m) n’est pas connexe si n est pair. Notons SOSP (n, 2m)
la composante neutre de SOSP (n, 2m), le groupe PSOSP (n, 2m) est toujours connexe.
Le centre de SOSP (n, 2m) est {−I, I}, si n est pair.
Le centre de P(n) est {−I, I}.
Si n = m, PGL(n, n) 6= PSL(n, n) donc l’algèbre de Lie du groupe obtenu n’est
pas simple; l’algèbre de Lie de Q(n) n’est pas simple ; lorsque l’on compare avec [5],
on vérifie que les autres super algèbres de Lie obtenues sont simples à l’exception
de celles provenant de PP(1), PP(2),.
Remarque - Dans [5], Kac n’utilise pas la même indexation: ce qu’il note p(n) (resp.
q(n)), nous le notons p(n + 1) (resp. q(n + 1)).
On appelera ”vraiment classiques” les super algèbres de Lie provenant des groupes
que nous venons d’obtenir. Remarquons qu’on retrouve ainsi les ”séries étranges”
de Kac, p(n) et q(n), les séries sl(n, m), n 6= m, gl(n, n) et osp(n, 2m), alors que les
algèbres basiques classiques dites exceptionnelles, D(2, 1, α), α 6= −2, −1, 0, −1/2,
0, 1, F (4), G(2), G(3), E(6), E(7), E(8) n’apparaissent pas.
0.3
Formes réelles des groupes d’automorphisme
des algèbres semi-simples complexes à involution
Théorème 0.7 - Soit (G, OG ) un super groupe de Lie réel connexe, notons (Z, OZ )
le centre de (G, OG ) et supposons que le groupe des points réels soit trivial. Soit
g son algèbre de Lie. Supposons que la complexifiée gC de g soit de l’un des types
suivants: osp(n, 2m, C) avec (n, m) ∈ N2 \{(2, 1), (8, 0)}, pgl(n, m, C),
avec (n, m) ∈ N2 , p(n, C), n ∈ N, n > 2, pq(n, C), n ∈ N, n > 2. Alors il existe une
super algèbre réelle à involution dont la composante neutre du groupe des automorphismes soit (G, OG ).
Soit gC de l’un des types désignés et soit (GC , OGC ) un super groupe de Lie complexe
connexe de centre trivial d’algèbre de Lie gC . Soit (A, i) une algèbre semi-simple à
involution sur C dont (GC , OGC ) soit le groupe des automorphismes (voir le tableau
précédent, (A, i) est déterminée à isomorphisme près).
23
Notons Aut(GC , OGC ) l’ensemble des automorphismes du super groupe (GC , OGC ),
Aut(A, i) le groupe des automorphismes de l’algèbre à involution. Un élément de
Aut(A, i) induit un élément de Aut(GC , OGC ). Réciproquement:
Proposition 0.2 - Tout élément de Aut(GC , OGC ) provient d’un unique élément de
Aut(A, i).
Démonstration - Il revient au même de regarder les groupes d’automorphismes des
super algèbres de Lie. Utilisons la classification des automorphismes des super
algèbres de Lie simples complexes faite par Serganova dans [9], th.1. Il convient de
travailler cas par cas.
a) GC = PSOSP (n, 2m, C), m 6= 0, (n, m) 6= (2, 1), n 6= 0.
Si n = 2k + 1, k ≥ 0, tout automorphisme de gC est intérieur, d’où le résultat.
Si n = 2k, k > 0, le groupe des automorphismes extérieurs est d’ordre 2. Or
Aut(A, i) a dans ce cas deux composantes connexes, GC et gGC où


A O
 , A ∈ O(2k), detA = −1.
g=
0 I2m
L’élément g induit un automorphisme non intérieur de (GC , OGC ) qui est d’ordre 2
modulo les automorphismes intérieurs.
b) GC = PGL(n, m, C) où on exclut le cas n = m = 2.
Si n = m, on remarque qu’alors, PGL(n, n, C) 6= PSL(n, n, C): en effet, SL(n, n, C)
contient les homothéties, donc on a une suite exacte:
1 → PSL(n, n, C) → PGL(n, n, C) → C∗ → 1
par le bérézinien.
Cette suite définit un homomorphisme de C∗ dans le groupe des automorphismes
extérieurs de PSL(n, n, C).
D’autre part, Serganova donne la suite exacte:
1 → C∗ → Ext(psl(n, n, C)) → (Z/2Z)2 → 1,
et sa description permet d’identifier la flèche de gauche de cette suite exacte et
l’homomorphisme ci-dessus. Il reste la classe de x 7→str x−1 , qui correspond à
str
str
l’automorphisme non intérieur de Mn+εn (C) × Mn+εn (C)opp : (A, B) 7→ ( B, A),
et la classe du changementde
quiprovient 
del’automorphisme intérieur
 parité, 
défini par l’élément impair 
0
In
In
0
,
0
In
In
0
 de A.
Si n 6= m, alors PSL(n, n, C) = PGL(n, n, C) et le seul automorphisme extérieur est
24
x 7→str x−1 qui est bien un automorphisme de Aut(A, i).
c) GC = PP(n, C), n > 2.
De même que pour SL(n, n, C), les homothéties sont dans SP(n, n, C) = {x ∈
P(n, C)|Ber(x) = 1}. Ce cas se traite de la même manière que PGL(n, n, C).
d) GC = PQ(n, C), n > 2.
Le groupe des automorphismes extérieurs de pq(n, C) est le groupe cyclique
d’ordre 4 engendré par (a + εb) 7→ (t a + εit b)−1 où on considère Q(n, C) comme
le groupe multiplicatif des éléments pairs inversibles de Mn (C + εC) (cf p. 10). Il
s’agit donc de ce que nous avions alors noté T composé avec le passage à l’inverse.
On a donc la proposition. 2
Démonstration du théorème - Soit (AR , iR ) une forme réelle quelconque de (A, i) et
soit α la conjugaison C-linéaire correspondante. Soit β l’automorphisme antiholomorphe de (GC , OGC ) défini par α. D’autre part, soit ϕ l’involution antiholomorphe
de (GC , OGC ) dont l’ensemble des points fixes est (G, OG ). Alors β ◦ ϕ est un automorphisme holomorphe de (GC , OGC ) qui provient par la proposition d’un automorphisme ψ de (A, i) ; alors α ◦ ψ définit un automorphisme antiholomorphe de (A, i)
qui correspond à β 2 ◦ ϕ dans (GC , OGC ). Il est donc involutif et par conséquent il
définit une structure réelle unique sur (A, i). 2
0.4
0.4.1
Formes réelles des groupes simples complexes
classiques.
Super groupe de Brauer de R ([10])
Ecrivons d’abord la liste des super corps de centre R. Par ordre croissant de
dimension, on trouve:
R
R + εR, ε2 = 1
R + εR, ε2 = −1
H
C + εC, ε2 = 1 où l’automorphisme intérieur défini par ε est la conjugaison.
C + εC, ε2 = −1 où l’automorphisme intérieur défini par ε est la conjugaison.
H + εH, ε2 = 1, où ε commute avec tous les éléments de H.
H + εH, ε2 = −1, où ε commute avec tous les éléments de H.
Ce sont tous les éléments du super groupe de Brauer de R.
Faisons le lien avec les algèbres de Clifford:
Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur R muni d’une forme quadratique
non dégénérée Q ; son algèbre de Clifford est Z/2Z-graduée centrale simple. Rappelons que le passage à l’algèbre de Clifford transforme somme directe orthogonale
25
en produit tensoriel Z/2Z-gradué, et qu’une forme quadratique de signature nulle a
une algèbre de Clifford de classe nulle dans le super groupe de Brauer.
Remarque (8-périodicité) - L’algèbre de Clifford de Q(x, y, z, t) = x2 +y 2 +z 2 +t2 est
isomorphe à l’algèbre de Clifford de −Q. En effet, dans l’algèbre de Clifford C(Q),
les éléments yzt, xzt, xyt, xyz anticommutent deux à deux et sont de carré −1, ils
sont de plus homogènes de degré 1. On utilise l’homomorphisme de C(−Q) dans
C(Q) qui transforme x0 en yzt, y 0 en xzt, z 0 en xyt, t0 en xyz (propriété universelle
des algèbres de Clifford): c’est un isomorphisme car les algèbres de Clifford sont
Z/2Z-graduées simples. Ceci montre que la classe d’une algèbre de Clifford dans le
super groupe de Brauer a pour ordre un diviseur de 8.
Cherchons maintenant la classe de chaque algèbre de Clifford dans la liste des
super corps.
C(0) correspond à R
C(x2 ) correspond à R + εR, ε2 = 1
C(x2 + y 2 ) correspond à C + εC, ε2 = 1 (car xyxy = −1 dans C(x2 + y 2 ))
C(x2 + y 2 + z 2 ) correspond à H + εH, ε2 = 1 (car (xy)2 = (xz)2 = (yz)2 = −1
et xy, xz, yz anticommutent.)
C(x2 + y 2 + z 2 + t2 ) est isomorphe à M (1, 1, H) qui correspond à H.
On peut donc en déduire l’identification suivante du super groupe de Brauer de
R à Z/8Z suivante:
0→R
1 → R + εR, ε2 = 1
2 → C + εC, ε2 = 1
3 → H + εH, ε2 = 1
4→H
5 → H + εH, ε2 = −1
6 → C + εC, ε2 = −1
7 → R + εR, ε2 = −1.
0.4.2
Classification des involutions des super algèbres simples sur R
a) Algèbres simples de centre R
Remarquons d’abord que si une algèbre centrale simple admet une involution,
elle est isomorphe à son algèbre opposée, donc sa classe dans le super groupe de
Brauer est d’ordre divisant 2. Elle est donc nécessairement de la forme Mn+εm (R)
ou Mn+εm (H).
Comme dans le cas complexe, on introduit d’abord un antiautomorphisme T de
l’algèbre tel que T 2 (x) = (−1)p(x) x pour tout x homogène:
Mn+εm (R): T (x) =str x
26
Mn+εm (H): T (x) =str x où x désigne la matrice dont les coefficients sont les
conjugués quaternioniques de ceux de x.
Soit i une involution d’une telle algèbre A; on sait que i se déduit de T par
composition avec un automorphisme intérieur pair ou impair:
i = ϕa ◦ T
avec ϕaT (a)−1 (x) = (−1)p(x) x.
Cas Mn+εm (R),
a pair. 




t
t −1
A 0
A 0
AA
0
 , str a = 
 , aT (a)−1 = 

On a a = 
t
t −1
0 B
0
BB
0 B
, la condition ci-dessus s’écrit donc, quitte à échanger n et m : A symétrique non
dégénérée et B alternée non dégénérée, la classification se fait par la ”signature” de
A, (p, n − p) avec p ≤ n/2 .
Cas Mn+εm (H), a pair.
même calcul que précédemment, on obtient les conditions suivantes a =
 Par le
A 0
 où A est une matrice hermitienne et B est antihermitienne, toutes deux
0 B
non dégénérées, la classification se fait par la signature de A, voir [1] 7.

Cas Mn+εn (R),
 a impair.





t −1
t −1
0 A
0
−A
AB
0
 , str a−1 = 
 , aT (a)−1 = 
,
On a a = 
t −1
t −1
B 0
B
0
0
−B A


0 I
.
la condition ci-dessus s’écrit donc B =t A et la classe de a est celle de 
I 0
Cas Mn+εn (H), a impair.


0 I
.
Par le même calcul que précédemment, on obtient que a est équivalent à 
I 0
b)Involutions anti-C-linéaires des algèbres simples de centre C.
Cas Mn+εm (C).
L’involution cherchée est la composée de l’antiautomorphisme anti-C-linéaire
x 7→str x
avec un automorphisme intérieur ϕa .
En
 écrivantque le carré de la composée est l’identité, on trouve comme précédemment:
a=
A 0
, avec A =t A , B = −t B , A et B non dégénérées; la classification
0 B
se fait par la signature des matrices hermitiennes A et iB.
27

Par ailleurs, si on cherche pour a impair, on obtient a = 

0
I
0 I
I 0

 ou a =

, qui donnent lieu à des algèbres à involution isomorphes comme dans
−I 0
le cas PP(n, C).

Cas Mn (C + εC).
Une involution est la composée de l’antiautomorphisme anti-C-linéaire
√
A + εB 7→t A + −1εt B
et d’un automorphisme intérieur nécéssairement pair ϕa .
En écrivant que le carré est l’identité, on obtient la condition a =t a. La classification se fait par la signature.
c) Involutions C-linéaires des algèbres simples complexes.
Ce cas a déja été traité dans 1.1. .
0.4.3
Groupes d’automorphismes des algèbres semi-simples
réelles à involution.
Comme dans le cas complexe, la donnée d’une super R-algèbre semi-simple à
involution détermine un super groupe de Lie analytique réel: le foncteur correspondant associe à toute algèbre proche P la composante neutre du groupe des automorphismes de l’algèbre à involution tensorisée par P . On applique comme dans le cas
complexe le théorème de Cartier pour montrer que ce foncteur est représentable.
Dans le cas d’une algèbre non simple, l’involution considérée est l’échange des
deux facteurs A et Aopp , et le groupe est la composante neutre du groupe des automorphismes de A. La classification revient donc à celle des super algèbres simples
sur R.
Il reste à faire une liste des résultats.
Nous avons défini p.12 un groupe associé à l’algèbre à involution (A, i), que nous
avons noté Autev (A, i).
I. Nous avons fait p.13 un tableau des groupes complexes obtenus comme groupes
d’automorphismes d’algèbres semi-simples complexes à involution, provenant d’automorphismes
intérieurs par des éléments pairs. Nous obtenons donc ces groupes complexes considérés comme réels.
II. Nous avons fait la liste en 3.1 des super corps de centre R. Soit A une algèbre de
matrices sur un tel corps, on considère l’involution de A×Aopp consistant à échanger
les facteurs, le groupe associé est le quotient du groupe multiplicatif A× de A par
son centre.
28
III. En dehors de ces groupes, nous avons trouvé les groupes du tableau ci-dessous:
(les notations sont celles de [5]).
Algèbre
Involution
Groupe obtenu
Forme complexe
Mn+m (R)
ϕ ◦str
a

A 0

a=
0 B
PSOSP ((p, n − p), m, R)
PSOSP (n, m, C)
PSOSP ((p, n − p), m, H)
PSOSP (2n, 2m, C)
A hermitienne
de signature 2p-n,
B alternée
Mn+m (H)
ϕ ◦str
a

A 0

a=
0 B
A hermitienne de
signature 2p − n,
B antihermitienne
Mn+n (R)
ϕ ◦str
a

0 I

a=
I 0
PP(n, R)
PP(n, C)
Mn+n (H)
ϕ ◦str
a

0 I

a=
I 0
PP(n, H)
PP(2n, C)
Mn+m (C)
ϕ ◦str
a

A 0

a=
0 B
PSU ((p, n − p), (q, m − q))
PGL(n, m, C)
−
A hermitienne
de signature 2p-n,
B antihermitienne,
iB de signature 2q − m
29
Algèbre
Involution
Groupe obtenu
Forme complexe
Mn+n (C)
ϕa ◦str


0 I

a=
I 0
POP (n) (∗)
PGL(n, n, C)
Mn (C + C)
A + εB 7→t a + iεt b
PQ((p, n − p)R)
PQ(n, C)
−
composée avec ϕa
où a ∈ Mn (C),
a hermitienne
de signature 2p − n
(*) La notation est adaptée de celle de [9], cette algèbre n’apparaissant pas dans
[5].
On retrouve donc ainsi la liste des formes réelles donnée dans [9].
Références
[1] N. Bourbaki, Algèbre chap. 9, Hermann, Paris (1959).
[2] N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, chap.1, Hermann, Paris (1960).
[3] P. Cartier, Groupes algébriques et groupes formels, Colloque sur la théorie des
groupes algébriques, CBRM, Librairie universitaire, Louvain (1962), pp. 87-111.
[4] M. Demazure, P. Gabriel, Groupes algébriques I, Masson Paris (1970).
[5] V.G. Kac, Lie superalgebras, Advances in math. 26 (1977), pp. 8-96.
[6] M. Karoubi, Algèbres de Clifford et K-théorie, Annales E.N.S. 4eme série, tome
1 (1968), pp. 161-270.
[7] M.A. Knus, Quadratic and hermitian forms over rings, Grundlehren der math.
Wissenschaften 294, Springer (1991).
[8] Y.I. Manin, Gauge field theory and complex geometry, Grundlehren der math.
Wissenschaften 289, Springer (1988).
[9] V.V. Serganova, Automorphisms of simple Lie superalgebras, Math. USSR
Izvestiya, 24 (1985), pp. 539-551.
[10] C.T.C. Wall, Graded Brauer groups, J. reine angew. math 213 (1964), pp.
187-199.
[11] A. Weil, Théorie des points proches sur les variétés différentiables, Colloque de
géométrie différentielle, CNRS (1953), pp. 111-117.
[12] A. Weil, Algebras with involutions and the classical groups, J. Ind. math. Soc.
24 (1960), pp. 589-623.
30
Chapter 1
Sur les relations de Plucker dans
le cas d’une super algèbre de Lie
basique classique complexe
31
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]43.ps
32
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]44.ps
33
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]45.ps
34
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]46.ps
35
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]47.ps
36
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]48.ps
37
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]49.ps
38
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]50.ps
39
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]51.ps
40
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]52.ps
41
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]53.ps
42
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]54.ps
43
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]55.ps
44
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]56.ps
45
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]57.ps
46
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]58.ps
47
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]59.ps
48
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]60.ps
49
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]61.ps
50
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]62.ps
51
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]63.ps
52
(0,0) (6,-13)*[height=28cm]64.ps
53
Finitude de l’homologie de certains modules de
dimension finie sur une super algèbre de Lie.
Lorsqu’on cherche à calculer l’homologie d’une algèbre de Lie semi-simple à
valeurs dans un module de dimension finie, on calcule dans un premier temps
l’homologie de l’algèbre de Lie à valeurs dans le module trivial, puis on démontre
que l’homologie à valeurs dans un module simple non trivial est nulle: on peut ensuite conclure en décomposant le module dont on cherche l’homologie en modules
simples. Dans le cas Z/2Z-gradué,cette méthode ne fonctionne pas très bien: en
effet il est en général faux de dire que l’homologie d’un module simple non trivial
est nulle. L’argument qui donne ce résultat dans le cas classique est relié au fait
que l’opérateur de Casimir dans l’algèbre enveloppante sépare un poids dominant
du poids zéro, ce qui est faux dans le cas super (les poids atypiques ne sont pas
toujours séparés de zéro par le centre de l’algèbre enveloppante). Il est de plus clair
qu’il existe des modules non triviaux pour lesquels l’homologie est non triviale : la
super algèbre de Lie osp(4, 2) admet une famille à un paramètre de déformations,
donc la représentation adjointe a une homologie non triviale.
Dans le cas des super algèbres de Lie, le complexe de Koszul à valeurs dans un
module de dimension finie n’est pas de longueur finie: il est donc raisonnable de se
demander si l’homologie correspondant à ce complexe est de dimension finie.
Soit g = g0 ⊕ g1 une super algèbre de Lie de dimension finie sur C, dont on
suppose la partie paire g0 réductive. M un g module de dimension finie qui est un
g0 -module semi-simple.On suppose de plus qu’il existe un groupe réductif connexe
G0 d’algèbre de Lie g0 , tel que l’action de g0 dans g1 et dans M s’intègre en une
action de G0 . On forme le complexe de Koszul de g à valeurs dans M . Si l’on
cherche à interpréter géométriquement une partie des informations contenues dans
ce complexe, on en vient à considérer les équations [y, y] = 0 dans g1 . Soit A la
sous-variété (réduite) de P(g1 ) définie par ces équations : on l’appelle la variété
autocommutante de g. On peut alors ramener l’étude de la suite spectrale associée
au complexe de Koszul de g à valeurs dans M à un travail sur une suite spectrale qui
provient d’un complexe de faisceaux dont l’homologie est à support dans la variété
autocommutante.
Rappelons une définition due à Mumford ([Mu-Fo], p. 148):
Définition - Soit G0 un groupe de Lie réductif complexe et soit V une variété
dans laquelle G0 opère algébriquement. Soit L un faisceau ample sur V sur lequel
G0 opère. On dit qu’un point v ∈ V est instable pour L si toutes les sections G0 invariantes des puissances tensorielles de L sont nulles en v.
On démontre le théorème suivant:
Théorème 3.1 - Soit V une G0 -variété projective, soit L un faisceau inversible
ample et G0 -linéarisé sur V et soit F un faisceau cohérent G0 -équivariant sur V
à support dans les points instables pour L . Alors la partie G0 -invariante de la
54
cohomologie de F(l) = F ⊗ L⊗l est nulle pour l assez grand.
Ceci permet ensuite de démontrer:
Théorème 4.1 - Soit g = g0 ⊕ g1 une super algèbre de Lie dont la partie paire
est réductive, soit G0 un groupe algébrique réductif connexe d’algèbre de Lie g0 ,
soit M un g-module de dimension finie tel que g0 opère de manière semi-simple
dans M . On suppose que l’action de g0 dans g1 et M s’intègre en une action de
G0 (i.e. la différentielle de l’action de G0 est l’action de g0 ). Supposons de plus
que la variété autocommutante est formée de points instables pour le faisceau ample
OP(g1 ) (1) relativement au groupe G0 (i.e. on suppose que tout polynôme G0 -invariant
homogène de degré strictement positif sur g1 est nul sur C(A), o C(A) désigne le
cône de g1 défini par les équations [Y, Y ] = 0). Alors l’homologie de g à valeurs
dans M est de dimension finie.
Le dernier paragraphe est consacré à l’étude d’exemples de super algèbres de Lie simples à partie paire réductive, osp(m, 2n), sl(m, n), m 6= n, G(3), F (4) et D(2, 1, λ).
Dans un premier temps, on démontre que l’on peut appliquer le théorème 4.1. à
ces super algèbres de Lie de la manière suivante : soit g = g0 ⊕ g1 une telle super
algèbre de Lie. On introduit le morphisme
α : S(g∗0 )g0 −→ S(g∗1 )g0
qui prolonge l’application de g∗0 dans S 2 (g∗1 ) déduite par transposition du crochet de
Lie sur g1 × g1 . On démontre ensuite le théorème suivant:
Théorème 5.1 - Soit g l’une des super algèbres de Lie gl(m, n), osp(m, 2n), F (4),
G(3), D(2, 1, λ). Alors le morphisme α est surjectif.
On démontre alors (paragraphe 5.2) que le théorème 4.1. s’applique à g.
Par ailleurs, Fuks, dans son livre sur la cohomologie des algèbres de Lie de
dimension infinie ([Fu]), calcule la cohomologie à valeurs dans le module trivial des
super algèbres de Lie gl(m, n) et osp(m, 2n). Les résultats sont annoncés dans une
note de Fuks et Leites, [Fu-Le]. Il se trouve que la démonstration permet également
de calculer cette cohomologie pour les super algèbres de Lie exceptionnelles.
Théorème 5.3 (Fuks-Leites) - On a les isomorphismes suivants:

 H ∗ (o(m), C) si m ≥ 2n
∗
H (osp(m, 2n), C) '
 H ∗ (sp(2n), C) si m < 2n
H ∗ (gl(m, n), C) ' H ∗ (gl(sup(m, n)), C).
Théorème 5.4 - On a les isomorphismes suivants:
H ∗ (G(3), C) ' H ∗ (g2 , C)
55
H ∗ (F (4), C) ' H ∗ (o(7), C)
H ∗ (D(2, 1, λ), C) ' H ∗ (sl(2) × sl(2), C)
Pour compléter la liste des super algèbres de Lie simples à partie paire réductive,
il faut ajouter les familles psl(n, n), p(n) et q(n): ces trois familles ont une cohomologie infinie et nous ne les traiterons pas ici.
Je souhaite remercier Alberto Arabia, Michel Brion, Michel Duflo et Jean-Louis
Koszul pour d’utiles discussions.
1.1
Le complexe de Koszul d’une super algèbre
de Lie à valeurs dans un module et la suite
spectrale qui en résulte
Soit g = g0 ⊕ g1 une super algèbre de Lie sur C de dimension finie et soit M un
g-module de dimension finie.
On rappelle qu’il existe une algèbre extérieure, au sens gradué, de g:
Λn (g) = ⊕nk=0 Λk (g0 ) ⊗ S n−k (g1 ).
Cette algèbre extérieure est munie d’une part d’une graduation sur N (par n), et
d’autre part d’une bigraduation sur N × N (par k et n − k).
On peut former le complexe de Koszul de g à valeurs dans M , Λ(g) ⊗ M , avec
la différentielle:
∂(x1 ∧. . .∧xk ⊗y1 . . . yn−k ⊗m) =
X
(−1)i−1 x1 ∧. . .∧ x̂i ∧. . .∧xk ⊗y1 . . . yn−k ⊗xi m+
i
+
X
(−1)i+j [xi , xj ] ∧ x1 ∧ . . . ∧ x̂i ∧ . . . ∧ xˆj ∧ . . . ∧ xk ⊗ y1 . . . yn−k ⊗ m+
i<j
+
X
(−1)i−1 x1 ∧ . . . ∧ x̂i ∧ . . . ∧ xk ⊗ xi .(y1 . . . yn−k ) ⊗ m+
i
+
X
x1 ∧ . . . . . . ∧ xk ⊗ y1 . . . ŷi . . . yn−k ⊗ yi m+
i
+
X
x1 ∧ . . . . . . ∧ xk ∧ [yi , yj ] ⊗ y1 . . . ŷi . . . yˆj . . . yn−k ⊗ m,
i<j
o les xi sont des éléments de g0 , les yj sont des éléments de g1 et m est un élément
de M .
56
On remarque alors que ∂ est somme de trois applications homogènes pour la
bigraduation de Λ(g) ⊗ M induite par la bigraduation de Λ(g). On note ces trois
applications ∂1 , ∂2 et ∂3 , avec
∂1 : Λk (g0 ) ⊗ S n−k (g1 ) ⊗ M → Λk−1 (g0 ) ⊗ S n−k (g1 ) ⊗ M,
celle-ci est la différentielle du complexe de Koszul du g0 -module S(g1 ) ⊗ M
∂2 : Λk (g0 ) ⊗ S n−k (g1 ) ⊗ M → Λk (g0 ) ⊗ S n−k−1 (g1 ) ⊗ M,
∂3 : Λk (g0 ) ⊗ S n−k (g1 ) ⊗ M → Λk+1 (g0 ) ⊗ S n−k−2 (g1 ) ⊗ M,
celle-ci est également une différentielle dont nous donnerons une interprétation dans
la suite. On a donc ∂12 = ∂32 = (∂1 + ∂2 + ∂3 )2 = 0.
Si l’on gradue Λ• (g) par l’entier p = 2k + (n − k) = k + n dans les notations
précédentes, et si l’on note Λp (g) la composante de degré p, on a:
∂1 (Λp (g) ⊗ M ) ⊂ Λp−2 (g) ⊗ M,
∂2 (Λp (g) ⊗ M ) ⊂ Λp−1 (g) ⊗ M,
∂3 (Λp (g) ⊗ M ) ⊂ Λp (g) ⊗ M.
Si maintenant on filtre Λ• (g) ⊗ M par
⊕pk=0 Λk (g) ⊗ M,
on obtient une suite spectrale d’un module différentiel filtré ([God] p. 77). On a
E0p = Λp (g) ⊗ M , et d0 = ∂3 .
1.2
Variété autocommutante
On supposera dans la suite de l’article que g0 est une algèbre de Lie réductive dont
le centre opère de manière semi-simple dans M . On suppose de plus qu’il existe un
groupe réductif connexe G0 , d’algèbre de Lie g0 , tel que l’action de g0 dans g1 et
dans M s’intègre en une action de G0 .
Considérons les équations [y, y] = 0 dans g1 . Notons C(A) l’ensemble des solutions. On appellera C(A) le cône autocommutant de g. Soit A la sous-variété de
P(g1 ) correspondante.
Définition 1.1 - La variété A que nous venons de définir s’appelle la variété autocommutante de la super algèbre de Lie g.
57
1.3
Complexe de Koszul associé aux équations
[y, y] = 0
On construit le complexe de Koszul associé aux quadriques dont C(A) est intersection: on considère l’algèbre Λ(g0 ) ⊗ S(g1 ). Le crochet de Lie sur g1 × g1 donne une
application
S 2 (g1 ) −→ g0 ,
que l’on transpose en une application
ϕ : g∗0 → S 2 (g∗1 ) ,→ S(g∗1 ).
Par extension des scalaires, ceci donne une forme linéaire sur le S(g∗1 )-module g∗0 ⊗
S(g∗1 ), que l’on étend en une dérivation de l’algèbre bigraduée Λ(g∗0 ) ⊗ S(g∗1 ), qui est
de bidegré (−1, 2) et de carré nul:
κ : Λk (g∗0 ) ⊗ S l (g∗1 ) → Λk−1 (g∗0 ) ⊗ S l+2 (g∗1 )
X
κ(u1 ∧ . . . ∧ uk ⊗ f1 . . . fl ) =
(−1)k−i u1 ∧ . . . ∧ ûi ∧ . . . ∧ uk ⊗ ϕ(ui )f1 . . . fl .
i
Par ailleurs, la dérivation ∂3 que nous avons définie précédemment ne fait pas
intervenir le g-module M . Si l’on suppose M trivial, ∂3 s’écrit:
X
∂3 (x1 ∧ . . . ∧ xk−1 ⊗ y1 . . . yl+2 ) =
x1 ∧ . . . ∧ xk−1 ∧ [yi , yj ] ⊗ y1 . . . ŷi . . . yˆj . . . yl+2
i<j
Lemme 1.1 - La différentielle κ est la transposée de ∂3 .
Démonstration - On calcule le produit scalaire:
X
(a) = (x1 ∧ . . . ∧ xk−1 ⊗ y1 . . . yl+2 ,
(−1)k−i u1 ∧ . . . ∧ ûi ∧ . . . ∧ uk ⊗ ϕ(ui )f1 . . . fl )
i
(a) =
X
(−1)k−i (x1 ∧ . . . ∧ xk−1 , u1 ∧ . . . ∧ ûi ∧ . . . ∧ uk ).(y1 . . . yl+2 , ϕ(ui )f1 . . . fl ),
i
o les différents produits scalaires résultent des dualités naturelles entre Λk−1 (g0 ) et
Λk−1 (g∗0 ) et entre S l+2 (g1 ) et S l+2 (g∗1 ).
Il nous faut démontrer que (a) = (b), avec
X
(b) = (
x1 ∧ . . . ∧ xk−1 ∧ [yi , yj ] ⊗ y1 . . . ŷi . . . yˆj . . . yl+2 , u1 ∧ . . . ∧ uk ⊗ f1 . . . fl ).
i<j
Il suffit de démontrer cette égalité pour les générateurs de S(g1 ), on peut donc
limiter le calcul aux cas f1 . . . fl = f l pour un certain f ∈ g∗1 et y1 . . . yl+2 = y l+2
pour un certain y ∈ g1 .
58
On a:
(a) =
X
(−1)k−i Di (y l+2 , ϕ(ui )f l ),
i
o Di désigne le mineur de la matrice bmn = (xm , un ), m et n parcourant l’ensemble
{1, . . . , dim(g0 )} le produit scalaire provenant de la dualité entre g0 et g∗0 , à laquelle
on a retiré la i-ème colonne.
Par ailleurs, on a:
2
(y l+2 , ϕ(ui )f l ) = Cl+2
(y 2 , ϕ(ui )).l!(y, f )l
2
l!(ui , [y, y]).(y, f )l ,
(y l+2 , ϕ(ui )f l ) = Cl+2
par définition de ϕ(ui ). On a donc:
X
2
(a) = ( (−1)k−i Di (ui , [y, y]))l!Cl+2
(y, f )l
i
2
(a) = det(cmn )l!Cl+2
(y, f )l
o cmn = (xm , un ) si m < k et ckn = ([y, y], un ).
Calculons maintenant (b):
X
(b) = (
x1 ∧ . . . ∧ xk−1 ∧ [y, y], u1 ∧ . . . ∧ uk ).(f l , y l ).
i<j
Comme i et j correspondent à deux places de y dans y l+2 , on a:
2
(b) = Cl+2
(x1 ∧ . . . ∧ xk−1 ∧ [y, y], u1 ∧ . . . ∧ uk ).l!(f, y)l
2
(b) = det(cmn )l!Cl+2
(y, f )l
(b) = (a).
2
Complexe de Koszul associé à un fibré muni d’une section:
On donne maintenant une interprétation géométrique sur P(g1 ) du complexe de
Koszul ci-dessus.
Soit F un fibré vectoriel muni d’une section σ sur une variété algébrique X. On
appelle complexe de Koszul associé à la section le complexe:
0 → Λmax (F ∗ ) → . . . → Λ2 (F ∗ ) → F ∗ → OX .
La différentielle est le produit intérieur par la section. On notera ce complexe K• (σ).
On notera, si M est un OX -module, K• (σ, M) = K• (σ) ⊗ M.
L’application
S 2 (g1 ) −→ g0
59
construite à partir du crochet de g1 × g1 permet de décrire une application OP(g1 ) linéaire
t˜
f : g∗0 ⊗ OP(g1 ) −→ OP(g1 ) (2),
o OP(g1 ) (2) = OP(g1 ) (1) ⊗ OP(g1 ) (1), OP(g1 ) (1) désignant le fibré tautologique. En
effet, l’application transposée, g∗0 −→ S 2 (g∗1 ) induit une application g∗0 ⊗ OP(g1 ) −→
S 2 (g∗1 ) ⊗ OP(g1 ) . On la compose avec l’application d’évaluation
S 2 (g∗1 ) ⊗ OP(g1 ) = H 0 (OP(g1 ) (2)) ⊗ OP(g1 ) −→ OP(g1 ) (2)
pour obtenir t f˜. On a
f˜ : OP(g1 ) (−2) −→ g0 ⊗ OP(g1 ) .
On tensorise alors cette application par OP(g1 ) (2), ce qui donne une application
f : OP(g1 ) −→ g0 ⊗ OP(g1 ) (2).
On a donc un fibré sur P(g1 ) de fibre g0 qui est muni d’une section, f . On utilise le
complexe de Koszul K• (f ).
Rappelons que l’on a noté A la variété autocommutante de g.
Lemme 1.2 - L’homologie de K• (f ) est à support dans A.
Démonstration - Soit x un point de P(g1 ) qui n’est pas dans A, montrons que
le complexe est acyclique en x. Soit A = OP(g1 ),x l’anneau local de P(g1 ) en x.
Choisissons un générateur de OP(g1 ) (1) au voisinage de x: ceci permet d’identifier
f avec un élément de g0 ⊗ A qu’on regarde comme une suite f1 , . . . , fd d’éléments
de A (on a noté d la dimension de g0 ). Par hypothèse, f1 , . . . , fd ne s’annulent
pas tous en x et donc ils n’appartiennent pas tous à l’idéal maximal de A. On
peut donc trouver des éléments g1 , . . . , gd dans A tels que f1 g1 + . . . + fd gd = 1. La
multiplication extérieure par g1 . . . gd dans Λ(Ad ) donne une homotopie du complexe
de Koszul K• (f ) en x, donc celui-ci est acyclique en x.
2
Rappelons une définition due à Mumford ([Mu-Fo], p. 148):
Définition 1.2 - Soit G0 un groupe de Lie réductif complexe et soit V une variété
dans laquelle G0 opère algébriquement. Soit L un faisceau ample sur V sur lequel
G0 opère. On dit qu’un point v ∈ V est instable pour L si toutes les sections G0 invariantes des puissances tensorielles de L sont nulles en v.
Théorème 1.1 - Soit V une G0 -variété projective, soit L un faisceau inversible
ample et G0 -linéarisé sur V et soit F un faisceau cohérent G0 -équivariant sur V
à support dans les points instables pour L . Alors la partie G0 -invariante de la
cohomologie de F(l) = F ⊗ L⊗l est nulle pour l assez grand.
60
Démonstration du théorème - Par le théorème d’annulation de Serre ([Ha], Th.
III.5.2), on sait que H i (F(l)) est nul pour i > 0 et l >> 0. Il reste à voir que pour
l assez grand, il n’y a pas de section G0 -invariante de F(l). On sait que F est à
support dans V , mais on ne sait pas a priori que c’est un OV -module. Par contre, le
théorème des zéros de Hilbert assure que si I est le faisceau d’idéaux définissant V
dans l’espace projectif dans lequel V est plongé, (OV = OP /I), il existe un entier d
tel que I d F = 0. Si l’on considère la suite des I j F/I j+1 F, on obtient une filtration
de F qui est finie. Chacun des quotients successifs de cette filtration est un OV module, muni d’une action de G0 car I est G0 -invariant. Il suffit donc de démontrer
le théorème pour un OV -module, on supposera que F en est un.
Soit G le sous-faisceau de F engendré par les images des morphismes OP (−k) →
F qui correspondent à des sections invariantes de F(k). On obtient ainsi un faisceau
cohérent (car P est noethérien). On peut donc engendrer G par un nombre fini
d’applications du type précédent (i.e. OP (−k) → F, G0 -invariante), ce qui nous
donne un morphisme d’image G:
OP (−k1 ) ⊕ OP (−k2 ) ⊕ . . . ⊕ OP (−ki ) → G ,→ F.
Comme F est un OV -module, G est un OV -module et on peut donc remplacer
OP (−k1 ) ⊕ OP (−k2 ) ⊕ . . . ⊕ OP (−ki ) par OV (−k1 ) ⊕ OV (−k2 ) ⊕ . . . ⊕ OV (−ki ).
On notera ϕ le morphisme
ϕ : OV (−k1 ) ⊕ OV (−k2 ) ⊕ . . . ⊕ OV (−ki ) −→ G
il est G0 -invariant.
Soit N = Ker(ϕ), N est un OV -module cohérent. Par le théorème d’annulation
de Serre, H 1 (N (l)) est nul pour l suffisamment grand. On en déduit, en passant
par la suite exacte longue de cohomologie déduite de ϕ, l’existence d’une surjection
G0 -linéaire
H 0 (OV (l − k1 ) ⊕ . . . ⊕ OV (l − ki )) −→ H 0 (G(l)).
Or H 0 (OV (l − k1 ) ⊕ . . . ⊕ OV (l − ki )) ∼ H 0 (OV (l − k1 )) ⊕ . . . ⊕ H 0 (OV (l − ki )). Or
le seul k tel que H 0 (OV (k))G0 soit non nul est k = 0 par hypothèse.
Pour l assez grand, H 0 (OV (l − kj ))G0 = 0 pour tout j, donc H 0 (G(l))G0 = 0,
donc H 0 (F(l))G0 = 0, cqfd.
2
Introduisons l’hypothèse suivante sur la super algèbre de Lie g: la variété autocommutante A de g est formée de points instables pour le faisceau ample OP(g1 ) (1).
On dira alors simplement que les points de A sont instables, autrement dit le cône
C(A) dans g1 ne contient qu’une seule orbite fermée sous l’action de G0 , à savoir
{0}.
Le théorème a l’énoncé suivant dans cette situation:
Corollaire - Supposons que les points de A sont instables. Soit F un faisceau
cohérent sur OP(g1 ) , on suppose F à support dans A et muni d’une action de G0 .
61
La partie g0 -invariante de la cohomologie de F ⊗ OP(g1 ) (l) = F(l) est nulle pour l
assez grand.
1.4
Finitude de l’homologie
Reprenons la suite spectrale associée au module différentiel filtré du paragraphe 1.
Nous avons vu avec le lemme 3.1 qu’au stade E0 (rappelons que E0p = Λp (g)⊗M muni
de la différentielle d0 = ∂3 ), c’est le transposé du complexe de Koszul associé aux
quadriques [y, y] = 0 après tensorisation par le module M . Cette tensorisation n’a
pas d’incidence car, comme nous l’avons vu, la différentielle ∂3 ne fait pas intervenir
la structure de g-module de M .
On peut écrire E0p comme le complexe suivant:
Λ0 (g0 )⊗S p (g1 )⊗M → Λ1 (g0 )⊗S p−2 (g1 )⊗M → . . . → Λdim(g0 ) (g0 )⊗S p−2dim(g0 ) (g1 )⊗M.
L’aboutissement de la suite spectrale en question est exactement l’homologie de g
à valeurs dans M . On sait a priori que l’homologie de g à valeurs dans M est
g0 -invariante.
Par ailleurs, g0 agit sur chacun des termes de la suite spectrale et commute avec
∂ (la différentielle totale du complexe de Koszul). On peut donc remplacer la suite
spectrale (E0p , d0 ) par sa partie g0 -invariante: on peut faire tout ceci car on a supposé
S(g1 ) ⊗ M semi-simple comme g0 -module. Donc chaque terme de la suite spectrale
g0 -invariante est formé de g0 -modules semi-simples.
On supposera dans la suite de ce paragraphe que les points de A sont instables. Considérons l’”hypercohomologie” du complexe de OP(g1 ) -modules de K• (f ) ⊗
OP(g1 ) (i) ⊗ M , c’est à dire l’aboutissement de la suite spectrale obtenue en prenant
des résolutions flasques de tous les termes de ce complexe de faisceaux. On la notera
H∗ (K• (f ) ⊗ OP(g1 ) (i) ⊗ M ). On considère que les résolutions flasques forment les
colonnes du bicomplexe.
Lemme 1.3 - Pour i assez grand, on a:
(H∗ (K• (f ) ⊗ OP(g1 ) (i) ⊗ M ))g0 = 0.
Démonstration - Considérons la suite spectrale obtenue en filtrant horizontalement
le bicomplexe ci-dessus: le terme E2p,q (i) s’écrit H p (Hq (K• (f )) ⊗ OP(g1 ) (i) ⊗ M ). Sa
partie g0 -invariante est nulle d’après le lemme 3.2 et le théorème 3.1, car on a supposé
que G0 agit algébriquement dans S(g1 ) ⊗ M .
2
Si maintenant on considère la suite spectrale obtenue avec le même bicomplexe
filtré cette fois-ci verticalement, elle aura le même aboutissement, et ce sont les
g0 -invariants du terme E2 (i) de celle-ci qui nous intéressent.
62
Comme la première opération sur cette nouvelle suite spectrale consiste à faire
agir le foncteur ”sections globales”, le terme E1 (i) s’écrit:
E1−p,q = Λp (g0 ) ⊗ H q (OP(g1 ) (i − 2p)) ⊗ M.
(L’indexation est due au fait que l’on prend l’homologie et non la cohomologie.) Pour
i assez grand et q ≥ 1, on applique le théorème d’annulation de Serre. Ceci démontre
que la suite spectrale dégénère, et, d’après le lemme 4.1 les parties g0 -invariantes
des termes E2p,q (i) sont nulles.
On a donc démontré le théorème suivant:
Théorème 1.2 - Soit g = g0 ⊕ g1 une super algèbre de Lie dont la partie paire
est réductive, soit G0 un groupe algébrique réductif connexe d’algèbre de Lie g0 ,
soit M un g-module de dimension finie tel que g0 opère de manière semi-simple
dans M . On suppose que l’action de g0 dans g1 et M s’intègre en une action de
G0 (i.e. la différentielle de l’action de G0 est l’action de g0 ). Supposons de plus
que la variété autocommutante est formée de points instables pour le faisceau ample
OP(g1 ) (1) relativement au groupe G0 (i.e. on suppose que tout polynôme G0 -invariant
homogène de degré strictement positif sur g1 est nul sur C(A)). Alors l’homologie
de g à valeurs dans M est de dimension finie.
1.5
Application à certaines super algèbres de Lie
simples à partie paire réductive
Soit g l’une des super algèbres de Lie simples à partie paire réductive osp(m, 2n),
sl(m, n), m 6= n, G(3), F (4) et D(2, 1, λ). Dans chaque cas, on construit G0 . Dans
un premier temps, nous donnons une description du morphisme
α : S(g∗0 )g0 −→ S(g∗1 )g0
qui prolonge l’application de g∗0 dans S 2 (g∗1 ) déduite par transposition du crochet
de Lie sur g1 × g1 . Ceci permet d’avoir une description explicite de S(g∗1 )g0 dans
chaque cas.
On examine alors la variété autocommutante de chaque super algèbre de Lie
et on déduit de l’étude précédente que dans chaque cas elle est formée de points
instables pour le faisceau ample OP(g1 ) (1) (relativement à l’action de G0 ). On peut
alors appliquer le théorème 4.1. à ces algèbres.
Le calcul des anneaux d’invariants permet de reprendre la démonstration de Fuks
([Fu]) pour le calcul de la cohomologie à valeurs dans le module trivial et de donner
les résultats pour les super algèbres de Lie exceptionnelles.
Remarquons enfin que si g0 est une algèbre de Lie semi-simple, i.e. si g =
osp(m, 2n), m 6= 2, G(3), F (4) ou D(2, 1, λ), le groupe G0 d’algèbre de Lie g0 qui
est connexe et simplement connexe agit dans tout g-module M de dimension finie
63
avec une action dont la différentielle est l’action de g0 . On peut alors appliquer le
théorème 4.1 et en conclure que l’homologie de g à valeurs dans M est toujours de
dimension finie.
Le théorème 4.1. s’applique donc à toutes les super algèbres de Lie simples à
forme de Killing non dégénérée et aux super algèbres de type osp(2m + 2, 2m) et
D(2, 1, λ).
1.5.1
Anneaux d’invariants
Soit g l’une des super algèbres de Lie suivantes: gl(m, n), osp(m, 2n), sl(m, n),
n 6= m, F (4), G(3), et D(2, 1, λ). Le but de ce paragraphe est d’étudier l’homomorphisme
α : S(g∗0 )g0 −→ S(g∗1 )g0
qui prolonge l’application de g∗0 dans S 2 (g∗1 ) déduite par transposition du crochet de
Lie sur g1 × g1 . On notera R = S(g∗0 )g0 et S = S(g∗1 )g0 .
Théorème 1.3 - Soit g l’une des super algèbres de Lie gl(m, n), osp(m, 2n), F (4),
G(3), D(2, 1, λ). Alors le morphisme α est surjectif.
Démonstration - Nous traiterons d’abord les cas classiques, gl(m, n) et osp(m, 2n),
en utilisant la théorie des invariants des groupes classiques (voir [We], ou [Vu] pour
une référence plus récente). En effet, les résultats de [Vu] peuvent s’extraire de [We]
mais [Vu] est beaucoup plus accessible...
Le cas de gl(m, n)
On a g0 = gl(m) × gl(n) et G0 = GL(m) × GL(n). On supposera m ≤ n.
Soit V (resp. W ) la représentation standard de gl(m) (resp. gl(n)). Alors g1 =
Hom(V, W ) ⊕ Hom(W, V ). D’après le théorème 3 de [Vu], on a : S(g∗1 )GLn =
S(End(V )) car m ≤ n, l’identification se faisant par l’intermédiaire de l’application
g1 −→ End(V )
(u, v) 7→ v ◦ u.
Il en résulte que S(g∗1 )g0 = S(End(V ))GLm .
On sait d’autre part que S(End(V ))GLm est un anneau de polynômes en m
variables, l’identification se faisant en associant à x ∈ End(V ) les coefficients du
polynôme caractéristique de x. Il en résulte que S(g∗1 )g0 est un anneau de polynômes
en m variables, l’identification associant au couple (u, v) les coefficients (s1 , . . . , sm )
du polynôme caractéristique de v ◦ u.
D’autre part, on sait que S(g∗0 )g0 est l’anneau de polynômes C[σ1 , . . . , σm , τ1 , . . . , τn ]
o les σi (resp. τj ) sont les coefficients du polynôme caractéristique dans gl(m) (resp.
gl(n)).
64
L’homomorphisme α vérifie α(σi ) = si = α(τi ) pour 1 ≤ i ≤ m, et α(τj ) = 0
pour j > m. D’o l’assertion.
Le cas de osp(m, 2n)
On a g0 = o(m) × sp(2n) et g1 = V ⊗ W o V (resp. W ) désigne la représentation
standard de o(m) (resp. sp(2n)). Un élément de g1 , u, est une application linéaire
de V ∗ dans W . On définit un élément u∗ dans V ∗ ⊗ W ∗ : la forme symplectique
(resp. quadratique) identifie W à W ∗ (resp. V à V ∗ ). On a ainsi un isomorphisme
de V ⊗ W dans V ∗ ⊗ W ∗ et u∗ est l’image de u par cette application.
Nous devons distinguer deux cas: 2n ≥ m et m > 2n. Dans le premier cas, 2n ≥
m, on applique le théorème 2 de [Vu] à l’action du groupe Sp(2n) sur V ⊗ W = g1
: le quotient par cette action s’identifie à S(Λ2 (V )) au moyen de l’application
g1 = V ⊗ W −→ Λ2 (V )
définie comme suit : Soit u ∈ Hom(V ∗ , W ) = g1 , on lui associe l’image de la forme
symplectique sur W (considérée comme un élément de Λ2 (W ∗ )) par la transposée
de l’application Λ2 u : Λ2 (V ∗ ) → Λ2 (W ). On obtient ainsi un élément de Λ2 (V ).
Celui-ci n’est autre que u∗ u, lequel appartient à la composante Λ2 (V ) de V ⊗ V ,
identifié à End(V ∗ ) via la forme quadratique.
Ceci démontre que l’application u 7→ u∗ u induit une surjection de S(g∗0 )Sp(2n) sur
S(g∗1 )Sp(2n) . Il en résulte que α est surjectif en prenant le quotient par l’action de
SO(m).
Remarquons de plus que Λ2 (V ) est la représentation adjointe du groupe SO(m)
: le théorème de Chevalley nous donne alors la description de de S(g∗1 )g0 comme
anneau de polynômes.
Le cas m > 2n se traite de façon identique en échangeant les rôles de V et W et
en utilisant le théorème 1 de [Vu].
Nous traitons maintenant les cas exceptionnels F (4), G(3), D(2, 1, λ).
Rappels sur les super algèbres de Lie exceptionnelles
Parmi les super algèbres de Lie admettant un produit scalaire invariant non
dégénéré, on trouve deux super algèbres de Lie exceptionnelles, G(3) et F (4), et
une famille à un paramètre de déformations de osp(4, 2), D(2, 1, λ). Décrivons la
structure de ces super algèbres de Lie ([Se]).
Soit g = F (4). On a g0 = o(7) × sl(2), g1 = V ⊗ W o V (resp. W ) désigne
la représentation spinorielle de o(7) (resp. la représentation standard de sl(2)).
Il faut décrire l’application S 2 (g1 ) → g0 provenant du crochet. On a S 2 (g1 ) =
S 2 (V ) ⊗ S 2 (W ) ⊕ Λ2 (V ) ⊗ Λ2 (W ).
Soit Q une forme quadratique o(7)-invariante sur V . On peut alors écrire
Λ2 (V ) = o(7) ⊕ C7 o C7 désigne la représentation standard de o(7). De plus, Q
définit une application linéaire que l’on notera encore Q de S 2 (V ) dans C. On
choisit une identification de Λ2 (W ) avec C, d’o une identification de S 2 (W ) à sl(2).
65
On peut donc écrire:
S 2 (g1 ) = S 2 (V ) ⊗ sl(2) ⊕ (o(7) ⊕ C7 ) ⊗ C.


Q⊗1
0
 envoie
L’application qui a pour matrice par blocs 
0
1ere projection
2
S (g1 ) dans (C ⊗ sl(2)) ⊕ (o(7) ⊗ C) = g0 , ce qui définit le crochet.
Soit g = G(3). On notera g2 l’algèbre de Lie du groupe de Lie exceptionnel G2 .
On a g0 = g2 ×sl(2), g1 = V ⊗W o V (resp. W ) désigne la représentation standard de
g2 dans C7 (resp. de sl(2) dans C2 ). On a S 2 (g1 ) = S 2 (V )⊗S 2 (W )⊕Λ2 (V )⊗Λ2 (W ).
Notons Q une forme quadratique g2 -invariante sur V , on a Λ2 (V ) = g2 ⊕ V comme
g2 -module. De plus, S 2 (V ) s’envoie par Q sur C. On identifie Λ2 (W ) à C, d’o
2
une
) à sl(2). L’application qui a pour matrice par blocs
 identification de S (W
Q⊗1

0
 définit, comme dans le cas de F (4), le crochet cherché.
0
1ere projection
Soit g = D(2, 1, λ). On a g0 = sl(2) × sl(2) × sl(2) et g1 = V1 ⊗ V2 ⊗ V3 o Vi
désigne la représentation standard du i-ème facteur sl(2). On a:
S 2 (g1 ) = (S 2 (V1 )⊗S 2 (V2 )⊗S 2 (V3 ))⊕(S 2 (V1 )⊗Λ2 (V2 )⊗Λ2 (V3 )) ⊕(Λ2 (V1 )⊗S 2 (V2 )⊗
Λ2 (V3 )) ⊕(Λ2 (V1 ) ⊗ Λ2 (V2 ) ⊗ S 2 (V3 )).
S 2 (g1 ) = (S 2 (V1 ) ⊗ S 2 (V2 ) ⊗ S 2 (V3 )) ⊕ [(Λ2 (V1 ) ⊗ Λ2 (V2 ) ⊗ Λ2 (V3 )) ⊗ (sl(2) ⊕ sl(2) ⊕
sl(2))].
On identifie Λ2 (V1 ) ⊗ Λ2 (V2 ) ⊗ Λ2 (V3 ) à C. Si l’on compose alors la seconde
projection avec une matrice 3 × 3 inversible et diagonale, on définit un crochet, qui
vérifie l’identité de Jacobi si et seulement si la trace de cette matrice est nulle.
Démontrons le résultat dans ces cas-là: on utilise la notion de ”représentation
visible” introduite par Kac dans [Ka2]: soit H un groupe réductif, un H-module
M est dit visible si la nilvariété de M , i.e. l’ensemble des points qui annulent
simultanément tous les H-invariants de S(M ∗ ) sans terme constant, est réunion
finie d’orbites. Il démontre qu’alors S(M ∗ )H est un anneau de polynômes si M
est irréductible et donne dans chaque cas le degré des générateurs. Des tables de
modules visibles sont dressées dans [Ka2] et rectifiées dans [Da-Ka]. On vérifie
que le g0 -module g1 est visible dans chacun des cas qui nous occupe: D(2, 1, λ) et
F (4) sont dans la table III (rappelons que F (4) a pour partie paire sl(2) × o(7) et
pour partie impaire C2 ⊗ Spin(7), ce que Kac abrège en sl(2) ⊗ Spin(7)). L’algèbre
G(3) se trouve dans la table IV sous la forme abrégée G2 ⊗ sl(2). Dans chacun de
ces cas, le nombre de générateurs de S(g∗1 )g0 est égal à 1 et le degré de ce générateur
est 4.
D’autre part, chacune de ces super algèbres de Lie a au moins un facteur sl(2)
dans sa partie paire. On peut donc, si l’on note Ω l’opérateur de Casimir de sl(2),
considérer l’opérateur 1 ⊗ Ω dans S(g0 )g0 dans les cas F (4) et G(3) et l’opérateur
Ω ⊗ 1 ⊗ 1 dans le cas de D(2, 1, λ). On vérifie que l’image de cet opérateur par le
66
morphisme α est non nulle (rappelons que 1 ⊗ Ω est de degre 2, et donc son image
par α est de degre 4) (on a identifié ici g0 et g∗0 ), d’o le théorème.
2
1.5.2
Variétés autocommutantes
Théorème 1.4 - La variété autocommutante des super algèbres de Lie suivantes est
formée de points instables pour le faisceau ample OP(g1 ) (1) relativement à l’action
de G0 : gl(m, n), osp(m, 2n), sl(m, n), n 6= m, F (4), G(3), et D(2, 1, λ).
Démonstration - Le morphisme
α : S(g∗0 )g0 −→ S(g∗1 )g0
f 7→ (x 7→ f ([x, x]))
est toujours surjectif dans les cas considérés. Soit P un élément non constant de
S(g∗1 )g0 , on a P = α(Q) avec Q ∈ S(g∗0 )g0 . Donc P est nul sur A.
2
1.5.3
Cohomologie de certaines super algèbres de Lie simples à valeurs dans le module trivial
Reprenons le complexe de Koszul décrit au paragraphe 1. On utilise cette fois-ci
la filtration par des puissances croissantes de l’algèbre extérieure de la partie paire:
on obtient ainsi la suite spectrale de Hochschild-Serre correspondant à notre situation. On se place en cohomologie. La numérotation canonique de la suite spectrale
de Hochschild-Serre nous donne ici: E1p,q =H q (g0 , S p (g1 )) =H q (g0 , C) ⊗ (S p (g1 )∗ )g0 .
D’après ce que nous avons vu précédemment, dans chaque cas ⊕p,q E1p,q est canoniquement muni d’une structure d’algèbre bigraduée isomorphe au produit d’une algèbre
extérieure (la cohomologie de la partie paire) par une algèbre symétrique (S(g∗1 )g0 ).
Nous savons également que les générateurs de l’algèbre extérieure sont tous de degré
impair et les générateurs de la partie symétrique sont tous de degré pair. Or le complexe de Koszul donnant naissance à cette suite spectrale est une algèbre différentielle
graduée, munie d’une filtration qui est compatible avec cette structure d’algèbre.
Chaque étape de la suite spectrale sera donc une algèbre différentielle graduée, en
particulier ⊕p,q E1p,q .
Le lemme qui suit permet de démontrer par récurrence que les étapes successives de la suite spectrale sont, dans certains cas, des produits tensoriels d’algèbres
symétriques par des algèbres extérieures.
Lemme 1.4 - Soit R = C[x1 , . . . , xp ] ⊗ Λ(ξ1 , . . . , ξq ) le produit tensoriel d’une
algèbre symétrique dont tous les générateurs, ordonnés par degré croissant, sont
67
de degré pair, par une algèbre extérieure dont tous les générateurs, ordonnés par
degré croissant, sont de degré impair. Soient x1 , . . . , xk les générateurs de degré
minimal d de la partie symétrique.
Soit δ un entier impair. Supposons que R est munie d’une différentielle D, bihomogène, de bidegré (d, −δ), telle qu’il existe des générateurs ξi1 , . . . ξik de l’algèbre
extérieure, de degré δ, tels que Dξij = xj .
Alors, quitte à modifier les générateurs ξj avec j 6= i1 , . . . , ik , on a Dξj = 0. De
plus la cohomologie Ker(D)/Im(D) est l’algèbre C[Xk+1 , . . . , Xp ]⊗Λ(η1 , . . . , ηˆij , . . . , ηq )
o Xj désigne la classe de xj et ηj la classe de ξj .
Démonstration - La démonstration se fait par récurrence sur q ≥ ik . Pour q < ik ,
l’énoncé est vide.
Remarquons que D laisse la sous-algèbre C[x1 , . . . , xp ] ⊗ Λ(ξ1 , . . . , ξq−1 ) stable,
puisque deg(ξi ) ≤ deg(ξq ) pour tout i et que D diminue strictement le degré de
la puissance extérieure. Par hypothèse de récurrence, on peut donc supposer que
D(ξj ) = 0 si j 6= i1 , . . . , ik et j 6= q. Le bidegré de l’élément Dξq est (d, deg(ξq ) − δ).
On décompose Dξq dans la base choisie de R:
Dξq =
k
X
Pl x l
l=1
avec Pl ∈ Λ(ξ1 , . . . , ξq−1 ). On écrit alors que D2 ξq = 0:
P
0 = kl=1 D(Pl )xl car D(xl ) = 0 pour l = 1, . . . , k puisque D diminue strictement le
degré de laP
partie extérieure.
Pq−1 ∂Pl
Donc 0 = kl=1 xl j=1
Dξj , o ∂ξ∂ j est la dérivation de l’algèbre extérieure telle
∂ξj
∂ξi
que ∂ξ
= δij .
j
Or Dξj = 0 si j 6= i1 , . . . , ik . Donc on a:
P
P
∂Pl
0 = kl=1 xl kj=1 ∂ξ
Dξij
i
Pk
Pk ∂Plj
0 = l=1 xl j=1 ∂ξj xj , ce que l’on peut écrire
∂Pl
∂ξij
∂P
+ ∂ξij = 0, pour j, l variant entre
l
∂Q
1 et k. Il existe donc un élément Q de Λ(ξ1 , . . . , ξq−1 ) tel que Pl = ∂ξ
pour tout l
il
(exactitude du complexe
pour l’algèbre extérieure).
Pk de Koszul
∂Q
On a donc Dξq = l=1 xl ∂ξi =D(Q).
l
Donc D(ξq − Q) = 0 et, en remplacant ξq par ξq − Q, on a la première assertion
du lemme. La seconde assertion est alors claire.
2
Introduisons, comme le fait Fuks, l’algèbre de Weil de la partie paire g0 : il s’agit
du produit tensoriel S(g∗0 ) ⊗ Λ(g∗0 ), o S(g∗0 ) désigne l’algèbre symétrique de g∗0 munie
de la graduation S2i (g∗0 ) = S i (g∗0 ) et S2i+1 (g∗0 ) = 0. On notera W (g0 ) cette algèbre
qui est super commutative libre. Remarquons que, comme super espace vectoriel,
W (g0 ) est une super algèbre symétrique sur le super espace vectoriel S2 (g∗0 ) ⊗ Λ1 (g∗0 )
(les deux facteurs sont isomorphes à g∗0 mais ont une parité différente). On munit
W (g0 ) de la dérivation impaire D, que l’on décrit sur les générateurs de la super
68
algèbre symétrique: le crochet sur g0 est une application linéaire de Λ2 (g0 ) dans g0 .
Si on la transpose, on obtient une application linéaire de Λ1 (g∗0 ) = g∗0 dans Λ2 (g∗0 )
que l’on notera γ. On notera de plus δ l’application identique de Λ1 (g∗0 ) dans S2 (g∗0 ).
Enfin, on note ε l’application de S2 (g∗0 ) dans S2 (g∗0 ) ⊗ Λ1 (g∗0 ) transposée du crochet
vu comme une application linéaire g0 ⊗ g0 → g0 .
Soit w ∈ Λ1 (g∗0 ), D(w) = 2δ(w) − γ(w).
Soit w0 ∈ S2 (g∗0 ), D(w0 ) = ε(w0 ).
On a alors D2 = 0. On sait donc que W (g0 ) est une algèbre différentielle graduée.
L’algèbre de Weil possède une propriété universelle que nous n’expliciterons pas en
général ici, nous limitant au cas du complexe de Koszul cohomologiquede la super
algèbre de Lie g, (Λ• (g∗ ), d). Décrivons sur les générateurs un morphisme d’algèbres
différentielles graduées, Ω, de (W (g0 ), D) dans (Λ• (g∗ ), d):
Si w ∈ Λ1 (g∗0 ), Ω(w) = w ∈ Λ1 (g∗0 ).
Si w0 ∈ S2 (g∗0 ), Ω(w0 ) = ϕ(w0 ) ∈ S 2 (g∗1 ) (on a utilisé ici les notations du paragraphe 3, ϕ : g∗0 → S 2 (g∗1 ) désignant la transposée du crochet de Lie de g1 × g1 dans
g0 ). On vérifie que Ω commute aux différentielles D et d.
De même que le complexe de Koszul de g, l’algèbre de Weil de g0 peut être munie
de deux filtrations, compatibles avec la différentielle D, l’une par les puissances
ascendantes de l’algèbre extérieure, l’autre par ⊕0≤k≤p,0≤l≤k Sl (g∗0 ) ⊗ Λk−l (g∗0 ), ce qui
donne lieu à deux suites spectrales, exactement comme dans le complexe de Koszul
de g. De plus, l’application Ω est compatible avec ces filtrations.
Il est bien connu que la cohomologie de de l’algèbre (W (g0 ), D) est triviale, i.e.
réduite à C en degré 0 et nulle ailleurs: il nous semble intéressant de remarquer que
ce résultat peut se démontrer en utilisant la seconde suite spectrale (celle qui, dans
le cas du complexe de Koszul de g nous a servi pour démontrer le théorème 4.1) et
1
sont en fait le complexe de Koszul d’une algèbre
en remarquant que les termes Ep,q
de Lie abélienne.
Théorème 1.5 (Fuks-Leites) - On a les isomorphismes suivants:

 H ∗ (o(m), C) si m ≥ 2n
∗
H (osp(m, 2n), C) '
 H ∗ (sp(2n), C) si m < 2n
H ∗ (gl(m, n), C) ' H ∗ (gl(sup(m, n)), C).
Remarquons que dans chaque cas, la cohomologie est une algèbre extérieure ayant
des générateurs de degré impair.
Théorème 1.6 - On a les isomorphismes suivants:
H ∗ (G(3), C) ' H ∗ (g2 , C)
H ∗ (F (4), C) ' H ∗ (o(7), C)
69
H ∗ (D(2, 1, λ), C) ' H ∗ (sl(2) × sl(2), C)
Démonstration - Le raisonnement qui permet d’obtenir ces résultats, qui est fait
par Fuks dans [Fu], est le même dans tous les cas. Nous le reproduisons ici afin
d’obtenir les cas exceptionnels.
Soit g = g0 ⊕ g1 une des super algèbres de Lie des théorèmes. Introduisons
la propriété (P) suivante pour une algèbre différentielle graduée E munie d’une
filtration: ceci donne lieu à une suite spectrale dont nous noterons les termes Erp,q .
On exige que, pour toute valeur de r, ⊕p,q Erp,q soit le produit tensoriel d’une algèbre
symétrique à générateurs de degrés pairs par une algèbre extérieure à générateurs de
degrés impairs, ce que nous abrègerons en disant que ⊕p,q Erp,q est libre. Il est d’ores
et déja connu que l’algèbre de Weil W (g0 ) possède cette propriété, que l’on peut
redémontrer comme suit: on considère la suite spectrale Frp,q associée à (W (g0 ), D)
par la filtration correspondant aux puissances croissantes de l’algèbre extérieure. On
a F1p,q = F2p,q = S(g∗0 )g0 ⊗ Λ(g∗0 )g0 . Il résulte de la théorie usuelle des invariants que
cette algèbre est libre si g0 est réductive. D’autre part, l’aboutissement de cette
suite spectrale est trivial. On raisonne par récurrence sur r; On remarque d’abord
que, pour des raisons de parité des degrés des générateurs, la différentielle Dr est
nulle si r est impair. Si maintenant r = 2s, on suppose que la propriété est vraie
pour r, et on a la suite exacte:
0,2s−1
2s,0
0 = H 2s−1 (W (g0 )) → F2s
→ F2s
→ H 2s (W (g0 )) = 0 :
en effet, la différentielle D2s est de bidegré (2s, 1 − 2s) et l’aboutissement de la
p,q
suite spectrale est trivial. De plus, F2s
est nul si p < 2s et q < 2s − 1 pour les
p,q
mêmes raisons. On peut alors appliquer le lemme 5.1 à ⊕p,q F2s
, ce qui nous permet
d’obtenir la propriété pour r + 1.
On rappelle l’existence d’un homomorphisme d’algèbres différentielles graduées,
Ω, de (W (g0 ), D) dans (Λ• (g∗ ), d), on a vu que cet homomorphisme passe aux termes
successifs des suites spectrales. Comme dans le cas de l’algèbre de Weil, nous allons
montrer la propriété (P) pour (Λ• (g∗ ), d) par récurrence. On a noté, au début de ce
paragraphe, Erp,q la suite spectrale associée à la filtration de Λ• (g∗ ) par les puissances
extérieures ascendantes (de g0 ). On a:
Ω : ⊕p,q Frp,q −→ ⊕p,q Erp,q .
Le fait que α soit surjectif impose que Ω induit une surjection de ⊕p Frp,0 sur ⊕p Erp,0 :
ceci est clair pour r = 1 et Erp,0 est toujours un quotient de E1p,0 . On raisonne
maintenant par récurrence sur r. Comme Frp,0 = 0 si p < r, on a Erp,0 = 0 si p < r.
On a le diagramme commutatif:
Fr0,r−1 → Er0,r−1
↓
Frr,0
↓
→
70
Err,0
comme on a vu précédemment que la flèche de gauche est un isomorphisme, on
en déduit que la flèche de droite, dr est surjective. L’image de Fr0,r−1 par Ω fait
partie d’un système de générateurs de ⊕q Er0,q , car Fr0,r−1 fait partie d’un système
de générateurs de ⊕q F20,q =⊕q F20,q (propriété (P) pour l’algèbre de Weil). Donc un
certain nombre de générateurs de Er0,r−1 s’envoient surjectivement sur les générateurs
de Err,0 . On peut alors appliquer le lemme 5.1, ce qui nous donne la propriété (P).
Comme la suite spectrale Erp,q stationne au delà d’un certain rang, on sait que
p,q
p,0
p,0
E∞ est libre. De plus, E∞
est nul pour p 6= 0 car c’est un quotient de F∞
, donc
p,q
tous les termes E∞ pour p 6= 0 sont nuls. L’aboutissement est donc une algèbre
extérieure à générateurs de degrés impairs. Pour trouver le nombre de générateurs
de degré 2k − 1 de cette algèbre extérieure, on prend les générateurs de degré 2k − 1
de Λ(g∗0 ) et on en retire un nombre égal au nombre de générateurs de degré 2k de
S(g∗1 )g0 . On obtient ainsi les isomorphismes de l’énoncé, mais ce raisonnement ne
permet pas de décrire cette cohomologie comme sous-algèbre de Λ(g∗0 )g0 .
2
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71
[We] H. Weyl, The Classical Groups, their Invariants and Representations, Princeton, University Press (1946).
72
Sur la cohomologie des super algèbres de Lie
étranges.
Abstract
In this paper I compute the cohomology with trivial coefficients for the Lie
superalgebras psl(n, n), p(n) and q(2n), I show that the cohomology ring of q(2n+1)
is of Krull dimension 1 and I calculate the ring for q(3) and q(5). The last section is
devoted to a result about the cohomology of a Lie superalgebra with reductive even
part with coefficients in a finite dimensional module M .
Introduction
Dans son livre sur la cohomologie des algèbres de Lie de dimension infinie ([Fu]),
Fuks donne une méthode pour calculer la cohomologie de certaines super algèbres de
Lie à valeurs dans le module trivial, grâce à la suite spectrale de Hochschild-Serre.
Les cas traités sont osp(m, 2n), gl(m, n), P (n) et Q(n). Les super algèbres P (n) et
Q(n) sont très proches des super algèbres de Lie étranges, p(n) et q(n), qui apparaissent dans la classification des super algèbres de Lie simples (cette classification
a été établie dans [Ka] mais les notations dans cet article sont différentes). Pour le
cas de P (n), on a la suite exacte non scindée suivante:
0 → p(n) → P (n) → C → 0.
Pour le cas de Q(n), on a une suite de composition dont les quotients successifs sont
C, q(n) et C. Ces super algèbres de Lie, P (n) et Q(n) ont des cohomologies de
dimension finie. Nous allons voir que ce n’est pas nécessairement le cas pour p(n)
et q(n).
Je me suis intéressée, dans [Gr], à la question de la finitude de l’homologie d’une
super algèbre de Lie à partie paire réductive à valeurs dans un module de dimension
finie. Soit g une super algèbre de Lie à partie paire réductive, g = g0 ⊕ g1 telle
que la partie impaire est un g0 -module semi-simple. On suppose de plus qu’il existe
un groupe réductif connexe G0 d’algèbre de Lie g0 , tel que l’action de g0 dans g1
s’intègre en une action de G0 (i.e. la différentielle de l’action de G0 est l’action de
g0 ). On appelle variété autocommutante de g la sous variété de P(g1 ) définie par les
équations [X, X] = 0. Si la variété autocommutante est formée de points instables
pour le faisceau ample OP(g1 ) (1) relativement au groupe G0 (i.e. on suppose que
tout polynôme G0 -invariant homogène de degré strictement positif sur g1 est nul
sur C(A), où C(A) désigne le cône de g1 défini par les équations [Y, Y ] = 0), alors
l’homologie de g à valeurs dans certains modules, y compris le module trivial, est
finie.
Cherchant à voir si ce résultat s’appliquait au cas des super algèbres de Lie simples à partie paire réductive, j’ai constaté que les hypothèses n’étaient pas vérifiées
73
dans les cas de p(n), q(n) (n impair) et psl(n, n). Remarquons toutefois que pour
q(n), n pair, le théorème de finitude de [Gr] s’applique.
En d’autres termes, dans le cas des super algèbres de Lie simples à partie paire
réductive, la condition d’instabilité de la variété autocommutante est équivalente au
théorème de finitude.
Les résultats démontrés dans cet article ne calculent pas la cohomologie de q(n)
dans le module trivial pour n impair: les difficultés que l’on rencontre pour faire ces
calculs sont illustrées par deux exemples, celui de q(3) et celui de q(5), pour lesquels
les séries de Poincaré sont calculées. En revanche, les cohomologies de p(n) et de
psl(n, n) sont calculées.
Le dernier paragraphe de cet article est un additif à [Gr], qui consiste à démontrer
le théorème suivant:
Théorème 5 - Soit g = g0 ⊕ g1 une super algèbre de Lie complexe de dimension
finie à partie paire réductive. Soit M un g-module de dimension finie. Soit G0 un
groupe algébrique réductif connexe d’algèbre de Lie g0 . Supposons que l’action de g0
dans g1 et dans M s’intègre en une action de G0 .
Alors H ∗ (g, M ) est un H ∗ (g, C)-module de type fini.
Remarquons enfin que l’ensemble des résultats connus sur la cohomologie des
super algèbres de Lie à partie paire réductive peut être concentré dans un énoncé
unique, à savoir:
Soit g = g0 ⊕ g1 une super algèbre de Lie simple de dimension finie à partie paire
réductive, ou bien l’une des super algèbres de Lie P (n), Q(n) ou gl(m, n). Notons
p,q
E∞
le terme E∞ de la suite spectrale de Hochschild-Serre. On suppose qu’il existe
un groupe réductif connexe G0 d’algèbre de Lie g0 , tel que l’action de g0 dans g1
s’intègre en une action de G0 . Alors on a:
∗ G
.,q
E∞
' T orqS(g0 ) 0 (S(g∗1 )G0 , C)
S(g∗ )G0
où T orq 0 (S(g∗1 )G0 , C) est vu comme S(g∗0 )G0 -module gradué. De plus, cet isomorphisme est compatible avec les structures multiplicatives. (La structure multi.,.
plicative de E∞
provient du passage au gradué associé de la structure multiplicative de la cohomologie de la super algèbre de Lie g. La structure mltiplicative sur
∗ G
T or.S(g0 ) 0 (S(g∗1 )G0 , C) provient du fait que S(g∗1 )G0 et C sont des S(g∗0 )G0 -algèbres.
Or si A est un anneau commutatif et si B et C sont des A-algèbres, T or.A (B, C) est
une A-algèbre, voir [ML], Ch.VIII, théorème 2.2.)
Je souhaite remercier Michel Brion, Michel Duflo et Bernhard Keller pour d’utiles
conversations.
1.6
1.6.1
Le cas de q(n).
Notations et description.
74
Soit n ≥ 3, on pose g = q(n). On a g0 = pgl(n + 1) et g1 = sl(n + 1), q(n) est le
quotient
 de la sous
 superalgèbre de Lie de gl(n + 1, n + 1) formée des matrices par
A B
 avec A ∈ gl(n + 1) et B ∈ sl(n + 1) par son centre. Le crochet
blocs 
B A
est induit par celui de gl(n + 1, n + 1). On notera G0 = PGL(n + 1), groupe simple
d’algèbre de Lie g0 .
Décrivons maintenant les anneaux d’invariants sous G0 .
On notera, pour un élément X ∈ gl(n + 1), −σ1 (X), . . . , (−1)n+1 σn+1 (X) les
coefficients du polynôme caractéristique de X. Le degré de chacun des σi est égal à
i, et on a:
S(g∗0 )G0 = C[s2 , . . . , sn+1 ], où (−1)i si (X) désigne le coefficient de X n+1−i dans le
σ1
polynôme caractéristique du translaté (X − n+1
).
Comme g1 = {X ∈ gl(n + 1), σ1 (X) = 0}, on a:
S(g∗1 )G0 = C[σ2 , . . . , σn+1 ].
1.6.2
Expression invariante du crochet impair.
Le crochet de Lie restreint à g1 × g1 (vu comme une appliaction linéaire de S 2 (g1 )
dans g0 ) donne lieu à un morphisme
α : S(g∗0 )G0 −→ S(g∗1 )G0
par extension de la transposition du crochet de Lie. Nous allons décrire ce morphisme.
Rappelons que, si X ∈ g1 , on a [X, X] = 2X 2 . On note, comme prévu,
σ2 = σ2 (X), . . . , σn+1 = σn+1 (X). Pour expliciter α, on considère le polynôme
P à coefficients dans S(g∗1 )G0 :
P (µ) = µn+1 + σ2 µn−1 + . . . + σn+1 .
On introduit alors le polynôme Q de la variable ν tel que
1
2n+1
Q(2µ2 ) = (−1)n+1 P (µ)P (−µ).
4σ2
). On
Alors α transforme chacun des si en le coefficient de ν n+1−i dans Q(ν − n+1
notera par la suite si pour α(si ). Ceci donne une description de l’image de α.
Soit Z0 (resp. Z1 ) la variété algébrique d’anneau de fonctions S(g∗0 )G0 (resp.
S(g∗1 )G0 ), on peut repérer les points de Z0 (resp. de Z1 ) comme des G0 -orbites
fermées d’éléments de g0 (resp. g1 ) et donc les identifier à des polynômes caractéristiques d’endomorphismes de trace nulle (le coefficient de µn est donc nul).
On notera α̃ le morphisme de Z1 dans Z0 qui se déduit de α. Nous allons étudier
les fibres de ce morphisme.
75
Théorème 1.7 - 1) Si n est pair, α̃ est propre à fibres finies en tout point.
2) Si n est impair, la fibre d’un point de Z1 vu comme polynôme est finie si
et seulement si ce polynôme n’est pas un carré parfait. Dans le cas contraire, la
dimension de Krull de cette fibre est 1.
Démonstration - Soit P un élément de Z1 . On considère le polynôme (−1)n+1 P (µ)P (−µ).
Comme c’est une fonction paire de µ, P ne fait intervenir que des puissances paires
de µ. De plus, P est de degré n + 1 et de coefficient dominant 1, d’après la définition
de Z1 . Comme précédemment, on peut l’écrire de manière unique sous la forme
1
Q(2µ2 + k) où Q n’a pas de terme en µn et où k est une constante complexe
2n+1
uniquement déterminée. Le morphisme α̃ transforme alors P en Q.
La fibre de Q est finie (resp. infinie) selon que, pour k assez général, Q(µ2 + k)
ne peut pas s’écrire (resp. peut s’écrire) sous la forme P (µ)P (−µ) où P n’a pas de
terme en µn .
Notons ζ0 , . . . , ζn les racines complexes de Q, dire que la fibre est infinie revient
à dire qu’il existe une détermination identiquement nulle de la fonction multiforme
sur C:
ϕ : k 7→
p
p
ζ0 − k + . . . + ζn − k,
√
car ζi − k est alors une racine de P , et dire que P n’a pas de terme en µn , c’est
dire que la somme de ses racines est nulle. Supposons dans un premier temps que
les ζi sont tous non nuls.
Calculons la dérivée p−ième de ϕ: on a:
n
X
1
ϕ (k) = C( (ζi + k) 2 −p )
(p)
i=0
1 1 1
( (
p! 2 2
− 1) . . . ( 12
(p)
− p + 1)). Si ϕ (0) = 0 pour tout p, alors ϕ est identiqueoù C =
ment nulle:
1
Pn
−p
2
ϕ(p) (0) = 0 ∀p ⇔
= 0 ∀p.
i=0 ζi
En interprétant ceci en termes de relations entre coefficients
et racines, on obtient
√
la condition que √
le polynôme P , dont les racines
sont
les
ζ
,
est
une fonction paire
i
√
de µ. Donc si ζi apparaı̂t dans P , − ζi apparaı̂t aussi, d’où, en élévant au
carré, chacune des ζi apparaı̂t dans Q avec multiplicité 2, donc Q est un carré. Si
certains des ζi sont nuls, disonsP
ζ0 , . . . ζ√
i , la même conclusion est valable car on a une
n
détermination holomorphe de i=j+1 ζi − k, donc une détermination holomorphe
P √
au voisinage de 0 de ji=0 ζi − k, ce qui ne peut arriver que si j + 1 est pair et si
les déterminations sont deux à deux opposées. Ceci démontre que dans le cas où n
est pair, la fibre est toujours finie. En particulier, la fibre de µn+1 est finie. D’après
le lemme de Nakayama gradué, on en déduit que S(g∗1 )G0 est un module de type fini
sur S(g∗0 )G0 ce qui équivaut à dire que α̃ est propre à fibres finies, d’où l’assertion
1). Si maintenant n est impair, la fibre de Q est alors paramétrée par k, elle est
donc de dimension de Krull 1, d’où l’assertion 2).
2
76
Nous aurons besoin du lemme technique suivant:
Lemme 1.5 - Dans le cas où n est impair, l’image réciproque par α̃ de la courbe
de Z0 définie par les équations s2 = 0, . . . sn = 0 est une courbe (qui n’est pas
irréductible).
Démonstration - On cherche l’image réciproque de Q(X) = X n+1 + sn+1 . Si
n+1
sn+1 = 0, c’est une courbe, {(X 2 − λ2 ) 2 , λ ∈ C}. Si sn+1 6= 0, alors Q n’est pas
un carré parfait et donc sa fibre est finie.
2
1.6.3
Généralités sur la cohomologie des super algèbres de
Lie
Soit g = g0 ⊕ g1 une super algèbre de Lie. Introduisons, comme dans [Fu] et
dans [Gr], l’algèbre de Weil de g0 . Il s’agit du produit tensoriel S(g∗0 ) ⊗ Λ(g∗0 ), où
S(g∗0 ) désigne l’algèbre symétrique de g∗0 munie de la graduation S2i (g∗0 ) = S i (g∗0 )
et S2i+1 (g∗0 ) = 0. On notera W (g0 ) cette algèbre qui est super commutative libre. Remarquons que, comme super espace vectoriel, W (g0 ) est une super algèbre
symétrique sur le super espace vectoriel S2 (g∗0 ) ⊕ Λ1 (g∗0 ) (les deux facteurs sont isomorphes à g∗0 mais ont une parité différente). On munit W (g0 ) de la dérivation
impaire D, que l’on décrit sur les générateurs de la super algèbre symétrique: le
crochet sur g0 est une application linéaire de Λ2 (g0 ) dans g0 . Si on la transpose,
on obtient une application linéaire de Λ1 (g∗0 ) = g∗0 dans Λ2 (g∗0 ) que l’on notera γ.
On notera de plus δ l’application identique de Λ1 (g∗0 ) dans S2 (g∗0 ). Enfin, on note
ε l’application de S2 (g∗0 ) dans S2 (g∗0 ) ⊗ Λ1 (g∗0 ) transposée du crochet vu comme une
application linéaire g0 ⊗ g0 → g0 .
Soit w ∈ Λ1 (g∗0 ), D(w) = 2δ(w) − γ(w).
Soit w0 ∈ S2 (g∗0 ), D(w0 ) = ε(w0 ).
On a alors D2 = 0. On sait que W (g0 ) est une algèbre différentielle graduée dont la
cohomologie est nulle en tout degré sauf en degré 0, où elle est égale à C ([Ca]).
La cohomologie des super algèbres de Lie se définit et se calcule au moyen du
complexe de Koszul de cette super algèbre de Lie: rappelons-en la définition lorsque
le module dans lequel on prend les coefficients est trivial: On rappelle qu’il existe
une algèbre extérieure, au sens gradué, de g:
Λn (g) = ⊕nk=0 Λk (g0 ) ⊗ S n−k (g1 ).
Cette algèbre extérieure est munie d’une part d’une graduation sur N (par n), et
d’autre part d’une bigraduation sur N × N (par k et n − k).
On peut former le complexe de Koszul de g à valeurs dans C, Λ(g), avec la
différentielle:
77
X
(−1)i+j+1 [xi , xj ] ∧ x1 ∧ . . . ∧ x̂i ∧ . . . ∧ xˆj ∧ . . . ∧ xk ⊗ y1 . . . yn−k +
i<j
+
X
+
X
(−1)i−1 x1 ∧ . . . ∧ x̂i ∧ . . . ∧ xk ⊗ xi .(y1 . . . yn−k )+
i
x1 ∧ . . . . . . ∧ xk ∧ [yi , yj ] ⊗ y1 . . . ŷi . . . yˆj . . . yn−k ,
i<j
où les xi sont des éléments de g0 et les yj sont des éléments de g1 .
Par transposition, on obtient une algèbre différentielle graduée que l’on notera
Λ• (g∗ ), dont on note d la différentielle.
L’algèbre de Weil possède une propriété universelle que nous n’expliciterons pas
en général ici, nous limitant au cas du complexe de Koszul cohomologique de la
super algèbre de Lie g. Décrivons sur les générateurs un morphisme d’algèbres
différentielles graduées, h, de (W (g0 ), D) dans (Λ• (g∗ ), d):
Si w ∈ Λ1 (g∗0 ), h(w) = w ∈ Λ1 (g∗0 ).
Si w0 ∈ S2 (g∗0 ), h(w0 ) = ϕ(w0 ) ∈ S 2 (g∗1 ), ϕ : g∗0 → S 2 (g∗1 ) désignant la transposée
du crochet de Lie de g1 × g1 dans g0 . On vérifie que h commute aux différentielles
D et d.
En filtrant le complexe de Koszul de g par les puissances croissantes de l’algèbre
extérieure de la partie paire, on obtient la suite spectrale de Hochschild-Serre ([Gr]),
que l’on notera Erp,q et dont on notera dr les différentielles successives. On notera
aussi: Er = ⊕p,q Erp,q . Dessinons E0 :
..
.
..
.
..
.
↑ ↑
↑
Λq (g∗0 ) • • . . . •Λq (g∗0 ) ⊗ S p (g∗1 ) . . .
d0 ↑ ↑
↑
• • ... •
..
.
...
• • ... •
...
d0 ↑ ↑
↑
• • ... •
C
...
S p (g∗1 )
A l’algèbre de Weil, on associe une suite spectrale, obtenue par filtration horizontale, que l’on notera ici Frp,q avec la différentielle Dr . On a F0p,q = Sp (g∗0 ) ⊗ Λq (g∗0 ).
De même que pour la suite spectrale de Hochschild-Serre, on notera Fr = ⊕p,q Frp,q .
78
Dans toute la suite de cet article, on notera les générateurs de Λ(g∗0 )G0 par les
lettres ξi , 3 ≤ i ≤ 2n+1, i impair, et ceux de S(g∗0 )G0 par les lettres sj , 2 ≤ j ≤ n+1.
1.6.4
Dimension de la cohomologie de q(n).
Soit n ≥ 3, ici g désigne la super algèbre de Lie q(n). L’algèbre Fr , r ≥ 1 provenant
de la suite spectrale de l’algèbre de Weil de la partie paire est:
C[s2 , . . . sn+1 ]/ < s2 , . . . sj−1 > ⊗Λ[ξk , . . . ξ2n+1 ],
pour j l’entier immédiatement supérieur à r/2 et k l’entier impair immédiatement
supérieur à r − 1, voir par exemple [Gr] p. 550-551. La différentielle Dr est nulle
en tout point sauf au point ξk , qu’elle envoie sur sj si r est pair et r ≥ 4. Elle est
identiquement nulle si r est impair ou r = 2. Ceci présente une description complète
de Dr car la partie symétrique étant sur la ligne horizontale la plus basse, elle est
nécessairement annulée par la différentielle qui est donc déterminée par l’image des
générateurs de l’algèbre extérieure.
L’homomorphisme h de (W (g0 ), D) dans (Λ• (g∗ ), d) donne un homomorphisme
de suites spectrales que nous noterons hr au cran r:
hr : Fr −→ Er .
Rappelons que l’on a noté pour tout i, α(si ) = si . Alors hr transforme sj , . . . , sn+1
en sj , . . . sn+1 .
Lemme 1.6 - On a, pour n ≥ 2 et r ≤ 2n + 2:
Er = (C[σ2 , . . . σn+1 ]/ < s2 , . . . , sj−1 >) ⊗ Λ[ξk , . . . , ξ2n+1 ]
et dr a la même description que Dr .
Démonstration - La démonstration se fait par récurrence sur r. D’après le lemme
1.1, l’anneau C[σ2 , . . . σn+1 ]/ < s2 , . . . , sn > est de dimension de Krull 1 si n est impair. Par conséquent, s2 , . . . , sn est ce que l’on appelle une suite régulière d’éléments
(homogènes) de C[σ2 , . . . σn+1 ], c’est à dire que pour tout i, si n’est pas diviseur de
zéro dans l’anneau C[σ2 , . . . σn+1 ]/ < s2 , . . . , si−1 >. Ceci est vrai également quand
n est pair d’après l’assertion 1 du théorème 1.
Le lemme est vrai pour r = 1 (description de S(g∗0 )G0 ).
Supposons le lemme vrai pour Er−1 . On a ainsi:
Er−1 = (C[σ2 , . . . σn+1 ]/ < s2 , . . . , sj1 −1 >) ⊗ Λ[ξk1 , . . . , ξ2n+1 ],
où les indices j1 et k1 correspondent aux indices j et k dans la description de Fr−1 .
79
Les termes de Er qui se trouvent sur la ligne horizontale d’ordonnée 0 ont la
numérotation Erp,0 , on notera Er.,0 = ⊕p Erp,0 .
Par hypothèse de récurrence, on a:
.,0
Er−1
= C[σ2 , . . . σn+1 ]/ < s2 , . . . , sj1 −1 >
on a donc
.,0
Er−1 = Er−1
⊗F .,0 Fr−1 ,
r−1
par transitivité de l’extension des scalaires.
On a dr−1 ◦ hr−1 = hr−1 ◦ Dr−1 , car h est un homomorphisme de suites spectrales.
.,0
De plus dr−1 , qui baisse l’ordonnée dans Er−1 , est forcément nulle sur Er−1
: dr−1
.,0
est donc Er−1 -linéaire. Ceci démontre que Dr−1 détermine dr−1 . Si r − 1 est impair,
on a vu que Dr−1 est nulle donc dr−1 l’est aussi et on a Er = Er−1 . Si par contre
r − 1 est pair, la description donnée plus haut nous donne les descriptions de dr et
de Er annoncées dans l’énoncé du lemme.
2
Théorème 1.8 - 1) Si n est pair, on a:
H ∗ (q(n), C) ' (C[σ2 , . . . σn+1 ]/ < s2 , . . . , sn+1 >)
H ∗ (q(n), C) ' S(g∗1 )G0 ⊗S(g∗0 )G0 C.
2) Si n est impair, la cohomologie H ∗ (q(n), C) est un anneau de dimension de Krull
1.
Démonstration - Dans le cas où n est pair, la suite s2 , . . . , sn+1 est régulière car
α̃ est propre à fibres finies (théorème 1, 1)). On applique le lemme 2 jusqu’au rang
r = 2n + 3, après quoi la suite spectrale Ep reste stationnaire, ce qui donne la
première assertion.
Si maintenant n est impair, le lemme 2 s’applique tant que la suite s2 , . . . , si est
régulière c’est à dire jusqu’au rang r = 2n + 2, après quoi on a Fr = C. D’après le
lemme 2,
E2n+2 = (C[σ2 , . . . σn+1 ]/ < s2 , . . . , sn >) ⊗ Λ[ξ2n+1 ].
.,0
La différentielle d2n+2 envoie ξ2n+1 sur sn+1 et elle est nulle sur E2n+2
.
L’anneau E2n+2 est donc constitué de deux copies de C[σ2 , . . . σn+1 ]/ < s2 , . . . , sn >
(dues aux deux composantes de l’algèbre extérieure) et la différentielle d2n+2 envoie
la première copie dans la seconde au moyen de la multiplication par sn+1 .
S(g∗ )G0
Le noyau (resp.
conoyau) de d2n+2 est T or1 0 (S(g∗1 )G0 , C) (resp.
S(g∗1 )G0 ⊗S(g∗0 )G0 C): c’est immédiat pour le conoyau, il suffit de l’écrire. Pour la
80
description du noyau, on a la suite exacte:
mult.par
0 → S(g∗0 )G0 / < s2 , . . . , sn >
S(g∗0 )G0 / < s2 , . . . , sn >→ C → 0
−→
sn+1
Après tensorisation sur S(g∗0 )G0 par S(g∗1 )G0 , on a:
S(g∗0 )G0
0 = T or1
S(g∗0 )G0
((S(g∗0 )G0 / < s2 , . . . sn >), S(g∗1 )G0 ) → T or1
(C, S(g∗1 )G0 ) →
mult.par
→ (S(g∗0 )G0 / < s2 , . . . sn >) ⊗S(g∗0 )G0 S(g∗1 )G0
−→
sn+1
(S(g∗0 )G0 / < s2 , . . . sn >) ⊗S(g∗0 )G0 S(g∗1 )G0 → S(g∗1 )G0 ⊗S(g∗0 )G0 C → 0.
S(g∗ )G0
On a T or1 0 ((S(g∗0 )G0 / < s2 , . . . sn >), S(g∗1 )G0 ) = 0 car s2 , . . . sn forment une
suite régulière dans S(g∗1 )G0 , ce qui identifie le noyau.
On a donc démontré que
S(g∗0 )G0
E2n+3 = T or•
(S(g∗1 )G0 , C) = E∞
car les différentielles suivantes sont nulles. Le gradué associé à H ∗ (q(n), C), E∞ ,
étant de dimenion de Krull 1, H ∗ (q(n), C) est lui même de dimension de Krull 1 ce
qui termine la démonstration du théorème 2.
2
Remarque - Dans le cas où n est pair, le morphisme α est fini, ce qui permet de
démontrer que le théorème de finitude de [Gr] s’applique à la famille q(2n).
Remarque - On peut calculer les séries de Poincaré des cohomologies de q(3) et
q(5) à valeurs dans le module trivial. En notant SP (q(n), C) cette série de Poincaré,
on a:
SP (q(3), C) =
(1 + t3 )(1 + t7 )
2
=
− 1 − 2t − t2 − t3 − t4 − t5 − t6 − t8
2
1−t
1−t
et
SP (H ∗ (q(5), C)) = t6 + 2t8 + t9 + t10 + 2t11 + 2t12 + 3t14 +
81
+
1 − t6 − t8 − t10 + t11 + t13 + t16 + t18 − t19 − t21 − t23 + t29
.
(1 − t2 )(1 − t3 )(1 − t5 )
Soit encore:
SP (H ∗ (q(5), C)) =
3
− 2 − 3t − 2t2 − 2t3 − 2t4 − t5 − t6 − t7 − t10 + t11 − t13 +
1−t
+t14 + t15 + t16 + t17 + t19 .
1.7
Le cas de p(n).
1.7.1
Notations et description
Soit n ≤ 3. On notera g = p(n). On a g0 = sl(n+1) et si V désigne la représentation
standard
de 
g0 , on a g1 = S 2 (V ) ⊕ Λ2 (V ∗ ). Les matrices de p(n) s’écrivent par blocs

A

B
t
 où A ∈ sl(n + 1), B ∈ Hom(V ∗ , V ), et C ∈ Hom(V, V ∗ ), avec B
C −A
symétrique et C alternée. Le crochet de Lie est induit par celui de gl(n + 1, n + 1).
On pose G0 = SL(n + 1).
Notons s2 , . . . , sn+1 les coefficients du polynôme caractéristique dans sl(n + 1),
on a:
S(g∗0 )G0 = C[s2 , . . . , sn+1 ].
Pour trouver S(g∗1 )G0 , cherchons d’abord S(g∗1 )GL(V ) . Soient B ∈ S 2 (V ) et C ∈
Λ2 (V ∗ ), X = (B, C) ∈ g1 , on a [X, X] = 2B ◦ C. Soit U l’ouvert de Zariski de
g1 formé des couples (B, C) ∈ g1 tels que B, considéré comme une forme bilinéaire
symétrique sur V ∗ soit non dégénérée. Choisissons une base orthonormale de V ∗
pour B. Soit (f1 , . . . , fn+1 ) la base duale dans V . La matrice de B ◦ C dans cette
base est alternée et la classification des GL(V )-orbites de (B, C) est la même que
la classification des matrices alternées sous O(V ): en effet, si u ∈ GL(V ) et si
(B, C) ∈ g1 ,
u.(B, C) = (uB t u, u−1 C t u−1 ) ∈ g1 .
Soient (B, C) et (B 0 , C 0 ) deux éléments de U . On veut comparer leurs orbites sous
GL(V ). Or B et B 0 sont conjuguées sous GL(V ) et on peut donc décider que B = B 0 .
On voit donc que B ◦ C et B 0 ◦ C 0 sont O(V )-conjugués si et seulement si C et C 0
sont GL(V )-conjugués.
On utilise alors le théorème 4.2 de [Lu-Ri] dans le cas de l’action de GL(V ) sur
g1 . L’ouvert de Zariski de U formé des X ∈ g1 tels que [X, X] ait toutes ses valeurs
propres distinctes est contenu dans l’ensemble des points principaux de la définition
3.2 de [Lu-Ri], car le stabilisateur de X est de la forme SO(2)×SO(2)×. . .×SO(2)
82
avec E( n+1
) facteurs. Si l’on note (σi ) les coefficients du polynôme caractéristique
2
de B ◦ C, on a:
S(g∗1 )GL(V ) = C[σ2 , σ4 , . . . , σ2E( n+1 ) ].
2
Pour obtenir les SL(n + 1)-invariants, nous devons de plus tenir compte des données
suivantes: comme B est une matrice symétrique, B a un discriminant, élément de
S 2 (Λn+1 (V )): si l’on note (e1 , . . . en+1 ) la base canonique de V , ce discriminant est
D.(e1 ∧ . . . ∧ en+1 )2 où D est un nombre complexe. C’est le déterminant de B. C’est
un invariant sous l’action du groupe SL(n + 1).
De plus, si n est impair, C, qui est un élément de Λ2 (V ∗ ), a une puissance m-ième
où m = n+1
. Cet élément, C m appartient à Λn+1 (V ∗ ). Si l’on note e∗1 , . . . , e∗n+1 la
2
base canonique de V ∗ , cet élément s’écrit P.(e∗1 ∧ . . . ∧ e∗n+1 ) et s’appelle le pfaffien
de C. C’est un invariant sous l’action de SL(n + 1). Dans le cas où n est impair, et
si l’on pose n = 2m − 1, σ2m = P 2 D.
1.7.2
Anneau de cohomologie de p(n).
Théorème 1.9 - On a les isomorphismes suivants:
i) Si n est pair, H ∗ (p(n), C) ' C[D] ⊗C Λ[ξ5 , ξ9 , . . . , ξ4m+1 ] où n = 2m.
ii) Si n est impair, H ∗ (p(n), C) ' C[D, P ]/P 2 D ⊗C Λ[ξ5 , ξ9 , . . . , ξ4m−3 ], où n =
2m − 1.
Démonstration - La démonstration se calque sur la preuve du théorème 2, avec
les données suivantes:
Le crochet de Lie de la partie impaire donne lieu à l’homomorphisme
α : S(g∗0 )G0 −→ S(g∗1 )G0 .
On a S(g∗0 )G0 = C[s2 , . . . , sn+1 ] et S(g∗1 )G0 = C[σ2 , σ4 , . . . , σ2m−2 , D, P ] si n = 2m−1
est impair et S(g∗1 )G0 = C[σ2 , σ4 , . . . , σ2m , D] si n = 2m est pair. Le morphisme α
transforme si en σi si i est pair, en 0 sinon. Les éléments D et P ne sont donc jamais
atteints par α.
On garde les notations du paragraphe 1.3. L’algèbre de Weil et la suite spectrale
correspondante sont les mêmes que dans le cas de q(n), le morphisme h est défini
de la même manière (grâce au crochet de Lie).
Par récurrence sur r, on démontre que :
- si n = 2m − 1, Er = C[σ2j , σ2m−2 ] ⊗ λ[ξ5 , ξ9 , . . . , ξk , ξk+2 , . . . , ξ2n+1 ]
- si n = 2m, Er = C[σ2j , σ2m ] ⊗ λ[ξ5 , ξ9 , . . . , ξk , ξk+2 , . . . , ξ2n+1 ]
où 2j est le premier entier pair supérieur à r et où k est le premier entier congru à
1 modulo 4 et supérieur à r.
L’application dr envoie σ2j sur ξ2k+2 si r est divisible par 4, elle est identiquement
nulle sinon.
83
Le théorème s’en déduit de la même façon que dans la démonstration du théorème
2, en se souvenant que, dans le cas n = 2m − 1, on a σ2m = P 2 D.
2
Remarque - On peut, si on le souhaite, obtenir une version unifiée du résultat, en
définissant P comme nul si n est pair, et on obtient alors:
H ∗ (p(n), C) ' (C[P, D]/P 2 D) ⊗ Λ[ξ5 , ξ9 , . . . , ξp ]
où p est le dernier entier congru à 1 modulo 4 inférieur à 2n + 1.
1.8
Le cas de psl(n, n).
On pose g = psl(n, n), c’est la super algèbre de Lie sl(n, n) quotientée par son centre.
On a g0 = sl(n) × sl(n) et g1 = Hom(V0 , V1 ) ⊕ Hom(V1 , V0 ) où V0 (resp. V1 ) désigne
la représentation standard du premier (resp. second) facteur sl(n). Si (u, v) ∈ g1 , le
crochet de (u, v) par lui même est égal à
(v ◦ u −
1
1
tr(v ◦ u)IdV0 , u ◦ v − tr(u ◦ v)IdV1 ) ∈ g0 .
n
n
On prend G0 = SL(n) × SL(n). En gardant les notations utilisées pour p(n), on a:
S(g∗0 )G0 = C[s2 , s3 , . . . , sn , t2 , . . . , tn ]
(les ti désignent les coefficients du polynôme caractéristique dans le second facteur
sl(n)). On a
S(g∗1 )G0 = C[tr(u ◦ v), σ2 , . . . , σn ]
où les σi désignent les coefficients du polynôme caractéristique de v◦u− n1 tr(v◦u)IdV0
(qui sont les mêmes que ceux de u◦v− n1 tr(u◦v)IdV1 ), la démonstration est identique
à celle concernant les invariants de sl(m, n) dans [Gr]. Avec les mêmes arguments
que ceux des démonstrations des théorèmes 2 et 3, on obtient le résultat suivant:
Théorème 1.10 - On a l’isomorphisme:
H ∗ (psl(n, n), C) ' C[tr(u ◦ v)] ⊗ λ[ξ3 , ξ5 , . . . , ξ2n−1 ].
1.9
Additif à [Gr]
Le but de ce paragraphe est de démontrer le théorème suivant:
Théorème 1.11 - Soit g = g0 ⊕ g1 une super algèbre de Lie complexe de dimension
finie à partie paire réductive. Soit M un g-module de dimension finie. Soit G0 un
groupe algébrique réductif connexe d’algèbre de Lie g0 . Supposons que l’action de g0
dans g1 et dans M s’intègre en une action de G0 .
Alors H ∗ (g, M ) est un H ∗ (g, C)-module de type fini.
84
Remarque - L’action de H ∗ (g, C) dans H ∗ (g, M ) est donnée par le cup-produit.
Démonstration - Reprenons le complexe de Koszul de g à valeurs dans M défini
au paragraphe 1 de [Gr] et, dans le cas du module trivial, au paragraphe 1.3 du
présent article. On le transpose afin d’obtenir le complexe de Koszul cohomologique
K(g, M ) dont la différentielle est notée δ. Pour K(g, C), on notera d la différentielle.
Remarquons que K(g, M ) est un K(g, C)-module. Si a ∈ K(g, C) est homogène,
et si m ∈ K(g, M ), on a:
(∗) δ(am) = d(a).m + (−1)p(a) aδ(m)
où p(a) désigne la parité de a.
L’action de H ∗ (g, C) sur H ∗ (g, M ) est alors définie par passage à la cohomologie
de l’action de K(g, C) sur K(g, M ).
On utilise alors les suites spectrales de Hochschild-Serre obtenues en filtrant
K(g, C) et K(g, M ) par les puissances extérieures ascendantes de g∗0 . On note ces
suites spectrales respectivement Erp,q (C) et Erp,q (M ). Pour tout r, ⊕p,q Erp,q (M ) est
un ⊕p,q Erp,q (C)-module, les différentielles δr (de Erp,q (M )) et dr (de Erp,q (C)) étant
reliées par la relation analogue à la relation (∗).
Nous allons démontrer par récurrence sur r que ⊕p,q Erp,q (M ) est un ⊕p,q Erp,q (C)module de type fini. Ceci terminera la démonstration du théorème: si r est asp,q
p,q
p,q
(M ) sera
(C) = Erp,q (C) et donc ⊕p,q E∞
(M ) = Erp,q (M ) et E∞
sez grand, E∞
p,q
un ⊕p,q E∞ (C)-module de type fini. En remontant un système de générateurs du
p,q
p,q
(M ) à l’espace H ∗ (g, M ), on obtiendra un nombre fini
(C)-module ⊕p,q E∞
⊕p,q E∞
de générateurs du H ∗ (g, C)-module H ∗ (g, M ).
Montrons cette propriété au stade E1 : on a dans les deux cas E1p,q = (E0p,q )G0 .
Ceci donne la propriété en appliquant la proposition 2.4.14 de [Sp]. La différentielle
d1 étant nulle (elle provient de l’action de g1 dans le module trivial) on obtient que
E2p,q (C) = E1p,q (C) est un S(g∗1 )G0 -module de type fini.
Pour passer du stade Er au stade Er+1 , on remarque que les différentielles dr et
δr sont S(g∗1 )G0 -linéaires et que, par hypothèse de récurrence, ⊕p,q Erp,q (M ) est un
S(g∗1 )G0 -module de type fini, or S(g∗1 )G0 est un anneau noethérien donc le passage à
la cohomologie transforme les modules de type fini en modules de type fini.
2
Bibliographie
[Ca] H. Cartan, Notions d’algèbre différentielle: applications aux groupes de Lie
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[Fu] D.B. Fuks, Cohomology of infinite dimensional Lie algebras, Consultants Bureau, New York, 1986.
85
[Fu-Le] D.B. Fuks and D.A. Leites, Cohomology of Lie superalgebras, Comptes
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[Gr] C. Gruson, Finitude de l’homologie de certains modules de dimension finie sur
une super algèbre de Lie, Ann. Inst. Fourier, Grenoble, 47, 2 (1997) pp. 531-553.
[Ka] V.G. Kac, Lie superalgebras, Advances in Math, 26 (1977), pp. 8-96.
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[ML] S. Mac Lane, Homology, Grundlehren der math. W. 114, Springer-Verlag
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[Se] J.P. Serre, Algèbre locale, multiplicités, L.N.M. 11, Springer Verlag 1975.
[Sp] T.A. Springer, Invariant theory, L.N.M. 585, Springer Verlag 1977.
86
Sur l’idéal du cône autocommutant des super
algèbres de Lie basiques classiques et étranges.
Introduction
Soit g = g0 ⊕ g1 une super algèbre de Lie de dimension finie sur C. On pose:
C(A) = {X ∈ g1 , [X, X] = 0}.
C’est un cône, qu’on appelle le cône autocommutant de g. On note C(A)red le cône
réduit. On note A le sous-schéma de P(g1 ) de cône projetant C(A). On note Ared
la sous variété de P(g1 ) définie par les équations [X, X] = 0 (NB: dans ce qui suit,
l’appellation variété est réservée à des objets réduits).
On appelle cette variété Ared autocommutante car c’est la partie diagonale impaire de la variété commutante de g, i.e. Cred où
C = {(x, y) ∈ g × g, [x, y] = 0}.
Je m’intéresse ici à la question de savoir si Ared est intersection de quadriques,
i.e. si A = Ared .
La motivation initiale de cette étude est la suivante: lorsque l’on écrit le complexe
de Koszul d’une super algèbre de Lie à valeurs dans un module de dimension finie,
celui-ci est de longueur infinie. On peut voir que le cône C(A) porte les informations
relatives à la différentielle partielle qui provient du crochet purement impair de g1 ×g1
à valeurs dans g0 ([Gr2]). Or la cohomologie d’une super algèbre de Lie à valeurs
dans un module de dimension finie n’est pas connue, même dans le cas où g est
une super algèbre de Lie simple à partie paire réductive (pour la classification de
ces super algèbres de Lie, on peut consulter [Ka], qui contient également beaucoup
d’informations sur leurs représentations).
Dans cet article, je démontre que pour g l’une des super algèbres de Lie gl(m, n),
sl(m, n), osp(m, 2n), P (n), Q(n), G(3), F (4) et D(2, 1, α), le cône autocommutant
est réduit et donc A = Ared .
Etant donné que la démonstration du résultat dépend de la classification et
nécessite une étude détaillée de la décomposition en modules simples de l’anneau de
la variété autocommutante, les notations sont assez difficiles à manier et j’ai choisi
de ne traiter en détails ici que certains cas.
Les conventions de notations utilisées sont les mêmes que celle de [Fu-Ha], le
merveilleux livre de William Fulton et Joe Harris, sans lequel je n’aurais jamais eu
le courage de me lancer dans ces calculs.
Le plan de cet article est le suivant: le premier paragraphe donne le schéma commun des démonstrations et contient des précisions bibliographiques sur les résultats
87
antérieurement connus sur l’idéal du cône autocommutant. Les trois derniers paragraphes sont consacrés à l’étude des différents cas.
Je tiens à exprimer ici toute ma reconnaissance à Thierry Levasseur pour la
constante attention qu’il a portée à l’évolution de ce travail. Je remercie Michel
Brion et Michel Duflo pour des discussions constructives.
1.10
Schéma de démonstration
Gardons les notations de l’introduction. Soit g = g0 ⊕ g1 l’une des super algèbres de
Lie gl(m, n), sl(m, n), osp(m, 2n), P (n), Q(n), G(3), F (4) ou D(2, 1, α). On veut
démontrer que dans chacun de ces cas, le cône C(A) est réduit.
Dans un premier temps, on désingularise le cône C(A)red : on construit une
variété non singulière X et un morphisme propre birationnel de X dans C(A)red .
Dans chacun des cas considérés, X est un fibré vectoriel au dessus d’une variété de
drapeaux G0 /P0 , où G0 est un groupe algébrique réductif d’algèbre de Lie g0 et P0
est un sous-groupe parabolique de G0 . On note OX son faisceau structural. On
remarque que H 0 (OX ) est un quotient de S(g∗1 ).
Cette désingularisation est déja connue dans la plupart des cas : pour gl(n, m),
il s’agit de classifier les orbites des éléments (u, v) de Hom(Cn , Cm ) × Hom(Cm , Cn )
tels que u◦v = 0 et v ◦u = 0, sous l’action de GLm ×GLn : ceci est fait par Kempken
dans [Kem]. Dans le cas orthosymplectique, il s’agit de classifier certaines orbites de
Cm ⊗C2n sous l’action de O(m)×Sp(2n), qui font partie de celles étudiées par Kraft
et Procesi dans [Kr-Pr2]. Par ailleurs, Panyushev, dans [Pa], étudie une méthode
systématique de désingularisation des adhérences d’orbites d’éléments de degré 1
dans une algèbre de Lie munie d’une Z-graduation courte. Cette désingularisation a
alors un aspect identique à celle de la variété autocommutante et coı̈ncide avec elle
dans certains cas (gl(m, n)).
Le résultat suivant de Kempf ([Ke]) permet alors de décrire la structure de
g0 -module de H 0 (OX ).
Théorème de Kempf - Soit W une représentation d’un groupe réductif G et soit
U ⊂ W un sous-espace stable sous l’action d’un sous-groupe parabolique P de G.
Supposons que la représentation de P dans U est complètement réductible. Alors
GU ⊂ W est sous variété fermée qui est normale et de Cohen-Macaulay. De plus,
si le morphisme canonique
G ∗P U → GU ⊂ W
(où G ∗P U désigne le quotient de G × U par l’action de P ) est birationnel, alors
GU est à singularités rationnelles.
Kempf déduit ce théorème de la forme suivante du théorème de Borel-Weil-Bott:
Théorème ([Ke], theorem 1) - Soit T ⊂ P ⊂ G un tore maximal de G. Soit L
un sous-groupe de Levi de P contenant T . On décompose S k (U ) sous l’action de L
88
pour tout entier k ≥ 0. On obtient
S k (U ) =
L
i∈I Vλi (L)
où Vλi (L) désigne le L-module de plus haut poids λi : λi est un poids de T dominant
pour L.
On extrait ensuite des λi les poids G-dominants et on obtient:
L
H 0 (OG∗P U (k)) = i∈I,λi G−dominant Vλi (G)
où OG∗P U (k) désigne le faisceau structural de G ∗P U tensorisé par OP(V ) (k).
Le théorème prouve en particulier que les composantes irréductibles du cône autocommutant sont toujours normales à singularités rationnelles. Dans le cours du
texte, on étudiera la question de savoir si le cône est de Cohen-Macaulay dans les
cas où il n’est pas irréductible.
Une fois la description de H 0 (OX ) comme g0 -module établie, on sépare les g0 plus hauts poids intervenant dans H 0 (OX ) des autres g0 -plus hauts poids de S(g∗1 ) à
l’aide d’opérateurs différentiels d’ordre suffisamment petit (opérateurs de Casimir):
On introduit une algèbre de Lie réductive a, g0 ⊂ a, qui opère sur g1 . Les
opérateurs du centre de l’algèbre enveloppante de a déterminent une décomposition
en blocs de facteurs a-invariants de chacun des S n (g∗1 ) pour n fixé, qui commute
avec la projection S(g∗1 ) → H 0 (OX ). On notera I le noyau de cette projection. On
sépare ensuite à l’intérieur de chaque bloc les poids de H 0 (OX ) des autres poids de
S(g∗1 ) à l’aide d’opérateurs adaptés:
Il existe Ωg0 (resp. Ω0a ) dans le centre de l’algèbre enveloppante Z(g0 ) (resp.
Z(a)) tel que si λ est un g0 -plus haut poids de H 0 (OX ),
Ωg0 (λ) + Ω0a (λ) = 0
et si µ est un poids intervenant dans le bloc considéré de S(g∗1 ) sans intervenir dans
H 0 (OX )
Ωg0 (µ) + Ω0a (µ) 6= 0.
(ici, Ωg0 (λ) désigne la valeur du caractère infinitésimal de λ (relativement à g0 )
évalué en Ωg0 , de même Ω0a (λ).)
Pour terminer la démonstration, on utilise un argument utilisé par Kostant (voir
[Ga]) pour démontrer que les orbites des vecteurs de plus haut poids pour une
algèbre de Lie semi-simple sont intersection de quadriques:
Lemme de Kostant - Soit V un espace vectoriel de dimension finie sur C. Soit
k un entier. Soit D un opérateur différentiel d’ordre ≤ k, homogène de degré 0,
opérant sur l’algèbre symétrique S(V ). On note ImDj l’image de D restreint à
S j (V ). Alors on a:
X
ImDk+1 ⊂
S i (V ).ImDk+1−i .
1≤i≤k+1
89
Démonstration - Voir [Gr1] p. 50. L’argument consiste essentiellement à remarquer que si D est un opérateur différentiel d’ordre ≤ k, homogène de degré 0 agissant
dans S(V ) et si v ∈ S(V ), on a:
X
i k+1
(−1)
v i D(v k+1−i ) = 0.
i
0≤i≤k+1
2
Soit m un entier, notons Im la composante homogène de degré m de l’idéal I.
On raisonne par récurrence sur m. Soit P ∈ Im+1 , supposons que P est dans un
0
g
0 -facteur irréductible de plus haut poids λ, on pose D = Ωg0 + Ωa , alors D.P ∈
P
i ∗
1≤i≤k+1 S (g1 ).ImDm+1−i . Or ImDm+1−i ⊂ Im+1−i grâce aux hypothèses. Donc
D.P = (Ωg0 (λ) + Ω0a (λ)).P 6= 0
donc P est dans la partie de I engendrée par I1 , . . . , Im .
1.11
Le cas orthosymplectique
Soient m ≥ 1, n ≥ 1 et soit g = osp(m, 2n), on a g0 = o(m) × sp(2n). Si l’on note V
(resp. W ) la représentation standard de o(m) (resp. sp(2n)), on a g1 = V ∗ ⊗ W =
Hom(V, W ).
Soit u ∈ g1 , notons i (resp. j) l’isomorphisme de V dans V ∗ (resp. W dans W ∗ )
déduit de la forme quadratique sur V (resp. alternée sur W ). Alors i−1 ⊗ j va de
V ∗ ⊗ W dans V ⊗ W ∗ . On pose u∗ = (i−1 ⊗ j) ◦ u. Le cône autocommutant de g
est alors:
C(A) = {u ∈ g1 , u ◦ u∗ = 0, u∗ ◦ u = 0}.
On pose G0 = SO(m) × Sp(2n).
Théorème 1.12 - L’idéal de S(g∗1 ) engendré par les équations [X, X] = 0 définissant
C(A) est égal à son nilradical.
1.11.1
Désingularisation de Ared pour osp(2p + 1, 2n)
Soit p un entier positif, on pose 2p + 1 = m. Remarquons que le cône C(A)red
est réunion d’un nombre fini de G0 -orbites paramétrées par le rang r de u ∈ C(A)red
(on a r ≤ Inf (p, n)). Décrivons la G0 -orbite correspondant à un entier r. Soit
u un élément de C(A)red de rang r. Alors Ker(u) est un sous-espace vectoriel de
90
V de codimension r, qui contient son orthogonal Im(u∗ ) car u ◦ u∗ = 0. Notons
P1 (r) le sous groupe parabolique de SO(m) qui stabilise un sous-espace isotrope de
dimension r, D1 , de V et E1 (r) le sous-fibré tautologique de rang r du fibré trivial
de fibre V ∗ sur SO(m)/P1 (r). De la même manière, Im(u) est un sous espace
vectoriel de W de dimension r qui est totalement isotrope car u∗ ◦ u = 0. Notons
P2 (r) le sous-groupe parabolique de Sp(2n) qui stabilise un sous-espace isotrope de
dimension r, D2 , de W et E2 (r) le sous-fibré tautologique de rang r du fibré trivial
de fibre W sur Sp(2n)/P2 (r).
La G0 -orbite considérée est alors le fibré de base G0 /(P1 (r) × P2 (r)) dont la fibre
est constituée des éléments inversibles dans Hom(E1 (r)∗ , E2 (r)) = E1 (r) ⊗ E2 (r).
On pose maintenant r0 = Inf (p, n), P1 = P1 (r0 ), P2 = P2 (r0 ), E1 = E1 (r0 ) et
E2 = E2 (r0 ). L’orbite correspondante est dense dans C(A)red . On la note D.
Soit
X = PG0 /(P1 ×P2 ) (E1 ⊗ E2 ) = (SO(2p + 1) × Sp(2n)) ∗P1 ×P2 P(D1 ⊗ D2 ),
le fibré projectif sur G0 /(P1 × P2 ) déduit du fibré E1 ⊗ E2 . On définit un morphisme
ϕ de variétés algébriques de X dans Ared (ou de E1 ⊗ E2 dans C(A)red ) en associant
à un élément de E1 ⊗ E2 le même élément vu comme appartenant à V ∗ ⊗ W = g1 .
La variété X est munie d’un fibré inversible quotient tautologique de E1∗ ⊗ E2∗ ,
OX (1). Celui-ci est lui même un quotient du fibré trivial sur X de fibre g∗1 . Le
morphisme ϕ est tel que ϕ∗ (OP(g1 ) (1)) = OX (1).
L’orbite D est ouverte dans C(A)red et ϕ induit un isomorphisme de ϕ−1 (D) sur
D. Comme X est une variété complète, ϕ est une application propre. De plus ϕ est
surjective. Comme X est lisse, le morphisme ϕ : X → Ared est une désingularisation
de Ared .
1.11.2
Le cas de osp(2n + 1, 2n)
Le g0 -module H 0 (OX (k))
On garde les notations précédentes avec m = 2n + 1.
Afin de décrire ce module, nous avons besoin d’introduire quelques notations
supplémentaires.
Soit h (resp. k) une sous-algèbre de Cartan de o(2n + 1) (resp. sp(2n)). Alors
h × k est une sous-algèbre de Cartan de g0 . Soit b1 (resp b2 ) une sous-algèbre de
Borel contenant h (resp. k) de o(2n + 1) (resp. sp(2n)). Rappelons que le réseau
des poids radiciels de o(2n + 1) est isomorphe au réseau des poids de sp(2n).
Ceci nous permet d’écrire les poids fondamentaux de o(2n + 1) (resp. sp(2n)):
$1 = (1, 0, . . . , 0), . . ., $n−1 (1, . . . , 1, 0), $n = ( 21 , . . . , 12 ) (resp. η1 = (1, 0, . . . , 0),
. . ., ηn = (1, . . . , 1)). Notons ρ1 (resp. ρ2 ) la demi-somme des racines positives
91
de o(2n + 1) (resp. sp(2n)), on a ρ1 = $1 + . . . + $n , ρ2 = η1 + . . . + ηn dans
l’identification précédente.
Fulton et Harris, dans [Fu-Ha], introduisent la notation suivante: si λ = (λ1 ≥
λ2 ≥ . . . ≥ λn ≥ 0) est une partition de longueur k inférieure ou égale à n, S[λ] (V )
désigne la représentation simple de o(2n + 1) de plus haut poids (λ1 , . . . , λn ). De
même, S<λ> (W ) désigne la représentation simple de sp(2n) de plus haut poids
(λ1 , . . . , λn ). Remarquons que S[λ] (V ) (resp. S<λ> (W )) est un o(2n + 1) (resp.
sp(2n))-sous-module de multiplicité 1 du foncteur de Schur Sλ (V ) (resp. Sλ (W )).
Un poids dominant pour g0 est repéré par un 2n-uplet, ((λ1 , . . . , λn ), (µ1 , . . . , µn )),
où (λ1 , . . . , λn ) (resp. (µ1 , . . . , µn )) est une partition de longueur inférieure ou égale
à n.
On veut calculer la décomposition en G0 -modules simples de l’espace des sections H 0 (OX (k)) (rappelons que OX (k) est la puissance tensorielle k-ième du fibré
tautologique OX (1)).
Nous voulons appliquer [Ke] theorem 1. Le sous-groupe de Levi considéré est
L = SL(D1 ) × SL(D2 ) × C. La décomposition de S k (D1 ⊗ D2 ) sous l’action de L
est donc:
L
P
λ=(λ1 ≥...≥λn ≥0), i λi =k Sλ (D1 ) ⊗ Sλ (D2 ).
On obtient alors sans difficulté :
Proposition 1.1 - Soit k un entier positif, on a :
L
H 0 (OX (k)) = λ=(λ1 ≥...≥λn ≥0),P λi =k S[λ] (V ) ⊗ S<λ> (W ∗ )
i
comme g0 -module, de plus l’application canonique de g0 -modules S k (g∗1 ) → H 0 (OX (k))
identifie S[λ] (V )⊗S<λ> (W ∗ ) au sous-g0 -module de plus haut poids du gl(V )×gl(W ∗ )module Sλ (V )⊗Sλ (W ∗ ), pour chaque partition λ apparaissant dans la somme directe.
Remarquons d’autre part que l’on a :
S k (g∗1 ) = S k (V ⊗ W ∗ )
S k (g∗1 ) =
L
λ=(λ1 ≥λ2 ≥...≥λ2n ≥0),
P
i
λi =k Sλ (V
) ⊗ Sλ (W ∗ )
comme gl(V ) × gl(W )-modules.
Eléments de Casimir
Soit a une algèbre de Lie réductive, on notera Z(a) le centre de l’algèbre enveloppante
U (a) de a.
Soit Ω un élément de Z(a). On suppose choisies une sous-algèbre de Cartan de a
et une base du système de racines. Si λ est le plus haut poids d’un a-module simple
V de dimension finie, on notera Ω(λ), ou Ω(V ), la valeur du caractère infinitésimal
de V évalué en Ω.
92
L’élément de Casimir de Z(a), Ca , est construit de la façon suivante: on fixe une
forme bilinéaire non dégénérée a-invariante sur a que l’on note (, ). Soit (e1 , . . . , ek )
une base de a, (e1 , . . . , ek ) la base duale de a, alors on a:
Ca =
k
X
ei ei .
i=1
C’est un élément d’ordre 2 dans Z(a) et Ca (λ) est un polynôme de degré 2 en λ. On
dispose donc des éléments de Casimir Co(2n+1) et Csp(2n) .
Le groupe GL(V ) × GL(W ∗ ) agissant de manière semi-simple sur S(V ⊗ W ∗ ),
on écrit la décomposition en sous-modules simples. On a :
L
S(V ⊗ W ∗ ) = λ Sλ (V ) ⊗ Sλ (W ∗ ),
où λ parcourt l’ensemble des partitions d’un entier variable k en au plus 2n parts.
D’après le lemme de Schur, tout élément de Z(gl(V ) × gl(W ∗ )) agit sur chaque
composante simple par un scalaire. On a de plus Z(gl(V ) × gl(W ∗ )) ' Z(gl(V )) ⊗C
Z(gl(W ∗ )). On a les identifications suivantes: Z(gl(V )) = C[C1,gl(V ) , . . . , C2n+1,gl(V ) ]
où Ci,gl(V ) est homogène de degré i, Z(gl(W ∗ )) = C[C1,gl(W ∗ ) , . . . , C2n,gl(W ∗ ) ] où
Ci,gl(W ∗ ) est homogène de degré i.
On notera ρ01 (resp. ρ02 ) la demi-somme des racines positives de gl(V ) (resp.
gl(W ∗ )), on a donc : ρ01 = (n, n − 1, . . . , −n), ρ02 = (n − 21 , n − 32 , . . . , −n + 12 ).
On normalise les Ci,gl(V ) (resp Ci,gl(W ∗ ) ) de telle sorte que Ci,gl(V ) (λ) = σi (λ + ρ01 )
(resp. Ci,gl(W ∗ ) (µ) = σi (µ + ρ02 )), où σi (λ + ρ01 ) (resp. σi (µ + ρ02 )) désigne la i-ème
0
0
fonction symétrique
P fondamentale de la partition λ + ρ1 (resp. µ + ρ2 ). (On a
σi (a1 , . . . a2n+1 ) = j1 <...<ji aj1 . . . aji .)
Avec ces normalisations, Ci,gl(V ) ⊗ 1 (resp. 1 ⊗ Cj ,gl(W ∗ ) ) agit sur Sλ (V ) ⊗ Sλ (W ∗ )
par le scalaire σi (λ + ρ01 ) (resp. σj (λ + ρ02 )). On utilisera une autre normalisation
de l’opérateur de Casimir de degré 2 de gl(V ) (resp. gl(W )) que l’on notera Cgl(V )
(resp. Cgl(W ) ), pour laquelle Cgl(V ) ⊗ 1 (resp. 1 ⊗ Cgl(W ) ) agit sur Sλ (V ) ⊗ Sλ (W ∗ )
par le scalaire (λ, λ + 2ρ01 ) (resp. (λ, λ + 2ρ02 )). Je présente mes excuses pour la
complexité des notations...
Démonstration du théorème 1
Nous voulons démontrer que l’idéal de S(g∗1 ) définissant C(A) est égal à son
nilradical.
Rappelons que l’on a noté X la désingularisation de Ared construite au premier
paragraphe.
Soit k un entier positif. La proposition 1 décrit la surjection S k (V ⊗ W ∗ ) →
H 0 (OX (k)), et si l’on note Ik la partie homogène de degré k des fonctions polynomiales nulles sur X, Ik est le noyau de cette surjection. Remarquons que I2 est l’espace
93
des coefficients de u∗ ◦ u = 0 et u ◦ u∗ = 0, comme on le voit en décomposant S 2 (g∗1 )
en g0 -modules simples. Cette remarque vaut pour tous les cas considérés dans cet
article. Ceci prouvera le théorème.
L’idéal ⊕k Ik de S(g∗1 ) est par construction le nilradical de l’idéal définissant le
cône C(A). Nous allons démontrer que ⊕k Ik est engendré par I2 .
Il s’agit de démontrer que Ik+1 = g∗1 .Ik par récurrence sur k ≥ 2.
Considérons un facteur S[α] (V ) ⊗ S<β> (W ∗ ) dans Ik . On va montrer le lemme
suivant :
Lemme 1.7 - Soit k un entier supérieur ou égal à 2. Il existe un opérateur différentiel
d’ordre strictement inférieur à k et g0 -invariant qui s’annule sur H 0 (OX (k)) et qui
est non nul sur S[α] (V ) ⊗ S<β> (W ∗ ).
Démonstration - Soit µ la partition de l’entier k telle que S[α] (V ) ⊗ S<β> (W ∗ )
soit contenu dans le gl(V ) × gl(W ∗ )-module Sµ (V ) ⊗ Sµ (W ∗ ) (avec les notations du
paragraphe 2.2.2).
Supposons dans un premier temps que µ est une partition de longueur plus petite
que n. Supposons aussi que α 6= µ. Considérons l’opérateur différentiel g0 -invariant
suivant: (Cgl(V ) − Co(2n+1) − k) ⊗ 1. Cet opérateur est nul sur H 0 (OX (k)), comme
on le vérifie en l’évaluant en une partition λ de k de longueur plus petite que n. Par
ailleurs, la valeur de cet opérateur en (le plus haut poids de) S[α] (V ) ⊗ S<β> (W ∗ ) est
égale à Cgl(V ) (µ) − Co(2n+1) (α) − k, donc à Co(2n+1) (µ) − Co(2n+1) (α) (car Cgl(V ) (µ) −
Co(2n+1) (µ) − k = 0). Or µ − α est combinaison linéaire à coefficients positifs de
racines positives de o(2n + 1), donc α et µ sont séparés par l’opérateur de Casimir
de o(2n + 1) ([Ga]).
Si α = µ, alors β 6= µ puisque S[α] (V ) ⊗ S<β> (W ∗ ) ⊂ Ik . On fait le raisonnement
précédent avec l’opérateur g0 -invariant 1 ⊗ (Cgl(W ∗ ) − Csp(2n) + k), et on a le résultat
voulu.
Supposons maintenant que µ est une partition de longueur strictement supérieure
à n. Nous allons appliquer le lemme suivant:
Lemme 1.8 - Soient p ≥ q deux entiers positifs. Soit µ une partition de longueur
q. Alors il existe un opérateur différentiel d’ordre ≤ q dans Z(glp ), non nul en µ,
qui s’annule sur tous les Sλ (Cp ) pour λ partition de longueur strictement inférieure
à q et est non nul sur Sµ (Cp ).
Démonstration Soit Y une indéterminée. On considère le polynôme
P (Y ) = Y p − C1,glp Y p−1 + . . . + (−1)p Cp,glp
à coefficients dans Z(glp ). On effectue la division euclidienne de P (Y ) par le
polynôme (Y − 1) . . . (Y − (p − q + 1)). On note
R(Y ) = rp + rp−1 Y + . . . + rq Y p−q
94
le reste de cette division, ri étant un opérateur différentiel de Z(glp ), d’ordre ≤ i
(car son ordre est inférieur ou égal à celui de Ci,glp ).
Montrons que rq vérifie la propriété voulue. Soit λ une partition de longueur
strictement inférieure à q. Si l’on note ρ la demi-somme des racines positives de
glq , et si l’on évalue le caractère infinitésimal de λ en chacun des Ci,glp , on obtient
un polynôme P (Y )(λ), à coefficients entiers, dont les coefficients sont les fonctions
symétriques fondamentales de λ+ρ. D’après les relations entre coefficients et racines,
on a :
Q
P (Y )(λ) = pi=1 (Y − (λi + p − i + 1))
où λ = (λ1 ≥ . . . ≥ λp ), certains des λj pouvant être nuls. Le polynôme que l’on
note de façon analogue R(Y )(λ) est nul. Par contre, R(Y )(µ) est non nul en p−q +1
et nul en 1, . . . , p − q. Comme R(Y )(µ) est de degré exactement p − q (il a p − q
racines), on a rq (µ) 6= 0.
2
Supposons d’abord que la longueur de µ est strictement inférieure à k. D’après
le lemme qui précède, si j est la longueur de µ, il existe un élément de Z(gl(W ∗ ))
d’ordre inférieur ou égal à j, non nul sur S[α] (V ) ⊗ S<β> (W ∗ ) et nul sur H 0 (OX (k))
car les partitions intervenant dans celui-ci sont de longueur inférieure ou égale à n.
Il reste à examiner le cas où µ est de longueur k, i.e. µ = (1, . . . , 1, 0, . . . , 0)
(avec k fois 1). On a nécessairement k ≤ 2n. On a alors Sµ (V ) = Λk (V ) et
Sµ (W ∗ ) = Λk (W ∗ ). On sait que Λk (V ) est un o(2n + 1)-module simple, isomorphe
à Λ2n+1−k (V ). Comme α doit être de longueur plus petite que n, on a forcément
α = (1, . . . , 1, 0, . . . , 0) avec 2n + 1 − k fois 1 ([Fu-Ha], 19-5).
Par ailleurs, Λk (W ∗ ) = Λ2n−k (W ) et β = (1, . . . , 1, 0, . . . , 0) avec l fois 1, avec
2n − k − l pair et positif ou nul ([Fu-Ha], 17-3).
L’opérateur différentiel g0 -invariant (Cgl(V ) − Co(2n+1) − k) ⊗ 1 évalué en α est
égal à k(2n + 1) − k 6= 0.
2
On déduit le théorème du lemme 1 par le lemme de Kostant.
Remarque - Le théorème de Kempf implique que le cône C(A) est à singularités
rationnelles. En particulier, l’anneau gradué des fonctions sur C(A) est de CohenMacaulay.
1.11.3
Cas de osp(2p + 1, 2n)
Pour le cas de osp(2p + 1, 2n), p 6= n, on pose r = Inf (p, n). On introduit
à nouveau les foncteurs de Schur et on suit le même plan de démonstration, en
utilisant dans la première et la troisième étape les mêmes opérateurs différentiels.
Nous ne répétons pas cette démonstration ici, car la seule difficulté supplémentaire
est celle de la notation des partitions. On obtient ainsi que la variété autocommutante de osp(2p + 1, 2n) est intersection de quadriques et est normale à singularités
rationnelles.
95
1.11.4
Cas de osp(2p, 2n)
La variété autocommutante de osp(2p, 2n) n’est pas irréductible pour p ≤ n. En
effet, elle a deux composantes irréductibles correspondant aux deux composantes
connexes de la grassmannienne des p-plans isotropes de C2p (muni de sa forme
quadratique). En appliquant le théorème de Kempf, on obtient que les composantes
irréductibles sont normales à singularités rationnelles, mais le cône autocommutant
lui même n’est pas de Cohen-Macaulay car les deux composantes irréductibles de
celui-ci s’intersectent en codimension supérieure ou égale à 2 ([Ha], exercice III,
3.5) appliqué à l’anneau local du cône autocommutant en un point générique de
l’intersection des composantes). En effet, la dimension de la grassmannienne isotrope
des r-plans de C2p (resp. C2n ) muni d’une forme quadratique (resp. alternée) est
r(2p−r)− r(r+1)
(resp. r(2n−r)− r(r−1)
) donc la dimension du cône des applications
2
2
linéaires de rang inférieur ou égal à r de C2p dans C2n telles que Im(u) et Im(u∗ )
sont isotropes est r(2p − r) − r(r+1)
+ r(2n − r) − r(r−1)
+ r2 , soit 2r(p + n − r).
2
2
La dimension du cône autocommutant est donc 2pn (on fait r = p dans la formule
précédente) et l’intersection des deux composantes est de dimension 2(p − 1)(n + 1)
(obtenue en faisant r = p − 1), donc la codimension est 2(n − p + 1) ≥ 2.
Si p > n, le cône autocommutant est irréductible, on lui applique le résultat de
Kempf pour dire qu’il est normal à singularités rationnelles.
La démonstration du théorème 1 dans ce cas-là est identique à celle du cas
osp(2n + 1, 2n), avec les mêmes opérateurs différentiels, je ne la répète pas.
1.12
Le cas de gl(m, n)
Soient m ≤ n deux entiers positifs, nous allons décrire en détails ce qui se passe pour
gl(n, n) et indiquer en remarque les modifications à effectuer pour le cas général. Soit
V = V0 ⊕ V1 un super espace vectoriel de dimension n + εn. On pose g = g0 ⊕ g1 =
gl(n, n), g0 = gl(n) × gl(n) = gl(V0 ) × gl(V1 ) et g1 = Hom(V0 , V1 ) ⊕ Hom(V1 , V0 ).
On choisit une sous-algèbre de Cartan h de g0 , b une sous-algèbre de Borel de g0
contenant h, on identifie le plus haut poids d’un g0 -module de dimension finie avec
une suite décroissante d’entiers (éventuellement négatifs (λ = (λ1 ≥ . . . ≥ λn ), µ =
(µ1 ≥ . . . ≥ µn )) et (suivant [Fu-Ha]) le module correspondant est égal au produit
tensoriel des foncteurs de Schur Sλ (V0 ) ⊗ Sµ (V1 ).
1.12.1
Désingularisation du cône autocommutant
Nous allons décrire ce cône dans le cas général de gl(m, n), avec les notations
évidentes. On a: C(A) = {(u, v) ∈ g1 , u ◦ v = 0 et v ◦ u = 0}.
Soit r un entier compris entre 0 et m. On définit Xr comme étant la donnée
d’un sous-espace vectoriel K0 de V0 de rang r, d’un sous-espace vectoriel K1 de V1
96
de rang n − r, d’une application linéaire de V0 /K0 dans K1 , u, et d’une application
linéaire de V1 /K1 dans K0 , v. C’est une variété algébrique irréductible et lisse de
dimension mn.
Soit P0 (resp. P1 ) le sous-groupe parabolique de GL(V0 ) (resp. GL(V1 )) tel que
GL(V0 )/P0 (resp. GL(V1 )/P1 ) soit la grassmannienne des sous-espaces vectoriels
de rang r (resp. n − r) de V0 (resp. de V1 ). On note Gr0 = GL(V0 )/P0 (resp.
Gr1 = GL(V1 )/P1 ). On a les suites exactes tautologiques suivantes :
0 → K0 → V0 ⊗ OGr0 → Q0 → 0
0 → K1 → V1 ⊗ OGr1 → Q1 → 0
Se donner u (resp. v) c’est se donner un point du fibré Hom(Q0 , K1 ) (resp.
Hom(Q1 , K0 )) au dessus de Gr0 × Gr1 .
Si maintenant on considère cette application u (resp. v) comme un élément de
Hom(V0 , V1 ) (resp. Hom(V1 , V0 )), u ◦ v = 0 et v ◦ u = 0 et donc (u, v) ∈ C(A).
On a donc, pour tout 0 ≤ r ≤ m, une application ϕr de Xr dans C(A)red , qui est
morphisme de variétés algébriques (en effet, on peut voir Xr comme un fermé de
Zariski de Gr0 × Gr1 × g1 et ϕr comme la projection sur C(A)red ⊂ g1 ). De plus, ϕr
est un morphisme propre car ϕr est une projection et Gr0 × Gr1 est compact. Enfin,
la collection des morphismes ϕr lorsque r varie est un morphisme ϕ = (ϕ0 , . . . , ϕn )
de l’union disjointe X0 t . . . t Xm sur C(A)red : on considère l’ouvert de C(A)red
constitué des couples (u, v) tels que Im(v) = Ker(u), celui-ci est Zariski-dense.
Soit r le rang de v (alors le rang de u est n − r), l’élément de Xr consitué de
Ker(u), Im(u), u et v est l’unique point de Xr dont l’image par ϕr soit (u, v). Le
morphisme ϕ est donc une désingularisation de C(A)red . On pose X = t0≤r≤m Xr ,
remarquons que X n’est pas irréductible, contrairement à ce qui se passe dans le cas
osp(2n + 1, 2n).
1.12.2
Anneau du cône autocommutant
Nous nous replaçons dans le cas particulier m = n, nous indiquerons en remarque
les modifications à effectuer pour obtenir le cas général. Commençons par décrire
l’anneau de Xr , Rr , pour 0 ≤ r ≤ n. On peut voir Xr comme le fibré vectoriel sur
Gr0 × Gr1 associé au faisceau localement libre K0∗ ⊗C Q1 ⊕ K1∗ ⊗C Q0 . Les germes de
fonctions sur Xr coı̈ncident donc avec les germes de sections du faisceau d’algèbres
Sym(K0∗ ⊗Q1 ⊕K1∗ ⊗Q0 ) sur OGr0 ×Gr1 . Les sections globales de ce faisceau coı̈ncident
donc avec l’anneau des fonctions régulières sur Xr .
D’après [Ke] theorem 1, on a :
Proposition 1.2 - Pour tout r > 0, on désigne par Rr l’anneau de Xr . Alors la
composante de degré k de Rr , (Rr )k est:
L
(Rr )k = ν=ν1 ≥...≥νn−r ≥0≥νn−r+1 ≥...≥νn ,P |νi |=k Sν (V0 ) ⊗ Sν (V1∗ ).
i
97
Remarque - Pour le cas de gl(m, n), m < n, on a, pour tout r tel que 0 ≤ r ≤ m :
L
(Rr )k = ν=ν1 ≥...≥νm−r ≥0≥νm−r+1 ≥...≥νm ,P |νi |=k Sν (V0 ) ⊗ Sν 0 (V1∗ ),
i
où ν 0 est l’unique suite de n éléments de Z qui est décroissante avec les mêmes termes
que ν et prolongée où il le faut par des 0.
Théorème 1.13 - L’anneau du cône C(A)red est de Cohen-Macaulay.
Démonstration - On rappelle qu’un anneau gradué R = ⊕k≥0 Rk , de type fini sur
C, tel que R0 = C est dit de Cohen-Macaulay si sa dimension de Krull d est égale à
sa “profondeur”, c’est-à-dire la longueur maximale d’une suite régulière d’éléments
homogènes de degrés strictement positifs. Dans le cas où R est quotient gradué d’un
anneau de polynômes C[X1 , . . . , Xn ], cela revient à dire que la longueur minimale
d’une résolution par des modules libres du C[X1 , . . . , Xn ]-module R est exactement
n − d.
Notons R l’anneau de C(A)red .
Reprenons les notations du paragraphe 3.1, soit r un entier positif et considérons
la variété de drapeaux incomplète suivante : soient K0 un sous-espace vectoriel de
rang r de V0 , K00 un sous-espace vectoriel de rang r + 1 de V0 contenant K0 . Soient
K1 un sous-espace vectoriel de rang n − r de V1 , K10 un sous-espace vectoriel de rang
n − r − 1 de V1 contenu dans K1 . On note D0 (resp. D1 ) la variété des drapeaux
incomplète 0 ⊂ K0 ⊂ K00 ⊂ V0 (resp. 0 ⊂ K10 ⊂ K1 ⊂ V1 ).
Considérons l’algèbre symétrique sur D0 ×D1 de Hom(V0 /K00 , K10 )⊕Hom(V1 /K1 , K0 ).
Notons Yr son spectre ([Ha], chap. II, exercice 5.17). Il existe deux morphismes,
l’un de Yr dans Xr , fr , et l’autre de Yr dans Xr+1 , gr+1 , fr (resp. gr ) correspondant
à l’application linéaire de V1 /K1 ⊗ K0∗ ⊕ V0 /K0 ⊗ K1∗ dans V1 /K1 ⊗ K0∗ ⊕ V0 /K00 ⊗ K10 ∗
(resp. V1 /K10 ⊗ K00 ∗ ⊕ V0 /K00 ⊗ K10 ∗ dans V1 /K1 ⊗ K0∗ ⊕ V0 /K00 ⊗ K10 ∗ ).
Notons Fi (resp. Gi ) le morphisme d’anneaux déduit des fi (resp gi ). On note
F (resp. G) la collection des Fi (resp. Gi ) avec la convention Fn = 0 et G0 = 0. On
obtient ainsi une application F − G. Nous allons montrer le lemme suivant:
Lemme 1.9 - On a la suite exacte de S(g∗1 )-modules:
F −G
0 → R → Πnr=0 Rr
→
0
Πn−1
r=0 H (OYr ) → 0
Démonstration (du lemme) - Décrivons d’abord H 0 (OYr ) : Yr est le spectre de
l’anneau
∗
S(V0 /K00 ⊗ K10 ⊕ V1 /K1 ⊗ K0∗ ).
Or on a :
98
L
S k (V0 /K00 ⊗K10 ∗ ⊕V1 /K1 ⊗K0∗ ) = λ=(λ1 ≥...≥λn−r ),µ=(µ1 ≥...≥µr ),P λi +P µj =k Sλ (V0 /K00 )⊗OD0
Sµ (K0∗ ) ⊗C Sλ (K10 ∗ ) ⊗OD1 Sµ (V1 /K1 ).
Comme dans le cas de Rr , on passe alors aux sections globales et on obtient
finalement:
M
∗
Sν (V0 )⊗Sν (V1∗ )
H 0 (S k (V0 /K00 ⊗K 0 1 ⊕V1 /K1 ⊗K0∗ )) =
ν=(λ1 ≥...≥λn−r−1 ≥0≥−µr ≥...≥−µ1 ),
P
λi
P
µj =k
(la partition ν est exactement de longueur n, en comptant le terme 0, qui avait été
arbitrairement rajouté dans le cas de Rr ).
On a la diagramme commutatif suivant:
g∗1
−→
V0 /K0 ⊗ K1∗ ⊕ V1 /K1 ⊗ K0∗
↓
↓
V0 /K 0 0 ⊗ K 0 ∗1 ⊕ V1 /K 0 1 ⊗ K 0 ∗0 −→ V0 /K 0 0 ⊗ K 0 ∗1 ⊕ V1 /K1 ⊗ K0∗
les flèches correspondant aux projections et inclusions canoniques. On a le même
diagramme commutatif en passant aux algèbres symétriques et aux sections globales,
et on trouve:
S(g∗1 )
−→
↓
Rr+1
Rr
↓
−→
H 0 (OYr )
Gr+1
Toutes les flèches de ce diagramme sont surjectives : les deux applications composées
de S(g∗1 ) dans H 0 (OYr ) sont des projections sur des facteurs simples (comme g0 modules) deux-à-deux non isomorphes, donc surjectives. Les applications de S(g∗1 )
dans Rr et Rr+1 sont surjectives pour la même raison.
Les morphismes F et G sont donc surjectifs. L’application F − G est surjective
0
car: soit x = (x0 , . . . , xn−1 ) ∈ Πn−1
r=0 H (OYr ), on relève x0 en y0 ∈ R1 tel que G(y1 ) =
−x0 . Soit y2 ∈ R2 tel que G2 (y2 ) = −x1 + F1 (y1 ), et ainsi de suite jusqu’à yn ∈ Rn
tel que Gn (yn ) = −xn−1 + Fn−1 (yn−1 ). On a (F − G)(0, y1 , . . . , yn ) = (x0 , . . . , xn ).
L’anneau R est un quotient de S(g∗1 ), qui est un sous-anneau de Πnr=0 Rr car
tr Xr est une désingularisation de C(A). De plus, comme le diagramme ci-dessus
est commutatif, F − G est nulle sur S(g∗1 ) et donc sur R.
Pour terminer la preuve du lemme, il reste à prouver l’exactitude en Πnr=0 Rr . On
remarque que tout facteur irréductible S qui intervient dans Πnr=0 Rr avec multiplicité
m (il s’agit d’une partition contenant m − 1 zéros) apparaı̂t avec multiplicité m − 1
0
dans Πn−1
r=0 H (OYr ).
Le module S apparaı̂t dans certains des Rr , par exemple dans Rr0 . Or S(g∗1 )
s’envoie surjectivement sur chaque Rr , donc sur Rr0 . Donc il existe un facteur
99
irréductible S 0 de S(g∗1 ) sur lequel la restriction de la surjection de S(g∗1 ) sur Rr0 est
un isomorphisme sur S. Or l’idéal définissant R dans S(g∗1 ) est plus petit que celui
qui définit Rr0 . Donc S intervient dans R.
2
n−1 0
Pour démontrer le théorème 2, on remarque que les anneaux gradués Πr=0
H (OYr )
n
et Πr=0 Rr sont de Cohen-Macaulay car les variétés qu’ils définissent sont normales
à singularités rationnelles par le théorème de Kempf. En outre, les dimensions de
Krull de ces anneaux sont respectivement n2 − 1 et n2 .
De plus, Πnr=0 Rr est un S(g∗1 )-module de dimension projective n2 (car S(g∗1 ) est de
0
2
dimension de Krull 2n2 ). De même, Πn−1
r=0 H (OYr ) est de dimension projective n +1
sur S(g∗1 ). Donc la dimension projective de R sur S(g∗1 ) est égale à inf (n2 , n2 + 1) =
n2 . Donc la profondeur de R est égale à 2n2 − n2 (codimension de R dans S(g∗1 )),
donc à sa dimension de Krull.
2
Théorème 1.14 - L’idéal de S(g∗1 ) définissant C(A) est égal à son nilradical.
Ce théorème est démontré dans [St]. La méthode proposée ici est différente.
L’un des théorèmes de la section 4 de [Br] aurait pu montrer que la variété autocommutante est intersection de quadriques, mais ce résultat n’est pas vrai dans
la généralité où il est énoncé, et la variété autocommutante de gl(m, n) est malheureusement dans les mauvais cas.
Démonstration - Nous garderons les conventions de notations du paragraphe 2.2.2
pour les éléments de Casimir.
La démonstration suit exactement le même plan que celle du théorème 1. Nous
nous bornerons donc à décrire ce qui change. Les algèbres de Lie intervenant dans le
cas présent sont: gl(V0 ), gl(V1 ), gl(V0 ) × gl(V0∗ ), gl(V1 ) × gl(V1∗ ) et gl(V0 ⊕ V0∗ ). Soit
k un entier positif, on notera encore Ik la partie homogène de degré k des fonctions
polynomiales sur g1 nulles sur la désingularisée X de Ared . Il s’agit de démontrer
que si k ≥ 2, Ik+1 = g1 Ik , ce qui donne le résultat par récurrence sur k.
On applique la proposition 2. On considère un facteur Sα (V0 ) ⊗ Sβ (V1 ) du g0 module Ik et on note (λ, µ) le couple de partitions tel que ce facteur soit un sous g0 module du gl(V0 )×gl(V0∗ )×gl(V1 )×gl(V1∗ )-module Sλ (V0 )⊗Sµ (V0∗ )⊗Sµ (V1 )⊗Sλ (V1∗ ),
où α et β désignent des suites décroissantes de n éléments de Z.
On suppose dans un premier temps que la somme des longueurs de λ et µ est
plus petite que n. On utilise alors l’opérateur différentiel g0 -invariant suivant:
K = [C2,gl(V0 )×gl(V0∗ ) − C2,gl(V0 ) + 2C1,gl(V0 )×gl(V0∗ ) − C1,gl(V0 ) ] ⊗ 1
ou bien l’analogue en remplaçant V0 par V1 si nécessaire, pour séparer les poids.
Ici, C1,gl(V0 )×gl(V0∗ ) est l’unique élément de degré 1 de Z(gl(V0 ) × gl(V0∗ )) qui agit par
l’identité à la fois sur V0 et sur V0∗ . Un autre élément de degré 1 de Z(gl(V0 )×gl(V0∗ ))
est utilisé plus loin, celui qui agit par l’identité sur V0 et par multiplication par (−1)
sur V0∗ .
100
Si Sα (V0 ) ⊗ Sβ (V1 ) est un sous g0 -module de Sλ (V0 ) ⊗ Sµ (V0∗ ) ⊗ Sµ (V1 ) ⊗ Sλ (V1∗ ),
on écrit α = (α1 , . . . , αn ) (resp. β = (β1 , . . . , βn )), α+ (resp. β + ) la partition
correspondante à la partie positive de α (resp. de β), on a (αi )+ = (α+ )i , α− (resp.
β − ) la partition correspondante à la partie positive de −α
−β), on a
P(resp. de P
(αn + 1 − i)− = (α− )i . Comme Sα (V0 ) ⊗ Sβ (V1 ) ⊂ Ik , on a ni=1 |αi | = ni=1 |βi | =
k. Le centre
× gl(V0∗ ) P
agit sur chaque gl(V0 )-composante avec le même
Pn de gl(V0 )P
n
n
scalaire,
) est un gl(V
i=1 |αi | =
i=1 λi −
i=1
Pnµi puisque Sα (V0P
Pn 0 )-facteur de
n
∗
Sλ (V0 ) ⊗
S
(V
).
De
même,
comme
|α
|
=
k,
on
a
λ
+
i P
i=1 i
i=1 µi = k. On
Pnµ 0 +
Pn
Pn i=1
n
−
a donc i=1 (α )i = i=0 λi et i=1 (α )i = i=0 µi . On peut alors écrire:
P
C2,gl(V0 )×gl(V0∗ ) (Sα (V0 )) = ni=1 λi (λi + n − 1 − 2i),
P
C2,gl(V0 ) (Sα (V0 )) = ni=1 αi (αi + n − 1 − 2i),
P
P
C1,gl(V0 )×gl(V0∗ ) (Sα (V0 )) = ni=1 λi + ni=1 µi ,
P
C1,gl(V0 ) (Sα (V0 )) = ni=1 αi .
Pn
2
2
La
quantité
cherchée
est
donc:
K(S
(V
))
=
α
0
i=1 (λi − µi + (λi + µi )(n − 1 − 2i)) −
Pn
P
P
n
n
2
i=1 (αi + αi (n − 1 − 2i)) + 2(
i=1 (λi + µi ) −
i=1 αi ). Soit γ la suite décroissante
d’entiers γ1 ≥ γ2 ≥ . . . ≥ γn d’éléments de Z telle que γ + = λ et γ − = µ (ceci
existe car la somme des longueurs de λ et µ est inférieure à n). On a λi = (γ + )i et
µi = (γ − )n+1−i .
On obtient alors, après calcul,
K(Sα (V0 )) = (γ + ρ, γ + ρ) − (α + ρ, α + ρ)
où ρ désigne la demi-somme des racines positives de sl(V0 ). De plus, γ − α est
combinaison linéaire à coefficients positifs des racines simples de sl(V0 ) car (Sα (V0 ))
est un facteur de Sγ + (V0 ) ⊗ (Sγ − (V0∗ )). D’où le résultat.
Si maintenant la somme des longueurs de λ et µ est strictement supérieure à n,
on utilise le lemme 2 qui permet, comme dans le cas de osp(2n + 1, 2n), de séparer
Sα (V0 ) ⊗ Sβ (V1 ) ⊂ Ik de H 0 (OX (k)), sauf quand la longueur de λ et de µ sont
maximales, i.e. λ1 = µ1 = 1. Notons a (resp. b) le nombre de 1 dans la partition λ
(resp. µ), on a a < n (resp. b < n) et a + b > n.
On a Sλ (V0 ) = Λa (V0 ) et Sµ (V0∗ ) = Λb (V0∗ ) = Λn−b (V0 ) ⊗ Λn (V0∗ ). D’après la
règle de Littlewood-Richardson ([Fu-Ha], p.455), on a Λa (V0 ) ⊗ Λb (V0∗ ) = ⊕Sα (V0 )
où α est de la forme α = (1, . . . , 1, 0, . . . , 0, −1, . . . , −1) avec c fois 1 et c + b − a fois
(−1) où c est un élément de N tel que a − b ≤ c ≤ n+a−b
.
2
On reprend l’opérateur différentiel K, sa valeur en Sα (V0 ) est:
K(Sα (V0 )) = 2(c2 − c(n + a − b) + a(n − b + 2)).
Le discriminant de ce polynôme en c est (n − a − b)2 − a2 − b2 − 8a, qui est toujours
strictement négatif dans le domaine a < n, b < n, a + b > n, comme on le vérifie en
résolvant l’équation (n − a − b)2 − a2 − b2 − 8a = 0 en a et en appliquant le théorème
des valeurs intermédiaires à cette fonction continue de a.
101
Donc K(Sα (V0 )) ne peut pas s’annuler.
On en déduit le théorème par le lemme de Kostant.
2
Remarque - Les résultats présentés pour gl(n, n) se généralise sans autre difficulté
que celle des notations au cas de gl(m, n) et ils se transposent au cas de sl(m, n),
car le cône autocommutant est identique à celui de gl(m, n).
1.13
Les familles exceptionnelles et étranges
1.13.1
Les super algèbres de Lie exceptionnelles
Nous nous reportons à [Gr2] (paragraphe 5.1, p. 545) pour la description du crochet
de Lie pour les super algèbres de Lie F (4), G(3) et D(2, 1, λ). On vérifie dans chaque
cas que le cône autocommutant privé de son sommet 0 se réduit à une unique G0 orbite, ce qui permet d’appliquer le théorème de Kostant sur l’orbite d’un vecteur
de plus haut poids pour une algèbre de Lie semi-simple ([Ga], [La-To]).
1.13.2
La famille P (n)
Soit n un entier ≥ 3. On pose P (n − 1) = g0 ⊕ g1 avec g0 = gl(n) et g1 =
S 2 (V ) ⊕ Λ2 (V ∗ ), où V désigne la représentation

standard de g0 . Un élément de
P (n − 1) est une matrice par blocs 
A
B
t
 A ∈ gl(n), B ∈ Hom(V ∗ , V ),
C −A
symétrique, C ∈ Hom(V, V ), alternée et le crochet est induit par celui de gl(n, n).
Le cône autocommutant a donc pour équations BC = 0 et CB = 0.
Soit r un entier tel que n − r soit pair, compris entre 0 et n. Notons Pr le
sous-groupe parabolique de gl(n) qui stabilise l’espace vectoriel engendré par les r
premiers vecteurs de la base fixée de V .
Pour tout r, on considère la grassmannienne G/Pr munie de la suite exacte
tautologique:
0 → Kr → V ⊗ OG/Pr → Qr → 0.
∗
On note Xr le fibré vectoriel de base G/Pr associé au module localement libre
Λ2 (Q∗r ) ⊕ S 2 (Kr ). La réunion disjointe des Xr , X, est une désingularisation de
C(A)red . Pour tout r, notons ϕr le morphisme de Xr dans g1 qui se déduit des
inclusions S 2 (Kr ) ⊂ S 2 (V ) et Λ2 (Q∗r ) ⊂ Λ2 (V ∗ ). L’image de ϕr est contenue dans
C(A)red . On note ϕ : X → C(A)red le morphisme se déduisant de la collection de ϕr .
De plus, chacun des ϕr induit un isomorphisme d’un ouvert non vide de Xr , le lieu
des couples dans Λ2 (Q∗r ) ⊕ S 2 (Kr ) dont chaque composante est de rang maximum,
sur l’ouvert de C(A) constitué des couples (B, C) dans g1 tel que le rang de B (resp.
de C) est n − r (resp. r). Donc ϕ : X → C(A)red est une désingularisation du cône
autocommutant.
102
Décrivons maintenant H 0 (OXr ).
On a H 0 (S 2 (Kr∗ ) ⊕ Λ2 (Qr )) = H 0 (⊕kp=0 S p (S 2 (Kr∗ )) ⊗OG/Pr S k−p (Λ2 (Qr ))). On
utilise alors [Ma], I.5 example 10 pour obtenir:
L
S p (S 2 (Kr∗ )) = λ=(λ1 ≥...≥λr ),P λi =2p,λi pair Sλ (Kr∗ )
L
S k−p (Λ2 (Qr )) = µ=(µ1 ≥...≥µn−r ),P µi =2(n−p),µ0 pair Sµ (Qr )
i
où µ0i désigne le i-ième terme de la partition conjuguée µ0 de µ ([Fu-Ha], p. 45).
Passons aux sections globales, on a :
L
H 0 (S 2 (Kr∗ ) ⊕ Λ2 (Qr )) = ν Sν (V )
où ν = (ν1 ≥ P
. . . ≥ νn ) est une suite décroissante d’entiers non nécessairement
positifs tels que i |νi | = 2k, ν1 , . . . , νr sont positifs et pairs, −νn , . . . , −νn−r forment
une partition dont la conjuguée est paire.
Remarque - On peut appliquer le théorème de Kempf pour dire que chacune des
composantes irréductibles Xr est une variété normale à singularités rationnelles.
On a dim(Xr ) = r(n − r) + r(r+1)
+ (n−r)(n−r+1)
= r + n(n−1)
. Comme C(A)red est
2
2
2
connexe, et comme ses différentes composantes irréductibles ont la même dimension
que les Xr , C(A)red ne peut pas être de Cohen-Macaulay.
Enfin, C(A)red est intersection de quadriques: nous adoptons la même démarche
que dans le cas de gl(n, n). On fait agir les centres des algèbres enveloppantes de
gl(V ), gl(V ) × gl(V ∗ ), de la même manière que dans le paragraphe 3.2, avec les
mêmes opérateurs différentiels. Ceci donne le résultat voulu.
1.13.3
La famille Q(n)
Soit n un entier supérieur ou égal à 3. On pose Q(n − 1) = g0 ⊕ g1 avec g0 =
gl(n) et g1 = sl(n). On note V la représentation standard de gl(n). La super
algèbre de Lie ainsi construite n’est pas simple car elle a un centre. On indexe
les représentations irréductibles de gl(n) par des suites décroissantes d’entiers non
nécessairement positifs.
Le cône autocommutant est défini par les équations u2 = 0, u ∈ sl(n).
On désingularise ce cône de la manière suivante: soit P le sous-groupe parabolique
de gl(n) qui stabilise le sous-espace vectoriel de rang r = E( n2 ) de V engendré par
les r premiers vecteurs de la base fixée. On considère la grassmannienne G/P munie
de la suite exacte tautologique:
0 → K → V ⊗ OG/P → Q → 0,
K étant le sous-fibré tautologique de rang r du fibré trivial de fibre V .
103
La désingularisée X est le fibré de base G/P de fibre Hom(Q, K). Il s’agit
du spectre de la OG/P -algèbre Sym(Q ⊗OG/P K ∗ ). Le morphisme ϕ de X dans
g1 = Spec(Sym(g∗1 )) est défini par l’application OG/P -linéaire canonique surjective
g∗1 ⊗ OG/P = V ⊗C V ∗ ⊗C OG/P → Q ⊗OG/P K ∗ .
L’image ensembliste de ce morphisme est le cône C(A) car si on se donne un point
x de G/P , un élément de Hom(Qx , Kx ) définit un élément de End(V ) qui est de
carré nul. On vérifie aisément que ce morphisme est un isomorphisme sur un ouvert
dense de C(A)red , les éléments u de rang exactement r.
Le morphisme ϕ : X → C(A)red est donc une désingularisation du cône autocommutant.
Décrivons maintenant H 0 (OX ). Comme dans le cas de gl(n, n), on a:
L
H 0 (S k (Q ⊗OG/P K ∗ )) = λ=(λ1 ,...,λr ≤0),P λi =k H 0 (Sλ (Q)) ⊗ H 0 (Sλ K ∗ ))
et donc
H 0 (S k (Q ⊗OG/P K ∗ )) =
L
µ Sµ (V
),
où µ parcourt l’ensemble des suites de n entiers de Z
Pqui sont décroissantes et
symétriques (µi = −µn+1−i ): si λ = (λ1 , . . . , λr ≤ 0), λi = k, la suite µ correspondante est caractérisée par µi = λi si i ≤ r. De plus, si n est impair, on a
µr+1 = 0.
Remarque - On peut, comme dans le cas de osp(2n + 1, 2n), appliquer le théorème
de Kempf pour affirmer que le cône C(A)red est normal à singularités rationnelles.
Ce résultat est par ailleurs bien connu puisque cet objet est une adhérence d’orbite
nilpotente de la représentation adjointe de sl(n), voir [Kr-Pr1].
Montrons maintenant que la variété autocommutante est intersection de quadriques.
Nous adoptons la même démarche que dans le cas de gl(n, n). On fait agir les
centres des algèbres enveloppantes de gl(V ), gl(V ) × gl(V ∗ ), de la même manière
que dans le paragraphe 3.2, avec les mêmes opérateurs différentiels. Ceci donne le
résultat voulu.
Références
[Bo] R. Bott, Homogeneous vector bundles, Annals of Math., 66 (1957) pp. 203-248.
[Bou] N. Bourbaki, Groupes et algèbres de Lie, chap. IV, V et VI, Hermann (1968).
[Br] M. Brion, Représentations exceptionnelles des groupes semi-simples, Annales
de l’ENS, 4eme série, tome 18 (1985) pp. 345-387.
[Fu-Ha] W. Fulton and J. Harris, Representation theory, A first course, GTM 129,
Springer Verlag (1991).
[Ga] D. Garfinkle, A new construction of the Joseph ideal, Ph.D. thesis, M.I.T.
Cambridge (1982).
104
[Gri-Ha] Ph. Griffiths and J. Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley interscience, (1978).
[Gr1] C. Gruson, Sur les relations de Plücker dans le cas d’une super algèbre de Lie
basique classique complexe, Journal of Geometry and Physics, 14 (1994) pp. 43-64.
[Gr2] C. Gruson, Finitude de l’homologie de certains modules de dimension finie sur
une super algèbre de Lie, Annales de l’Institut Fourier, tome 47, fascicule 2 (1997)
pp. 531-553.
[Ha] R. Hartshorne, Algebraic geometry, GTM 52, Springer Verlag (1977).
[Ka] V.G. Kac, Lie superalgebras, Advances in Math. 26 (1977), pp. 8-96.
[Kem] G. Kempken, Ein Darstellung der Kochers Ãk , Bonner Mathematishe Schriften
137 (1982) pp. 1-159.
[Ke] G. Kempf, On the collapsing of homogeneous bundles, Invent. Math. 37 (1976)
pp. 229-239.
[Kr] H. Kraft, Geometrische Methoden in der Invariantentheorie, Aspekte der Math.
D1, Vieweg-Verlag (1984).
[Kr-Pr1] H. Kraft and C. Procesi, Closures of conjugacy classes of matrices are
normal, Inv. Math., 53 (1979), pp. 227-247
[Kr-Pr2] H. Kraft and C. Procesi, On the geometry of conjugacy classes in classical
groups, Comment. Math. Helvet. 57 (1982) pp. 539-602.
[La-To] G. Lancaster and J. Towber, Representation functors and flag algebras for
the classical groups I, J. of algebra 59, (1979) pp. 16-38.
[Ma] I.G. Macdonald, Symmetric functions and Hall polynomials, Oxford Math.
Monographs (1979).
[Pa] D. Panyushev, Parabolic subgroups with abelian unipotent radical as a testing
site for invariant theory, Max Planck Institute preprint series 1998, n. 21.
[St] E. Strickland, On the conormal bundle of the determinantal variety, J. Algebra,
75 (1982), pp. 523-537.
105
Cohomologie des modules de dimension finie sur
la super algèbre de Lie osp(3, 2).
On notera g la super algèbre de Lie osp(3, 2). On a g = g0 ⊕ g1 avec g0 = sl2 × sl2
et g1 = V0 ⊗ V1 où V0 (resp. V1 ) désigne la représentation standard de o(3) ' sl2
(resp. de sp(2) ' sl2 ). On utilise les mêmes conventions et notations que dans
[Gr1].
On choisit une sous-algèbre de Cartan h de g0 , le système de racines ∆ =
{ε, −ε, η, −η, 2η, −2η, ε + η, ε − η, −ε + η, −ε − η}, on a ∆ = ∆0 ∪ ∆1 avec ∆0 =
{ε, −ε, 2η, −2η} et ∆1 = {η, −η, ε + η, ε − η, −ε + η, −ε − η}. Pour la forme de
Killing de g, les racines impaires ±ε ± η sont isotropes. On choisit le système de
racines simples S = {η, ε − η}. On pose ρ = 21 (η − ε), la demi-somme des racines
positives de ∆0 moins la demi-somme des racines positives de ∆1 .
Soit P le réseau des poids de h∗ , on note P + l’ensemble des poids dominants
pour g. On peut les écrire nε + mη avec n ∈ 21 N∗ , m ∈ N. On rappelle ([Ka]) qu’un
module de plus haut poids λ est dit atypique s’il existe une racine isotrope impaire
α telle que (λ + ρ, α) = 0. Ce sont donc les modules dont les plus hauts poids sont
(a + 1)ε + aη avec a ∈ N, et le module trivial..
La catégorie des g-modules de dimension finie se décompose en blocs, chaque
module simple typique déterminant un bloc et l’ensemble des modules atypiques
constituant un autre bloc. Sur ce sujet, voir l’article de Jérôme Germoni, [Ge2].
Le but de cette rédaction est double: d’une part nous donnons une description
élémentaire et explicite des éléments projectifs indécomposables et des éléments
simples du bloc atypique (Germoni décrit ces modules projectifs en utilisant les
foncteurs de Zuckerman introduits pas Santos dans [Sa]). En introduisant deux
algèbres différentielles graduées, nous faisons apparatre une caractérisation directe
des modules atypiques, qui ne fait pas intervenir la forme de Killing. D’autre part,
nous calculons la cohomologie de g à valeurs dans tous les modules de dimension
finie. Je remercie Jérôme Germoni qui m’a gentiment communiqué ses travaux.
1.14
Description du bloc atypique
On note λl le poids (l + 1)ε + lη, Ml le module simple atypique de plus haut poids
λl .
Notons V = V0 ⊕ V1 la représentation standard de g. Pour tout l, on notera
l
S̃ le quotient de S l (V ) par S l−2 (V ): en effet, S 2 (V ) contient le module trivial C
donc S l−2 (V ) s’injecte dans S l (V ). Ici, les puissances symétriques et extérieures
sont entendues au sens Z/2Z-gradué.
Rappelons (voir par exemple [Ge2]) que si l est un entier positif et si l’ on note Ml
le module simple atypique de plus haut poids (l + 1)ε + lη, on a la décomposition en
g0 -modules suivante où S a,b désigne le g0 -module S a (W ) ⊗ S b (V1 ) avec S 2 (W ) = V0
106
:
Ml = S 2l+2,l ⊕ S 2l+2,l−1 ⊕ S 2l,l+1 ⊕ S 2l,l (l ≥ 1)
et
M0 = S 2,0 ⊕ S 0,1 .
Théorème 1.15 - La couverture projective de Ml dans la catégorie des modules de
dimension finie, est l’image de l’application
Λl+2 (V ) ⊗ S̃ l+1 −→ Λl+1 (V ) ⊗ S̃ l+2
X
P
(a0 ∧ . . . ∧ al+1 ⊗ b0 . . . bl ) 7→
(−1)p(ai ) j>i p(aj ) (a0 ∧ . . . ∧ âi ∧ . . . ∧ al+1 ⊗ ai b0 . . . bl )
i
(où p(ai ) désigne la parité de ai ), image que nous noterons Pl+1 .
Remarque - Dans ces notations, le module trivial correspond à l = −1. On ne
peut pas l’obtenir par la description précédente, mais on peut calculer directement
sa couverture projective comme facteur direct du module induit I = Indgg10 C, ce qui
est fait à la fin du paragraphe 1.
Remarque - On obtient également une descrition des modules simples atypiques
comme intersection des noyaux des deux flèches décrites plus loin Pl+1 → Pl et
Pl+1 → Pl+2 .
Introduisons deux dérivations de la super algèbre symétrique S(V ⊕ ΠV ) (ΠV
désigne le super espace vectoriel dont la partie paire est V1 et la partie impaire V0 )
: d0 (resp. d00 ) prolonge l’endomorphisme de V ⊕ ΠV dont la matrice est (
0 Id
0
(resp. (
0
0
)
0
)). Ce sont des dérivations impaires.
Id 0
On remarque alors que la dérivation d0 d00 + d00 d0 induit l’identité sur V ⊕ ΠV .
Elle est donc scalaire sur S n (V ⊕ ΠV ) et vaut n.
Le g-module V est donné avec une forme orthosymplectique, que nous interprétons
comme un élément non diviseur de zéro, Q, de S 2 (V ) ⊂ S(V ). Ceci permet de voir
S̃ = ⊕k≥0 S̃ k comme le quotient de S(V ) par QS(V ).
On considère S(V ⊕ ΠV ) comme une algèbre bigraduée en convenant que les
éléments de V (resp. ΠV ) sont de bidegré (1, 0) (resp. (0, 1)). On remarque que
les dérivations d0 et d00 sont des endomorphismes bihomogènes de bidegrés respectifs
(1, −1) et (−1, 1). Comme Q, vu comme élément de S(V ⊕ΠV ) est de bidegré (2, 0),
d0 Q est de bidegré (3, −1) et est donc nul. La dérivation d0 passe donc au quotient
S̃(V ⊕ ΠV ) = S̃ ⊗ S(ΠV )=S̃ ⊗ Λ(V ).
107
Lemme 1.10 - Le complexe ainsi obtenu, (S̃ ⊗ Λ(V ), d0 ), est acyclique sauf en
bidegré (0, 0) et (1, 1).
Démonstration - Plaçons-nous dans S(V ⊕ ΠV ). Comme d0 (resp. d00 ) est une
dérivation impaire, d0 2 (resp. d00 2 ) est une dérivation paire S(V ⊕ΠV ). La restriction
de d02 (resp. d002 ) à V ⊕ΠV est nulle. Donc d02 = d002 = 0. Or on a vu que d0 d00 +d00 d0
agit par un scalaire non nul sur S n (V ⊕ΠV ) (n 6= 0), donc sur tout élément de bidegré
(i, n − i). Ainsi, les restrictions de d0 d00 et d00 d0 à S n (V ⊕ ΠV ) sont, à un scalaire
près, des projecteurs orthoonaux. On en déduit que l’image de d0 d00 est à la fois
l’image et le noyau de d0 et que donc le complexe (S(V ⊕ ΠV ), d0 ) est acyclique sauf
en bidegré (0, 0).
Or on a la suite exacte:
mult.parQ
0 −→ (S(V ⊕ ΠV ), d0 )
−→
(S(V ⊕ ΠV ), d0 ) −→ (S̃ ⊗ Λ(V ), d0 ) −→ 0
donc (S̃ ⊗ Λ(V ), d0 ) est acyclique sauf en deux places: en (0, 0) par transport de
ce qui se passe pour (S(V ⊕ ΠV ), d0 ) et en (1, 1) car Q est de bidegré (2, 0): Q est
atteint par d0 dans S(V ⊕ ΠV ) ce qui donne un élément de S̃ ⊗ Λ(V ) qui est dans le
noyau de d0 sans être dans l’image de d0 . Nous reverrons cet élément, qui s’appellera
ω dans quelques instants.
2
Soit ω l’élément impair de V ⊗ΠV qui correspond à l’élément Q ∈ S 2 (V ) ⊂ V ⊗V :
ω est un élément de bidegré (1, 1) de S(V ⊕ ΠV ). Comme ω est osp(3, 2)-invariant,
ainsi que d0 et Q, on a d0 ω = αQ où α est un scalaire, dont on vérifie sur une base
de V ⊕ ΠV qu’il est non nul. On notera µω la multiplication par ω dans S(V ⊕ ΠV ).
Remarquons maintenant que la forme orthosymplectique Q identifie V ⊕ ΠV
avec son dual (V ⊕ ΠV )∗ . On obtient ainsi un isomorphisme de S((V ⊕ ΠV )∗ ) avec
S(V ⊕ ΠV ). Or S((V ⊕ ΠV )∗ ) opère dans S(V ⊕ ΠV ) par opérateurs différentiels.
On notera Dω l’opérateur différentiel (d’ordre 2 car ω est de bidegré (1, 1)) qu’on
obtient ainsi à partir de ω. Si on le voit comme élément de End(S(V ⊕ ΠV )), il
est homogène de bidegré (−1, −1) car c’est le transposé de µω , lui-même de bidegré
(1, 1).
Lemme 1.11 - On a:
Dω µω + µω Dω = a − b + 1 en bidegré (a, b).
Démonstration - Le commutateur Dω µω + µω Dω est un opérateur différentiel
d’ordre ≤ 1. Il suffit donc de vérifier la formule sur les éléments de bidegré (0, 0),
(0, 1) et (1, 0). Il nous faut (hélas!) choisir une base de V ⊕ ΠV : on utilise ici des
lettres latines (resp. grecques) pour les éléments pairs (resp. impairs).
108
Soient x0 , x1 , x2 une base orthonormale de V0 , ξ0 , ξ1 , ξ2 la base correspondante de
(ΠV )1 , η0 , η1 une base de V1 de volume 1, y0 , y1 la base correspondante de (ΠV )0 .
On remarque que ω s’écrit:
ω = x0 ξ0 + x1 ξ1 + x2 ξ2 + y0 η1 − y1 η0 .
On a
Dω =
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
+
+
+
−
,
∂x0 ∂ξ0 ∂x1 ∂ξ1 ∂x2 ∂ξ2 ∂y1 ∂η0 ∂y0 ∂η1
et donc Dω ω = 1. Ceci donne le résulat pour le bidegré (0, 0).
On a (Dω µω + µω Dω )(ξ0 ) = Dω (ξ0 ω) + 0 = ξ0 + ξ0 − ξ0 − ξ0 = 0 (ξ0 ∈ ΠV )
et (Dω µω + µω Dω )(η0 ) = Dω (η0 ω) + 0 = η0 + η0 + η0 − η0 = 2η0 (η0 ∈ V ).
Or Dω µω + µω Dω est constant (car osp(3, 2)-invariant) sur V et sur ΠV d’où le
lemme.
2
Lemme 1.12 - Le commutateur Dω Q − QDω est proportionnel à la dérivation d0 .
Démonstration - Ce commutateur est un opérateur différentiel d’ordre ≤ 1 qui a le
même bidegré que d0 et ne peut donc différer de lui que par une constante puisqu’ils
sont tous les deux osp(3, 2)-invariants.
2
Les éléments µω et Dω sont de carré nul car ω est un élément impair d’une algèbre
super commutative et Dω est le transposé de µω . Ceci donne des complexes:
µω
µω
µω
. . . → S a (V ) ⊗ Λb (V ) → S a+1 (V ) ⊗ Λb+1 (V ) → . . .
et
Dω
Dω
Dω
. . . → S a+1 (V ) ⊗ Λb+1 (V ) → S a (V ) ⊗ Λb (V ) → . . .
Le premier complexe est isomorphe au complexe définissant le Bérézinien, aprs̀
identification de V et V ∗ .
Lemme 1.13 - Pour toutes les valeurs de a et b, (a, b) 6= (2, 3), ces complexes sont
acycliques. Pour (a, b) = (2, 3), la cohomologie vaut C.
Démonstration - Comme µω et Dω se déduisent l’un de l’autre par transposition,
il suffit de démontrer le lemme pour µω . On appelle Z0 (resp. Z1 ) la partie paire
(resp. impaire) de V ⊕ ΠV . Alors, comme algèbres (et non comme g-modules)
S(V ⊕ ΠV ) = S(Z0 ) ⊗ Λ(Z1 ) (ici, Z0 et Z1 ne sont pas Z/2Z-gradués) alors ω
peut être interprété comme un élément non dégénéré de Z0 ⊗ Z1 , ou bien une forme
109
bilinéaire non dégénérée sur Z0∗ × Z1∗ car la forme orthosymplectique sur V0 ⊕ V1 est
non dégénérée ; on a dimZ0 = dimZ1 = 5. Cette forme bilinéaire permet d’identifier
Z1 à Z0∗ et Λi (Z1 ) à Λ5−i (Z0 ) ⊗ Λ5 (Z1 ). On peut aussi voir S(Z0 ) ⊗ Λ(Z1 ) comme le
complexe de Koszul de l’algèbre de Lie commutative Z0 agissant dans S(Z0 )⊗Λ5 (Z1 )
par multiplication dans S(Z0 ). La cohomologie de ce complexe est nulle sauf en
S 0 (Z0 ) ⊗ Λ5 (Z1 ) où elle vaut C. Ceci implique que la cohomologie de µω agissant
dans S a (V ) ⊗ Λb (V ) est triviale sauf pour le couple (a, b) = (2, 3), qui correspond à
l’isomorphisme
Λ5 (Z1 ) = S 0 (V0 ) ⊗ Λ2 (V1 ) ⊗ S 0 ((ΠV )0 ) ⊗ Λ3 ((ΠV )1 ).
2
Nous voulons maintenant passer de S(V ) ⊗ Λ(V ) à S̃ ⊗ Λ(V ).
Nous avons vu que la dérivation d0 passe au quotient.
Lemme 1.14 - L’opérateur µω passe au quotient et le complexe (S̃ ⊗ Λ(V ), µω ) est
acyclique sauf en bidegrés (3, 2) et (2, 3) où la cohomologie est C. De plus, comme
opérateurs sur S̃ ⊗ Λ(V ), d0 et µω (super)commutent.
Démonstration - On a la suite exacte de complexes:
... →
0
0
↑
↑
S̃ a ⊗ Λb (V )
→ S̃ a+1 ⊗ Λb+1 (V ) → . . .
↑
↑
µω
... →
S a ⊗ Λb (V )
→ S a+1 ⊗ Λb+1 (V ) → . . .
Q↑
Q↑
µω
. . . → S a−2 ⊗ Λb (V ) → S a−1 ⊗ Λb+1 (V ) → . . .
↑
↑
0
0
Les flèches horizontales du haut proviennent du fait que µω et Q commutent, et il
y a donc passage au quotient. Le calcul de la cohomologie résulte de la suite exacte
longue de cohomologie et du lemme 4.
La dernière assertion résulte du fait que d0 ω est proportionnel à Q et est donc
d’image nulle dans le quotient S̃ ⊗ Λ(V ).
2
110
Notons P a,b (resp. P̃ a,b ) le noyau de d0 dans S a (V )⊗Λb (V ) (resp. S̃ a (V )⊗Λb (V )).
On peut également voir P a,b (resp. P̃ a,b ) comme un quotient de S a−1 (V ) ⊗ Λb+1 (V )
(resp. S̃ a−1 (V ) ⊗ Λb+1 (V )). Le lemme 3 se traduit par le diagramme:
Dω
P a,b
→ P a−1,b−1
↑ µQ
P a−2,b
↑ µQ
→ P a−3,b−1
Dω
Les colonnes sont injectives. Le conoyau de la première colonne est P̃ a,b . Notons
D̃ω le passage au quotient de Dω entre P̃ a,b et P̃ a−1,b−1 . On note µ̃ω la restriction
de µω à P̃ a,b .
Lemme 1.15 - L’opérateur D̃ω µ̃ω + µ̃ω D̃ω est la multiplication par a−b−1 sur P̃ a,b .
De plus, le complexe (P̃ , D̃ω ) est acyclique sauf en bidegré (3, 2) où sa cohomologie
est égale à C. On a la même assertion pour le complexe (P̃ , µ̃ω ).
Démonstration - Comme P̃ a,b est un quotient de S̃ a−1 (V ) ⊗ Λb+1 (V ), le crochet
[Dω , µω ] passe au quotient et en appliquant le lemme 2 on obtient la première assertion puisque a − 1 − (b + 1) + 1 = a − b − 1.
Grâce à cette première assertion, le seul lieu où les complexes (P̃ , D̃ω ) et (P̃ , µ̃ω )
peuvent ne pas être acycliques est a = b + 1. Commençons par traiter (P̃ , µ̃ω ). On
applique le lemme 5 puis la suite exacte
0 → P̃ a,b → S̃ a ⊗ Λb (V ) → P̃ a+1,b−1 → 0,
qui donne une suite exacte longue de cohomologie entrainant le résultat.
Etudions maintenant (P̃ , D̃ω ). On détermine d’abord la cohomologie de (P, Dω )
: on écrit la suite exacte
0 → P a,b → S a ⊗ Λb (V ) → P a+1,b−1 → 0
et la suite exacte longue de cohomologie qui s’en déduit. Ceci permet de voir que
la cohomologie de (P, Dω ) est triviale sauf aux bidegrés (3, 2), (5, 2), . . ., (2p + 1, 2),
. . . où elle est égale à C. On passe ensuite au cas de P̃ par une suite exacte longue
de cohomologie provenant de la suite exacte:
mult.par Q
0 → P a,b
→
P a+2,b → P̃ a+2,b → 0.
Le résultat suit.
111
2
Nous allons maintenant travailler sur des décompositions en g0 -modules simples
de produits tensoriels de osp(3, 2)-modules en utilisant d’une part la formule de
Clebsch-Gordan et d’autre part la formule de Kac ([Ka], prop 2.11) qui décompose
les g-modules simples typiques en g0 -modules simples.
La décomposition en g0 -modules simples ayant beaucoup de facteurs, on choisit
une disposition “matricielle” des facteurs S a,b pour faciliter la lecture (et limiter les
erreurs...).
Lemme 1.16 - On a la décomposition en g0 -modules simples suivante, pour a entier
strictement positif et b entier positif:
S 2a,b−1
P̃
a,b
=
⊕S 2a,b
⊕2S 2a−2,b−2 ⊕2S 2a−2,b−1 ⊕S 2a−2,b
⊕S 2a−4,b−3 ⊕S 2a−4,b−2
⊕S 2a−6,b−2
⊕S 2a−2,b+1
⊕2S 2a−4,b−1 ⊕2S 2a−4,b
⊕S 2a−6,b−1
sauf pour a = 2, b = 1 où il faut retirer S 0,0 .
Par convention, S a,b = 0 si a < 0 ou b < 0.
Démonstration - Par définition de P̃ a,b , on a la suite exacte:
d0
d0
0 → P̃ a,b → S̃ a ⊗ Λb (V ) → S̃ a+1 ⊗ Λb−1 (V ) → S̃ a+2 ⊗ Λb−2 (V ) → . . .
On calcule la décomposition en g0 -modules simples de S̃ k ⊗ Λl (V ): la décomposition
en g0 -modules simples de S k (V )⊗Λl (V ) se calcule via Clebsch-Gordan et l’isomorphisme
S k (V ) ⊗ Λl (V ) = ⊕0≤i≤2,0≤j≤3 S k−i (V0 ) ⊗ Λj (V0 ) ⊗ Λi (V1 ) ⊗ S l−j (V1 ).
On a Λ0 (V0 ) = C = Λ3 (V0 ), Λ1 (V0 ) = V0 = Λ2 (V0 ), Λ0 (V1 ) = C = Λ2 (V1 ), Λ1 (V1 ) =
V1 .
D’après Clebsch-Gordan et la loi de réciprocité d’Hermite (S k (S l (W )) = S l (S k (W ))
si W désigne la représentation standard de sl2 ), on a:
S n (V0 ) = S 2m (W ) ⊕ S 2m−4 (W ) ⊕ S 2m−8 (W ) ⊕ . . .
(on rappelle que V0 = S 2 (W )).
Tout est alors en place pour faire le calcul complet, et nous n’écrivons pas les 32
facteurs qui interviennent dans S̃ k ⊗ Λl (V ).
Une fois obtenue la décomposition de S̃ k ⊗ Λl (V ) en 32 g0 -modules irréductibles,
on applique la suite exacte et on obtient le résultat annoncé.
2
112
Lemme 1.17 - Les P̃ a,b sont des g-modules projectifs, pour a + b ≥ 3.
Démonstration - Les g-modules S̃ a et Λb (V ) sont irréductibles typiques pour a ≥ 2
et b ≥ 2, ce qui se vérifie grâce à la proposition 2.11 de Kac dans [Ka]. Le produit
tensoriel S̃ a ⊗ Λb (V ) est donc un g-module projectif si a ≥ 2 ou b ≥ 2 (voir par
exemple [Ge1], 2.1). La suite exacte longue de la démonstration du lemme 7 donne
le résultat.
2
Lemme 1.18 - La composante de bidegré (a, b) du noyau de µ̃ω (agissant dans
⊕a,b P̃ a,b ) a la décomposition suivante en g0 -modules simples:
S 2a,b−1
⊕S 2a,b
KerD̃ω = ⊕S 2a−2,b−2 ⊕S 2a−2,b−1 ⊕S 2a−2,b ⊕S 2a−2,b+1
⊕S 2a−4,b−1 ⊕S 2a−4,b
S 2a−2,b−2
⊕S 2a−2,b−1
Kerµ̃ω = ⊕S 2a−4,b−3 ⊕S 2a−4,b−2 ⊕S 2a−4,b−1 ⊕S 2a−4,b
⊕S 2a−6,b−2 ⊕S 2a−6,b−1
Démonstration - Ceci résulte du fait que (P̃ , µ̃ω ) et (P̃ , D̃ω ) sont acycliques sauf
en bidegré (3, 2) et de la connaissance des P̃ a,b .
2
Si a 6= b + 1, le lemme 6 implique que les deux g-modules Kerµ̃ω et KerD̃ω en
bidegré (a, b) sont supplémentaires dans P̃ a,b . La décomposition observée dans le
lemme 9 coincide avec celle de la proposition 2.11 de [Ka] pour le g-module simple
typique de plus haut poids aε + bη. Les facteurs Kerµ̃ω et KerD̃ω sont donc les
facteurs simples du module projectif P̃ a,b . On a donc:
Proposition 1.3 - Soient a et b deux entiers tels que a 6= b+1. Le g-module simple
typique de plus haut poids aε + bη est le noyau de D̃ω en bidegré (a, b) ainsi que le
noyau de µ̃ω en bidegré (a + 1, b + 1).
Nous supposons maintenant et jusqu’à la fin de la preuve du théorème que a = b +1,
i.e. nous nous attaquons aux modules atypiques. Nous choisissons un entier a ≥ 4.
Dans ce cas, on a vu que D̃ω µ̃ω + µ̃ω D̃ω agit par zéro sur P̃ a,b . On peut donc affirmer
que KerD̃ω ∩ Kerµ̃ω est un g-module non trivial. Par le lemme 9, la décomposition
en g0 -modules simples de ce g-module est forcément contenue dans la somme directe:
S 2a−2,b−1 ⊕ S 2a−2,b−2 ⊕ S 2a−4,b ⊕ S 2a−4,b−1 .
113
Utilisons maintenant la suite exacte des noyaux:
0 → KerD̃ω → Kerµ̃ω D̃ω → Kerµ̃ω → cokerµ̃ω → . . . → cokerµ̃ω D̃ω → cokerµ̃ω → 0
relativement à la suite de flèches
D̃ω
P̃ a,b
µ̃ω
→ P̃ a−1,b−1 → P̃ a,b .
En utilisant le lemme 9 pour µ̃ω agissant dans P̃ a−1,b−1 , on remarque que Kerµ̃ω
contient les g0 -facteurs S 2a−6,b−3 , S 2a−6,b−4 , S 2a−8,b−2 , S 2a−8,b−3 qui n’apparaissent
pas dans P̃ a,b (lemme 7). Ils ne peuvent donc pas intervenir dans Kerµ̃ω D̃ω . Comme,
de plus, la suite exacte des noyaux est une suite de g0 -modules, sachant que la
longueur de Kerµ̃ω et de KerD̃ω est exactement 8, la longueur de Kerµ̃ω D̃ω est
nécessairement inférieure ou égale à 16 − 4 = 12.
Or Kerµ̃ω D̃ω = KerD̃ω µ̃ω puisque D̃ω µ̃ω + µ̃ω D̃ω = 0. Donc Kerµ̃ω D̃ω contient
Kerµ̃ω où µ̃ω agit sur P̃ a,b . Il contient également KerD̃ω . Il contient donc Kerµ̃ω +
KerD̃ω , qui est lui de longueur au moins 12 (lemme 7). Par conséquent, KerD̃ω ∩
Kerµ̃ω est de longueur 4 comme g0 -module, et a donc la décomposition:
S 2a−2,b−1 ⊕ S 2a−2,b−2 ⊕ S 2a−4,b ⊕ S 2a−4,b−1 .
Ceci est un g-module simple car si ce n’était pas le cas, on verrait apparaitre dans
sa g0 -décomposition un poids g-dominant, qui serait forcément atypique puisque la
longueur de sa g0 -décomposition serait inférieure à 8. Or aucun autre poids atypique
que (a − 1)ε + (b − 1)η = (a − 1)ε + (a − 2)η (puisque a = b + 1) n’intervient.
On vient donc de démontrer que le g-module atypique de plus haut poids (a −
1)ε + (a − 2)η a pour g0 -décomposition celle qui est annoncée dans le théorème pour
a ≥ 4.
Les cas a = 1, 2, 3 se traintent de manière identique, en tenant compte des
différentes décompositions: résumons la situation par l’écriture des P̃ a,b concernés
(lemme 7):
S 2,2 ⊕
S 4,3
S 6,4 ⊕
⊕
D̃ω
S 4,1 ⊕ S 2,1 ⊕ 2S 0,1 ⊕ → S 6,2 ⊕ S 4,2 ⊕
2S 2,2 ⊕
→ S 8,3 ⊕ S 6,3 ⊕
S 4,0 ⊕ 2S 2,0
2S 2,1 ⊕ S 0,1 ⊕ ← S 8,2 ⊕ 2S 6,2 ⊕ 2S 4,2 ⊕ S 2,2
D̃ω
← S 6,1 ⊕ S 4,1 ⊕
µ̃ω
2S 4,0 ⊕ S 2,0 ⊕
S 0,0
µ̃ω
2S 4,3 ⊕
2S 6,1 ⊕ S 4,1 ⊕
S 4,0
et on obtient le résultat par les mêmes arguments que pour a ≥ 4.
Pour démontrer le théorème 1, il reste à comprendre quelle est la couverture
projective d’un module atypique.
114
S 2,1
Nous allons démontrer que les que les modules projectifs P̃ a,a−1 sont indécomposables.
On écrit le complexe (P̃ , D̃ω ):
D̃ω
0 ← P̃ 2,1
D̃ω
D̃ω
← P̃ 3,2
← P̃ 4,3 ← . . .
On a vu (lemme 6) que ce complexe est acyclique sauf en bidegré (3, 2), où sa
cohomologie est C et en bidegré (2, 1) où sa cohomologie est V .
Lemme 1.19 - Pour a ≥ 4, P̃ a,a−1 est indécomposable.
Démonstration - On a la suite de composition suivante pour P̃ a,a−1
0 ⊂ Kerµ̃ω ∩ KerD̃ω ⊂ Kerµ̃ω + KerD̃ω ⊂ P̃ a,a−1
dont les quotients successifs sont: Ma−2 , Ma−1 ⊕ Ma−3 et Ma−2 pour a ≥ 4.
Les facteurs directs non triviaux des P̃ a,a−1 sont de longueur 2 comme g-modules
puisque P̃ a,a−1 est de longueur 4 et n’a aucun facteur de longueur 1 puisque tous
les facteurs de composition sont atypiques et donc non projectifs. Supposons qu’il
existe a ≥ 4 et une décomposition P̃ a,a−1 = N1 ⊕ N2 en g-modules non triviaux,
N1 et N2 sont de longueur 2 comme g-modules et contiennent l’un et l’autre Ma−2
dans leur suite de composition (si N1 n’a pas Ma−2 pour sous-quotient, il est égal
à Ma−1 ⊕ Ma−3 par Jordan-Holder, ce qui est impossible car alors Ma−1 et Ma−3
seraient projectifs). Supposons par exemple que Ma−2 intervient comme sous-module
de N1 . Ceci impose alors que N1 est soit Kerµ̃ω soit KerD̃ω d’après la suite de
composition. Le raisonnement est le même dans les deux cas, on peut donc se
˜ ω.
limiter au cas N1 = KerXSµ
En utilisant le lemme 9, on obtient:
0 → Ma−2 → N1 → Ma−3 → 0,
donc
∗
∗
0 → Ma−3
= Ma−3 → N1∗ → Ma−2
= Ma−2 → 0
donc N1∗ est la couverture projective de Ma−2 .
Par ailleurs, N2 a la suite de composition:
0 → Ma−1 → N2 → Ma−2 → 0,
donc N2 est la couverture projective de Ma−2 , ce qui est impossible car N1∗ et N2
n’ont pas la même suite de composition.
2
Une démonstration similaire (adaptée aux modules qui interviennent) vaut pour
P̃
, a ≥ 2.
a,a−1
115
Nous avons donc démontré que la couverture projective du module simple atypique Ml est P̃ l+2,l+1 . On note P̃ l+2,l+1 = Pl+1 . Le décalage de notations permet
d’éviter de noter P−1 la couverture projective du module trivial.
Il nous reste à identifier la couverture projective de C.
Notons I = Indgg0 C. Nous voulons décomposer I en g-modules indécomposables.
On a I = Λ(g1 ) comme g0 -module, d’après le théorème de Poincaré Birkhoff Witt.
On a:
Λ0 (g1 ) = Λ6 (g1 ) = C = S 0,0
Λ1 (g1 ) = Λ5 (g1 ) = V0 ⊗ V1 = S 2,1
Λ2 (g1 ) = Λ4 (g1 ) = Λ2 (V0 ) ⊗ S 2 (V1 ) ⊕ S 2 (V0 ) ⊗ Λ2 (V1 ) =
V0 ⊗ S 2 (V1 ) ⊕ S 4,0 ⊕ S 0,0 = S 4,0 ⊕ S 2,2 ⊕ S 0,0
Λ3 (g1 ) = Λ3 (V0 ) ⊗ S 3 (V1 ) ⊕ S µ (V0 ) ⊗ S µ (V1 )
où µ est la partition 3 = 2 + 1.
Λ3 (g1 ) = S 0,3 ⊕ S 4,1 ⊕ S 2,1
car S µ (V1 ) = V1 et S µ (V0 ) = Λ2 (S 2 (V0 )).
On a donc:
Λ(g1 ) = 4S 0,0 ⊕ S 0,3 ⊕ 3S 2,1 ⊕ 2S 2,2 ⊕ 2S 4,0 ⊕ S 4,1 .
On cherche les facteurs de composition pour g de I: on trouve M1 avec multiplicité 1 (provenant de S 4,1 ). Parmi les autres facteurs de composition, on trouve
les g-modules de plus haut poids ε + 2η et 2ε. Ces deux modules sont typiques, on
applique la proposition 2.11 de Kac ([Ka]), à la suite de quoi il reste un facteur
direct J de I dont les facteurs de composition sont M1 et deux copies du module
trivial.
Comme I est un module induit, il est à la fois injectif et projectif et le facteur J
l’est aussi. De plus J est indécomposable car C et M1 ne sont pas projectifs. Comme
Homg0 (C, J) = Homg (I, J), par extension des scalaires, J contient forcément C,
donc J est la couverture projective de C, et son enveloppe injective.
1.15
Cohomologie de osp(3, 2) à valeurs dans un
module de dimension finie.
On rappelle ([Gr2]) que la cohomologie à valeurs dans un module typique est nulle.
116
1.15.1
Modules simples
Proposition 1.4 - Soit l un entier positif ou nul, la cohomologie de Pl+1 est nulle.
La cohomologie de la couverture projective P0 de C est la même que la cohomologie
de g0 à valeurs dans C, i.e. H 0 (g0 ) = C, H 3 (g0 ) = C2 , H 6 (g0 ) = C, et H i (g0 ) = 0
∀i 6= 0, 3, 6.
Démonstration - Notons U(g) l’algèbre enveloppante de g. Soit M un g0 -module
de dimension finie. Notons CoindM le module coinduit HomU(g0 ) (U(g), M ), où M
est considéré comme un U(g0 )-module à gauche. On a H ∗ (g0 , M ) = H ∗ (g, CoindM ),
par le théorème de Poincaré-Birkhoff-Witt. D plus, si N est un g-module, on a:
HomU(g) (N, CoindM ) = HomU(g0 ) (M, N ).
On considère dans le g-module simple Ml (l ≥ 0)) un g0 -facteur M non isomorphe
à C (il en existe toujours), H ∗ (g0 , M ) = 0, donc H ∗ (g, CoindM ) = 0. Or Pl+1 est
l’enveloppe projective de Ml donc l’application g-linéaire non nulle (donc injective)
de Ml dans CoindM se prolonge en une application injective de Pl+1 dans CoindM ,
qui fait de Pl+1 un facteur direct de CoindM , d’où la première partie de la proposition. Pour le cas de P0 , on remarque que d’après la fin du paragraphe précédent,
CoindC est somme directe de P0 et de deux modules typiques : CoindC et P0 ont
donc la même cohomologie.
2
On rappelle que l’on a un isomorphisme d’anneaux:
H ∗ (osp(3, 2), C) ' C[X]/X 2 ,
où X est une indéterminée de degré 3 (voir par exemple [Gr2]).
Théorème 1.16 - Soit l un entier strictement positif.
La cohomologie de Ml est un module libre sur H ∗ (osp(3, 2), C), ayant une base
homogène formée de deux éléments de degré l et l + 2.
La cohomologie de M0 est un module libre sur H ∗ (osp(3, 2), C) ayant un générateur
de degré 2.
Notons Ul le g-module défini par la suite exacte non scindée suivante pour l ≥ 1:
0 → Ml+1 → Ul → Ml → 0.
Ce module est bien défini car Ext1 (Ml , Ml+1 ) = C car le noyau de l’application
canonique Pl+1 → Ml a exactement un quotient isomorphe à Ml+1 (voir le dédut de
la démonstration du lemme 10).
Pour U0 , on considère la suite exacte:
0 → M1 → U0 → M0 ⊕ C → 0.
Lemme 1.20 - La cohomologie des g-modules Ul est nulle pour tout l ≥ 0.
117
Démonstration - Pour tout l ≥ 0, on a la suite exacte:
0 → Ul → Pl+1 → Ul+1 → 0,
qui provient de la suite de composition des Pl et de la définition des Ul . On a donc
une suite exacte longue:
0 → Ul → Pl+1 → Pl+2 → . . .
Celle-ci donne lieu à une suite spectrale du premier quadrant dont le terme E1p,q est
E1p,q = H q (g, Pl+1+p ) = 0 et d’aboutissement H ∗ (g, Ul ) qui est donc nul.
2
Reprenons la suite exacte qui définit Ul : elle donne lieu à une suite exacte longue de
cohomologie qui, comme Ul n’a pas de cohomologie, permet d’affirmer que H k (g, Ml+1 ) =
H k−1 (g, Ml ) pour l ≥ 1 et donc que H ∗ (g, Ml+1 ) est le même H ∗ (g, C)-module que
H ∗ (g, Ml ) avec un décalage de degrés de 1.
Pour l = 0, on a H i (g, M1 ) ' H i−1 (g, C) ⊕ H i−1 (g, M0 ).
Pour démontrer le théorème, il suffit donc de calculer H ∗ (g, M0 ) = H ∗ (g, V ).
On connait l’enveloppe injective de M0 qui est P1 . On connait la suite de composition de P1 . Ses quotients successifs sont M0 , M1 et M0 . Ceci donne lieu à la
suite spectrale suivante: (on représente les termes E1p,q )
..
.
..
.
..
.
H 1 (g, M0 ) → H 2 (g, M1 ) → H 3 (g, M0 ) → 0
H 0 (g, M0 ) → H 1 (g, M1 ) → H 2 (g, M0 ) → 0
H 0 (g, M1 ) → H 1 (g, M0 ) → 0
H 0 (g, M0 ) → 0
L’aboutissement de cette suite spectrale est la cohomologie de P1 et est donc nul.
On a un isomorphisme de H i (g, M1 ) dans H i−1 (g, C) ⊕ H i−1 (g, M0 ).
On vérifie par le calcul que chacune des flèches de gauche H i (g, M0 ) → H i+1 (g, M1 )
= H i (g, M0 ) ⊕ H i (g, C) dans la suite spectrale est injective (en fait elle induit
l’identité de H i (g, M0 )). Les termes E2p,q sont donc concentrés sur les deux colonnes
de droite: ces termes sont donc égaux aux termes de E∞ et sont donc nuls. On
a donc un isomorphisme H i (g, C) ' H i+2 (g, M0 ) puisque les lignes sont des suites
exactes. Ceci démontre le théorème.
1.15.2
Modules indécomposables
Soit M un g-module indécomposable de dimension finie qui n’est ni simple ni projectif. On note S 0 (resp. S 00 ) le plus grand sous-module (resp. module quotient)
somme directe de g-modules simples de M .
118
Lemme 1.21 - On a la suite exacte:
0 → S 0 → M → S 00 → 0.
Démonstration - Si la flèche composée de S 0 dans S 00 était non nulle, on trouverait
un facteur direct somme directe de modules simples dans M . Donc cette flèche est
bien nulle.
Soit I l’enveloppe injective de S 0 . On prolonge l’inclusion de S 0 dans I en
une inclusion de M dans I. On note T le plus grand quotient semi-simple de I.
L’application naturelle de M dans T est nulle: en effet, notons U l’image de M
dans T . Soit P la couverture projective de U , l’application canonique de P dans
U se relève en une application g-linéaire de P dans M , qui fait de P un facteur
direct dans I, qui est projectif, donc de M . Donc l’application naturelle de M dans
T est nulle. Notons K le noyau de l’application de I dans T , on remarque que K
contient S 0 et que K/S 0 est semi-simple, donc M/S 0 est semi-simple, donc M/S 0 est
un quotient de S 00 , d’où le lemme.
2
Pour unifier les notations, on désignera par M−1 le g-module trivial. Remarquons
que cette notation est décalée de −1 par rapport à celle de Germoni λj dans [Ge2].
On note Vi0 = Hom(Mi , S 0 ) et Vi00 = Hom(Mi , S 00 ). On a donc
S 0 = ⊕i Vi0 ⊗ Mi
comme g-modules et
S 00 = ⊕i Vi00 ⊗ Mi .
Le module M est un élément de Ext1 (S 00 , S 0 ) = ⊕i ⊕j (Hom(Vj00 , Vi0 )⊗Ext1 (Mj , Mi )).
Or Ext1 (Mj , Mi ) est connu: on peut le lire sur le carquois suivant, dimExt1 (Mj , Mi )
étant le nombre d’arêtes qui relient le sommet j au sommet i. Ce carquois, qui
apparait dans [Ge2] avec une différence de numérotation, est noté D∞ .
0
1
• −
•
2
3
− • − • −...
|
•
−1
Lorsque Ext1 (Mj , Mi ) est non nul, on l’ientifie à C et on note ui,j l’élément de
Hom(Vj00 , Vi0 )⊗C qui correspond à M . La donnée de M est équivalente à la collection
de ui,j . On peut donc voir M comme une représentation de la réunion disjointe des
deux carquois orientés suivants:
119
0
1
• →
•
2
3
4
← • → • ← • → ...
↑
0
1
• ←
•
t
3
4
→ • ← • → • ← ...
↓
•
•
−1
−1
Γ−
2
Γ+
t
On peut dessiner M de la façon suivante
V000
•
V10
→
•
V200
←
•
V30
→
•
V400
←
•
V00
→ ...
↑
•
t
V100
←
•
V20
→
•
V300
←
•
↓
•
•
00
V−1
0
V−1
Comme M est un g-module indécomposable, l’une de ces deux configurations est
formée d’espaces tous nuls, et M est donc soit une représentation de Γ− soit une
représentation de Γ+ .
Germoni remarque qu’alors M correspond à une racine positive non simple α du
diagramme D∞ ; notons αi , −1 ≤ i ≤ ∞, les racines simples, considérées comme
indexées par les sommets
P du diagramme. Une racine positive non simple est une
combinaison linéaire i≥−1 ni αi , 0 ≤ ni ≤ 2 ∀i, l’ensemble des i tels que ni ≥ 1 est
un sous-graphe connexe Γ de D∞ , l’ensemble des i tels que ni = 2 n’est non vide
que si n−1 = n0 = 1 auquel cas c’est un intervalle commençant à 1 et s’arrêtant avec
l’extrémité droite de Γ.
Théorème 1.17 - Soit M un g-module indécomposable qui n’est ni simple ni projectif, soient S 0 et S 00 comme dans le lemme 12. On note H la cohomologie de
osp(3, 2) à valeurs dans le module trivial et H[i] son décalé de i: H[i]j = H i+j .
Alors H ∗ (g, M ) est un H-module libre N-gradué.
Le nombre de facteurs H[−i] est le nombre de facteurs de H ∗ (g, S 0 ) qui ne figurent pas dans H ∗ (g, S 00 )[+1] (avec les notations évidentes) plus le nombre de facteurs de H ∗ (g, S 00 ) en excès sur ceux de H ∗ (g, S 0 )[−1].
120
V40
→
•
← ...
Démonstration - Comme les modules indécomposables atypiques qui ne sont ni
simples ni projectifs correspondent aux racines positives non simples de D∞ , on
connait les matrices ((ui,j )) dans chaque cas. Si par exemple M correspond à la
racine α−1 + α0 + 2α1 + α2 , la représentation de Γ+ associée a pour matrice:
M1 M1
M−1
1
0
M0
0
1
M2
1
1
conformément à [Ga-Ro] p. 63.
Donnons un autre exemple, si M correspond à la racine α−1 + α0 + 2α1 + 2α2 +
2α3 + 2α4 + α5 , la représentation de Γ+ associée a pour matrice:
M 1 M 1 M3 M 3 M 5
M−1
1
0
0
0
0
M0
0
1
0
0
0
M2
1
0
1
0
0
M2
0
1
0
1
0
M4
0
0
1
0
1
M4
0
0
0
1
1
Soient M , S 0 et S 00 comme dans l’énoncé. La suite exacte du lemme 12 donne
lieu à une suite exacte longue de cohomologie:
δi
δ i+1
· · · → H i−1 (g, S 00 ) → H i (g, S 0 ) → H i (g, M ) → H i (g, S 00 )
→
H i+1 (g, S 0 ) → . . .
où δ i désigne le cobord. On a donc la suite exacte:
0 → cokerδ i → H i (g, M ) → kerδ i+1 → 0.
Nous devons donc calculer δ k en fonction de la matrice ((ui,j )) associée à M . Il suffit
de le faire dans les deux cas élémentaires suivants:
0 → Mi → M → Mi+1 → 0
et
0 → Mi+1 → M → Mi → 0.
121
Le second cas a déja été traité dans la démonstration du théorème 2 : on trouve
que H ∗ (g, M ) = 0 et on en déduit que δ ∗ est un isomorphisme de H ∗ (g, Mi )[1] sur
H ∗ (g, Mi+1 ).
Pour
0 → Mi → M → Mi+1 → 0,
on va utiliser le lemme suivant:
Lemme 1.22 - Si M est défini par la suite exacte
(1) 0 → M1 → M → M2 → 0,
on a H ∗ (g, M ) ' H ∗ (g0 , C)[−1].
Démonstration (du lemme) - En prenant le début d’une résolution injective minimale de M , on obtient la suite exacte:
0 → M → P 2 → P0 ⊕ P1 → P2 → N → 0
où N est définie par la suite exacte:
0 → M2 → N → M1 → 0
duale de la suite exacte (1). Or la cohomologie de N est triviale d’après ce qui
précède. Donc H ∗ (g, M ) ' H ∗ (g, P0 )[−1] puisque P2 et P1 n’ont pas de cohomologie,
d’où le lemme.
2
On en déduit que si M provient de la suite exacte
0 → Mi → M → Mi+1 → 0,
on a H ∗ (g, M ) =H ∗ (g0 ,
C)[−i], puis que le cobord δ ∗ : H ∗ (g, Mi ) → H ∗ (g, Mi+1 )[−1]
a pour matrice 
0 1
 selon les décompositions H ∗ (g, Mi ) = H[−i] ⊕ H[−i − 2]
0 0
et H (g, Mi+1 )[−1] = H[−i − 2] ⊕ H[−i − 4] (théorème 2).
On en déduit le théorème par un examen au cas par cas des matrices.
∗
2
Terminons par des exemples: Considérons la racine de D∞ α = α−1 + α0 +
2(α1 + . . . + α2i ) + α2i+1 . Soit M le module qui correspond à la représentation
indécomposable de Γ+ définie par α. On a alors:
H ∗ (g, M ) = H[−1] ⊕ H[−3] ⊕ H[−2i] ⊕ H[−2i − 2].
Remarquons de plus que l’homologie de M est le dual de la cohomologie de M ∗ . on
a:
H ∗ (g, M ∗ ) = H ⊕ H[−2] ⊕ H[−2i − 1] ⊕ H[−2i − 3],
122
M ∗ étant la représentation indécomposable de Γ− définie par α.
D’une manière générale, si M correspond à une racine positive non simple α, le
nombre de décalés de H qui apparaissent dans H ∗ (g, M ) ⊕ H ∗ (g, M ∗ ) est au plus 8,
dans l’exemple que nous avons considéré H ∗ (g, M ) (resp. H ∗ (g, M ∗ )) est constitué
de 4 facteurs; ceci n’est pas général: Si on pose α0 = α + α2i+2 et si M 0 est le module
correspondant, on a:
H ∗ (g, M ) = H[−1] ⊕ H[−3] ⊕ H[−2i] ⊕ 2H[−2i − 2] ⊕ H[2i − 4],
et
H ∗ (g, M ∗ ) = H ⊕ H[−2].
Bibliographie
[Fu-Le] D.B. Fuks and D.A. Leites, Cohomology of Lie superalgebras, Comptes
rendus de l’Académie bulgare des Sciences, tome 37 n. 12, 1984.
[Ga-Ro] P. Gabriel and A.V. Roiter, Representations of finite dimensional algebras,
Algebra VIII, Encyclopaedia of mathematical sciences vol. 73, Springer (1992)
[Ge1] J. Germoni, Représentations indécomposables des algèbres de Lie spéciales
linéaires, Thèse de l’université de Strasbourg, janvier 1997.
[Ge2] J. Germoni, Indecomposable representations of osp(3, 2), D(2, 1, α) and G(3),
preprint 1999.
[Gr1] C. Gruson, Sur les relations de Plucker dans le cas d’une super algèbre de Lie
basique classique complexe, Journal of Geometry and Physics, 14, 1994, pp. 43-64.
[Gr2] C. Gruson, Finitude de l’homologie de certains modules de dimension finie sur
une super algèbre de Lie, Annales de l’Institut Fourier, tome 47, fascicule 2 (1997)
pp. 531-553.
[Ka] V.G. Kac, Representations of Lie superalgebras, LNM 676, Springer (1978)
pp. 597-626.
[Sa] C. Santos, Induction homologique dans les super algèbres de Lie basiques classiques complexes, Thèse de l’université Paris 7, 1996.
[Ta] J. Tanaka, Homology and cohomology of Lie superalgebra sl(2, 1) with coefficients in the spaces of finite-dimensional irreducible representations. J. Math. Kyoto
Univ. 35, No.4, 733-756 (1995).
123
PUBLICATIONS:
[1] Description de certains super groupes classiques, Annales de l’Institut Fourier,
Grenoble, 44, 1 (1994), pp. 39-63.
[2] Sur les relations de Plcker dans le cas d’une super algèbre de Lie basique classique
complexe, Journal of Geometry and Physics, 14 (1994), pp. 43-64.
[3] Finitude de l’homologie de certains modules de dimension finie sur une super
algebre de Lie Annales de l’Institut Fourier, tome 47, fascicule 2 (1997) pp. 531-553
[4] Sur la cohomologie des super algèbres de Lie étranges, à paraitr au Journal of
Transformation Groups.
[5] Sur l’idéal du cône autocommutant des super algèbres de Lie basiques classiques
et étranges, soumis.
[6] Cohomologie des modules de dimension finie sur la super algèbre de Lie osp(3, 2),
preprint.
124

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