Master 1 de mathématiques Algèbre générale de base ENS Rennes - Année 2014–2015 Romain Basson Modules Sauf mention expresse du contraire, A désigne un anneau commutatif et unitaire. Il n’est pas interdit de se demander ce qu’il advient sans l’hypothèse de commutativité. 1 Généralités Exercice 1 - Structure de A-module vs morphisme d’anneaux. Soit M un groupe abélien. 1. On suppose que M possède une structure de A-module. Vérifier que les applications `a : M −→ M, x 7−→ a · x et ϕM : A −→ EndZ (M ), a 7−→ `a sont respectivement un morphisme de groupes et un morphisme d’anneaux. 2. Soit ϕ : A −→ EndZ (M ) un morphisme d’anneaux. Montrer que la loi externe A × M −→ M, (a, x) 7−→ a · x = ϕ(a)(x) induit sur M une structure de A-module, notée Mϕ . 3. Montrer que les deux constructions M − 7 → ϕM Mϕ ←−[ ϕ sont inverses l’une de l’autre. 4. Montrer que Mϕ ' Mψ si et seulement s’il existe f ∈ GLZ (M ) tel que ψ(a) = f ◦ ϕ(a) ◦ f −1 ∀ a ∈ A. Exercice 2 - Extension des scalaires. Soit M un A-module. 1. Soit I un idéal de A et N un sous-module de M tel que, pour tout a ∈ I et tout x ∈ M , a · x ∈ N . Montrer alors que M/N possède une structure naturelle de A/I-module. (Indication : on pourra se référer à l’exercice 1) 2. Soit B un anneau commutatif et ϕ : B −→ A un morphisme d’anneaux. Montrer que M hérite naturellement d’une structure de B-module. 3. Caractériser les Z/nZ-modules en termes de groupes abéliens. Exercice 3 Quels sont les endomorphismes du A-module A ? Exercice 4 Soit M un A-module. Décrire HomA (A, M ). 1 Master 1 de mathématiques Algèbre générale de base ENS Rennes - Année 2014–2015 Romain Basson Exercice 5 Soit M, N deux A-modules et (Mi )i∈I , (Nj )j∈J deux familles de A-modules. Montrer que l’on a des isomorphismes canoniques de A-modules : M Y 1. HomA Mi , N ' HomA (Mi , N ). i∈I 2. HomA M, i∈I Y Nj ' j∈J 3. HomA M i∈I Mi , Y HomA (M, Nj ). j∈J Y Nj ' j∈J Y HomA (Mi , Nj ). (i,j)∈I×J Exercice 6 - Théorèmes d’isomorphisme. 1. Soit N un sous-module d’un A-module M et π : M −→ M/N la projection canonique. a) Montrer que P 7−→ π −1 (P ) établit une bijection croissante entre les sous-modules de M/N et les sous-modules de M contenant N et donner sa réciproque. b) Montrer que cette bijection transforme sommes et intersections en sommes et intersections. 2. Soit M1 et M2 des A-modules et N1 et N2 des sous-modules respectifs. Montrer que (M1 ⊕ M2 )/(N1 ⊕ N2 ) ' M1 /N1 ⊕ M2 /N2 . 3. Montrer que, pour des sous-modules N ⊂ L2 ⊂ L1 de M , (L1 /N )/(L2 /N ) ' L1 /L2 . 4. Montrer que si N et P sont des sous-modules de M , (N + P )/P ' N/(N ∩ P ). Exercice 7 - Modules sur un anneau intègre vs espaces vectoriels. Supposons A intègre et notons K son corps de fractions. Soit V et W des K-espaces vectoriels. 1. Montrer qu’une famille d’éléments de V est K-libre si et seulement si elle est A-libre. 2. Montrer qu’une famille A-génératrice de V est K-génératrice et que la réciproque est fausse. 3. Montrer que toute application A-linéaire de V dans W est K-linéaire. 4. Montrer que K est un A-module libre (resp. de type fini) si et seulement si K = A. Exercice 8 Soit M et N deux A-modules, f : M −→ N une application A-linéaire et I un ensemble. Pour v = (vi )i∈I ∈ M I , on note f (v) la famille (f (vi ))i∈I ∈ N I . Vrai ou faux : 1. v libre ⇒ f (v) libre ; 2. f (v) libre ⇒ v libre ; 3. v génératrice ⇒ f (v) génératrice ; 4. f (v) génératrice ⇒ v génératrice. Et si l’on suppose f injective (resp. surjective) ? Y a-t-il des réciproques, du genre "si l’image d’une famille libre est libre, alors f est surjective" ? 2 Master 1 de mathématiques Algèbre générale de base ENS Rennes - Année 2014–2015 Romain Basson Exercice 9 - Éléments et sous-modules de torsion. Un élément x d’un A-module M est dit de torsion lorsqu’il existe a ∈ A \ {0} tel que a · x = 0. On note Tor(M ) l’ensemble des éléments de torsion de M . Un module M est dit de torsion (resp. sans torsion) lorsque Tor(M ) = M (resp. Tor(M ) = {0}). 1. Quels sont les éléments de torsion du A-module A. On suppose désormais A intègre. 2. Montrer que Tor(M ) est un sous-module de M . Utilise-t-on le fait que A est intègre ? 3. Montrer que toute application A-linéaire T −→ M , où T est de torsion, se factorise par Tor(M ). 4. Pour N un sous-module de M , exprimer Tor(N ) en fonction de Tor(M ). En déduire que Tor(M ) est un module de torsion. 5. Montrer que M/ Tor(M ) est sans torsion et que toute application A-linéaire M −→ F , où F est sans torsion, se factorise par M/ Tor(M ). 6. Un A-module est dit fidèle lorsque AnnA (M ) = {0}. Quels sont les liens logiques entre les propriétés "fidèle", "de torsion", "sans torsion" et leurs négations ? 7. Le Z-module Q/Z est-il de torsion ? sans torsion ? fidèle ? 8. Pour M de type fini, montrer que M est de torsion si et seulement si AnnA (M ) est non nul. 9. Pour A = Z, donner une caractérisation des éléments de Tor(M ) selon leur ordre et montrer que M est de torsion et de type fini si et seulement si M est fini. 10. Montrer que tout sous-module d’un A-module libre est sans torsion. 11. Vrai ou faux : a) tout sous-module d’un module de torsion est de torsion ; b) tout quotient d’un module de torsion est de torsion ; c) tout sous-module d’un module sans torsion est sans torsion ; d) tout quotient d’un module sans torsion est sans torsion ; e) un module sans torsion n’est jamais de torsion ; f) toute somme directe (tout produit, toute somme directe finie, tout produit fini) de modules de torsion est de torsion ; g) toute somme directe (tout produit, toute somme directe finie, tout produit fini) de modules sans torsion est sans torsion ; f1 f2 f3 12. Montrer qu’une suite exacte de A-modules 0 −→ M1 −→ M2 −→ M3 induit la suite exacte 0 −→ Tor(M1 ) −→ Tor(M2 ) −→ Tor(M3 ). 13. Soit f : M −→ N une application A-linéaire surjective. L’application induite Tor(M ) −→ Tor(N ) est-elle surjective ? Exercice 10 - Modules simples. Rappelons qu’un A-module M est dit simple lorsqu’il est non nul et n’admet pas de sous-modules non triviaux. 1. Montrer que si M est un A-module simple, alors tout endomorphisme de M est soit nul, soit un automorphisme. 2. Soit I un idéal de A. Montrer que A/I est simple si et seulement si I est maximal. 3. Montrer qu’un A-module simple est isomorphe à un A/M, pour un certain idéal maximal M. 4. Décrire tous les Z-modules simples à isomorphisme près. 5. Plus généralement, décrire tous les modules simples sur un anneau principal à isomorphisme près. 3 Master 1 de mathématiques Algèbre générale de base 2 ENS Rennes - Année 2014–2015 Romain Basson Modules de type fini Exercice 11 - Résultats de base sur les modules de type fini. 1. Montrer que M est de type fini si et seulement s’il existe n ∈ N tel que M soit isomorphe à un quotient de An . 2. Montrer que tout quotient d’un A-module de type fini est de type fini. 3. Soit M un A-module de type fini. Montrer que toute partie génératrice de M contient une partie génératrice finie. 4. Dans l’anneau ZN , montrer que Z(N) est un idéal qui n’est pas de type fini. 5. Donner un exemple d’un sous-module d’un module de type fini qui n’est pas de type fini. 6. Montrer qu’un A-module libre est de type fini si et seulement s’il est de rang fini. 7. Soit M un A-module et N un sous-module de M . Montrer que si N et M/N sont de type fini, M est de type fini. Exercice 12 - Générateurs des rationnels. Q est ici considéré comme un Z-module. 1. Montrer que tout sous-module de type fini de Q est libre de rang 0 ou 1. 2. En déduire que Q n’est pas de type fini, puis (en utilisant l’exercice 11) la même chose pour Q/Z. 3. Soit (ei )i∈I une famille génératrice de Q et j ∈ I. Montrer que la famille (ei )i∈I\ génératrice. 3 {j} est encore Modules libres Exercice 13 En choisissant A et l’entier n convenablement, donner des exemples : 1. d’une famille génératrice d’un A-module libre dont on ne peut pas extraire une base ; 2. d’une famille libre d’un A-module libre qui ne peut pas être complétée en une base ; 3. d’une partie génératrice minimale qui n’est pas une base. À ce tritre, on pourra déterminer des familles génératrices minimales de cardinal n ∈ N∗ du Z-module Z. 4. d’un A-module qui n’est pas libre ; 5. d’une partie libre à n éléments de An qui n’est pas une base ; 6. d’une partie génératrice minimale de An qui n’est pas une base ; 7. d’un sous-module d’un module libre de rang fini qui n’est pas de type fini ; 8. d’un sous-module d’un module libre qui n’est pas libre ; 9. d’un sous-module d’un module libre qui n’admet pas de supplémentaire. Exercice 14 Soit M = (x, y) ∈ Z2 / x + y ≡ 0 mod 2 et x − y ≡ 0 mod 4 . 1. Montrer que M est un Z-module libre de rang 2 et en donner une base. 2. Montrer que Z2 /M est fini. 4 Master 1 de mathématiques Algèbre générale de base Exercice 15 ENS Rennes - Année 2014–2015 Romain Basson Soit I un idéal de A. Quand le A-module A/I est-il libre ? Exercice 16 - Modules libres vs sous-modules. 1. Montrer que Z/2Z n’est pas isomorphe à un sous-module d’un Z-module libre. 2. Décrire tous les sous-modules libres de A. 3. Déduire de la question précédente un exemple d’un anneau A et d’un sous-module d’un A-module libre qui n’est pas libre. 4. Quels sont les anneaux A tels que tout sous-module de A soit libre ? Exercice 17 - Modules libres vs sommes, produits, quotients et sous-modules. 1. Montrer que tout A-module admet une partie génératrice. En déduire que tout A-module est isomorphe à un quotient d’un A-module libre. 2. Soit M un A-module et N un sous-module de M . Si N et M/N sont libres, montrer que M est libre. 3. Montrer que toute somme directe et que tout produit fini 1 de A-modules libres est libre. 4. Soit A = Z/6Z. Montrer que 2A et 3A ne sont pas libres, mais que 2A ⊕ 3A l’est. Exercice 18 - Théorème de Baer. Soit A un anneau commutatif et X un ensemble. 1. Définir une application bilinéaire naturelle (., .) : AX × A(X) −→ A. ∼ 2. Montrer que (., .) induit un isomorphisme de A-modules AX −→ HomA (A(X) , A). 3. Montrer que (., .) induit un morphisme injectif de A-modules Φ : A(X) ,−→ HomA (AX , A). On suppose désormais que A = Z et X = N. On note E = HomZ (ZN , Z) et on définit Ψ : E −→ ZN , ψ 7−→ (ψ ((δi,j )j ))i . 4. En considérant les images par ψ de suites de la forme (2n an )n∈N et (3n bn )n∈N , montrer que tout élément ψ ∈ E s’annulant sur Z(N) est identiquement nul. 5. Montrer que im Ψ ⊂ Z(N) . 6. En déduire que Φ est un isomorphisme de Z-modules. 7. Conclure en montrant que ZN n’est pas un Z-module libre. Exercice 19 - Sommes directes vs bases. Soit M un A-module et (ei )i∈I une famille d’éléments de M . 1. Montrer que si (ei )i∈I est une A-base de M , alors on a M = M Aei . i∈I 2. Montrer que la réciproque est fausse en considérant A = M = Z/6Z et la famille (2, 3). M 3. Montrer que (ei )i∈I est une A-base de M si et seulement si on a l’égalité M = Aei et les i∈I éléments ei ne sont pas de torsion. Exercice 20 Soit M un A-module libre. Pour a ∈ A, on note aM la multiplication par a dans M . Montrer que aM est injective (resp. surjective) si et seulement si a est régulier (resp. inversible) dans A. Retrouver ainsi le fait que Q n’est pas un Z-module libre. Exercice 21 Montrer que le Z-module Q n’est pas facteur direct d’un Z-module libre. 1. Le théorème de Baer (1937) énonce que ZN n’est pas un Z-module libre. 5