Modules

Master 1 de mathématiques
Algèbre générale de base
ENS Rennes - Année 2014–2015
Romain Basson
Modules
Sauf mention expresse du contraire, Adésigne un anneau commutatif et unitaire. Il n’est pas interdit
de se demander ce qu’il advient sans l’hypothèse de commutativité.
1 Généralités
Exercice 1 - Structure de A-module vs morphisme d’anneaux. Soit Mun groupe abélien.
1. On suppose que Mpossède une structure de A-module. Vérifier que les applications
a:M−→ M, x 7−→ a·xet ϕM:A−→ EndZ(M), a 7−→ a
sont respectivement un morphisme de groupes et un morphisme d’anneaux.
2. Soit ϕ:A−→ EndZ(M)un morphisme d’anneaux. Montrer que la loi externe
A×M−→ M, (a, x)7−→ a·x=ϕ(a)(x)
induit sur Mune structure de A-module, notée Mϕ.
3. Montrer que les deux constructions
M7−→ ϕM
Mϕ←−[ϕ
sont inverses l’une de l’autre.
4. Montrer que Mϕ'Mψsi et seulement s’il existe f∈GLZ(M)tel que
ψ(a) = f◦ϕ(a)◦f−1∀a∈A.
Exercice 2 - Extension des scalaires. Soit Mun A-module.
1. Soit Iun idéal de Aet Nun sous-module de Mtel que, pour tout a∈Iet tout x∈M,a·x∈N.
Montrer alors que M/N possède une structure naturelle de A/I-module.
(Indication : on pourra se référer à l’exercice 1)
2. Soit Bun anneau commutatif et ϕ:B−→ Aun morphisme d’anneaux. Montrer que Mhérite
naturellement d’une structure de B-module.
3. Caractériser les Z/nZ-modules en termes de groupes abéliens.
Exercice 3 Quels sont les endomorphismes du A-module A?
Exercice 4 Soit Mun A-module. Décrire HomA(A, M).
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Algèbre générale de base
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Exercice 5 Soit M, N deux A-modules et (Mi)i∈I,(Nj)j∈Jdeux familles de A-modules. Montrer que
l’on a des isomorphismes canoniques de A-modules :
1. HomAM
i∈I
Mi, N'Y
i∈I
HomA(Mi, N).
2. HomAM, Y
j∈J
Nj'Y
j∈J
HomA(M, Nj).
3. HomAM
i∈I
Mi,Y
j∈J
Nj'Y
(i,j)∈I×J
HomA(Mi, Nj).
Exercice 6 - Théorèmes d’isomorphisme.
1. Soit Nun sous-module d’un A-module Met π:M−→ M/N la projection canonique.
a) Montrer que P7−→ π−1(P)établit une bijection croissante entre les sous-modules de M/N
et les sous-modules de Mcontenant Net donner sa réciproque.
b) Montrer que cette bijection transforme sommes et intersections en sommes et intersections.
2. Soit M1et M2des A-modules et N1et N2des sous-modules respectifs. Montrer que
(M1⊕M2)/(N1⊕N2)'M1/N1⊕M2/N2.
3. Montrer que, pour des sous-modules N⊂L2⊂L1de M,(L1/N)/(L2/N)'L1/L2.
4. Montrer que si Net Psont des sous-modules de M,(N+P)/P 'N/(N∩P).
Exercice 7 - Modules sur un anneau intègre vs espaces vectoriels. Supposons Aintègre et notons
Kson corps de fractions. Soit Vet Wdes K-espaces vectoriels.
1. Montrer qu’une famille d’éléments de Vest K-libre si et seulement si elle est A-libre.
2. Montrer qu’une famille A-génératrice de Vest K-génératrice et que la réciproque est fausse.
3. Montrer que toute application A-linéaire de Vdans West K-linéaire.
4. Montrer que Kest un A-module libre (resp. de type fini) si et seulement si K=A.
Exercice 8 Soit Met Ndeux A-modules, f:M−→ Nune application A-linéaire et Iun ensemble.
Pour v= (vi)i∈I∈MI, on note f(v)la famille (f(vi))i∈I∈NI. Vrai ou faux :
1. vlibre ⇒f(v)libre ;
2. f(v)libre ⇒vlibre ;
3. vgénératrice ⇒f(v)génératrice ;
4. f(v)génératrice ⇒vgénératrice.
Et si l’on suppose finjective (resp. surjective) ? Y a-t-il des réciproques, du genre "si l’image d’une
famille libre est libre, alors fest surjective" ?
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Exercice 9 - Éléments et sous-modules de torsion. Un élément xd’un A-module Mest dit de torsion
lorsqu’il existe a∈A\ {0}tel que a·x= 0. On note Tor(M)l’ensemble des éléments de torsion de
M. Un module Mest dit de torsion (resp. sans torsion) lorsque Tor(M) = M(resp. Tor(M) = {0}).
1. Quels sont les éléments de torsion du A-module A.
On suppose désormais Aintègre.
2. Montrer que Tor(M)est un sous-module de M. Utilise-t-on le fait que Aest intègre ?
3. Montrer que toute application A-linéaire T−→ M, où Test de torsion, se factorise par Tor(M).
4. Pour Nun sous-module de M, exprimer Tor(N)en fonction de Tor(M). En déduire que Tor(M)
est un module de torsion.
5. Montrer que M/ Tor(M)est sans torsion et que toute application A-linéaire M−→ F, où Fest
sans torsion, se factorise par M/ Tor(M).
6. Un A-module est dit fidèle lorsque AnnA(M) = {0}. Quels sont les liens logiques entre les
propriétés "fidèle", "de torsion", "sans torsion" et leurs négations ?
7. Le Z-module Q/Zest-il de torsion ? sans torsion ? fidèle ?
8. Pour Mde type fini, montrer que Mest de torsion si et seulement si AnnA(M)est non nul.
9. Pour A=Z, donner une caractérisation des éléments de Tor(M)selon leur ordre et montrer que
Mest de torsion et de type fini si et seulement si Mest fini.
10. Montrer que tout sous-module d’un A-module libre est sans torsion.
11. Vrai ou faux :
a) tout sous-module d’un module de torsion est de torsion ;
b) tout quotient d’un module de torsion est de torsion ;
c) tout sous-module d’un module sans torsion est sans torsion ;
d) tout quotient d’un module sans torsion est sans torsion ;
e) un module sans torsion n’est jamais de torsion ;
f) toute somme directe (tout produit, toute somme directe finie, tout produit fini) de modules
de torsion est de torsion ;
g) toute somme directe (tout produit, toute somme directe finie, tout produit fini) de modules
sans torsion est sans torsion ;
12. Montrer qu’une suite exacte de A-modules 0f1 −→ M1
f2
−→ M2
f3
−→ M3induit la suite exacte
0−→ Tor(M1)−→ Tor(M2)−→ Tor(M3).
13. Soit f:M−→ Nune application A-linéaire surjective. L’application induite Tor(M)−→ Tor(N)
est-elle surjective ?
Exercice 10 - Modules simples. Rappelons qu’un A-module Mest dit simple lorsqu’il est non nul
et n’admet pas de sous-modules non triviaux.
1. Montrer que si Mest un A-module simple, alors tout endomorphisme de Mest soit nul, soit un
automorphisme.
2. Soit Iun idéal de A. Montrer que A/I est simple si et seulement si Iest maximal.
3. Montrer qu’un A-module simple est isomorphe à un A/M, pour un certain idéal maximal M.
4. Décrire tous les Z-modules simples à isomorphisme près.
5. Plus généralement, décrire tous les modules simples sur un anneau principal à isomorphisme près.
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2 Modules de type fini
Exercice 11 - Résultats de base sur les modules de type fini.
1. Montrer que Mest de type fini si et seulement s’il existe n∈Ntel que Msoit isomorphe à un
quotient de An.
2. Montrer que tout quotient d’un A-module de type fini est de type fini.
3. Soit Mun A-module de type fini. Montrer que toute partie génératrice de Mcontient une partie
génératrice finie.
4. Dans l’anneau ZN, montrer que Z(N)est un idéal qui n’est pas de type fini.
5. Donner un exemple d’un sous-module d’un module de type fini qui n’est pas de type fini.
6. Montrer qu’un A-module libre est de type fini si et seulement s’il est de rang fini.
7. Soit Mun A-module et Nun sous-module de M. Montrer que si Net M/N sont de type fini,
Mest de type fini.
Exercice 12 - Générateurs des rationnels. Qest ici considéré comme un Z-module.
1. Montrer que tout sous-module de type fini de Qest libre de rang 0 ou 1.
2. En déduire que Qn’est pas de type fini, puis (en utilisant l’exercice 11) la même chose pour Q/Z.
3. Soit (ei)i∈Iune famille génératrice de Qet j∈I. Montrer que la famille (ei)i∈I\ {j}est encore
génératrice.
3 Modules libres
Exercice 13 En choisissant Aet l’entier nconvenablement, donner des exemples :
1. d’une famille génératrice d’un A-module libre dont on ne peut pas extraire une base ;
2. d’une famille libre d’un A-module libre qui ne peut pas être complétée en une base ;
3. d’une partie génératrice minimale qui n’est pas une base. À ce tritre, on pourra déterminer des
familles génératrices minimales de cardinal n∈N∗du Z-module Z.
4. d’un A-module qui n’est pas libre ;
5. d’une partie libre à néléments de Anqui n’est pas une base ;
6. d’une partie génératrice minimale de Anqui n’est pas une base ;
7. d’un sous-module d’un module libre de rang fini qui n’est pas de type fini ;
8. d’un sous-module d’un module libre qui n’est pas libre ;
9. d’un sous-module d’un module libre qui n’admet pas de supplémentaire.
Exercice 14 Soit M=(x, y)∈Z2/ x +y≡0 mod 2 et x−y≡0 mod 4.
1. Montrer que Mest un Z-module libre de rang 2 et en donner une base.
2. Montrer que Z2/M est fini.
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Exercice 15 Soit Iun idéal de A. Quand le A-module A/I est-il libre ?
Exercice 16 - Modules libres vs sous-modules.
1. Montrer que Z/2Zn’est pas isomorphe à un sous-module d’un Z-module libre.
2. Décrire tous les sous-modules libres de A.
3. Déduire de la question précédente un exemple d’un anneau Aet d’un sous-module d’un A-module
libre qui n’est pas libre.
4. Quels sont les anneaux Atels que tout sous-module de Asoit libre ?
Exercice 17 - Modules libres vs sommes, produits, quotients et sous-modules.
1. Montrer que tout A-module admet une partie génératrice. En déduire que tout A-module est
isomorphe à un quotient d’un A-module libre.
2. Soit Mun A-module et Nun sous-module de M. Si Net M/N sont libres, montrer que Mest
libre.
3. Montrer que toute somme directe et que tout produit fini 1de A-modules libres est libre.
4. Soit A=Z/6Z. Montrer que 2Aet 3Ane sont pas libres, mais que 2A⊕3Al’est.
Exercice 18 - Théorème de Baer. Soit Aun anneau commutatif et Xun ensemble.
1. Définir une application bilinéaire naturelle (., .) : AX×A(X)−→ A.
2. Montrer que (., .)induit un isomorphisme de A-modules AX∼ −→ HomA(A(X), A).
3. Montrer que (., .)induit un morphisme injectif de A-modules Φ : A(X)−→ HomA(AX, A).
On suppose désormais que A=Zet X=N. On note E= HomZ(ZN,Z)et on définit
Ψ : E−→ ZN, ψ 7−→ (ψ((δi,j )j))i.
4. En considérant les images par ψde suites de la forme (2nan)n∈Net (3nbn)n∈N, montrer que tout
élément ψ∈Es’annulant sur Z(N)est identiquement nul.
5. Montrer que im Ψ ⊂Z(N).
6. En déduire que Φest un isomorphisme de Z-modules.
7. Conclure en montrant que ZNn’est pas un Z-module libre.
Exercice 19 - Sommes directes vs bases.
Soit Mun A-module et (ei)i∈Iune famille d’éléments de M.
1. Montrer que si (ei)i∈Iest une A-base de M, alors on a M=M
i∈I
Aei.
2. Montrer que la réciproque est fausse en considérant A=M=Z/6Zet la famille (2,3).
3. Montrer que (ei)i∈Iest une A-base de Msi et seulement si on a l’égalité M=M
i∈I
Aeiet les
éléments eine sont pas de torsion.
Exercice 20 Soit Mun A-module libre. Pour a∈A, on note aMla multiplication par adans M.
Montrer que aMest injective (resp. surjective) si et seulement si aest régulier (resp. inversible) dans
A. Retrouver ainsi le fait que Qn’est pas un Z-module libre.
Exercice 21 Montrer que le Z-module Qn’est pas facteur direct d’un Z-module libre.
1. Le théorème de Baer (1937) énonce que ZNn’est pas un Z-module libre.
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