TD 9 - Anneaux et Modules - Corps

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 9 - Anneaux et Modules - Corps
Les anneaux considérés sont unitaires. Par défaut, un module est un module à gauche.
Exercice 1. 1. Donner des exemples :
(a) D’une famille libre à néléments dans Anqui n’est pas une base, où Aest un anneau.
(b) D’une famille génératrice minimale qui n’est pas une base.
(c) De sous-modules n’ayant pas de supplémentaire.
(d) D’un module libre ayant un sous-module qui n’est pas libre.
2. Soit Aun anneau commutatif tel que tout A-module non nul est libre. Montrer que Aest un
corps.
3. Soit Aun anneau intègre de corps des fractions K. On suppose que K6=A. Montrer que Kn’est
pas libre comme A-module.
Exercice 2. Existe-t-il un anneau commutatif dont le groupe des inversibles est isomorphe à Z/5Z?
(Que dire du polynôme cyclotomique Φ5à cœfficients dans le corps à 2éléments ? )
Exercice 3. Soit n∈N,n≥1. Soit u:Zn→Znun morphisme de Z-modules. On suppose que la
matrice de udans la base canonique est de déterminant δ6= 0. Montrer que Zn/Im(u)est un groupe
abélien fini de cardinal |δ|.
Exercice 4. Soit kun corps de caractéristique différente de 2et G={e, g}le groupe multiplicatif à
deux éléments. On considère l’anneau A=k[G]du groupe G.
1. Montrer que le A-module Aest la somme directe de deux idéaux. Quels sont les idéaux de A?
L’anneau Aest-il principal ?
2. Soit Bun anneau. Un B-module non nul qui ne possède aucun sous-module propre est dit simple.
Quelle est la forme générale des B-modules simples ?
(a) Quels sont les A-modules simples ?
(b) Montrer que tout A-module se décompose en somme directe de A-modules simples.
(c) On suppose que kest de caractéristique 2. Donner un exemple de A-module qui ne se
décompose pas en somme directe de A-modules simples.
3. Décrire, selon la caractéristique de k, l’ensemble des éléments nilpotents de A. Le comparer avec
l’intersection des idéaux premiers de A.
4. Imaginer un travail analogue si Gest le groupe à 3éléments.
Exercice 5 (Un peu plus difficile...). Soit Aun anneau commutatif. Un A-module Pde type fini
est dit projectif si pour tout morphisme surjectif de A-modules π:M→Net tout morphisme φ:P→
N, il existe un morphisme ψ:P→Mtel que π◦ψ=φ.
1. Propriétés élémentaires des A-modules projectifs de type fini.
(a) Un A-module libre de type fini est projectif.
(b) Un A-module de type fini est projectif si et seulement s’il est facteur direct d’un A-module
libre.
(c) Donner un exemple de A-module projectif non libre.
1

2
(d) Un A-module Pcyclique (i.e engendré par un seul élément) est projectif si et seulement si
P≃Ae pour eun élément idempotent de A.
2. On suppose que Aest local c’est-à-dire que Apossède un unique idéal maximal M. (Remarquer
que Aest local si et seulement si l’ensemble de ses éléments non inversibles forme un idéal).
(a) Montrer que si Mest un A-module de type fini tel que MM=Malors M= 0. (C’est un
cas particulier du lemme de Nakayama).
(b) Montrer qu’un A-module de type fini projectif est libre.
3. Si Aest principal, quels sont les A-modules projectifs de type fini ?
Exercice 6 (Théorème des deux carrés, bis). On note Z[i]l’anneau des entiers de Gauss. On rap-
pelle qu’il est euclidien (TD7). Soit Mun Z-module de type fini et Jun endomorphisme de Mtel que
J2=−Id.
1. Munir Md’une structure de Z[i]-module de type fini et montrer que si Mest libre comme
Z-module, alors Mest libre comme Z[i]-module.
2. Montrer que le rang de Msur Zest pair et qu’il existe une base du Z-module Mdans laquelle
la matrice de Jest 0−Id
Id 0, où les blocs sont des carrés de même taille.
3. Soit π=a+ib ∈Z[i]− {0}. Montrer que Z[i]/(π)est fini, de cardinal a2+b2.
4. Soit pun nombre premier impair. Montrer que pest somme de deux carrés si et seulement si p
est congru à 1modulo 4. (On pourra munir Z/pZd’une structure de Z[i]-module.)
Exercice 7 (Extensions séparables). Soit kun corps et Ωune clôture algébrique de k. On dit de
α∈Ωqu’il est séparable sur ksi son polynôme minimal sur kest séparable c’est-à-dire qu’il est
simplement scindé dans Ω.
1. Soit α∈Ω. Montrer que la séparabilité de αsur kest équivalente à chacune des assertions
suivantes :
(a) Le polynôme minimal de αsur kpossède [k(α) : k]racines distinctes dans Ω.
(b) Le groupe Homk(k(α),Ω) des morphismes de k-algèbres unitaires k(α)→Ωest de cardinal
[k(α) : k].
2. On dit de l’extension algébrique K/k qu’elle est séparable si tout élément de Kest séparable sur
k. Un corps dont toutes les extensions finies sont séparables est dit parfait.
(a) Un corps algébriquement clos est-il parfait ?
(b) Un corps de caractéristique nulle est-il parfait ?
(c) Un corps fini est-il parfait ?
(d) Le corps des fractions rationnelles Fp(X)est-il parfait ?
3. Montrer que le corps kest parfait si et seulement si kest de caractéristique nulle ou bien s’il est
de caractéristique pet le morphisme de corps dit de Frobenius
k→k, x 7→ xp
est un isomorphisme.
Exercice 8 (Une extension finie qui n’est pas simple). 1. Montrer que toute extension finie
d’un corps fini est une extension simple.
2. Soit Lun corps de caractéristique pet L(z)une extension de Ltelle que z6∈ L(zp). Montrer que
[L(z) : L(zp)] = p.
3. Soit K=Fp(X, Y ). On pose k=Fp(Xp, Y p). Montrer que [K:k] = p2.
4. Montrer que pour tout x∈K, on a [k(x) : k]∈ {1, p}. En déduire que K/k est une extension
algébrique de type fini qui n’est pas simple.