TD 9 - Anneaux et Modules - Corps

FIMFA 2007-2008-TD d’algèbre I
Rachel Ollivier
TD 9 - Anneaux et Modules - Corps
Les anneaux considérés sont unitaires. Par défaut, un module est un module à gauche.
Exercice 1.
1. Donner des exemples :
(a) D’une famille libre à n éléments dans An qui n’est pas une base, où A est un anneau.
(b) D’une famille génératrice minimale qui n’est pas une base.
(c) De sous-modules n’ayant pas de supplémentaire.
(d) D’un module libre ayant un sous-module qui n’est pas libre.
2. Soit A un anneau commutatif tel que tout A-module non nul est libre. Montrer que A est un
corps.
3. Soit A un anneau intègre de corps des fractions K. On suppose que K 6= A. Montrer que K n’est
pas libre comme A-module.
Exercice 2. Existe-t-il un anneau commutatif dont le groupe des inversibles est isomorphe à Z/5Z ?
(Que dire du polynôme cyclotomique Φ5 à cœfficients dans le corps à 2 éléments ? )
Exercice 3. Soit n ∈ N, n ≥ 1. Soit u : Zn → Zn un morphisme de Z-modules. On suppose que la
matrice de u dans la base canonique est de déterminant δ 6= 0. Montrer que Zn /Im(u) est un groupe
abélien fini de cardinal |δ|.
Exercice 4. Soit k un corps de caractéristique différente de 2 et G = {e, g} le groupe multiplicatif à
deux éléments. On considère l’anneau A = k[G] du groupe G.
1. Montrer que le A-module A est la somme directe de deux idéaux. Quels sont les idéaux de A ?
L’anneau A est-il principal ?
2. Soit B un anneau. Un B-module non nul qui ne possède aucun sous-module propre est dit simple.
Quelle est la forme générale des B-modules simples ?
(a) Quels sont les A-modules simples ?
(b) Montrer que tout A-module se décompose en somme directe de A-modules simples.
(c) On suppose que k est de caractéristique 2. Donner un exemple de A-module qui ne se
décompose pas en somme directe de A-modules simples.
3. Décrire, selon la caractéristique de k, l’ensemble des éléments nilpotents de A. Le comparer avec
l’intersection des idéaux premiers de A.
4. Imaginer un travail analogue si G est le groupe à 3 éléments.
Exercice 5 (Un peu plus difficile...). Soit A un anneau commutatif. Un A-module P de type fini
est dit projectif si pour tout morphisme surjectif de A-modules π : M →N et tout morphisme φ : P →
N , il existe un morphisme ψ : P → M tel que π ◦ ψ = φ.
1. Propriétés élémentaires des A-modules projectifs de type fini.
(a) Un A-module libre de type fini est projectif.
(b) Un A-module de type fini est projectif si et seulement s’il est facteur direct d’un A-module
libre.
(c) Donner un exemple de A-module projectif non libre.
1
2
(d) Un A-module P cyclique (i.e engendré par un seul élément) est projectif si et seulement si
P ≃ Ae pour e un élément idempotent de A.
2. On suppose que A est local c’est-à-dire que A possède un unique idéal maximal M. (Remarquer
que A est local si et seulement si l’ensemble de ses éléments non inversibles forme un idéal).
(a) Montrer que si M est un A-module de type fini tel que MM = M alors M = 0. (C’est un
cas particulier du lemme de Nakayama).
(b) Montrer qu’un A-module de type fini projectif est libre.
3. Si A est principal, quels sont les A-modules projectifs de type fini ?
Exercice 6 (Théorème des deux carrés, bis). On note Z[i] l’anneau des entiers de Gauss. On rappelle qu’il est euclidien (TD7). Soit M un Z-module de type fini et J un endomorphisme de M tel que
J 2 = −Id.
1. Munir M d’une structure de Z[i]-module de type fini et montrer que si M est libre comme
Z-module, alors M est libre comme Z[i]-module.
2. Montrer que le rangde M surZ est pair et qu’il existe une base du Z-module M dans laquelle
0 −Id
la matrice de J est
, où les blocs sont des carrés de même taille.
Id
0
3. Soit π = a + ib ∈ Z[i] − {0}. Montrer que Z[i]/(π) est fini, de cardinal a2 + b2 .
4. Soit p un nombre premier impair. Montrer que p est somme de deux carrés si et seulement si p
est congru à 1 modulo 4. (On pourra munir Z/pZ d’une structure de Z[i]-module.)
Exercice 7 (Extensions séparables). Soit k un corps et Ω une clôture algébrique de k. On dit de
α ∈ Ω qu’il est séparable sur k si son polynôme minimal sur k est séparable c’est-à-dire qu’il est
simplement scindé dans Ω.
1. Soit α ∈ Ω. Montrer que la séparabilité de α sur k est équivalente à chacune des assertions
suivantes :
(a) Le polynôme minimal de α sur k possède [k(α) : k] racines distinctes dans Ω.
(b) Le groupe Homk (k(α), Ω) des morphismes de k-algèbres unitaires k(α) → Ω est de cardinal
[k(α) : k].
2. On dit de l’extension algébrique K/k qu’elle est séparable si tout élément de K est séparable sur
k. Un corps dont toutes les extensions finies sont séparables est dit parfait.
(a) Un corps algébriquement clos est-il parfait ?
(b) Un corps de caractéristique nulle est-il parfait ?
(c) Un corps fini est-il parfait ?
(d) Le corps des fractions rationnelles Fp (X) est-il parfait ?
3. Montrer que le corps k est parfait si et seulement si k est de caractéristique nulle ou bien s’il est
de caractéristique p et le morphisme de corps dit de Frobenius
k → k, x 7→ xp
est un isomorphisme.
Exercice 8 (Une extension finie qui n’est pas simple).
1. Montrer que toute extension finie
d’un corps fini est une extension simple.
2. Soit L un corps de caractéristique p et L(z) une extension de L telle que z 6∈ L(z p ). Montrer que
[L(z) : L(z p )] = p.
3. Soit K = Fp (X, Y ). On pose k = Fp (X p , Y p ). Montrer que [K : k] = p2 .
4. Montrer que pour tout x ∈ K, on a [k(x) : k] ∈ {1, p}. En déduire que K/k est une extension
algébrique de type fini qui n’est pas simple.