Modules sur les anneaux principaux

FACULTE DES SCIENCES DE MEKNES
Modules sur les anneaux
principaux
12/07/2012
Résumé
Définition 1 – Soit
A un anneau (quelconque). Un A-module à gauche est
un groupe abélien M muni d’une application (multiplication externe)
A × M→ M, (
)
Vérifiant les propriétés suivantes : pour tous a, b ∈ A et tous m, n ∈ M on a
1) − (a+b)m=am+bm et a(m+n) =am+an;
2) − (ab) m=a(bm);
3) −1m=m .
Exemples
a) Un anneau A est un A-module ; un idéal de A est un A-module.
b) Un groupe abélien possède une structure de ℤ-module.
ℤ ×M → M, (
)
Si
.
Si
Si
(−(− ))
−((− ) )
c) Plus généralement, si 𝑓 : → est un homomorphisme d’anneaux et si M
est un B- module, la multiplication externe
→ définie
)
( ) munit M d’une structure de A-module à gauche.
par (
) − module est un groupe abélien M
f) Soit A et B des anneaux. Un (
muni d’une structure de A-module à gauche et B-module à droite.
e) Soit A un anneau commutatif et M un A-module à gauche.
Alors M est un (A, A)-bimodule.
Il suffit de considérer l’application
→
1
(
)
g) Soit A l’anneau des fonctions continues sur R qui sont 2 -périodiques,
l’ensemble E des fonctions continues 𝑓 qui vérifient :
(
∈
)
− ( ) est un A-module.
h) Soit 𝓛(H) (H un espace de Hilbert) l’ensemble des applications linéaires
continues et 𝓚(H) l’ensemble des opérateurs compacts de H 𝓚(H) est un
𝓛(H)-module.
si
∈ 𝓛( ) et
∈ 𝓚( ) alors
Remarques – pour tous
)(
{ )(
)
Avec
)
)
∈
(
(
∈ 𝓚( )
et tous
∈
)
→
)
( )
un homomorphisme d’anneaux
On constate ainsi que, M étant un groupe abélien, se donner une structure de
A-module sur M équivaut à se donner un homomorphisme d’anneaux
A→
(M).
2) Si A commutatif alors
(
).
Définition 2
1- Soit A un anneau On dit qu’un A-module M est de type fini s’il existe une
partie finie S M telle que M ⟨S⟩
2-Un module qui possède une base est dit libre.
3- Un sous-module d’un module M qui possède un supplémentaire est dit
facteur direct
4- On dit qu’un élément
.
∈
est de torsion s’il existe
∈
tel que
On dit que M est de torsion si tout élément de M est de torsion et qu’il est
sans torsion si 0 est le seul élément de M qui soit de torsion.
5-Une suite exacte courte est un diagramme de la forme :
→
→
→
→
2
avec
- est injectif ;
-
est surjectif.
Lorsque i(N) est un facteur direct de M on dit que P est un module projectif.
Exemples et contre exemples
1) {0} est libre.
2) Le ℤ-module ℤ est libre.
3) dans le A-module A (A commutatif), le sous-module I = ({
libre.
4) Le ℤ-module
n’est ni libre ni de type fini
5) Le ℤ-module
n’est ni libre ni de type fini.
6)
}) n’est pas
et ℤ sont sans torsion.
7) ⁄ℤ et ℤ⁄ ℤ ( ∈
) sont de torsion.
8) ℤ n’est pas un facteur direct dans ℤ.
9) ℤ n’est pas un facteur direct dans
.
10) Le sous-module {0} × ℤ⁄ ℤ est un facteur direct dans ℤ
ℤ⁄ ℤ.
11) Dans le A-module A (A intègre),
I
A est libre ⇔ I
0 ou (
∈
− { } / I = ( ))
12) ℤ comme ℤ-module est projectif (M libre ⇒ M projectif).
13) Le sous-module ⟨̅⟩ de ℤ⁄ ℤ-module ℤ⁄ ℤ est projectif.
14)
→ ⟨̅⟩ → ℤ⁄ ℤ → ⟨̅⟩ →
De même pour
est une suite exacte scindée.
→ ⟨̅⟩ → ℤ⁄ ℤ → ⟨̅⟩
15) Le théorème de la base incomplète n’est pas vérifié.
3
En effet {2} libre dans ℤ et (
∈ ℤ-{2}, {2, } est liée).
16) Considérons le ℤ -module ℤ
ℤ est un module de type fini sur lui-même par contre le sous-module ℤ(
n’est pas de type fini
)
Remarque importante
-Dans le A-module A (A commutatif) toute partie B de A telle que |B| >1 est
liée.
Théorème 1
Soit A un anneau commutatif et soit M un −module. Si M est libre, toutes
les bases de M ont même cardinal C’est par définition le rang de M.
Dém : Si (
⁄
) ∈ est une base de M, alors (̅̅̅̅) ∈ est une base de
⁄
.
est un ⁄ −espace vectoriel.
Théorème 2 (Nakayama, 1951)
Soit M un A-module de type fini et soit I un idéal de A tel que M=IM. Alors, il
existe ∈ tel que (1+ )M = {0}.
Remarques
-Si I ⊊ A alors M est de torsion
- (1+ )M = 0 ⇔ 1+ ∈ Ker avec
A → End(M)
n’est pas injective
Application
Proposition :
Soit A un anneau, soit M un A-module de type fini et soit ∈
endomorphisme surjectif. Alors, est un isomorphisme.
( ) un
Application de la proposition
Soit M un A-module libre et {
} une partie génératrice de M.
4
Alors {
} est une base de M.
Remarque importante
Avec les mêmes hypothèses {
{
} est une base de M.
} est libre n’implique pas
Il suffit de prendre la base canonique ( )
de
famille libre dans
mais n’est pas une base
; on a (
)
est
Modules noethériens
Définition
Soit A un anneau et soit M un A-module. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
(1) tout sous-module de M est de type fini ;
(2) toute suite croissante (resp. décroissante) de sous-modules de M est stationnaire ;
(3) toute famille de sous-modules de M admet un élément maximal (resp. minimal).
Proposition
Soit A un anneau noethérien et M un A-module de type fini. Alors, M est un
module noethérien.
Donc sur un anneau noethérien tout sous-module d’un A-module de type fini
est de type fini.
Modules sur les anneaux principaux
Nous avons vu que I ⊊ A est libre
(I = (0) ou (I = ( ) avec
∈
− { })
Donc si A est principal, l’équivalence ci-dessus est vérifiée.
Pour
considérons l’application
On a Ker
Donc si P ⊊
{(
→
(
) ⁄
)
∈
, P est libre de rang
∈{
− }}.
.
En particulier si M un A-module quelconque (A principal) de rang
sous-module de M est libre.
5
tout
Théorème de la base adaptée
Soit A un anneau principal. Soit M un A-module libre de rang et soit P un
} une base
sous-module de M. Alors il existe un entier ∈ {
(
) de M et des éléments
non nuls dans A tels que :
- Pour tout ∈ {
- La famille {
− }
divise
} est une base de P.
Remarques
- Si
alors on a pas forcement P = M (par exemple ℤ dans ℤ).
- Le théorème de la base adaptée ne dit pas que N admet un
supplémentaire ni que l’on peut compléter une base de N en une base
de M
Version matricielle du théorème (La forme normale)
- Soit
Il existe
( )
∈
∈
( ) et
forme (par blocs) (
où les scalaires
∈
( ) telles que la matrice
(
)
∈
De plus, les scalaires
∈
( ) et
∈
|
Les scalaires
|
|
) pour un certain entier
− { } sont non nuls et vérifient
|
|
|
sont uniques, à des inversibles près s’il existe
( ) telles que
(
(
Avec
soit de la
alors
et ( )
)
(
)
) pour tout i.
sont appelés facteurs invariants de la matrice B.
Exemple d’application
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Soit M le ℤ-module ℤ et soit N le sous-module engendré par les vecteurs
(−
) La famille
(
− ) et
(
) est une base de
N. Notons 𝓑 la base canonique de M La matrice de l’inclusion
→ dans
les bases et 𝓑 est :
−
B=(
).
−
En appliquant successivement les transformations
−
on obtient la matrice :
B’ (
On note
− ).
∈
(ℤ) la matrice obtenue à partir de en appliquant
et ∈
(ℤ) la matrice obtenue à partir de en
appliquant dans l’ordre inverse les transformations inverses sur les lignes
c’est-à-dire, les transformations
−
,
−
on a la relation B’ PBQ
Un rapide calcul montre que :
−
(
−
)
(
(−
) et
(
) la
Ainsi si l’on pose
− ) et
matrice P est la matrice de passage de la base canonique 𝓑 à la base 𝓑’
(
)
D’où la famille (
) est une base du sous-module N.
Théorème de structure des modules de type fini
Soit A un anneau principal et soit M un A-module de type fini.
Alors il existe un unique entier
et une unique famille d’éléments
(
) non inversible tels que ( ) ( )
( ) et
M
⁄(
)
⁄(
)
⁄(
)
.
7
Les éléments (
) sont les facteurs invariants de M.
Remarques
-
M est sans torsion de type fini ⇔ M est libre
pour tout
⁄( )
⁄( )
Si M de torsion, alors
M de torsion
pour tout
S’il existe des nuls et d’autres non nuls alors
sous-module de M libre.
⁄(
)
avec L un
Exemple Soit G un groupe abélien d’ordre 360
Décomposons 360 en produit d’éléments premiers : 360 =
.
Donc d’après la décomposition primaire de G on a G
Les trois groupe sont de torsion donc chacun admet des facteurs invariants :
1- il y en a trois pour
(ℤ⁄ ℤ) ℤ⁄ ℤ
2- il y en a deux pour
(ℤ⁄ ℤ)
ℤ⁄ ℤ
ℤ⁄ ℤ
ℤ⁄ ℤ
3- il y en a une seule pour
On en déduit qu’il y a 6 classes d’isomorphisme de groupes abéliens.
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