Modules sur les anneaux principaux

FACULTE DES SCIENCES DE MEKNES
Modules sur les anneaux
principaux
12/07/2012

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Résumé
Définition 1  Soit A un anneau (quelconque). Un A-module à gauche est
un groupe  application (multiplication externe)
A × M, 
Vérifiant les propriétés suivantes : pour tous a, b  m, n  on a
 (a+b)m=am+bm et a(m+n) =am+an;
 (ab) m=a(bm);
1m=m .
Exemples
a) Un anneau A est un A-module ; un idéal de A est un A-module.
b) Un groupe abélien possède une -module.
 ×M M, 
Si .
Si 
Si  
c) Plus généralement, si  : 
est un B- module, la multiplication externe définie
par  structure de A-module à gauche.
f) Soit A et B des anneaux. Un module est un groupe abélien M
 de A-module à gauche et B-module à droite.
e) Soit A un anneau commutatif et M un A-module à gauche.
Alors M est un (A, A)-bimodule.

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g) S-périodiques,
 qui vérifient :
 est un A-module.
h) Soit (H) (H un espace de Hilbert
continues et (H)  (H) est un
(H)-module.
si  et  alors 
Remarques  pour tous et tous 
Avec  un 
On constate ainsi que, M étant un groupe abélien, se donner une structure de
A-
A(M).
2) Si A commutatif alors .
Définition 2
1- -
partie finie S M telle que M
2-Un module qui possède une base est dit libre.
3- Un sous-
facteur direct
4-  est de torsion   tel que
.
On dit que M est de torsion 
sans torsion si 0 est le seul élément de M qui soit de torsion.
5-Une suite exacte courte est un diagramme de la forme :

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avec
- est injectif ;
-
- est surjectif.
Lorsque i(N) est un facteur direct de M on dit que P est un module projectif.
Exemples et contre exemples
1) {0} est libre.
2) Le -module  est libre.
3) dans le A-module A (A commutatif), le sous-module I =  
libre.
4) Le -module  
5) Le -module  ni libre ni de type fini.
6)  et  sont sans torsion.
7)  
 et     sont de torsion.
8)  .
9)  un facteur direct dans .
10) Le sous-module {0} × 
 est un facteur direct dans   .
11) Dans le A-module A (A intègre),
 / I = ())
12)  comme -.
13) Le sous-module 
 de  
-module    est projectif.
14) 
 est une suite exacte scindée.
De même pour 
15)  pas vérifié.

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En effet {2} libre dans  et ( -{2}, {2,} est liée).
16) Considérons le -module 
 est un module de type fini sur lui-même par contre le sous-module 
Remarque importante
-Dans le A-module A (A commutatif) toute partie B de A telle que |B| >1 est
liée.
Théorème 1
Soit A un anneau commutatif et soit M un module. Si M est libre, toutes
 le rang de M.
Dém : Si  est une base de M, alors   est une base de 
.
 est un   espace vectoriel.
Théorème 2 (Nakayama, 1951)
Soit M un A-module de type fini et soit I un idéal de A tel que M=IM. Alors, il
existe  tel que (1+)M = {0}.
Remarques
-
- (1+)M = 0  1+ Ker avec  A End(M)
Application
Proposition :
Soit A un anneau, soit M un A-module de type fini et soit  un
endomorphisme surjectif. Alors,  est un isomorphisme.
Application de la proposition
Soit M un A-module libre et {} une partie génératrice de M.