parties génératrices de GLn(K)

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Parties génératrices de GLn(K)et SLn(K). Applications.
Soit n∈N∗et Kun corps commutatif.
Théorème 1. Pour A∈GLn(K), il existe des matrices de transvections B1, . . . , Bp, B0
1, . . . , B0
q
telles que A=B1. . . BpSn(det(A))B0
1. . . B0
qoù Sn(det(A)) = Diag(1,...,1,det(A)). Ainsi :
•GLn(K)est engendré par les transvections et dilatations.
• SLn(K)est engendré par les transvections.
Démonstration. Raisonnons par récurrence sur n∈N∗. Le résultat est clair si n= 1, on le
suppose vrai au rang n−1.
Objectif 1. Aest inversible, sa première colonne est donc non nulle et l’objectif est d’obtenir
un coefficient 1en position (1,1) et d’annuler les autres coefficients d’indice (i, 1) (pour i > 1)
de la première colonne par des opérations élémentaires sur les lignes.
Objectif 2. On opérera de même sur la première ligne en conservant le 1en position (1,1) et
en annulant les coefficients d’indice (1, j)pour j > 1, grâce à des opérations élémentaires sur les
colonnes.
Comme nous voulons agir par des matrices de transvections, on doit alors utiliser les opérations
élémentaires suivantes, pour i6=j:
•ajouter à la i-ème ligne de A,λfois la j-ème ligne de Aqui correspond matriciellement à
(In+λEi,j )A
•ajouter à la j-ème colonne de A,λfois la i-ème colonne de Aqui correspond matriciellement
àA(In+λEi,j )
Comme Aest inversible, il existe i∈[[1, n]] tel que ai,16= 0 (sinon la première colonne serait
nulle et Anon inversible) et essayons d’obtenir par une action à gauche sur Apar une matrice de
transvection, un coefficient non nul en position (2,1). Si a2,16= 0 on a terminé, sinon l’opération
L2←L2+ai,1Liqui correspond au produit matriciel (In+ai,1E2,i)Apermet d’obtenir un coeffi-
cient non nul en position (2,1) pour la matrice (In+ai,1E2,i)Aque l’on note T1A. Notant encore
par commodité (ai,j )1≤i,j≤nles coefficients de cette nouvelle matrice, l’opération élémentaire
L1←L1+λL2permet d’obtenir un 1en position (1,1) si a1,1+λa2,1= 1 i.e si λ=−a1,1
a2,1, licite
car a2,16= 0. Notant T2=In−a1,1
a2,1E1,2, la matrice T2T1Aadmet un coefficient 1en position
(1,1). Alors par les opérations Li←− λiL1pour i > 1et λibien choisi on annule les coefficients
d’indice (i, 1) de la première colonne de T2T1A. On en déduit alors que pour au plus p≤n−1
matrices de transvections B1,...Bpon a :
(B1. . . Bp)T1T2A=
1×. . . ×
0×. . . ×
.
.
..
.
..
.
.
0×. . . ×
On opère ensuite sur la première ligne de la matrice précédente, afin d’annuler les coefficients
d’indice (1, j)pour j > 1. Ceci correspond à des multiplications à droites par des matrices de
transvections bien choisies (même méthode que pour les lignes) et de même pour q≤n−1
matrices de transvections B0
1, . . . , B0
qon trouve que :
(B1. . . Bp)T1T2A(B0
1. . . B0
q) = A0=
1 0 . . . 0
0×. . . ×
.
.
..
.
..
.
.
0×. . . ×
Conclusion : On note alors Ble bloc inférieur droit. Les matrices de transvections étant de
déterminant 1, par le calcul du déterminant par blocs, il vient que det(B) = det(A)6= 0 =⇒B
est inversible. Par HR(n−1), il existe C1, . . . , Cr, C0
1, . . . , C0
smatrices de transvections, telles
que :
B= (C1. . . Cr)Sn−1(det(B))(C0
1. . . C0
s)où Sn−1(det(B)) =
1 0 . . . 0
0.......
.
.
.
.
....1 0
0. . . 0 det(A)

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Posons : Di=1
Ciet D0
i=1
C0
iavec Sn(det(A)) = 1
Sn−1(det(A))on a alors
A0=D1. . . DrSn(det(A))D0
1. . . D0
set les matrices de transvections étant inversibles, il vient :
A=T−1
2T−1 1B−1
p. . . B−1
1(D1. . . DrSn(det(A))D0
1. . . Ds)0B0−1
q. . . B0−1
1
ce qui donne le résultat.
Application 1. D(GLn(K)) = SLn(K)si (n, K)6= (2,F2).
Démonstration. :
Cas 1 : Soit n≥3. Montrons d’abord que D(GLn(K)) ⊂ SLn(K). Pour ABA−1B−1on a :
det(ABA−1B−1) = det(A) det(B) det(A)−1det(B)−1
par multiplicativité de det et puisque Kest commutatif. Il vient :
det(ABA−1B−1) = 1 =⇒[A, B]∈SLn(K) =⇒D(GLn(K)) ⊂SLn(K).
Inversement, soit A∈SLn(K), alors Sn(det(A)) = Inet As’écrit d’après le théorème 1comme
un produit fini de matrices de transvections.
Objectif 3. Montrons que chaque matrice de transvection est un commutateur.
Pour i, j, on a Ei,j Ek,l =δj,k Ei,l et donc pour i6=jet k6∈ {i, j}(licite car n≥3) on a :
(In+λEi,j )=(In+λEi,k)(In+Ek,j )(In−λEi,k)(In−Ek,j )
avec (In+λEi,k)−1= (In−λEi,k )et (In+Ek,j )−1= (In−Ek,j ), ce qui montre que toute
transvection est un commutateur et donne le résulat si n≥3.
Cas 2 : soit n= 2 et K6=F2,F3. Pour (α, β)∈K×K∗, on a :
β0
0β−11α 0 1β−10 0β1−α 0 1 =1α(β2−1) 0 1 
Montrons alors que la matrice de transvection 1a
0 1est un commutateur. Comme K∗est de
cardinal strictement supérieur à 2, il existe β6∈ {0,−1,1}ie tel que β2−16= 0 et il suffit donc de
prendre β6∈ {0,−1,1}et poser α=a(β2−1)−1. De même, en transposant l’égalité matricielle
précédente, on montre que 1 0
a1est un commutateur, ce qui prouve bien que :
D(GL2(K)) = SL2(K), si K6=F2,F3
Cas 3 : Montrons que D(GL2(F3)) = SL2(F3). Soit T=1 1
0 1et S=1 0 0−1. On a :
ST S−1T−1=Tet T−1=T ST −1S−1est aussi un commutateur.
En transposant l’égalité ci dessus, on trouve également que tT,tT−1sont des commutateurs.
Or, sur F3,T, T −1,tTet tT−1sont avec I3les seules transvections. Ces transvections engendrent
SL2(F3)et donc SL2(F3)⊂D(GL2(F3)) =⇒D(GL2(F3)) = SL2(F3).
Application 2. Soit n∈N∗et Fqun corps fini. Soit (n, Fq)6= (2,F2)et g:GLn(Fq)−→ F∗
q
un morphisme de groupe, alors il existe k∈Ntel que pour tout A∈GLn(Fq), g(A) = det(A)k.
Démonstration. :
Etape 1 : Montrons d’abord que si Gest un groupe commutatif et φ:GLn(K)−→ Gun
morphisme de groupe, il existe un morphisme de groupe f:K∗−→ Gtel que φ=f◦det.
Comme φest un morphisme et Gcommutatif, pour tout commutateur ABA−1B−1, on a :
φ(ABA−1B−1) = φ(A)φ(B)φ(A)−1φ(B)−1= 1G=⇒D(GLn(K)) = SLn(K)⊂Ker(φ).
Soit A∈GLn(K), alors det(A)6= 0 et Sn(det(A)) est inversible d’inverse Sn(det(A)−1). Posons
A0=Sn(det(A)−1)A, alors det(A0)=1=⇒A0∈ SLn(K)⊂Ker(φ). On en déduit donc
φ(A) = φ(Sn(det(A)) et définissons naturellement
f:K∗−→ G
α7−→ φ(Sn(α))

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L’application fest un morphisme de groupe et on a bien φ=f◦det.
Etape 2 : Soit maintenant G=F∗
qavec (n, Fq)6= (2,F2). Alors, F∗ qest cyclique et soit ζ∈K∗un
générateur. Pour le morphisme g:GLn(Fq)−→ F∗
q, d’après ce qui précède, il existe un morphisme
f:F∗
q−→ F∗ qtel que g=f◦det. On détermine alors entièrement fpar la connaissance de l’image
de ζ. Or, Il existe k∈Ztel que f(ζ) = ζk∈F∗
q, alors pour x∈F∗ q, on a x=ζppour p∈Net
donc :
f(x) = f(ζp) = f(ζ)p= (ζk)p= (ζp)k=xk
soit finalement pour tout A∈GLn(Fq), g(A) = f(det(A)) = det(A)k.
Rappel 1. SLn(K) = {M∈ Mn(K)|det(M) = 1}
Rappel 2. Pour i, j ∈[[1, n]], on définit Ei,j comme la matrice de Mn(K)dont tous les coeffi-
cients sont nuls sauf celui d’indice (i, j)qui vaut 1.
Rappel 3. On appelle matrice de transvection les matrices de la forme In+λEi,j pour i6=j.
Pour α6= 0, on appelle matrice de dilatation, les matrices inversibles notées Sn(α)de la forme :
1 0 . . . 0
0.......
.
.
.
.
....1 0
0. . . 0α
De plus, une matrice de transvection est inversible et son inverse est aussi une matrice de trans-
vection.
Démonstration. Une matrice de transvection est en particulier une matrice triangulaire supé-
rieure ou triangulaire inférieure puisque pour i6=j, le seul coefficient non nul en dehors de la
diagonale est le coefficient d’indicie (i, j)qui vaut λsi la matrice considérée est In+λEi,j . Donc,
par calcul du déterminant d’une matrice triangulaire, on voit que le produit des coefficients
diagonaux d’une matrice de transvection est exactement 1et que :
det(In+λEi,j ) = 1 =⇒In+λEi,j ∈SLn(K)et est inversible.
Comme pour i, j, k, l ∈[[1, n]] on a Ei,j Ek,l =δj,kEi,l où δi,j désigne le symbole de Kronecker, on
a en particulier E2
i,j = 0 et donc :
(In+λEi,j )(In−λEi,j ) = In−λ2E2
i,j =In(In−λEi,j )(In+λEi,j ) = In−λ2E2 i,j =In
ce qui montre que (In+λEi,j )−1= (In−λEi,j )est une matrice de transvection.
Rappel 4.
•Les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice correspondent à des multiplications
àgauche par des matrices inversibles élémentaires.
•Les opérations élémentaires sur les colonnes d’une matrice correspondent à des multiplica-
tion à droite par des matrices inversibles élémentaires.
Rappel 5. Le fait d’échanger deux lignes ou deux colonnes et de multiplier une ligne ou une
colonne par un scalaire correspond à des matrices d’opérations élémentaires mais qui ne sont pas
des transvections.
Rappel 6. On appelle commutateur de GLn(K), toute matrice ABA−1B−1où A, B ∈GLn(K).
On note D(GLn(K)) le groupe dérivé, engendré par les commutateurs.
Références :
•Gourdon. Algèbre. Pour le théorème 1, l’application 1sauf le cas (n= 2,K=F3)et aussi
l’application 2.
•Perrin, cours d’Algèbre. Pour le cas (n= 2,K=F3)de l’étude du groupe dérivé.