parties génératrices de GLn(K)

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Parties génératrices de GLn (K) et SLn (K). Applications.
Soit n ∈ N∗ et K un corps commutatif.
Théorème 1. Pour A ∈ GLn (K), il existe des matrices de transvections B1 , . . . , Bp , B10 , . . . , Bq0
telles que A = B1 . . . Bp Sn (det(A))B10 . . . Bq0 où Sn (det(A)) = Diag(1, . . . , 1, det(A)). Ainsi :
• GLn (K) est engendré par les transvections et dilatations.
• SLn (K) est engendré par les transvections.
Démonstration. Raisonnons par récurrence sur n ∈ N∗ . Le résultat est clair si n = 1, on le
suppose vrai au rang n − 1.
Objectif 1. A est inversible, sa première colonne est donc non nulle et l’objectif est d’obtenir
un coefficient 1 en position (1, 1) et d’annuler les autres coefficients d’indice (i, 1) (pour i > 1)
de la première colonne par des opérations élémentaires sur les lignes.
Objectif 2. On opérera de même sur la première ligne en conservant le 1 en position (1, 1) et
en annulant les coefficients d’indice (1, j) pour j > 1, grâce à des opérations élémentaires sur les
colonnes.
Comme nous voulons agir par des matrices de transvections, on doit alors utiliser les opérations
élémentaires suivantes, pour i 6= j :
• ajouter à la i-ème ligne de A, λ fois la j-ème ligne de A qui correspond matriciellement à
(In + λEi,j )A
• ajouter à la j-ème colonne de A, λ fois la i-ème colonne de A qui correspond matriciellement
à A(In + λEi,j )
Comme A est inversible, il existe i ∈ [[1, n]] tel que ai,1 6= 0 (sinon la première colonne serait
nulle et A non inversible) et essayons d’obtenir par une action à gauche sur A par une matrice de
transvection, un coefficient non nul en position (2, 1). Si a2,1 6= 0 on a terminé, sinon l’opération
L2 ← L2 + ai,1 Li qui correspond au produit matriciel (In + ai,1 E2,i )A permet d’obtenir un coefficient non nul en position (2, 1) pour la matrice (In + ai,1 E2,i )A que l’on note T1 A. Notant encore
par commodité (ai,j )1≤i,j≤n les coefficients de cette nouvelle matrice, l’opération élémentaire
a1,1
, licite
L1 ← L1 + λL2 permet d’obtenir un 1 en position (1, 1) si a1,1 + λa2,1 = 1 i.e si λ = − a2,1
a1,1
car a2,1 6= 0. Notant T2 = In − a2,1
E1,2 , la matrice T2 T1 A admet un coefficient 1 en position
(1, 1). Alors par les opérations Li ←− λi L1 pour i > 1 et λi bien choisi on annule les coefficients
d’indice (i, 1) de la première colonne de T2 T1 A. On en déduit alors que pour au plus p ≤ n − 1
matrices de transvections B1 , . . . Bp on a :


1 × ... ×
0 × . . . ×


(B1 . . . Bp )T1 T2 A =  . .
.. 
 .. ..
.
0 × ... ×
On opère ensuite sur la première ligne de la matrice précédente, afin d’annuler les coefficients
d’indice (1, j) pour j > 1. Ceci correspond à des multiplications à droites par des matrices de
transvections bien choisies (même méthode que pour les lignes) et de même pour q ≤ n − 1
matrices de transvections B10 , . . . , Bq0 on trouve que :


1 0 ... 0
 0 × . . . ×


(B1 . . . Bp )T1 T2 A(B10 . . . Bq0 ) = A0 =  . .
.. 
 .. ..
.
0
× ...
×
Conclusion : On note alors B le bloc inférieur droit. Les matrices de transvections étant de
déterminant 1, par le calcul du déterminant par blocs, il vient que det(B) = det(A) 6= 0 =⇒ B
est inversible. Par HR(n − 1), il existe C1 , . . . , Cr , C10 , . . . , Cs0 matrices de transvections, telles
que :


1 0 ...
0

.. 
0 . . . . . .
. 

B = (C1 . . . Cr )Sn−1 (det(B))(C10 . . . Cs0 ) où Sn−1 (det(B)) = 
. .

.. 1
 ..
0 
0 . . . 0 det(A)
2
Posons : Di =
1
Di0
1
1
=
avec Sn (det(A)) =
et
on a alors
Ci
Ci0
Sn−1 (det(A))
0
0
A = D1 . . . Dr Sn (det(A))D1 . . . Ds et les matrices de transvections étant inversibles, il vient :
0
A = T2−1 T1−1 Bp−1 . . . B1−1 (D1 . . . Dr Sn (det(A))D10 . . . Ds )0 Bq0−1 . . . B10−1
ce qui donne le résultat.
Application 1. D(GLn (K)) = SLn (K) si (n, K) 6= (2, F2 ).
Démonstration. :
Cas 1 : Soit n ≥ 3. Montrons d’abord que D(GLn (K)) ⊂ SLn (K). Pour ABA−1 B −1 on a :
det(ABA−1 B −1 ) = det(A) det(B) det(A)−1 det(B)−1
par multiplicativité de det et puisque K est commutatif. Il vient :
det(ABA−1 B −1 ) = 1 =⇒ [A, B] ∈ SLn (K) =⇒ D(GLn (K)) ⊂ SLn (K).
Inversement, soit A ∈ SLn (K), alors Sn (det(A)) = In et A s’écrit d’après le théorème 1 comme
un produit fini de matrices de transvections.
Objectif 3. Montrons que chaque matrice de transvection est un commutateur.
Pour i, j, on a Ei,j Ek,l = δj,k Ei,l et donc pour i 6= j et k 6∈ {i, j} (licite car n ≥ 3) on a :
(In + λEi,j ) = (In + λEi,k )(In + Ek,j )(In − λEi,k )(In − Ek,j )
−1
avec (In + λEi,k )
= (In − λEi,k ) et (In + Ek,j )−1 = (In − Ek,j ), ce qui montre que toute
transvection est un commutateur et donne le résulat si n ≥ 3.
Cas 2 : soit n = 2 et K 6= F2 , F3 . Pour (α, β) ∈ K × K∗ , on a :
−1
β
0
1 α
β
0
1 −α
1 α(β 2 − 1)
=
0 β −1
0 1
0
β
0 1
0
1
1 a
Montrons alors que la matrice de transvection
est un commutateur. Comme K∗ est de
0 1
cardinal strictement supérieur à 2, il existe β 6∈ {0, −1, 1} ie tel que β 2 − 1 6= 0 et il suffit donc de
2
−1
prendre β 6∈ {0, −1, 1} et poser
α= a(β − 1) . De même, en transposant l’égalité matricielle
1 0
précédente, on montre que
est un commutateur, ce qui prouve bien que :
a 1
D(GL2 (K)) = SL2 (K), si K 6= F2 , F3
1 1
1
Cas 3 : Montrons que D(GL2 (F3 )) = SL2 (F3 ). Soit T =
et S =
0 1
0
0
. On a :
−1
ST S −1 T −1 = T et T −1 = T ST −1 S −1 est aussi un commutateur.
En transposant l’égalité ci dessus, on trouve également que t T , t T −1 sont des commutateurs.
Or, sur F3 , T, T −1 , t T et t T −1 sont avec I3 les seules transvections. Ces transvections engendrent
SL2 (F3 ) et donc SL2 (F3 ) ⊂ D(GL2 (F3 )) =⇒ D(GL2 (F3 )) = SL2 (F3 ).
Application 2. Soit n ∈ N∗ et Fq un corps fini. Soit (n, Fq ) 6= (2, F2 ) et g : GLn (Fq ) −→ F∗q
un morphisme de groupe, alors il existe k ∈ N tel que pour tout A ∈ GLn (Fq ), g(A) = det(A)k .
Démonstration. :
Etape 1 : Montrons d’abord que si G est un groupe commutatif et φ : GLn (K) −→ G un
morphisme de groupe, il existe un morphisme de groupe f : K∗ −→ G tel que φ = f ◦ det.
Comme φ est un morphisme et G commutatif, pour tout commutateur ABA−1 B −1 , on a :
φ(ABA−1 B −1 ) = φ(A)φ(B)φ(A)−1 φ(B)−1 = 1G =⇒ D(GLn (K)) = SLn (K) ⊂ Ker(φ).
Soit A ∈ GLn (K), alors det(A) 6= 0 et Sn (det(A)) est inversible d’inverse Sn (det(A)−1 ). Posons
A0 = Sn (det(A)−1 )A, alors det(A0 ) = 1 =⇒ A0 ∈ SLn (K) ⊂ Ker(φ). On en déduit donc
φ(A) = φ(Sn (det(A)) et définissons naturellement
f:
K∗
α
−→
7−→
G
φ(Sn (α))
3
L’application f est un morphisme de groupe et on a bien φ = f ◦ det.
Etape 2 : Soit maintenant G = F∗q avec (n, Fq ) 6= (2, F2 ). Alors, F∗q est cyclique et soit ζ ∈ K∗ un
générateur. Pour le morphisme g : GLn (Fq ) −→ F∗q , d’après ce qui précède, il existe un morphisme
f : F∗q −→ F∗q tel que g = f ◦det. On détermine alors entièrement f par la connaissance de l’image
de ζ. Or, Il existe k ∈ Z tel que f (ζ) = ζ k ∈ F∗q , alors pour x ∈ F∗q , on a x = ζ p pour p ∈ N et
donc :
f (x) = f (ζ p ) = f (ζ)p = (ζ k )p = (ζ p )k = xk
soit finalement pour tout A ∈ GLn (Fq ), g(A) = f (det(A)) = det(A)k .
Rappel 1. SLn (K) = {M ∈ Mn (K) | det(M ) = 1}
Rappel 2. Pour i, j ∈ [[1, n]], on définit Ei,j comme la matrice de Mn (K) dont tous les coefficients sont nuls sauf celui d’indice (i, j) qui vaut 1.
Rappel 3. On appelle matrice de transvection les matrices de la forme In + λEi,j pour i 6= j.
Pour α 6= 0, on appelle matrice de dilatation, les matrices inversibles notées Sn (α) de la forme :


1 0 ... 0

.
0 . . . . . . .. 


. .

. . 1 0
 ..
0 ... 0 α
De plus, une matrice de transvection est inversible et son inverse est aussi une matrice de transvection.
Démonstration. Une matrice de transvection est en particulier une matrice triangulaire supérieure ou triangulaire inférieure puisque pour i 6= j, le seul coefficient non nul en dehors de la
diagonale est le coefficient d’indicie (i, j) qui vaut λ si la matrice considérée est In + λEi,j . Donc,
par calcul du déterminant d’une matrice triangulaire, on voit que le produit des coefficients
diagonaux d’une matrice de transvection est exactement 1 et que :
det(In + λEi,j ) = 1 =⇒ In + λEi,j ∈ SLn (K) et est inversible.
Comme pour i, j, k, l ∈ [[1, n]] on a Ei,j Ek,l = δj,k Ei,l où δi,j désigne le symbole de Kronecker, on
2
a en particulier Ei,j
= 0 et donc :
(In + λEi,j )(In − λEi,j ) = In − λ2 E2i,j = In (In − λEi,j )(In + λEi,j ) = In − λ2 E2i,j = In
ce qui montre que (In + λEi,j )−1 = (In − λEi,j ) est une matrice de transvection.
Rappel 4.
• Les opérations élémentaires sur les lignes d’une matrice correspondent à des multiplications
à gauche par des matrices inversibles élémentaires.
• Les opérations élémentaires sur les colonnes d’une matrice correspondent à des multiplication à droite par des matrices inversibles élémentaires.
Rappel 5. Le fait d’échanger deux lignes ou deux colonnes et de multiplier une ligne ou une
colonne par un scalaire correspond à des matrices d’opérations élémentaires mais qui ne sont pas
des transvections.
Rappel 6. On appelle commutateur de GLn (K), toute matrice ABA−1 B −1 où A, B ∈ GLn (K).
On note D(GLn (K)) le groupe dérivé, engendré par les commutateurs.
Références :
• Gourdon. Algèbre. Pour le théorème 1, l’application 1 sauf le cas (n = 2, K = F3 ) et aussi
l’application 2.
• Perrin, cours d’Algèbre. Pour le cas (n = 2, K = F3 ) de l’étude du groupe dérivé.