CCP Maths 2 MP 2005 — Corrigé

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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/14
CCP Maths 2 MP 2005 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Hicham Qasmi (ENS Lyon) ; il a été relu par Guillaume
Dujardin (ENS Cachan) et Paul Pichaureau (Professeur en CPGE).
Ce sujet aborde le thème des racines carrées de matrices. Il porte essentiellement
sur l’étude de leur existence et sur les propriétés topologiques de l’ensemble qu’elles
constituent. Il est composé de trois parties indépendantes.
•La première partie permet de déterminer les racines carrées de quelques
matrices simples. Elle fait appel à des notions de base en algèbre linéaire,
et plus précisément sur la réduction des matrices.
•La deuxième porte sur l’étude de quelques propriétés topologiques des racines
carrées de matrices : forment-elles un ensemble fermé ? borné ?
•Enfin, la troisième partie propose de déterminer l’intérieur de l’ensemble des
racines carrées de matrices en introduisant un ensemble bien choisi de
polynômes dont on étudie les racines.
Dans l’ensemble, le sujet est de longueur raisonnable et ne présente pas de grande
difficulté. Il a l’avantage d’être assez complet car il fait appel à des outils d’algèbre
(la réduction de matrices et les polynômes) et de topologie (les espaces vectoriels
normés).
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/14
Indications
Première partie
2.b Utiliser le résultat de la question précédente.
2.d Exploiter le calcul de la question précédente.
3 On pourra utiliser les résultats des questions 1, 2.d et 2.e.
4 Appliquer le résultat de la question précédente. Puis, pour rendre les calculs plus
aisés, remarquer que Aest symétrique et possède des valeurs propres simples.
5.a Penser à la formule du rang.
5.b Garder à l’esprit que cette base de Im fest aussi une famille de vecteurs
de Ker f.
6.a Utiliser le résultat de la question précédente.
6.b Quelles sont les valeurs possibles de r?
7.b Trouver un polynôme annulateur de R.
8 Utiliser la question précédente.
9 Utiliser la question 2.d.
10 On s’inspirera de la réponse à la question 3.
Deuxième partie
11 Écrire Rac(A) comme l’ensemble des zéros d’une fonction bien choisie.
12.b S’inspirer de la preuve de la question précédente.
12.c Se souvenir de la question 7.a.
Troisième partie
13 Penser à la définition de la norme infinie sur Rp.
15.a Utiliser la question 14.a.
15.b Utiliser les questions 13.a puis 15.a.
15.c Utiliser la question précédente.
16.b Appliquer le résultat des questions 13.b et 15.c.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/14
I. Détermination de Rac(A) dans
quelques exemples simples
1La matrice A est réelle de taille net possède exactement nvaleurs propres réelles
distinctes ; elle est donc diagonalisable, c’est-à-dire
∃P∈GLn(R) A = PDP−1
où D = diag(λ1,...,λn).
Supposons que Rsoit une racine carrée de A. Comme
∃P∈GLn(R) A = PDP−1
on a S2=P−1RP2
= P−1RPP−1RP
= P−1R2P
= P−1AP car R∈Rac(A)
S2= D
Autrement dit, Sest une racine carrée de D.
Réciproquement, si la matrice Sest une racine carrée de D, alors
R2=PSP−12
= PSP−1PSP−1
= PS2P−1
= PDP−1car S∈Rac(D)
R2= A
donc Rest une racine carrée de A. Finalement,
R∈Rac(A) ⇐⇒ S∈Rac(D)
2.a Soit Sune racine carrée de D. Il vient que
DS = S2S = SS2= SD
Les matrices Set Dcommutent.
2.b Pour toute matrice M, notons mij son coefficient (i, j). Le coefficient (i, j)
de la matrice DS −SD s’écrit
n
P
k=1
dikskj −
n
P
k=1
sikdkj = (λi−λj)sij
Par ailleurs, les valeurs propres λ1,...,λnsont deux à deux distinctes, donc
∀(i, j)∈ {1,...,n}2i6=j=⇒sij = 0
La matrice Sest donc diagonale.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/14
2.c Sest une racine carrée de Ddonc S2= D. Or Sest diagonale, si bien que
∀i∈ {1,...,n}si
2=λi
2.d Soit Rune racine carrée de A. D’après la question 1, S = P−1RP est
alors une racine carrée de D = diag(λ1,...,λn). De plus, d’après la question 2.c,
Sest forcément diagonale et ses coefficients diagonaux vérifient
∀i∈ {1,...,n}si
2=λi
Ainsi, ∀i∈ {1,...,n}λi>0
Une condition nécessaire pour qu’il existe une racine carrée de Aest que toute valeur
propre de Asoit positive ou nulle. La contraposée s’écrit alors
Si Aadmet une valeur propre strictement
négative alors Rac(A) est l’ensemble vide.
2.e Soit Sune racine carrée de D. D’après la question 2.c,
∀i∈ {1,...,n}si
2=λi
donc ∀i∈ {1,...,n} ∃εi∈ {−1; 1}si=εi√λi
Réciproquement, soient (ε1,...,εn)∈ {−1; 1}net S = diag(ε1√λ1,...,εn√λn).
Le carré de Sest
S2=diag ε1
2λ1,...,εn 2λn= D
Ainsi,
Rac(D) = S∈Mn(R)| ∃(εi)16i6n∈ {−1; 1}nS = diag ε1√λ1,...,εn√λn
3Si Aadmet une valeur propre strictement négative alors, d’après la question 2.d,
Rac(A) est vide.
Sinon, considérons Rune matrice de Mn(R). D’après la question 1, S = P−1RP
est une racine carrée de Dsi et seulement si Rest une racine carrée de A, donc
Rac(A) = PSP−1
S∈Rac(D)
où Rac(D) est donné par la question précédente. Comme λ1< λ2< . . . < λn,
•soit λ1est nul, auquel cas Rac(A) possède exactement 2n−1éléments ;
•soit λ1n’est pas nul, auquel cas Rac(A) possède exactement 2néléments.
En conclusion,
card Rac(A) = 
0si une valeur propre de A est strictement négative
2n−1si 0 est la plus petite valeur propre de A
2nsinon
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