Racine carree

RACINE CARREE
1-RACINE CARREE
1-1DEFINITION
La racine carrée d'un nombre x est le nombre positif y tel que y×y=x.
12Exemple
La racine carrée de 64 est 8 car 8×8=64.
1-3Notation
On note
.
La racine carrée d'un nombre négatif est impossible car le résultat du produit d'un nombre par lui-même est
toujours positif.
Les racines carrées permettent d'utiliser le théorème de Pythagore et de résoudre des équations du second degré.
Calculs avec des racines carrées
Les formules ci-dessous permettent de faire des calculs avec des racines carrées.
Formules
1. Si a est un nombre positif, on a toujours
Par exemple
.
.
2. On peut vérifer avec une calculatrice que
et
Si a et b sont deux nombres positifs, on a toujours
.
.
3. Si a et b sont deux nombres positifs (b non nul), on a toujours
Si a est un nombre positif, on veux demontrer
(en savoir plus, démonstrations).
.
*1er démonstration
On en déduit que
on a le rsultat
=
2eme démonstration si
On a
 a  =b
On a
2
car avec les propriétés sur les puissances on a alors
existe alors il existe un réel positif b tel que
 a=b²
 a =
2
On veux demontrer
=b*b=b²=a
et
=b
on remplace
Donc
, d’où les formules
et
et
2eme démonstration

a b
   a  b
2
2
2
 a  b et

ab

2
 ab
donc on déduit au ils sont tous les deux egaux donc
Addition et soustraction de racines carrées
Attention
mais
.
On ne peut pas additionner des racines carrées!
Cependant dans certains cas il est possible d'additionner des racines carrées en transformant leurs écritures afin de
faire apparaître la racine d'un même nombre. C'est ce que nous allons voir ci-dessous.
Exemple
Simplification de racine carrée
En utilisant les mêmes règles de calcul voici un exemple un peu plus long.
Pour s'entraîner
Écris sous la forme
le nombre
Combien trouves-tu pour a et b?
Remarque
.
La racine carrée d'un nombre x c'est ce nombre x à la puissance
Par exemple 640,5=8.
:
.