TD 1 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Algèbre 4 – Licence 3
Année 2013–2014
Université Bordeaux 1
Mathématiques
FEUILLE D’EXERCICES no 1
Anneaux, généralités
Exercice 1 – [Exemples]
On munit les ensembles suivants de lois + et × induites par celles de C.
[ 1
Z.
A1 = 2Z, A2 = Z + iZ, A3 =
n
2
n∈N
1) Montrer qu’il s’agit d’anneaux intègres. Quels sont ceux qui sont unitaires ?
2) On munit ces ensembles des lois habituelles.
A4 = M2 (R),
A5 = M2 (Z),
A6 = Z/10Z.
Montrer qu’il s’agit d’anneaux unitaires. Quels sont ceux qui sont commutatifs ?
3) Pour 1 6 i 6 6 tel que Ai soit unitaire, décrire les inversibles de Ai .
Exercice 2 – [Anneau de Boole]
Un anneau (A, +, ×) est dit de Boole si A 6= {0} et si tout x ∈ A est idempotent
i.e. vérifie x2 = x.
1) Soit A un anneau de Boole. Montrer que pour tout x ∈ A on a x + x = 0.
2) En déduire qu’un anneau de Boole est commutatif.
3) Montrer qu’un anneau de Boole intègre n’a que 2 éléments et est isomorphe à
(Z/2Z, +, ×).
4) Un anneau de Boole peut-il avoir 3 éléments ?
Exemple d’anneau de Boole : si E est un ensemble, (P(E), ∆, ∩) est un anneau
de Boole.
Exercice 3 – [Nilpotence]
Soit (A, +, ×) un anneau. Un élément x de A est dit nilpotent s’il existe un
entier n > 1 tel que xn = 0. Si x ∈ A est nilpotent, le plus petit entier n > 1 tel
que xn = 0 est appelé l’indice de nilpotence de x.
1) Montrer qu’un élément non nul nilpotent est diviseur de zéro à droite et à
gauche mais que la réciproque n’est pas toujours vraie.
2) Soient a, b ∈ A tels que ab soit nilpotent d’indice de nilpotence n. Montrer que
ba est nilpotent. Que peut-on dire de son indice de nilpotence ?
3) Soient a et b deux éléments nilpotents de A. On suppose qu’ils commutent
i.e. ab = ba. Montrer que a + b et ab sont nilpotents. Que peut-on dire de leurs
indices de nilpotence (en fonction de ceux de a et b) ?
4) Le but de cette question est de montrer que si a et b ne commutent pas
(donc si A est non commutatif), cette propriété peut être fausse. Soient K un
corps (commutatif) et A = M2 (K) muni de l’addition et du produit standards.
Montrer que A est un anneau non commutatif et trouver deux éléments de A
nilpotents dont la somme et le produit ne sont pas nilpotents.
5) On suppose désormais A unitaire d’élément neutre 1 pour ×. Soit a ∈ A
nilpotent. Montrer que 1 − a est inversible et exprimer son inverse sous forme de
polynôme en a.
6) Soient a, b ∈ A tels que 1 − ab soit inversible. Montrer que 1 − ba est aussi
inversible et exprimer son inverse en fonction de celui de 1 − ab. Indication : on
pourra commencer par supposer ab nilpotent.
Exercice 4 – [Produit inversible]
Soit (A, +, ×) un anneau unitaire. Soient a, b ∈ A tels que ab soit inversible.
1) Supposons A commutatif. Montrer que a et b sont inversibles.
2) Supposons que b ne soit pas diviseur de zéro à droite (ou a non diviseur de
zéro à gauche). Montrer que a et b sont inversibles.
3) Supposons que ba ne soit pas diviseur de zéro à droite (ou à gauche). Montrer
que a et b sont inversibles.
4) La propriété
(P ) : ab inversible ⇒ a, b inversibles
peut être vraie dans un anneau unitaire non commutatif, par exemple si A =
Mn (K) où K est un corps commutatif (se rappeler pourquoi). Le but de cette
question est de donner un exemple d’anneau unitaire non commutatif dans lequel
(P ) est fausse. Soient K un corps (commutatif) et A = L(K N ) l’ensemble des
applications linéaires de K N (K-espace vectoriel des suites à coefficients dans K).
Montrer que muni de + et ◦, A est un anneau unitaire non commutatif. À l’aide
de f, g ∈ A définies par
f ((x0 , x1 , x2 , . . .)) = (x1 , x2 , x3 , . . .) et g((x0 , x1 , x2 , . . .)) = (0, x0 , x1 , x2 , . . .),
montrer que (P ) est fausse dans A.
5) Les éléments f et g de la question précédente admettent-ils un inverse à droite ?
À gauche ?
Exercice 5 – [Intégrité]
1) Soit A un anneau non nul, unitaire et sans diviseur de 0 à droite. Montrer que
si x ∈ A, on a
x inversible à droite ⇔ x inversible à gauche ⇔ x inversible.
2) Soit A un anneau intègre unitaire fini. Montrer que A est un corps (commutatif).
3) En s’inspirant de la preuve de la question précédente, montrer que si A est un
anneau fini possédant un élément non nul qui n’est ni diviseur de zéro à droite ni
diviseur de zéro à gauche, alors A est unitaire.
Exercice 6 – [Morphismes]
1) Soient A et B deux anneaux unitaires. Soit f un morphisme d’anneaux de A
dans B. Montrer que si B est intègre, soit f est le morphisme nul (f (x) = 0 pour
tout x), soit f est un morphisme d’anneaux unitaires.
2) Déterminer les morphismes d’anneaux de (Z, +, ×) dans lui-même.
3) Même question avec l’anneau Z/nZ (n > 2). Quels sont ceux qui sont des
automorphismes ?
√
4) Si n ∈ N, n > 2, on note Z[ n] le plus petit anneau inclus
√ dans R, muni
des√lois induites√par les lois usuelles de R et contenant Z et n. Montrer que
Z[ n] = {a + b n; a, b ∈ Z}.
√
5) Quels sont les morphismes d’anneaux (unitaires) de Z[ 2] dans lui-même ?
Sont-ce des automorphismes ?
√
√
6) Existe-t-il des morphismes d’anneaux (unitaires) de Z[ 2] dans Z[ 3] ?
Exercice 7 – [Anneau euclidien]
Soit (A, +, ×) un anneau commutatif non réduit à {0}. L’anneau A est dit
euclidien s’il existe une application f de A \ {0} dans N vérifiant :
(i) Si b | a, i.e. il existe c tel que a = bc, alors f (b) 6 f (a) ;
(ii) Si (a, b) ∈ A × A \ {0}, il existe (q, r) ∈ A × A tel que a = bq + r avec
r = 0 ou r 6= 0 et f (r) < f (b).
1) Donner des exemples d’anneaux euclidiens.
2) Prouver qu’un anneau euclidien est unitaire. Indication : utiliser le plus petit
élément de f (A \ {0}).
3) Caractériser les éléments inversibles de A à l’aide de f .