TD 1 - Institut de Mathématiques de Bordeaux

Université Bordeaux 1 Algèbre 4 – Licence 3
Mathématiques Année 2013–2014
FEUILLE D’EXERCICES no1
Anneaux, généralités
Exercice 1 – [Exemples]
On munit les ensembles suivants de lois +et ×induites par celles de C.
A1= 2Z, A2=Z+iZ, A3=[
n∈N
1
2nZ.
1) Montrer qu’il s’agit d’anneaux intègres. Quels sont ceux qui sont unitaires ?
2) On munit ces ensembles des lois habituelles.
A4=M2(R), A5=M2(Z), A6=Z/10Z.
Montrer qu’il s’agit d’anneaux unitaires. Quels sont ceux qui sont commutatifs ?
3) Pour 16i66tel que Aisoit unitaire, décrire les inversibles de Ai.
Exercice 2 – [Anneau de Boole]
Un anneau (A, +,×)est dit de Boole si A6={0}et si tout x∈Aest idempotent
i.e. vérifie x2=x.
1) Soit Aun anneau de Boole. Montrer que pour tout x∈Aon a x+x= 0.
2) En déduire qu’un anneau de Boole est commutatif.
3) Montrer qu’un anneau de Boole intègre n’a que 2 éléments et est isomorphe à
(Z/2Z,+,×).
4) Un anneau de Boole peut-il avoir 3 éléments ?
Exemple d’anneau de Boole : si Eest un ensemble, (P(E),∆,∩)est un anneau
de Boole.
Exercice 3 – [Nilpotence]
Soit (A, +,×)un anneau. Un élément xde Aest dit nilpotent s’il existe un
entier n>1tel que xn= 0. Si x∈Aest nilpotent, le plus petit entier n>1tel
que xn= 0 est appelé l’indice de nilpotence de x.
1) Montrer qu’un élément non nul nilpotent est diviseur de zéro à droite et à
gauche mais que la réciproque n’est pas toujours vraie.
2) Soient a, b ∈Atels que ab soit nilpotent d’indice de nilpotence n. Montrer que
ba est nilpotent. Que peut-on dire de son indice de nilpotence ?

3) Soient aet bdeux éléments nilpotents de A. On suppose qu’ils commutent
i.e. ab =ba. Montrer que a+bet ab sont nilpotents. Que peut-on dire de leurs
indices de nilpotence (en fonction de ceux de aet b) ?
4) Le but de cette question est de montrer que si aet bne commutent pas
(donc si Aest non commutatif), cette propriété peut être fausse. Soient Kun
corps (commutatif) et A=M2(K)muni de l’addition et du produit standards.
Montrer que Aest un anneau non commutatif et trouver deux éléments de A
nilpotents dont la somme et le produit ne sont pas nilpotents.
5) On suppose désormais Aunitaire d’élément neutre 1pour ×. Soit a∈A
nilpotent. Montrer que 1−aest inversible et exprimer son inverse sous forme de
polynôme en a.
6) Soient a, b ∈Atels que 1−ab soit inversible. Montrer que 1−ba est aussi
inversible et exprimer son inverse en fonction de celui de 1−ab.Indication : on
pourra commencer par supposer ab nilpotent.
Exercice 4 – [Produit inversible]
Soit (A, +,×)un anneau unitaire. Soient a, b ∈Atels que ab soit inversible.
1) Supposons Acommutatif. Montrer que aet bsont inversibles.
2) Supposons que bne soit pas diviseur de zéro à droite (ou anon diviseur de
zéro à gauche). Montrer que aet bsont inversibles.
3) Supposons que ba ne soit pas diviseur de zéro à droite (ou à gauche). Montrer
que aet bsont inversibles.
4) La propriété
(P) : ab inversible ⇒a, b inversibles
peut être vraie dans un anneau unitaire non commutatif, par exemple si A=
Mn(K)où Kest un corps commutatif (se rappeler pourquoi). Le but de cette
question est de donner un exemple d’anneau unitaire non commutatif dans lequel
(P)est fausse. Soient Kun corps (commutatif) et A=L(KN)l’ensemble des
applications linéaires de KN(K-espace vectoriel des suites à coefficients dans K).
Montrer que muni de +et ◦,Aest un anneau unitaire non commutatif. À l’aide
de f, g ∈Adéfinies par
f((x0, x1, x2, . . .)) = (x1, x2, x3, . . .)et g((x0, x1, x2, . . .)) = (0, x0, x1, x2, . . .),
montrer que (P)est fausse dans A.
5) Les éléments fet gde la question précédente admettent-ils un inverse à droite ?
À gauche ?
Exercice 5 – [Intégrité]

1) Soit Aun anneau non nul, unitaire et sans diviseur de 0 à droite. Montrer que
si x∈A, on a
xinversible à droite ⇔xinversible à gauche ⇔xinversible.
2) Soit Aun anneau intègre unitaire fini. Montrer que Aest un corps (commu-
tatif).
3) En s’inspirant de la preuve de la question précédente, montrer que si Aest un
anneau fini possédant un élément non nul qui n’est ni diviseur de zéro à droite ni
diviseur de zéro à gauche, alors Aest unitaire.
Exercice 6 – [Morphismes]
1) Soient Aet Bdeux anneaux unitaires. Soit fun morphisme d’anneaux de A
dans B. Montrer que si Best intègre, soit fest le morphisme nul (f(x)=0pour
tout x), soit fest un morphisme d’anneaux unitaires.
2) Déterminer les morphismes d’anneaux de (Z,+,×)dans lui-même.
3) Même question avec l’anneau Z/nZ(n>2). Quels sont ceux qui sont des
automorphismes ?
4) Si n∈N,n>2, on note Z[√n]le plus petit anneau inclus dans R, muni
des lois induites par les lois usuelles de Ret contenant Zet √n. Montrer que
Z[√n] = {a+b√n;a, b ∈Z}.
5) Quels sont les morphismes d’anneaux (unitaires) de Z[√2] dans lui-même ?
Sont-ce des automorphismes ?
6) Existe-t-il des morphismes d’anneaux (unitaires) de Z[√2] dans Z[√3] ?
Exercice 7 – [Anneau euclidien]
Soit (A, +,×)un anneau commutatif non réduit à {0}. L’anneau Aest dit
euclidien s’il existe une application fde A\ {0}dans Nvérifiant :
(i) Si b|a, i.e. il existe ctel que a=bc, alors f(b)6f(a);
(ii) Si (a, b)∈A×A\ {0}, il existe (q, r)∈A×Atel que a=bq +ravec
r= 0 ou r6= 0 et f(r)< f(b).
1) Donner des exemples d’anneaux euclidiens.
2) Prouver qu’un anneau euclidien est unitaire. Indication : utiliser le plus petit
élément de f(A\ {0}).
3) Caractériser les éléments inversibles de Aà l’aide de f.