1 1994-95 Leçons sur les complexes Le jury pose trois

11994-95
Leçons sur les complexes
Le jury pose trois leçons très semblables sur les complexes. Je propose ici une présentation
unique (j'indiquerai ensuite les légères modifications pour chacune). J'adopte une définition très terre
à terre qui pourrait être assimilée par des élèves de terminale (à quelques problèmes de terminologie
près).
I Les complexes:
On considère l'ensemble 2 muni des deux lois de composition internes suivantes:
addition : (a,b) + (a',b') = (a+a',b+b')
multiplication: (a,b).(a',b') = (aa'-bb',ab'+a'b)
Proposition 1 : L'ensemble 2 muni de ces deux lois est un anneau (commutatif, unitaire). On le
note et on appelle ses éléments des nombres complexes.
La démonstration est sans difficulté mais un peu fastidieuse (par exemple pour l'associativité
de la multiplication). Il faut au moins savoir tous les axiomes à vérifier!
Proposition 2 : L'application de dans qui envoie a sur (a,0) est un homomorphisme injectif
d'anneaux. (ne pas oublier de dire que 1 s'envoie sur 1)
On identifie à son image : a = (a,0) ; ainsi est un sous corps de .
On note i le nombre complexe i = (0,1) et on remarque aussitôt que i2 = -1 .
Tout nombre complexe z s'écrit donc de manière unique sous la forme z = a + ib avec
a et b des nombres réels. Le nombre réel a (resp. b ) est la partie réelle a = Re(z) (resp. la partie
imaginaire b = Im(z) ) du nombre complexe z .
Remarque: Il y a deux autres maniéres plus savantes d'introduire les complexes: On peut
considérer le sous-anneau commutatif de l'anneau des matrices 2-2 réelles formé des matrices : ( )
a-b
b a
pour a et b réels (l'associativité est alors claire). On peut aussi considérer le quotient [X]/(X2+1)
c'est plus conceptuel mais moins accessible à un lycéen ou un étudiant débutant.
II Conjugaison et module :
Le complexe conjugué de z = a+ib est z
− = a-ib .
Proposition 1 : La conjugaison de dans qui à z associe z
− est un isomorphisme involutif
d'anneau. On a z = z
− si et seulement si z est réel.
Propriété fondamentale : Pour tout complexe z = a+ib on a zz
− = a2+b2 qui est un réel
positif et même strictement positif dès que z est non nul.
On dit que |z| = √ zz
− est le module de z ; il est nul si et seulement si z est nul. Si z est
réel son module est égal à sa valeur absolue.
Proposition 2 : Tout nombre complexe non nul z = a+ib a un inverse z-1 = z
−/|z|2 = (a/|z|2)-i(b/|z|2) .
est un corps : le corps des complexes.
Exercice : Montrer que tout nombre réel non nul a exactement deux racines complexes.
Trouver les racines complexes d'une équation du second degré à coefficients réels.
Propriétés du module : |zz'| = |z||z'| ; |z/z'| = |z|/|z'| ; |zn| = |z|n pour n entier.

2Corollaire 3 : Les nombres complexes de module 1 forment un groupe multiplicatif noté .
III Représentation géométrique :
On considère le plan euclidien P muni d'un repère orthonormé direct (O, u
→, v →) et la
bijection de sur P qui à z = a+ib associe le point M de coordonnées (a,b).
On dit que M est l'image du nombre complexe z , que z est l'affixe du point M et on
note M(z) . La droite (O, u
→) est l'axe réel (image des nombres réels); la droite (O, v →) est l'axe
imaginaire (image des nombres imaginaires purs).
Propriétés: Les images d'un complexe et de son opposé (resp. son conjugué) sont symétriques par
rapport à l'origine O (resp. à l'axe réel).
L'affixe d'un vecteur \o(w;\s\up5(→)) = a\o(u;\s\up5(→))+b\o(v;\s\up5(→)) est le nombre
complexe z = a+ib . L'affixe du vecteur AB
→ est zB - zA où zB et zA sont les affixes de A et B .
La longueur d'un vecteur est égale au module de l'affixe de celui-ci; donc la distance de A à
B est |zA-zB| . En particulier l'ensemble des points M(z) tels que |z-z0| = r (>0) est le cercle de centre
le point d'affixe z0 et de rayon r .
IV Argument d'un nombre complexe :
Si z est un nombre complexe non nul et M son image , on appelle Argument de z l'angle
orienté de vecteurs Arg(z) = ( u
→,OM
→) et argument de z une mesure arg(z) de cet angle.
Remarque: Arg est bien défini mais pas arg (seulement modulo 2π) . La subtile différence
entre les notations correspond à l'usage presque indifférent que l'on fait dans la pratique des deux
notations. Il est pratique d'avoir les deux notions; on peut aussi n'en considérer qu'une à condition de
la préciser et de s'y tenir.
Propriétés : Arg(z
–) = Arg(z-1) = - Arg(z) ; Arg(-z) = Arg(z) + plat
L'ensemble des points M(z) tels que Arg(z-z0) = θ est la demi-droite
d'origine le point d'affixe z0 qui fait un angle θ avec u
→ .
Si z est un nombre complexe de module 1 alors M(z) est sur le cercle trigonométrique;
ses coordonnées sont donc cosθ et sinθ pour θ = arg(z) . Ainsi z = cosθ + isinθ .
Proposition 1 : Tout nombre complexe non nul peut s'écrire : z = ρ(cosθ+isinθ) avec ρ (>0) et θ
réels. ρ est le module de z et θ un argument de z .
Proposition 2 : Arg(zz') = Arg(z) + Arg(z')
Démonstration: D'après la proposition précédente il suffit de vérifier que : cos(θ+θ') + isin(θ+θ') =
(cosθ+isinθ)(cosθ'+isinθ') ce qui se ramène à deux formules classiques de trigonométrie.
Corollaire 3 : Arg(z/z') = Arg(z) - Arg(z') ; Arg(zn) = nArg(z) pour n entier.
En particulier (formule de Moivre) : (cosθ + isinθ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
Exercice : Montrer que : cos(5θ) = cos5θ - 10cos3θsin2θ + 5cosθsin4θ .
Remarque : En toute logique il peut être interressant de définir un angle comme un complexe
de module 1 (ou plus classiquement la rotation vectorielle associée), mais il est alors compliqué
d'introduire sa mesure. Il vaut donc mieux rester à ce niveau terre à terre : c'est un peu un cercle
vicieux mais cela correspond bien à l'apprentissage de la géométrie par les lycéens.
V Notation exponentielle :

3Pour tout réel θ , on pose : eiθ = cosθ + isinθ . C'est le complexe de module 1 et argument
θ .
Proposition 1 : L'application qui à θ associe eiθ est un homomorphisme surjectif de groupes de
dans le groupe des complexes de module 1 .
C'est une conséquence directe de la proposition 2 de IV et du corollaire 3 de II.
Ainsi ei(θ+θ') = eiθeiθ' ; e-iθ = 1/eiθ et ei0 = 1 : on a les propriétés habituelles de toute
notation exponentielle.
Formules d'Euler : Des deux relations eiθ = cosθ +isinθ et e-iθ = cosθ - isinθ on déduit
facilement que : cosθ = eiθ + e-iθ
2et sinθ = eiθ - e-iθ 2i .
Ces formules ainsi que celle de Moivre sont très pratiques pour tous les calculs trigonomé-
triques comme par exemple la linéarisation des polynômes trigonométriques.
Exercice : Montrer par deux méthodes ( formules d'Euler et Moivre) que :
sin3x = 3
4sinx - 1 4sin3x .
VI Autre application :
Résoudre dans l'équation : acosx + bsinx = c pour a, b, c dans et a ou b non nul.
On pose r = √    a2+b2 > 0 et z = (a+ib)/r . On a |z| = 1 ; il existe donc θ dans tel que z
= eiθ et l'équation initiale est équivalente à :
cosθcosx + sinθsinx = c/r ou cos(x-θ) = c/r .
On discute alors le nombre de solutions selon la position de c par rapport à ±r .
Remarque : L'équation initiale s'écrit Re((a-ib)eix - c) = 0 . On peut donc interpréter
géométriquement l'équation comme l'intersection du cercle trigonométrique et de la droite d'équation
: Arg( (a-ib)z - c ) = 1 droit .
Enoncés des leçons :
leçon n° 15 (en 1994) : Introduction du corps des complexes; propriétés (conjugaison, interprétations
géométriques).
C'est les chapitres I, II et III ci-dessus avec presque obligatoirement le IV et une application
de la formule de Moivre.
leçon n° 16 (en 1994) : Module d'un nombre complexe; nombres complexes de module 1. Argument
d'un nombre complexe non nul, notation eiθ .
Résumer le I en rappel présupposé et exposer le reste.
leçon n° 19 (en 1994) : Module et argument d'un nombre complexe; interprétation géométrique,
lignes de niveau associées. Applications.
Même chose que la 16 (parler de l'interprétation géométrique du VI).

41994-1995
Exponentielle complexe
Titre de la leçon (n° 17 en 1994) : Etude de la fonction t eit de dans ; définition de eat ,
a appartenant à . Applications.
On va se permettre d'exposer quelques résultats un peu en dehors du programme de
terminale, tout en restant assez élémentaire (pas de série).
I Prérequis :
Les propriétés algébriques des complexes, le module (mais pas l'argument).
Résumer ici les I , II et III de la leçon générale sur les complexes.
II eit :
Pour tout réel t on pose : eit = cost + isint ; c'est un nombre complexe de module 1 .
Proposition 1 : L'application qui à t associe eit est un homomorphisme surjectif de groupes de
dans le groupe multiplicatif des complexes de module 1 . Elle est périodique de période 2π , plus
précisément eit = eit' si et seulement si t-t' est un multiple entier de 2π .
Démonstration : C'est un homomorphisme d'après des formules trigonométriques connues, il est
surjectif car on sait que si M(z) est un point du cercle trigonométrique ses coordonnées sont
(cosθ,sinθ) si θ est une mesure de l'angle ( u
→,OM
→) .
En particulier ei(t+t') = eiteit' ; e-it = 1/eit et ei0 = 1 : on a les propriétés habituelles de
toute notation exponentielle.
Proposition 2 : L'application qui à t associe eit est une application continue et infiniment dérivable
de dans ; sa dérivée est l'application qui à t associe ieit .
Démonstration : Il suffit de regarder les composantes des deux applications.
On retrouve ainsi des propriétés analogues à celles de l'exponentielle réelle qui permettent
éventuellement de retrouver les dérivées de cosinus et sinus.
III Argument et applications :
Proposition 1 : Tout nombre complexe non nul peut s'écrire de manière unique : z = ρz0 avec ρ réel
strictement positif et z0 nombre complexe de module 1 . ρ est le module de z .
Si θ est tel que z0 = eiθ on dit que θ est un argument de z . On pose θ = arg(z) qui est
donc défini modulo 2π.
Proposition 2:On a les égalités suivantes modulo 2π (pour z, z' des complexes non nuls et n entier).
arg(zz') = arg(z) + arg(z') ; arg(z/z') = arg(z) - arg(z') ; arg(zn) = narg(z)
(cela résulte aussitôt de l'unicité précédente et de la proposition 1 de II)
En particulier (formule de Moivre) : (cosθ + isinθ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
Exercice : Montrer que : cos(5θ) = cos5θ - 10cos3θsin2θ + 5cosθsin4θ .
Formules d'Euler : Des deux relations eiθ = cosθ +isinθ et e-iθ = cosθ - isinθ on
déduit facilement que : cosθ = eiθ + e-iθ
2et sinθ = eiθ - e-iθ 2i .

5Ces formules ainsi que celle de Moivre sont très pratiques pour tous les calculs trigonomé-
triques comme par exemple la linéarisation des polynômes trigonométriques.
Exercice : Montrer par deux méthodes ( formules d'Euler et Moivre) que :
sin3x = 3
4sinx - 1 4sin3x .
IV Exponentielle complexe :
Pour un complexe z = a + ib on pose : ez = eaeib où ea est l'exponentielle réelle
habituelle et eib le complexe défini ci-dessus. Ainsi ez a pour module ea = eRe(z) et l'un de ses
arguments est b = Im(z).
Proposition 1 : L'application exponentielle (qui à z associe ez ) est un homomorphisme surjectif de
groupes de dans le groupe multiplicatif * des complexes non nuls . Elle est périodique de
période 2iπ , plus précisément ez = ez' si et seulement si z-z' est un multiple entier de 2iπ .
Démonstration : C'est une conséquence immédiate des propositions 1 de II et III ainsi que des
propriétés de l'exponentielle réelle.
Conséquence : On a les propriétés habituelles de toute notation exponentielle:
ez+z' = ezez' ; ez-z' = ez/ez' ; enz = (ez)n pour n entier .
De cette dernière formule on déduit facilement que pour n entier strictement positif un nombre
complexe non nul a exactement n racines nièmes . Cette formule permet ègalement le calcul de ces
racines.
Proposition 2 : Soit α = a+ib un nombre complexe, l'application expα qui à t associe eαt est une
application continue et infiniment dérivable de dans ; sa dérivée est l'application qui à t
associe αeαt .
(Il suffit de regarder les applications coordonnées).
Il résulte de la proposition précédente que cette application est un homomorphisme de
groupes de dans le groupe multiplicatif * des complexes non nuls. Elle est injective si α n'est
pas un imaginaire pur.
Application géométrique : On suppose que α n'est ni un réel ni un imaginaire pur. L'image de
l'application expα est une spirale logarithmique. On voit facilement avec les résultats précédents que :
a) La tangente en M à la spirale fait un angle de mesure arg(α) avec le rayon vecteur OM
→ .
b) L'intersection de la spirale avec une demi-droite d'origine O est formée d'une (double)
infinité de points dont les distances à O sont en progression de raison exp(±2πRe(α)
Ιm(α)).
c) Pour tout entier strictement positif n , la spirale est stable par la similitude de centre O , de
rapport eRe(α)/n et d'angle de mesure 1
nIm(α) .