1 1994-95 Leçons sur les complexes Le jury pose trois

1994-95
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Leçons sur les complexes
Le jury pose trois leçons très semblables sur les complexes. Je propose ici une présentation
unique (j'indiquerai ensuite les légères modifications pour chacune). J'adopte une définition très terre
à terre qui pourrait être assimilée par des élèves de terminale (à quelques problèmes de terminologie
près).
I Les complexes:
On considère l'ensemble 2 muni des deux lois de composition internes suivantes:
addition :
(a,b) + (a',b') = (a+a',b+b')
multiplication: (a,b).(a',b') = (aa'-bb',ab'+a'b)
Proposition 1 : L'ensemble 2 muni de ces deux lois est un anneau (commutatif, unitaire). On le
note et on appelle ses éléments des nombres complexes.
La démonstration est sans difficulté mais un peu fastidieuse (par exemple pour l'associativité
de la multiplication). Il faut au moins savoir tous les axiomes à vérifier!
Proposition 2 : L'application de
dans
qui envoie a sur (a,0) est un homomorphisme injectif
d'anneaux. (ne pas oublier de dire que 1 s'envoie sur 1)
On identifie
à son image : a = (a,0) ; ainsi
est un sous corps de .
On note i le nombre complexe i = (0,1) et on remarque aussitôt que i2 = -1 .
Tout nombre complexe z s'écrit donc de manière unique sous la forme z = a + ib avec
a et b des nombres réels. Le nombre réel a (resp. b ) est la partie réelle a = Re(z) (resp. la partie
imaginaire b = Im(z) ) du nombre complexe z .
Remarque: Il y a deux autres maniéres plus savantes d'introduire les complexes: On peut
a-b
considérer le sous-anneau commutatif de l'anneau des matrices 2-2 réelles formé des matrices : b a
pour a et b réels (l'associativité est alors claire). On peut aussi considérer le quotient [X]/(X2+1)
c'est plus conceptuel mais moins accessible à un lycéen ou un étudiant débutant.
( )
II Conjugaison et module :
Le complexe conjugué de z = a+ib est −z = a-ib .
Proposition 1 : La conjugaison de
dans
qui à z associe −z est un isomorphisme involutif
d'anneau. On a z = −z si et seulement si z est réel.
− = a2+b 2 qui est un réel
Propriété fondamentale : Pour tout complexe z = a+ib on a zz
positif et même strictement positif dès que z est non nul.
On dit que |z| = √
  z−z est le module de z ; il est nul si et seulement si z est nul. Si z est
réel son module est égal à sa valeur absolue.
Proposition 2 : Tout nombre complexe non nul z = a+ib a un inverse z-1 = −z/|z|2 = (a/|z|2)-i(b/|z|2) .
est un corps : le corps des complexes.
Exercice : Montrer que tout nombre réel non nul a exactement deux racines complexes.
Trouver les racines complexes d'une équation du second degré à coefficients réels.
Propriétés du module : |zz'| = |z||z'| ; |z/z'| = |z|/|z'| ; |zn| = |z|n pour n entier.
2
Corollaire 3 : Les nombres complexes de module 1 forment un groupe multiplicatif noté
.
III Représentation géométrique :
On considère le plan euclidien P muni d'un repère orthonormé direct (O,→
u ,→
v ) et la
bijection de
sur P qui à z = a+ib associe le point M de coordonnées (a,b).
On dit que M est l'image du nombre complexe z , que z est l'affixe du point M et on
note M(z) . La droite (O,→
u ) est l'axe réel (image des nombres réels); la droite (O,→
v ) est l'axe
imaginaire (image des nombres imaginaires purs).
Propriétés: Les images d'un complexe et de son opposé (resp. son conjugué) sont symétriques par
rapport à l'origine O (resp. à l'axe réel).
L'affixe d'un vecteur \o(w;\s\up5(→)) = a\o(u;\s\up5(→))+b\o(v;\s\up5(→)) est le nombre
→
complexe z = a+ib . L'affixe du vecteur AB est zB - zA où zB et zA sont les affixes de A et B .
La longueur d'un vecteur est égale au module de l'affixe de celui-ci; donc la distance de A à
B est |zA-zB| . En particulier l'ensemble des points M(z) tels que |z-z0| = r (>0) est le cercle de centre
le point d'affixe z0 et de rayon r .
IV Argument d'un nombre complexe :
Si z est un nombre complexe non nul et M son image , on appelle Argument de z l'angle
→
orienté de vecteurs Arg(z) = (→
u ,OM) et argument de z une mesure arg(z) de cet angle.
Remarque: Arg est bien défini mais pas arg (seulement modulo 2π) . La subtile différence
entre les notations correspond à l'usage presque indifférent que l'on fait dans la pratique des deux
notations. Il est pratique d'avoir les deux notions; on peut aussi n'en considérer qu'une à condition de
la préciser et de s'y tenir.
Propriétés :
Arg(z–) = Arg(z-1) = - Arg(z) ; Arg(-z) = Arg(z) + plat
L'ensemble des points M(z) tels que Arg(z-z0 ) = θ est la demi-droite
d'origine le point d'affixe z0 qui fait un angle θ avec →
u .
Si z est un nombre complexe de module 1 alors M(z) est sur le cercle trigonométrique;
ses coordonnées sont donc cosθ et sinθ pour θ = arg(z) . Ainsi z = cosθ + isinθ .
Proposition 1 : Tout nombre complexe non nul peut s'écrire : z = ρ(cosθ+isinθ) avec ρ (>0) et θ
réels. ρ est le module de z et θ un argument de z .
Proposition 2 : Arg(zz') = Arg(z) + Arg(z')
Démonstration: D'après la proposition précédente il suffit de vérifier que : cos(θ+θ') + isin(θ+θ') =
(cosθ+isinθ)(cosθ'+isinθ') ce qui se ramène à deux formules classiques de trigonométrie.
Corollaire 3 : Arg(z/z') = Arg(z) - Arg(z') ; Arg(zn) = nArg(z) pour n entier.
En particulier (formule de Moivre) : (cosθ + isinθ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
Exercice : Montrer que : cos(5θ) = cos5θ - 10cos3θsin2θ + 5cosθsin4θ .
Remarque : En toute logique il peut être interressant de définir un angle comme un complexe
de module 1 (ou plus classiquement la rotation vectorielle associée), mais il est alors compliqué
d'introduire sa mesure. Il vaut donc mieux rester à ce niveau terre à terre : c'est un peu un cercle
vicieux mais cela correspond bien à l'apprentissage de la géométrie par les lycéens.
V Notation exponentielle :
3
Pour tout réel θ , on pose : eiθ = cosθ + isinθ . C'est le complexe de module 1 et argument
θ.
Proposition 1 : L'application qui à θ associe eiθ est un homomorphisme surjectif de groupes de
dans le groupe
des complexes de module 1 .
C'est une conséquence directe de la proposition 2 de IV et du corollaire 3 de II.
Ainsi ei(θ+θ') = eiθeiθ' ; e-iθ = 1/eiθ et ei0 = 1 : on a les propriétés habituelles de toute
notation exponentielle.
Formules d'Euler : Des deux relations eiθ = cosθ +isinθ et e-iθ = cosθ - isinθ on déduit
eiθ + e-iθ
eiθ - e-iθ
facilement que :
cosθ =
et
sinθ
=
.
2
2i
Ces formules ainsi que celle de Moivre sont très pratiques pour tous les calculs trigonométriques comme par exemple la linéarisation des polynômes trigonométriques.
Exercice : Montrer par deux méthodes ( formules d'Euler et Moivre) que :
3
1
sin3x = sinx - sin3x .
4
4
VI Autre application :
Résoudre dans
l'équation : acosx + bsinx = c pour a, b, c dans et a ou b non nul.
2
On pose r = √
  a  +b
 2 > 0 et z = (a+ib)/r . On a |z| = 1 ; il existe donc θ dans tel que z
= eiθ et l'équation initiale est équivalente à :
cosθcosx + sinθsinx = c/r
ou
cos(x-θ) = c/r .
On discute alors le nombre de solutions selon la position de c par rapport à ±r .
Remarque : L'équation initiale s'écrit
Re((a-ib)eix - c) = 0
. On peut donc interpréter
géométriquement l'équation comme l'intersection du cercle trigonométrique et de la droite d'équation
:
Arg( (a-ib)z - c ) = 1 droit .
Enoncés des leçons :
leçon n° 15 (en 1994) : Introduction du corps des complexes; propriétés (conjugaison, interprétations
géométriques).
C'est les chapitres I, II et III ci-dessus avec presque obligatoirement le IV et une application
de la formule de Moivre.
leçon n° 16 (en 1994) : Module d'un nombre complexe; nombres complexes de module 1. Argument
d'un nombre complexe non nul, notation eiθ .
Résumer le I en rappel présupposé et exposer le reste.
leçon n° 19 (en 1994) : Module et argument d'un nombre complexe; interprétation géométrique,
lignes de niveau associées. Applications.
Même chose que la 16 (parler de l'interprétation géométrique du VI).
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Exponentielle complexe
Titre de la leçon (n° 17 en 1994) : Etude de la fonction t
a appartenant à . Applications.
eit de
dans
; définition de eat ,
On va se permettre d'exposer quelques résultats un peu en dehors du programme de
terminale, tout en restant assez élémentaire (pas de série).
I Prérequis :
Les propriétés algébriques des complexes, le module (mais pas l'argument).
Résumer ici les I , II et III de la leçon générale sur les complexes.
II eit :
Pour tout réel t on pose : eit = cost + isint ; c'est un nombre complexe de module 1 .
Proposition 1 : L'application qui à t associe eit est un homomorphisme surjectif de groupes de
dans le groupe multiplicatif
des complexes de module 1 . Elle est périodique de période 2π , plus
précisément eit = eit' si et seulement si t-t' est un multiple entier de 2π .
Démonstration : C'est un homomorphisme d'après des formules trigonométriques connues, il est
surjectif car on sait que si M(z) est un point du cercle trigonométrique ses coordonnées sont
→
(cosθ,sinθ) si θ est une mesure de l'angle (→
u ,OM) .
En particulier ei(t+t') = eiteit' ; e-it = 1/eit et ei0 = 1 : on a les propriétés habituelles de
toute notation exponentielle.
Proposition 2 : L'application qui à t associe eit est une application continue et infiniment dérivable
de
dans
; sa dérivée est l'application qui à t associe ieit .
Démonstration : Il suffit de regarder les composantes des deux applications.
On retrouve ainsi des propriétés analogues à celles de l'exponentielle réelle qui permettent
éventuellement de retrouver les dérivées de cosinus et sinus.
III Argument et applications :
Proposition 1 : Tout nombre complexe non nul peut s'écrire de manière unique : z = ρz0 avec ρ réel
strictement positif et z0 nombre complexe de module 1 . ρ est le module de z .
Si θ est tel que z0 = eiθ on dit que θ est un argument de z . On pose θ = arg(z) qui est
donc défini modulo 2π.
Proposition 2:On a les égalités suivantes modulo 2π (pour z, z' des complexes non nuls et n entier).
arg(zz') = arg(z) + arg(z') ;
arg(z/z') = arg(z) - arg(z') ;
arg(zn) = narg(z)
(cela résulte aussitôt de l'unicité précédente et de la proposition 1 de II)
En particulier (formule de Moivre) : (cosθ + isinθ)n = cos(nθ) + i sin(nθ)
Exercice : Montrer que : cos(5θ) = cos5θ - 10cos3θsin2θ + 5cosθsin4θ .
Formules d'Euler : Des deux relations eiθ = cosθ +isinθ et e-iθ = cosθ - isinθ
eiθ + e-iθ
eiθ - e-iθ
déduit facilement que :
cosθ =
et
sinθ
=
.
2
2i
on
5
Ces formules ainsi que celle de Moivre sont très pratiques pour tous les calculs trigonométriques comme par exemple la linéarisation des polynômes trigonométriques.
Exercice : Montrer par deux méthodes ( formules d'Euler et Moivre) que :
3
1
sin3x = sinx - sin3x .
4
4
IV Exponentielle complexe :
Pour un complexe z = a + ib on pose :
e z = ea e ib où ea est l'exponentielle réelle
habituelle et eib le complexe défini ci-dessus. Ainsi ez a pour module ea = eRe(z) et l'un de ses
arguments est b = Im(z).
Proposition 1 : L'application exponentielle (qui à z associe ez ) est un homomorphisme surjectif de
groupes de
dans le groupe multiplicatif * des complexes non nuls . Elle est périodique de
période 2iπ , plus précisément ez = ez' si et seulement si z-z' est un multiple entier de 2iπ .
Démonstration : C'est une conséquence immédiate des propositions 1 de II et III ainsi que des
propriétés de l'exponentielle réelle.
Conséquence : On a les propriétés habituelles de toute notation exponentielle:
ez+z' = ezez' ; ez-z' = ez/ez' ; enz = (ez)n pour n entier .
De cette dernière formule on déduit facilement que pour n entier strictement positif un nombre
complexe non nul a exactement n racines nièmes . Cette formule permet ègalement le calcul de ces
racines.
Proposition 2 : Soit α = a+ib un nombre complexe, l'application expα qui à t associe eαt est une
application continue et infiniment dérivable de
associe αeαt .
dans
; sa dérivée est l'application qui à t
(Il suffit de regarder les applications coordonnées).
Il résulte de la proposition précédente que cette application est un homomorphisme de
groupes de
dans le groupe multiplicatif * des complexes non nuls. Elle est injective si α n'est
pas un imaginaire pur.
Application géométrique : On suppose que α n'est ni un réel ni un imaginaire pur. L'image de
l'application expα est une spirale logarithmique. On voit facilement avec les résultats précédents que :
→
a) La tangente en M à la spirale fait un angle de mesure arg(α) avec le rayon vecteur OM .
b) L'intersection de la spirale avec une demi-droite d'origine O est formée d'une (double)
Re(α)
infinité de points dont les distances à O sont en progression de raison exp(±2πΙm(α)).
c) Pour tout entier strictement positif n , la spirale est stable par la similitude de centre O , de
1
rapport eRe(α)/n et d'angle de mesure Im(α) .
n
1994-1995
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Racines complexes
Titre de la leçon (n° 18 en 1994) : Racines n-ièmes d'un nombre complexe. Interprétation
géométrique; applications.
Le contenu mathématique à mettre dans cette leçon n'est pas très important; il faut donc la
traiter à un niveau élémentaire: celui d'une terminale scientifique.
Prérequis: propriétés algébriques des complexes, module, argument et interprétation géométrique.
I Racines carrées : étude algébrique pratique.
Si a+ib est un nombre complexe non nul, on cherche à résoudre l'équation z2 = a+ib .
 x2-y2 = a

On pose z = x+iy et on a (pour r = |a+ib| ) :  2xy = b
 x2+y2 = r
a+r
r-a
Ainsi x2 = 2 , y2 = 2 et, en tenant compte du signe de xy donné par la seconde
équation (celle-ci est bien compatible avec ce que l'on vient de trouver car 4x2y2 = r2-a2 = b2 ), on
obtient deux solutions (opposées) pour le couple (x,y) donc deux complexes possibles z et -z .
Conclusion : Un nombre complexe non nul a exactement deux racines carrées (opposées).
Application: On peut donc résoudre les équations du second degré à coefficients complexes par la
même méthode que dans le cas réel. Il y a toujours deux solutions sauf si le discriminant est nul
(solution double).
Exercice : Résoudre : z2 - 2iz - 45 + 14i √ 3 = 0
(on a z = i ± (-7+i√ 3) ) .
II Racines n-ièmes de l'unité: ( n entier strictement positif)
Définition : On appelle racine n-ième de l'unité toute solution dans de l'équation zn = 1 .
Théorème 1 : Il y a exactement n racines n-ièmes de l'unité. Ces racines s'écrivent :
2pπ
2pπ
2pπ
zp = exp(i n ) = cos( n ) + isin( n ) pour p = 0, 1, 2, ... , n-1
Remarque: Les zp sont définis pour tout entier n . On a z0 = 1 et zp = (z1)p .
Exemples: Pour n = 1 la seule racine est 1 ;
Pour n = 2 les racines sont 1 et -1 ;
-1 + i √ 3
Pour n = 3 les racines sont 1 , j =
et j2 =j– ;
2
Pour n = 4 les racines sont 1 , i , -1 et -i .
Proposition 2 : Les racines n-ièmes de l'unité forment un sous-groupe multiplicatif de * .
Il est clair sur l'équation que cet ensemble est stable par multiplication, on a vu qu'il contient
1 et l'inverse d'un complexe z de cet ensemble est zn-1 .
Autres propriétés algébriques :
La somme des racines n-ièmes de l'unité est 0 (pour n≥2).
Le produit des racines n-ièmes de l'unité est (-1)n-1 .
C'est une conséquence des relations entre coefficients et racines d'un polynôme mais on peut
aussi en donner des preuves élémentaires:
1 - (z )n
z0 + z1 + z2 + ... + zn-1 = 1 + z1 + (z1)2 + ... + (z1)n-1 = 1 - z1 = 0
1
7
2π
2π n(n-1)
n-1
z0.z1.z2. ... .zn-1 = exp(i (0+1+2+ ... +n-1)) = exp(i .
n
n
2 ) = (-1) .
Propriétés géométriques : Les points M0 , M1 , ... , Mn-1 du plan d'affixes z0 , z1 , ... , zn-1 sont les
sommets d'un polygone régulier à n cotés inscrit dans le cercle de centre l'origine O et de rayon 1
2π
→
→
En effet les angles (OMi,OMi+1) sont tous égaux à n .
III Racines n-ièmes d'un complexe non nul Z :
Proposition 1 : Les racines n-ièmes de Z c'est à dire les racines de l'équation zn = Z sont obtenues en
multipliant une racine particulière de cette équation par les racines n-ièmes de l'unité.
Remarques: 1) Ainsi il y a 0 ou n solutions à cette équation (on verra que c'est n).
2) On ne peut obtenir plus de manière algébrique: il est difficile en général de "calculer"
les parties réelles et imaginaires des solutions.
Proposition 2 : Si Z est de module R et d'argument Θ , alors les racines n-ièmes de Z existent et
n
Θ 2pπ
ont pour module r = √
( pour p = 0 , 1 , ... , n-1) .
  R et pour arguments n + n
Propriétés géométriques : Les points du plan d'affixes les racines n-ièmes de Z forment un polygone
n
régulier inscrit dans le cercle de centre O et de rayon √
  |Z| .
C'est une conséquence immédiate de la proposition 2 . On peut aussi le voir comme
conséquence de la proposition 1 si on sait que la multiplication par un complexe non nul α se
traduit géométriquement par une similitude de centre O et de rapport |α| .
IV Applications :
1) Soient A , B et C trois points du plan d'affixes respectives a , b et c .
α) Montrer que ABC est un triangle équilatéral de centre l'origine O si et seulement si
(quitte à permuter a , b et c) il existe un complexe α tel que : a = α ; b = jα et c = j2α .
β) Montrer que ABC est un triangle équilatéral si et seulement si (quitte à permuter a ,
b et c) on a : a + jb + j2c = 0 .
Idée de démonstration : α) ABC est équilatéral de centre O si et seulement si a , b et c sont les racines
cubiques de a3 , d'où le résultat.
β) Par une translation on se ramène à la premiére partie. Donc ABC est équilatéral si et
 α + β = a

seulement si le système suivant a une solution :  α + jβ = b ; d'où le résultat.
 α +j2β = c
2) a) Résoudre l'équation : u2 + u -1 = 0 .
b) On considère l'équation : z4 + z3 + z2 + z + 1 = 0 . Factoriser cette équation par
1
z2 et prendre comme nouvelle inconnue u = z + ; en déduire les parties des 4 racines.
z
4π
2π
c) Que valent cos( 5 ) et cos( 5 ) ?
d) Construire à la règle et au compas un pentagone régulier.
On sait donc construire des polygones réguliers à 3, 4, 5 (et aussi 6, 8, 10) cotés mais pas à 7 ou 9 .
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Complexes et transformations géométriques
Titre de la leçon (n° 20 en 1994) : Représentation géométrique des nombres complexes;
interprétation géométrique des applications z→z+b , z→az et z→z– où a et b appartiennent à ,
a non nul. Exemples d'application à l'étude de configurations géométriques du plan.
Prérequis : Propriétés algébriques des complexes, module. Niveau: Terminale scientifique.
I Représentation géométrique des complexes :
On considère le plan euclidien P muni d'un repère orthonormé direct (O,→
u ,→
v ) et la
bijection de
sur P qui à z = a+ib associe le point M de coordonnées (a,b).
On dit que M est l'image du nombre complexe z , que z est l'affixe du point M et on
note M(z) . La droite (O,→
u ) est l'axe réel (image des nombres réels); la droite (O,→
v ) est l'axe
imaginaire (image des nombres imaginaires purs).
L'affixe d'un vecteur \o(w;\s\up5(→)) = a\o(u;\s\up5(→))+b\o(v;\s\up5(→)) est le nombre
→
complexe z = a+ib . L'affixe du vecteur AB est zB - zA où zB et zA sont les affixes de A et B .
La longueur d'un vecteur est égale au module de l'affixe de celui-ci; donc la distance de A à
B est |zA-zB| . En particulier l'ensemble des points M(z) tels que |z-z0| = r (>0) est le cercle de centre
le point d'affixe z0 et de rayon r .
Argument d'un nombre complexe :
Si z est un nombre complexe non nul et M son image , on appelle Argument de z l'angle
→
orienté de vecteurs Arg(z) = (→
u ,OM) et argument de z une mesure arg(z) de cet angle.
Remarque: Arg est bien défini mais pas arg (seulement modulo 2π) . La subtile différence
entre les notations correspond à l'usage presque indifférent que l'on fait dans la pratique des deux
notations. Il est pratique d'avoir les deux notions; on peut aussi n'en considérer qu'une à condition de
la préciser et de s'y tenir.
L'ensemble des points M(z) tels que Arg(z-z0) = θ est la demi-droite d'origine le point
d'affixe z0 qui fait un angle θ avec →
u .
Si z est un nombre complexe de module 1 alors M(z) est sur le cercle trigonométrique;
ses coordonnées sont donc cosθ et sinθ pour θ = arg(z) . Ainsi z = cosθ + isinθ .
Proposition 1 : Tout nombre complexe non nul peut s'écrire : z = ρ(cosθ+isinθ) avec ρ (>0) et θ
réels. ρ est le module de z et θ un argument de z .
Proposition 2 : Arg(zz') = Arg(z) + Arg(z')
Démonstration: D'après la proposition précédente il suffit de vérifier que : cos(θ+θ') + isin(θ+θ') =
(cosθ+isinθ)(cosθ'+isinθ') ce qui se ramène à deux formules classiques de trigonométrie.
II Premières transformations du plan complexe :
→
1) Translation : On a vu ci-dessus que l'affixe du vecteur MN est m - n si m et n sont
les affixes respectives des points M et N . Il en résulte aussitôt que l'affixe z' du transformé du
→
point d'affixe z par la translation de vecteur v d'affixe b est z' = z + b .
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Réciproquement l'application z→z+b de
dans
s'interprète géométriquement dans le
plan complexe comme une translation dont le vecteur a pour affixe b .
2) Réflexion par rapport à l'axe réel:
Des définitions des images et de la conjugaison on déduit que :
Les images d'un complexe et de son conjugué sont symétriques par rapport à l'axe réel.
Ainsi l'application z → z– de
dans
s'interprète géométriquement dans le plan
complexe comme la réflexion (orthogonale) par rapport à l'axe réel.
Conséquence :
Arg(z–) = - Arg(z)
3) Autres réflexions : Soient A et B des points distincts du plan complexe d'affixes a et b .
Proposition : L'affixe z' du transformé M' du point M d'affixe z par la réflexion par rapport à la
z' - a
z– - a–
droite (AB) vérifie la relation :
=
b-a
–b - a– .
AM' AM
Démonstration : En effet l'égalité des modules de ces deux complexes se traduit par : AB = AB ,
c'est à dire par AM' = AM .Et l'égalité des arguments de ces deux complexes se traduit par :
→
→
→ →
(AB,AM') = -(AB,AM) . Cela prouve bien que M' est le symétrique de M par rapport à AB .
Remarque: La "formule" pour z' est donc de la forme z' = αz– + β avec α de module 1.
Réciproquement une formule de cette forme avec β = 0 définit une réflexion par rapport à une droite
passant par O (comme composé d'une telle réflexion (z→z–) et d'une rotation (z→αz), cf III). Par
contre pour β quelconque on obtient le composé d'une réflexion et d'une translation qui n'est pas
forcément une réflexion (possibilité d'une symétrie glissante).
III Les transformations z → az
Donnons nous un nombre complexe a non nul et considérons l'application f de dans
qui à z associe az. Identifions au plan P de la géométrie comme ci-desssus. Cette identification
associe à f une application fP : P → P. Nous allons étudier fP.
→
(M) = a OM
→ . Donc f est une homothétie
Si a est réel positif: pour tout M nous avons Of
P
P
de centre O.
Si a est de module 1 (et d'Argument ω): pour tout point M nous avons OfP(M) = OM et
→
→

→ ,Of→(M) = (Ox
→ ,OM
→ ) + ω). Donc f
(OM, OfP(M)) = ω (car Arg az = Arg z + Arg a, c'est à dire (Ox
p
P
est la rotation de centre O et d'angle ω.
De façon générale a s'écrit comme le produit de son module par un nombre complexe de
a
module 1. Donc f est la composée (dans un ordre quelconque) de z → az et de z →
z . Ainsi
a
fP est la composée d'une homothétie et d'une rotation, toutes deux de centres O. Une telle application
est appelée la similitude directe de centre O, d'angle arg(a) et de rapport a.
Composées avec une translation :
Donnons nous deux nombres complexes a et b (a≠0) et considérons l'application f de
dans qui à z associe az+b . L'identification de
au plan P de la géométrie comme ci-desssus
associe à f une application fP : P → P. Nous allons étudier fP.
Si a = 1, fP est une translation; dans la suite nous éliminerons ce cas. Si a≠1, fP a un unique
b
point fixe Ω. Il est donné par l'équation ω = aω+b (d'où ω = 1-a ). Nous avons alors pour tout z: f(z)
→,→
v ), dans cette nouvelle identification
- ω = a(z - ω). Et si nous identifions à P gràce au repère (Ω,u
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les formules de fP s'écrivent z → az, donc fP est la similitude directe de centre Ω, d'angle arg(a) et de
rapport a.
Ι V Applications :
Nous allons maintenant voir quelques applications concrètes des notions et applications
abstraites vues ci-dessus.
1) Soit MNP un triangle (on note m,n,p les affixes de M,N,P). Soit 1,j,j2 les racines
cubiques de l'unité.
a) Montrer que MNP est équilatéral si et seulement si l'on a soit m+jn+j2p = 0, soit
m+jp+j2n = 0.
b) En déduire que les racines de l'éqution z3 +uz 2 +vz+w = 0 sont les affixes des
sommets d'un triangle équilatéral si et seulement si u2 = 3v.
Solution: a) Le triangle MNP est équilatéral si et seulement si P est le transformé de N par la
π
rotation de centre M et d'angle ± 3 ; ceci se traduit par p - m = -j(n - m) ou p - m = -j2(n - m)
c'est à dire par les deux relations proposées.
b) Si m,n,p sont ces racines, nous savons que m+n+p = -u et mn+np+pm = v. Par ailleurs
la condition que le triangle soit équilatéral se traduit par:
(m+jn+j2p)(m+jp+j2n) = 0
Soit
(m2+n2+p2) - (mn+np+pm) = 0
Soit
u2 - 2v = v.
2) Soient ABC un triangle direct, et des triangles ABA' et BCC' isocèles rectangles en A' et C'
et extérieurs à ABC. Soit σA la similitude de centre A qui envoie A' sur B, et σC la similitude de centre
C qui envoie B sur C'.
a) Montrer que ϕ = σC σA est une isométrie qui laisse fixe le milieu J de AC.
b) Montrer que le triangle A'C'J est isocèle rectangle (solution: J est le centre de la rotation ϕ
d'angle –π/2, qui envoie A' sur C').
-1 - i
3) On considère trois points dans le plan complexe : A(1) , B(i) et C(
) . Ces trois points
 2
√
sont sur le cercle trigonométrique. On note D le point de ce cercle diamétralement opposé à C et E
le symétrique de D par rapport à la droite (AB).
Montrer que E est l'orthocentre du triangle ABC .