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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/15
CCP Maths 2 PSI 2003 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).
Le but de ce problème est de proposer une méthode de calcul approché des inté-
grales du type
Z1
−1
f(x)
√1−x2dx
où fest une fonction continue sur [−1 ; 1 ].
La première partie étudie les racines des polynômes de Tchebychev et établit
quelques résultats généraux à leur propos.
La deuxième partie définit une structure pré-hilbertienne réelle sur l’espace C
et donne une méthode de calcul exact de la famille d’intégrales précédente sur
l’ensemble R5.
Dans la troisième partie, la méthode de la deuxième partie est généralisée à Rn.
On montre ensuite qu’elle donne une approximation d’intégrales sur C. Le problème
se conclut par un exemple d’application.
Vu d’une part les objets manipulés (polynômes de Tchebychev), les techniques
employées (structure préhilbertienne réelle) et d’autre part son objet (calcul approché
d’intégrales), on peut dire que ce problème, un peu calculatoire, est très classique.
C’est donc un excellent problème de révision.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/15
Indications
Partie I
I.1 Exprimer cos(2 θ)et cos(3 θ)en fonction de cos3θ,cos2θet cos θavec les
formules d’addition du cosinus.
I.3 Comparer tket tn−(k+1).
I.4.1 Reconnaître une suite géométrique.
I.6 Considérer le résultat de la question I.5 comme une relation de récurrence.
I.7 Compter le nombre de racines de tntrouvées à la question I.3.
Partie II
II.2.3 Pour le calcul de I2p+1, penser à la parité.
II.3.2 Faire le changement de variable θ= Arccos x. Puis calculer Zπ
0
cos n x dx,
pour n∈Z.
II.3.3 Remarquer que xk∈Vect (t0, t1,...,tn−1).
II.4.2 Introduire une forme linéaire judicieuse, et montrer qu’elle est nulle.
Partie III
III.2.2 Deviner la valeur des réels a0, a1,...,an−1, puis vérifier qu’avec cette valeur
la propriété est vraie avec les fonctions t0, t1,...,tn−1.
III.3.1 Montrer que |Dn(f)|62πkfk∞, puis remarquer que Dn(f) = Dn(f−P),
si n > deg(P).
III.3.2 Utiliser le théorème de Weierstrass.
III.4.1 Définir la suite Vn=1
n n!+
m
P
k=0
1
k!, et montrer que (Vn)n∈Nest décroissante
et tend vers +∞
P
k=0
1
k!.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/15
Partie I
I.1 Soit x∈[−1 ; 1 ]. On a successivement :
•t0(x) = 1 ;
•t1(x) = cos(Arccos x) = x;
•t2(x) = cos(2 Arccos x) = 2 cos2(Arccos x)−1 = 2x2−1.
Avant de donner t3, exprimons cos(3θ)en fonction de cos θ,cos2θ, etc. :
cos 3 θ= cos(2 θ+θ)
= cos 2 θcos θ−sin 2 θsin θ
= (2 cos2θ−1) cos θ−2 cos θsin θsin θ
= 2 cos3θ−cos θ−2 cos θ(1 −cos2θ)
cos 3 θ= 4 cos3θ−3 cos θ
On en déduit donc que
t3(x) = 4 cos3(Arccos x)−3 cos(Arccos x) = 4x3−3x
∀x∈[−1 ; 1 ] t0(x) = 1 t1(x) = x t2(x) = 2x2−1et t3(x) = 4 x3−3x
Rappelons que la fonction cosinus définit une bijection de [ 0 ; π]sur [−1 ; 1 ].
Sa bijection réciproque est appelée « arc cosinus » et notée Arccos . On a donc
très simplement, pour x∈[−1 ; 1 ],cos(Arccos x) = xet Arccos x∈[ 0 ; π].
I.2 La fonction t0est constante, égale à 1. Elle n’a pas de racine et ses extremums
sont tous les points de [−1 ; 1 ].
La fonction t1n’admet que 0 comme racine. Son maximum, qui vaut 1, est atteint
en 1. Son minimum est atteint en −1et vaut −1.
Établissons le tableau de variations de t2, avec t′
2(x) = 4 xpour x∈[−1 ; 1 ].
x−1 0 +1
t′
2(x)−0 +
1 1
t2(x)ց ր
−1
Le maximum de t2vaut 1et il est atteint en −1et en 1. Son minimum vaut −1et
il est atteint en 0. Les racines de t2sont −p1/2et +p1/2.
De même, établissons le tableau de variations de t3, avec t′
3(x) = 12 x2−3pour
x∈[−1 ; 1 ]. Les racines du polynôme Pdéfini par P(x) = 12 x2−3sont −1/2et 1/2.
x−1−1/2 1/2 1
t′
3(x) + 0 −0 +
1 1
t3(x)ր ց ր
−1−1
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/15
Le maximum de t3vaut 1et il est atteint en −1/2et en 1. Son minimum vaut −1et
il est atteint en −1et 1/2. Les racines de t3sont 0,−√3/2et √3/2.
−1
0
1
1
−1
1
x
2x2−1
4x3−3x
I.3 Soit n∈N∗. Le réel xest racine de tnsi et seulement si cos(nArccos x) = 0,
c’est-à-dire si et seulement si
cos(nArccos x) = 0
nArccos x=π
2+kπ (avec k∈Z)
Arccos x=π
2n+kπ n(avec k∈Z)
Mais Arccos xdoit appartenir à l’intervalle [ 0 ; π], ce qui donne une limitation
sur les valeurs de k:
06π
2n+kπ n6π
−π
2n6kπ n6π−π 2n
−1
26k6n−1 2
Le réel xest racine de tnsi et seulement si
Arccos x=π
2n+kπ navec k∈[[ 0 ; n−1 ]]
On trouve donc exactement nvaleurs distinctes de Arccos x, toutes comprises entre 0
et π, et qui sont exactement les réels θkdéfinis dans l’énoncé. Or, la fonction cosinus
établissant une bijection de [ 0 ; π]dans [−1 ; 1 ], on trouve exactement nracines
pour tn.
Les racines de tnsont xk= cos (θk)pour k∈[[ 0 ; n−1 ]].
On verra à la question I.7 tout l’intérêt de déterminer précisément le nombre
de racines.
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