télécharger le PDF

c Éditions H&K
Publié dans les Annales des Concours
1/15
CCP Maths 2 PSI 2003 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Paul Pichaureau (Professeur en CPGE) ; il a été relu
par Walter Appel (Professeur en CPGE) et Jean Starynkévitch (ENS Cachan).
Le but de ce problème est de proposer une méthode de calcul approché des intégrales du type
Z 1
f (x)
√
dx
2
−1 1 − x
où f est une fonction continue sur [ −1 ; 1 ].
La première partie étudie les racines des polynômes de Tchebychev et établit
quelques résultats généraux à leur propos.
La deuxième partie définit une structure pré-hilbertienne réelle sur l’espace C
et donne une méthode de calcul exact de la famille d’intégrales précédente sur
l’ensemble R5 .
Dans la troisième partie, la méthode de la deuxième partie est généralisée à Rn .
On montre ensuite qu’elle donne une approximation d’intégrales sur C . Le problème
se conclut par un exemple d’application.
Vu d’une part les objets manipulés (polynômes de Tchebychev), les techniques
employées (structure préhilbertienne réelle) et d’autre part son objet (calcul approché
d’intégrales), on peut dire que ce problème, un peu calculatoire, est très classique.
C’est donc un excellent problème de révision.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
c Éditions H&K
2/15
Publié dans les Annales des Concours
Indications
Partie I
I.1 Exprimer cos(2 θ) et cos(3 θ) en fonction de cos3 θ, cos2 θ et cos θ avec les
formules d’addition du cosinus.
I.3 Comparer tk et tn−(k+1) .
I.4.1 Reconnaître une suite géométrique.
I.6 Considérer le résultat de la question I.5 comme une relation de récurrence.
I.7 Compter le nombre de racines de tn trouvées à la question I.3.
Partie II
II.2.3 Pour le calcul de I2p+1 , penser à la parité.
II.3.2 Faire le changement de variable θ = Arccos x. Puis calculer
pour n ∈ Z.
Z
π
cos n x dx,
0
II.3.3 Remarquer que xk ∈ Vect (t0 , t1 , . . . , tn−1 ).
II.4.2 Introduire une forme linéaire judicieuse, et montrer qu’elle est nulle.
Partie III
III.2.2 Deviner la valeur des réels a0 , a1 , . . . , an−1 , puis vérifier qu’avec cette valeur
la propriété est vraie avec les fonctions t0 , t1 , . . . , tn−1 .
III.3.1 Montrer que |Dn (f )| 6 2πkf k∞ , puis remarquer que Dn (f ) = Dn (f − P),
si n > deg(P).
III.3.2 Utiliser le théorème de Weierstrass.
m 1
P
1
+
, et montrer que (Vn )n∈N est décroissante
III.4.1 Définir la suite Vn =
n n! k=0 k!
+∞
P 1
et tend vers
.
k=0 k!
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
c Éditions H&K
3/15
Publié dans les Annales des Concours
Partie I
I.1 Soit x ∈ [ −1 ; 1 ]. On a successivement :
• t0 (x) = 1 ;
• t1 (x) = cos(Arccos x) = x ;
• t2 (x) = cos(2 Arccos x) = 2 cos2 (Arccos x) − 1 = 2x2 − 1.
Avant de donner t3 , exprimons cos(3θ) en fonction de cos θ, cos2 θ, etc. :
cos 3 θ = cos(2 θ + θ)
= cos 2 θ cos θ − sin 2 θ sin θ
= (2 cos2 θ − 1) cos θ − 2 cos θ sin θ sin θ
= 2 cos3 θ − cos θ − 2 cos θ(1 − cos2 θ)
cos 3 θ = 4 cos3 θ − 3 cos θ
On en déduit donc que
t3 (x) = 4 cos3 (Arccos x) − 3 cos(Arccos x) = 4x3 − 3x
∀x ∈ [ −1 ; 1 ]
t0 (x) = 1
t1 (x) = x t2 (x) = 2x2 − 1 et t3 (x) = 4 x3 − 3x
Rappelons que la fonction cosinus définit une bijection de [ 0 ; π ] sur [ −1 ; 1 ].
Sa bijection réciproque est appelée « arc cosinus » et notée Arccos . On a donc
très simplement, pour x ∈ [ −1 ; 1 ], cos(Arccos x) = x et Arccos x ∈ [ 0 ; π ].
I.2 La fonction t0 est constante, égale à 1. Elle n’a pas de racine et ses extremums
sont tous les points de [ −1 ; 1 ].
La fonction t1 n’admet que 0 comme racine. Son maximum, qui vaut 1, est atteint
en 1. Son minimum est atteint en −1 et vaut −1.
Établissons le tableau de variations de t2 , avec t′2 (x) = 4 x pour x ∈ [ −1 ; 1 ].
x
t′2 (x)
−1
1
t2 (x)
−
ց
0
0
+1
+
1
−1
ր
Le maximum de t2 vaut 1 et il est atteint p
en −1 et en
p1. Son minimum vaut −1 et
il est atteint en 0. Les racines de t2 sont − 1/2 et + 1/2.
De même, établissons le tableau de variations de t3 , avec t′3 (x) = 12 x2 − 3 pour
x ∈ [ −1 ; 1 ]. Les racines du polynôme P défini par P(x) = 12 x2 − 3 sont −1/2 et 1/2.
x
t′3 (x)
−1
t3 (x)
−1
+
ր
−1/2
0
1
−
ց
1/2
0
1
+
1
−1
ր
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .
c Éditions H&K
Publié dans les Annales des Concours
4/15
Le maximum de t3 vaut 1 et il est atteint en −1/2 et en
minimum vaut −1 et
√ 1. Son √
il est atteint en −1 et 1/2. Les racines de t3 sont 0, − 3/2 et 3/2.
1
1
x
2 x2 − 1
4 x3 − 3 x
0
−1
1
−1
I.3 Soit n ∈ N∗ . Le réel x est racine de tn si et seulement si cos(n Arccos x) = 0,
c’est-à-dire si et seulement si
cos(n Arccos x) = 0
π
n Arccos x = + kπ
2
Arccos x =
π
kπ
+
2n
n
(avec k ∈ Z)
(avec k ∈ Z)
Mais Arccos x doit appartenir à l’intervalle [ 0 ; π ], ce qui donne une limitation
sur les valeurs de k :
π
kπ
06
+
6π
2n
n
π
kπ
π
6
6π−
2n
n
2n
1
1
− 6k 6n−
2
2
Le réel x est racine de tn si et seulement si
−
π
kπ
+
avec
k ∈ [[ 0 ; n − 1 ]]
2n
n
On trouve donc exactement n valeurs distinctes de Arccos x, toutes comprises entre 0
et π, et qui sont exactement les réels θk définis dans l’énoncé. Or, la fonction cosinus
établissant une bijection de [ 0 ; π ] dans [ −1 ; 1 ], on trouve exactement n racines
pour tn .
Arccos x =
Les racines de tn sont xk = cos (θk ) pour k ∈ [[ 0 ; n − 1 ]].
On verra à la question I.7 tout l’intérêt de déterminer précisément le nombre
de racines.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .