L2S4 Electromag TD1

Universit´e de Cergy-Pontoise
L2S4 – Groupes pr´epa MP et PC : ´ Electromagn´etisme II 2016-17
TD no1 : Potentiel vecteur, ´equations de Maxwell
Ex 1. D´emontrer que les ´equations de Maxwell impliquent la conservation de la charge.
Ex 2. Calculer le potentiel vecteur pour un fil rectiligne fini parcouru par un courant I.
Cas du fil infini.
Ex 3. D´eterminer un potentiel vecteur dans le cas d’un champ magn´etique uniforme −→ B0.
Ex 4. Soit les choix de jauge:
a) −→ A1=B0z−→ uxet φ1=E0x, avec B0et E0deux constantes.
D´eterminer les champs −→ Eet −→ B.
b) −→ A2= (B0z+E0t)−→ uxet φ2=V0, avec B0et E0et V0trois constantes.
D´eterminer les champs −→ Eet −→ B.
c) D´eterminer la fonction ϕassurant ce changement de jauge.
Ex 5. Distribution de courant quasi-surfacique
On consid`ere la distribution de courant statique suivante :
−→
j(−→ r) = j0exp −x
a−→
uzsi x > 0
0 si x < 0
a) Montrer que −→ B(−→ r) = B(x)−→ uyet d´eterminer B(x) `a une constante additive pr`es en
utilisant l’´equation de Maxwell-Amp`ere.
b) Vue depuis un point Mtel que |x|  a, cette distribution de courant est assimilable `a une
distribution surfacique. D´eterminer la densit´e surfacique de courant −→ jscorrespondante
et en d´eduire la constante rest´ee ind´etermin´ee `a la question pr´ec´edente.
c) Chercher un potentiel vecteur correspondant `a ce champ magn´etique sous la forme
−→
A(−→ r) = A(x)−→ uzet tel que −→ A(0) = −→ 0 .
d) On fait tendre avers 0 en gardant −→ jsconstante. V´erifier l’expression de la discontinuit´e
du champ magn´etique.
Ex 6. Une solution des ´equations de Maxwell
On suppose que le champ ´electromagn´etique r´egnant dans une partie de l’espace vide de
charge et de courant est donn´e par l’expression suivante :
−→
E(−→ r , t) = f(z) exp(−αt)−→ uxet −→ B(−→ r , t) = g(z) exp(−αt)−→ uy.
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a) Les ´equations de Maxwell-Gauss et Maxwell-flux sont-elles v´erifi´ees ?
b) Montrer que l’´equation de Maxwell-Faraday impose une expression de g(z) en fonction
de f0(z).
c) Montrer que l’´equation de Maxwell-Amp`ere impose une expression de f(z) en fonction
de g0(z).
d) En d´eduire f(z) supposant que cette fonction est paire et que −→ E(O, 0) = E0−→ ux. Donner
l’expression du champ ´electromagn´etique.
Ex 7. Principe du b´etatron
Le champ magn´etique r´egnant dans l’espace est donn´e, en coordonn´ees cylindriques (r, θ, z)
d’axe Oz par :
−→
B(−→ r , t) = B0cos ωt −→
uzsi r < a
B1cos ωt −→ uzsi r > a
a) Montrer qu’il existe dans l’espace un champ ´electrique qui est de la forme −→ E=E(r, t)−→ uθ
et trouver E(r, t).
b) Un ´electron se d´eplace dans le champ ´electromagn´etique pr´ec´edent. Montrer qu’il existe
une trajectoire circulaire d’axe Oz si B0>2B1et pr´eciser son rayon.
Ex 8. Champ ´electromagn´etique autour d’une source radioactive
Une masse radioactive, ponctuelle, situ´ee au point Oet initialement neutre, ´emet `a partir
de l’instant t= 0 des particules αdans toutes les directions de l’espace de mani`ere isotrope.
A l’instant t > 0, la charge ´electrique situ´ee en Oest ainsi :
q(t) = q0exp −t
τ−1.
On suppose pour simplifier que les particules ont une vitesse constante v0.
a) Calculer le champ ´electrique −→ E(−→ r , t) et le champ magn´etique −→ B(−→ r , t) pour t > 0.
Commenter.
b) Exprimer la densit´e volumique de charge ρ(−→ r , t) et la densit´e volumique de courant
−→
j(−→ r , t) pour t > 0.
c) V´erifier la compatibilit´e des r´esultats obtenus avec la relation locale de conservation de
la charge et avec les ´equations de Maxwell.
On donne, pour le champ −→ a=a(r, t)−→ uren coordonn´ees sph´eriques :
div −→ a=1
r2
∂(r2a)
∂r .
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