télécharger le PDF

Centrale Maths 2 PC 2008 — Énoncé 1/8
Concours Centrale -Supélec 2008
Épreuve :MATHÉMATIQUES II Filière PC
Notations
•Dansce probl`eme,S(C)d´esignel’espacevectorielsur Cdes suites de complexes
(xn)n∈N.
•Pourk∈N,k>2,S(Ck)repr´esente l’espace vectoriel des suites (Xn)n∈N
form´ees de vecteurs de Ck.
•On note Mk(C)l’espacevectorieldesmatrices carr´ees `a klignes `a coefficients
dansC.
•Enfin,siMestunematrice, t Md´esigne satranspos´ee.
Question pr´eliminaire
Soitune matrice Mde M2(C), M=ab
cd.
On note e=det(M). On supposee6=0.
•Calculer le produitmatriciel
Md−b
−ca.
•En d´eduire l’expression de la matrice M−1en fonction de a, b, c,d, e.
Partie I-R´ecurrences lin´eaires
I.A-R´ecurrences lin´eaires d’ordre 2
On consid`ere ici lessuites(xn)n∈Nde S(C)pourlesquelles il existe descomplexes
a1et a0v´erifiant la propri´et´esuivante :
∀n∈N,xn+2 +a1xn+1 +a0xn=0.
On associe`a une telle suite de S(C) la suite (Xn)n∈Nde S(C2)d´efinie par :
∀n∈N,Xn=xn
xn+1.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

Centrale Maths 2 PC 2008 — Énoncé 2/8
I.A.1) D´eterminerunematrice AdeM2(C) telleque pour tout entier positif n,
on ait :
Xn+1 =AXn.
I.A.2) Montrerqueλestvaleur proprede Asi etseulementsi :
λ2+a1λ+a0=0.
I.A.3) Onsupposeque Aadmet deux valeurs propresdistinctes λ1et λ2et on note
D=λ10
0λ2.
a) D´eterminer lesmatricesQinversibles de M2(C)telles queAQ =QD.
b) Exprimer Anpour tout entier natureln,en fonction desmatricesQ,Q−1,des
complexesλ1,λ2et del’entiern.
I.A.4) Onsuppose maintenantqueAadmet une seulevaleurpropreλet on note
T=λ1
0λ.
a) Exprimer a1et a0en fonction de λ.
b) Montrer quela matrice Aestsemblable `a la matrice Tet d´eterminerlesmatrices
Qinversiblesde M2(C)telles que :
Q−1AQ =T.
c) ExprimerAnpour toutentiernaturel n,enfonction des matrices Q,Q−1,du
complexe λet del’entiern.
I.A.5) Montrerquel’on al’alternativesuivante :
•soit Aadmet deux valeurs propres distinctesetelle estdiagonalisable ;
•soit Aadmet une seulevaleurpropre etelle n’estpas diagonalisable.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

Centrale Maths 2 PC 2008 — Énoncé 3/8
I.A.6) Deux exemples num´eriques
Dansles deux exemples quisuivent, il est demand´ede :
•expliciterla matrice A,
•donner unematricedepassage Qtelle queT=Q−1AQ soit d’uneformesimple
comme ci-dessus,
•en d´eduire Xnpuis xnen fonction de x0,x1et n
(il seratenu compte de la simplicit´eet de laclart´edes choix effectu´es).
a) Exemple 1
(xn)n∈Nv´erifiela propri´et´esuivante :
∀n∈N,xn+2 −3xn+1 +2xn=0.
b) Exemple 2
(xn)n∈Nv´erifiela propri´et´esuivante :
∀n∈N,xn+2 −4xn+1 +4xn=0.
I.B-Vers un ordre sup´erieur, `apetits pas
On noteΦl’application qui`a (xn)n∈N´el´ementdeS(C)associelasuite desvecteurs
(Xn)n∈Nde S(C3)d´efinie par Xn=
xn
xn+1
xn+2
pour toutn∈N.
Ainsi, lestrois premierstermesdela suite Φ((xn)n∈N)sont
x0
x1
x2
,
x1
x2
x3
,
x2
x3
x4
.
`
Atout polynˆomeunitairede C3[X],
P(X)=X3+a2X2+a1X+a0,
on associe le sous-espaceRPde S(C)form´edes suites(xn)n∈Ntelles que pour tout
n∈N,
xn+3 +a2xn+2 +a1xn+1 +a0xn=0,
ainsiquela matrice A=
010
001
−a0−a1−a2
.
I.B.1) Calculer le polynˆome caract´eristiquede A.
I.B.2) V´erifierque Φ:S(C)→S(C3)est lin´eaire et injective. Est-ellesurjective?
I.B.3)
a) Soit (xn)n∈N∈RP.Montrer que son image (Xn)n∈Npar Φv´erifie:
∀n∈N,Xn=AnX0.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

Centrale Maths 2 PC 2008 — Énoncé 4/8
b) Montrerque r´eciproquement, toute suite deS(C3)pour laquelleon aXn=AnX0
pour toutn∈N,est ´el´ementde Φ(RP).
I.B.4) Montrer queΦ(RP)estlesous-espace de S(C3)engendr´epar les suitesde
vecteurs(Ane1)n∈N,(Ane2)n∈N,(Ane3)n∈N,o`u(e1,e2,e3)d´esigne la base canonique
de C3.
En d´eduire ladimension de RP.
I.C-Des exemples (quasi)num´eriques
On introduit iciquelques exemples de polynˆomes P(X)et on se proposed’´etudier
le comportement`a l’infinides suites (xn)n∈Nde RP.
I.C.1) Exemple 1
On consid`ereici le polynˆome:P(X)=X3−2X2+3
2X−1 2.
a) ´ Ecrire lamatriceAquilui est associ´ee. Justifierqu’elle est diagonalisabledans
M3(C).
b) Choisir une valeurexplicite simple de X0∈R3.Apr`esun calculeffectifdes
premiers termes de la suite (Xn)n∈N,conjecturerla limitede cette suitede vecteurs.
c) V´erifier que Q−1AQ =To`uQ=
102
111
110
et T=
1 0 0
01
2−1 2
01
2
1
2
.
d) CalculerT2,T3et T4.
En d´eduire lavaleur deT4p+kpour p∈Net k∈{0,1,2,3}.
e) Exprimerpourtout entier naturel nle vecteurYn=Q−1Xnen fonction de
Y0=Q−1X0.
En d´eduire que lessuites(Xn)n∈Net (xn)n∈Nde Φ(RP)etdeRPconvergent.
Attention :(Yn)n∈Nn’estpasdansΦ(RP)!
I.C.2) Exemple 2
Danscette question, on consid`ere le polynˆome :P(X)=X3−2X2+2X−1.
a) D´eterminer lesvaleurs propresde lamatriceAassoci´ee `a P(X).
b) En d´eduire quelessuites (xn)n∈Nappartenant`a RPsontp´eriodiques etque, `a
toute suite (xn)n∈Nappartenant`a RP,on peut associertroisnombres complexes
α,β,γtels que:
∀n∈N,xn=α+βcos nπ
3+γsin nπ 3.
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .

Centrale Maths 2 PC 2008 — Énoncé 5/8
I.C.3) Exemple 3
Danscette question, on consid`ere le polynˆome :
P(X)=(X−λ)(X−µ)2
o`uλet µd´esignentdeux nombres r´eelsdistincts.
a) Pr´eciserla matrice Aassoci´ee `a ce polynˆome.
b) OnadmetqueQ−1AQ =Tavec Q=
1 1 0
λµ1
λ2µ22µ
et T=
λ0 0
0µ1
0 0 µ
.
En d´eduireque si le polynˆome Padmet une racinedouble, lamatrice Aquiluiest
associ´ee n’est pas diagonalisable.
c) ` Aquelles conditionssur λet µa-t-on chacunedespropri´et´es suivantes :
•pour toutX0∈R3,lim
n→∞ Xn=0?
•pour toutX0∈R3,(Xn)n∈Nconverge ?
Partie II -De lar´ecurrence lin´eaireen g´en´eral
Cettepartie abordel’´etude des syst`emes d’´equations dela forme
(H):∀n∈N,Xn+1 =AnXn
danslesquelles (Xn)n∈Nd´esigne un ´el´ementinconnu de S(Ck)et (An)n∈Nestune
suite de matrices deMk(C).
Danslasuite de cette partie, la suite (An)n∈Nestfix´ee et on lui associe la suite de
matrices (Pn)n∈Nd´efinie par P0=Ik(matrice unit´ed’ordrek)et Pn+1 =AnPn
pour toutentiernatureln.
II.A-R´esultats d’existence et d’unicit´edes solutions
II.A.1) Soit (Xn)n∈Nune solution de (H).
Exprimer Xnen fonction de X0et dela suite (Pn)n∈N.
II.A.2) Montrerque le syst`emeavec condition initiale
(Ha):Xn+1 =AnXnpour toutn∈N,
X0=a
admet une solution etuneseule pour touta∈Ck.
II.A.3) On noteSl’ensemble dessolutions du syst`eme (H).
a) V´erifier queSestun sous-espace vectoriel de S(Ck).
Page
Téléchargé gratuitement sur www.Doc-Solus.fr .