Devoir maison n°2

Lycée Chaptal – PT* – 2016/2017
DM 2
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Devoir maison n°2
b) Montrer que dans cette base B, la matrice représentative de u est :


0
– À RENDRE LE 5/10 –
0
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On note E , l’espace vectoriel R3 , rapporté à sa base canonique C = (e 1 , e 2 , e 3 ).
On considère un endomorphisme u de E tel que u 3 − 2u 2 + u = 0L (E ) .
On pose enfin v = u − idE .
1
cas n°1
a) Montrer que si le réel λ est valeur propre de u, alors λ ∈ {0, 1}.
b) Soit U la matrice représentative de u dans la base C .
Montrer que si le complexe λ est valeur propre de U , alors λ ∈ {0, 1}.
c) En déduire les quatre expressions possibles du polynôme caractéristique de u, noté χu .
d) Soit k ∈ N∗ . Déterminer le reste de de la division euclidienne de X k
par le polynôme A = X (X − 1)2 .
On pourra faire apparaître le polynôme k X k−1 , dérivé de X k .
En déduire l’expression de u k en fonction de k, u 2 , u et idE .
−1
0
1
1
U = 1 −1 1 ;
1
2. On suppose dans cette question seulement que u est diagonalisable.
a) Montrer alors que u et v sont des projecteurs.
Que valent alors les espaces Ker(u) + Ker(v) et Im(u) + Im(v) ?
b) Déterminer quatre matrices diagonales : D 0 , D 1 , D 2 , D 3 telles que D r
soit de rang r , et telles que U soit semblable à l’une de ces quatre
matrices.
3.
0
5. Déterminer dans les deux suivants, l’expression du polynôme caractéristique de U , et préciser si U est semblable ou non à l’une des cinq matrices
D 0 , D 1 , D 2 , D 3 et T .




Exercice
1.
0
T = 0 1 1 
−1
1
0
cas n°2
0
0
U = 1 0 −1
0
1
2
Problème
On cherche dans ce problème à résoudre l’équation matricielle X 2 = A pour différentes matrices A ∈ Mn (R).
Partie I – Un premier exemple
On note u l’endomorphisme de R3 canoniquement associé à la matrice A :


2 1 1
A = 1 2 1 
0 0 2
a) Grâce à la division euclidienne de (X − 1)2 par X , déterminer un polynôme B tel que (X − 1)2 + X B = 1
b) En déduire que v 2 + u ◦ (2idE − u) = idE et que v 2 ◦ u = u ◦ v 2 = 0L (E ) .
c) En déduire alors que Ker(v 2 ) = Im(u) et Ker(u) = Im(v 2 ).
d) Montrer que E = Ker(u) ⊕ Ker(v 2 ).
4. On suppose dans cette question que Ker(u) et Ker(v) sont de dimension 1.
a) Préciser la dimension de Ker(v 2 ).
Établir l’existence de deux vecteurs ²1 ∈ Ker(u) et ²2 ∈ Ker(v 2 ) \ Ker(v)
tels que B = (²1 , v(²2 ), ²2 ) soit une base de E .
–1/2–
1. Calculer les valeurs propres de u et justifier la diagonalisabilité de A
dans M3 (R).
2. On note λ1 , λ2 et λ3 les valeurs propres de u avec λ1 < λ2 < λ3 . Déterminer,
pour chaque i ∈ {1, 2, 3}, le vecteur e i de R3 dont la deuxième composante
vaut 1 et vérifiant u(e i ) = λi e i .
3. Justifier que (e 1 , e 2 , e 3 ) est une base de R3 et écrire la matrice ∆ de u relativement à cette base, puis trouver une relation entre A et ∆.
4. Si B ∈ M3 (R) est une matrice vérifiant B 2 = A, on note v l’endomorphisme
de R3 qui lui est canoniquement associé.
a) Vérifier que v 2 = u et que u ◦ v = v ◦ u.
b) Pour chaque i ∈ {1, 2, 3}, calculer u(v(e i )) et en déduire que v(e i ) est
colinéaire à e i .
4. Application – Déterminer toutes les matrices X ∈ M4 (R) telles que :


c) Conclure que la matrice V de v relativement à la base (e 1 , e 2 , e 3 ) est
diagonale de la forme V = diag(α1 , α2 , α3 ) et en déduire les valeurs
possibles de α1 , α2 et α3 .
1
5. Trouver alors toutes les solutions, dans M3 (R), de l’équation X 2 = A.
Combien y en a-t-il ?
0
Partie II – Cas d’un endomorphisme du type u + idE avec u nilpotent
Dans cette partie, E désigne un espace vectoriel de dimension finie n Ê 2. On
considère un endomorphisme nilpotent u de E, c’est-à-dire un endomorphisme
©
ª
pour lequel il existe r ∈ N∗ tel que u r = 0 ; on pose alors p = min k ∈ N∗ ; u k = 0 .
1.
a) Justifier qu’il existe x 0 ∈ E tel que u p−1 (x 0 ) 6= 0.
b) Montrer que la famille (x 0 , u(x 0 ), . . . , u p−1 (x 0 )) est libre.
c) En déduire que p É n et que u n = 0.
2. On suppose qu’il existe v ∈ L (E ) tel que v 2 = u.
n +1
.
2
b) Donner alors un exemple de matrice M ∈ M2 (R) telle que l’équation
X 2 = M n’ait pas de solution dans M2 (R).
a) Calculer v 2p et v 2(p−1) , puis en déduire que p É
0
0
0
0
1
Partie III – Cas d’un endomorphisme trigonalisable
E désigne encore un espace vectoriel de dimension finie n Ê 2.
Soit u ∈ L (E ) un endomorphisme trigonalisable ; on admet qu’il existe deux endomorphismes d et f de E avec d diagonalisable, f nilpotent et vérifiant u = d + f et
f ◦d = d ◦ f .
Pour tout λ ∈ Sp(d ), on note enfin E λ le sous-espace propre de d associé à λ.
On suppose enfin que les valeurs propres de u sont strictement positives :
Sp(u) ⊂ R∗+ .
3. Dans cette question, on suppose que p = n ; on a donc u n−1 6= 0 et u n = 0.
On considère un endomorphisme g de E tel que g 2 = idE + u.
a) Soit x 1 ∈ E tel que u n−1 (x 1 ) 6= 0. Justifier que (x 1 , u(x 2 ), . . . , u n−1 (x 1 )).
est une base de E et qu’il existe (α0 , . . . , αn−1 ) ∈ Rn tel que :
g (x 1 ) = α0 x 1 + α1 u(x 1 ) + · · · + αn−1 u n−1 (x 1 )
1. Montrer que Eλ est stable par f et que l’endomorphisme f λ induit par f
sur E λ est nilpotent.
2. Montrer que Sp(d ) ⊂ Sp(u) et en déduire que d est bijective.
3. On note λ1 , . . . , λr , r Ê 1, les valeurs propres deux à deux distinctes de d .
Justifier que E = E λ1 ⊕ · · · ⊕ E λr et donner, pour tout
x = x 1 + · · · + x r ∈ E λ1 ⊕ · · · ⊕ E λr ,
l’expression de d (x).
4. Construire un endomorphisme δ de E tel que δ2 = d et vérifiant f ◦δ = δ◦ f .
b) Vérifier que g ◦ u = u ◦ g et montrer que :
5. Vérifier que δ est bijectif et que l’endomorphisme f ◦ δ−2 est nilpotent.
g = α0 idE + α1 u + · · · + αn−1 u n−1
c) Justifier que la famille (idE , u, . . . , u
1
0 1 1 0

X2 =
0 0 1 1
n−1
2
) est libre puis, en calculant g
q
X
de deux façons, montrer que α20 = 1, 2α0 α1 = 1 et
αk αq−k = 0 pour
k=0
2 É q É n − 1 si n Ê 3.
d) Montrer alors que α0 ∈ {−1, 1} et que, pour tout k ∈ ‚1, n − 1ƒ, αk peut
être exprimé de manière unique en fonction de α0 .
e) Conclure qu’il y a exactement deux endomorphismes de E dont le
carré est égal à idE + u.
–2/2–
6. À l’aide de la partie précédente, en déduire qu’il existe un endomorphisme
w vérifiant w 2 = idE + f ◦ δ−2 puis construire v ∈ L (E ) tel que v 2 = u.