Devoir maison n°2

Lycée Chaptal – PT* – 2016/2017 DM 2
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Devoir maison n°2
– À RENDRE LE 5/10 –
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Exercice
On note E, l’espace vectoriel R3, rapporté à sa base canonique C=(e1,e2,e3).
On considère un endomorphisme ude Etel que u3−2u2+u=0L(E).
On pose enfin v=u−idE.
1. a) Montrer que si le réel λest valeur propre de u, alors λ∈{0,1}.
b) Soit Ula matrice représentative de udans la base C.
Montrer que si le complexe λest valeur propre de U, alors λ∈{0,1}.
c) En déduire les quatre expressions possibles du polynôme caractéris-
tique de u, noté χu.
d) Soit k∈N∗ . Déterminer le reste de de la division euclidienne de Xk
par le polynôme A=X(X−1)2.
On pourra faire apparaître le polynôme kX k−1, dérivé de X k.
En déduire l’expression de uken fonction de k,u2,uet idE.
2. On suppose dans cette question seulement que uest diagonalisable.
a) Montrer alors que uet vsont des projecteurs.
Que valent alors les espaces Ker(u)+Ker(v) et Im(u)+Im(v)?
b) Déterminer quatre matrices diagonales : D0,D1,D2,D3 telles que Dr
soit de rang r , et telles que U soit semblable à l’une de ces quatre
matrices.
3. a) Grâce à la division euclidienne de ( X− 1)
2
par X , déterminer un poly-
nôme Btel que (X−1)2+X B =1
b) En déduire que v2+u◦(2idE−u)=idEet que v2◦u=u◦v2=0L(E).
c) En déduire alors que Ker(v2)=Im(u) et Ker(u)=Im(v2).
d) Montrer que E=Ker(u)⊕Ker(v2).
4. On suppose dans cette question que Ker ( u ) et Ker ( v ) sont de dimension 1.
a) Préciser la dimension de Ker(v2).
Établir l’existence de deux vecteurs ²1∈Ker(u) et ²2∈Ker(v2) \ Ker(v)
tels que B=(²1,v(²2),²2) soit une base de E.
b) Montrer que dans cette base B, la matrice représentative de uest :
T=
0 0 0
0 1 1
0 0 1
5. Déterminer dans les deux suivants, l’expression du polynôme caractéris-
tique de U , et préciser si U est semblable ou non à l’une des cinq matrices
D0,D1,D2,D3et T.
cas n°1 U=
1−1 1
1−1 1
1−1 1
; cas n°2 U=
0 0 0
1 0 −1
0 1 2
Problème
On cherche dans ce problème à résoudre l’équation matricielle X2=A pour diffé-
rentes matrices A∈Mn(R).
Partie I – Un premier exemple
On note ul’endomorphisme de R3canoniquement associé à la matrice A:
A=
211
121
002
1. Calculer les valeurs propres de u et justifier la diagonalisabilité de A
dans M3(R).
2. On note λ1,λ2 et λ3 les valeurs propres de u avec λ1<λ2<λ3 . Déterminer,
pour chaque i∈{ 1 , 2 , 3 } , le vecteur ei de R3 dont la deuxième composante
vaut 1 et vérifiant u(ei)=λiei.
3. Justifier que (e1,e2,e3) est une base de R3et écrire la matrice ∆de urelati-
vement à cette base, puis trouver une relation entre Aet ∆.
4. Si B∈M3 ( R ) est une matrice vérifiant B2=A , on note v l’endomorphisme
de R3qui lui est canoniquement associé.
a) Vérifier que v2=uet que u◦v=v◦u.
b) Pour chaque i∈{ 1 , 2 , 3 } , calculer u ( v ( ei )) et en déduire que v ( ei ) est
colinéaire à ei.
–1/2–

c) Conclure que la matrice V de v relativement à la base ( e1,e2,e3 ) est
diagonale de la forme V=diag ( α1,α2,α3 ) et en déduire les valeurs
possibles de α1,α2et α3.
5. Trouver alors toutes les solutions, dans M3(R), de l’équation X2=A.
Combien y en a-t-il?
Partie II – Cas d’un endomorphisme du type u+
+
+idEavec unilpotent
Dans cette partie, E désigne un espace vectoriel de dimension finie nÊ 2. On
considère un endomorphisme nilpotent u de E, c’est-à-dire un endomorphisme
pour lequel il existe r∈N∗tel que ur=0; on pose alors p=min©k∈N∗;uk=0ª.
1. a) Justifier qu’il existe x0∈Etel que up−1(x0)6= 0.
b) Montrer que la famille (x0,u(x0),...,up−1(x0)) est libre.
c) En déduire que pÉnet que un=0.
2. On suppose qu’il existe v∈L(E) tel que v2=u.
a) Calculer v2pet v2(p−1), puis en déduire que pÉn+1
2.
b) Donner alors un exemple de matrice M∈M2 ( R ) telle que l’équation
X2=Mn’ait pas de solution dans M2(R).
3. Dans cette question, on suppose que p=n ; on a donc un−16= 0 et un= 0.
On considère un endomorphisme gde Etel que g2=idE+u.
a) Soit x1∈E tel que un−1 ( x1 ) 6= 0. Justifier que ( x1,u ( x2 ) ,...,un−1 ( x1 )).
est une base de Eet qu’il existe (α0,...,αn−1)∈Rntel que :
g(x1)=α0x1+α1u(x1)+ · · · + αn−1un−1(x1)
b) Vérifier que g◦u=u◦get montrer que :
g=α0idE+α1u+ · · · + αn−1un−1
c) Justifier que la famille ( idE,u,...,un−1 ) est libre puis, en calculant g2
de deux façons, montrer que α2
0=
1, 2 α0α1= 1 et
q
X
k=0
αkαq−k= 0 pour
2ÉqÉn−1 si nÊ3.
d) Montrer alors que α0∈{− 1 , 1 } et que, pour tout k∈  1 ,n− 1 , αk peut
être exprimé de manière unique en fonction de α0.
e) Conclure qu’il y a exactement deux endomorphismes de E dont le
carré est égal à idE+u.
4. Application – Déterminer toutes les matrices X∈M4(R) telles que :
X2=
1 1 0 0
0 1 1 0
0 0 1 1
0 0 0 1
Partie III – Cas d’un endomorphisme trigonalisable
Edésigne encore un espace vectoriel de dimension finie nÊ2.
Soit u∈L ( E ) un endomorphisme trigonalisable; on admet qu’il existe deux endo-
morphismes d et f de E avec d diagonalisable, f nilpotent et vérifiant u=d+f et
f◦d=d◦f.
Pour tout λ∈Sp(d), on note enfin Eλle sous-espace propre de dassocié à λ.
On suppose enfin que les valeurs propres de u sont strictement positives :
Sp(u)⊂R∗
+.
1. Montrer que Eλ est stable par f et que l’endomorphisme fλ induit par f
sur Eλest nilpotent.
2. Montrer que Sp(d)⊂Sp(u) et en déduire que dest bijective.
3. On note λ1,...,λr , rÊ 1, les valeurs propres deux à deux distinctes de d .
Justifier que E=Eλ1⊕ · · · ⊕ Eλret donner, pour tout
x=x1+ · · · + xr∈Eλ1⊕ · · · ⊕ Eλr,
l’expression de d(x).
4. Construire un endomorphisme δ de E tel que δ2=d et vérifiant f◦δ=δ◦f .
5. Vérifier que δest bijectif et que l’endomorphisme f◦δ−2est nilpotent.
6. À l’aide de la partie précédente, en déduire qu’il existe un endomorphisme
wvérifiant w2=idE+f◦δ−2puis construire v∈L(E) tel que v2=u.
–2/2–