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Mines Maths 2 PSI 2007 — Énoncé 1/5
ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ETCHAUSSÉES.
ÉCOLESNATIONALESSUPÉRIEURESDE L’AÉRONAUTIQUE ETDE L’ESPACE,
DE TECHNIQUESAVANCÉES, DESTÉLÉCOMMUNICATIONS,
DESMINESDE PARIS, DESMINESDE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY,
DESTÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE.
ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FilièreTSI).
CONCOURS D’ADMISSION2007
SECONDE ÉPREUVEDE MATHÉMATIQUES
Filière PSI
(Durée de l’épreuve:3heures)
L’usage d’ordinateur ou decalculette estinterdit.
Sujet misàla disposition des concours :
ENSAE(Statistique), ENSTIM, INT, TPE-EIVP,Cycle international
Les candidats sontpriésde mentionnerdefaçon apparente surla premièrepage dela
copie :
MATHÉMATIQUESII -PSI.
L’énoncé de cette épreuvecomporte5pagesde texte.
Si,au cours de l’épreuve,un candidat repère ce quiluisembleêtre une erreur d’énoncé, il
le signale sursa copie etpoursuit sa composition en expliquantles raisonsdesinitiatives
qu’il estamenéàprendre.
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Mines Maths 2 PSI 2007 — Énoncé 2/5
Majorationde polynômes trigonométriques
Soit pun réel strictementsupérieur à1et q=p/(p−1).On admet que siu
et vsontdeux fonctions continues, àvaleursréelles, définies sur l’intervalle
[c, d]⊂R,alors
Zd
c
u(x)v(x)dx
≤Zd
c
|u(x)|pdx1/p Zd
c
|v(x)|qdx1/q
.(1)
Soit nun entier non nul, r=(r1,· · · ,rn)∈Rnoù pour tout k,rkest un
réel positif et r6=0.On introduit sur Rn,lesdeux normes suivantes:
krk=(r2
1+. . . +r2 n)1/2et krk1=
n
X
j=1
|rj|.
Pour tout x∈Ret tout α=(α1,· · · ,αn)∈Rn,on pose
Pr(x, α)=
n
X
k=1
rkcos(kx−αk).
Si sest un réel positif, onnote
Is(α)=Z2π
0
|Pr(x, α)|2sdx.
Dans la suite, tdésigne un réel supérieur ou égalà1.
L’objectif de ce problème est de montrer que
sup
x∈Rn
inf
α∈Rn|Pr(x, α)|
est fini et d’obtenir un majorant fonction de r.
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Mines Maths 2 PSI 2007 — Énoncé 3/5
IPréliminaires
1-Soit ϕ(λ)=λ2t(1 −λ)2pour λ∈[0,1].Calculer max
λ∈[0,1] ϕ(λ).
2-Soit ψla fonction définie sur Rpar ψ(x)=|x|2t.Montrer que ψest
de classe C2sur Ret calculer ψ′et ψ′′.
3-Soit h:R→Rune fonction de classe C2.Prouverque l=|h|2test
de classe C2sur Ret calculer l′et l′′.
II Propriétés de It
Pour α∈Rn,on introduit la fonction Lαdéfinie par
Lα: [−1,1] ×Rn−→R
(ε, β)7−→It(α+εβ).
4-Montrer que pour tout β∈Rn,la fonction (ε7→ Lα(ε, β)) est dérivable
et exprimer sadérivée sous forme d’intégrale.
5-Montrer que pour tout β∈Rn,la fonction(ε7→ Lα(ε, β)) est deux
fois dérivable et exprimer sa dérivée seconde sous forme d’intégrale.
6-Établir que
It(α+β)−It(α)=Z1
0
∂Lα
∂ε(ε, β)dε,
puis montrer que Itest continue sur Rn.
7-En utilisantles propriétés de Lα,montrerque les dérivées partielles
∂2It
∂α2
k
pour k=1,· · · ,n,
existentet lesexprimer sous forme d’intégrales.
8-Montrer que Itest une fonction bornéesur Rn,qui atteintson mini-
mum.
On note˜αl’un despoints où le minimum est atteint.
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Mines Maths 2 PSI 2007 — Énoncé 4/5
9-Montrer que pour tout β∈Rn,
∂2L˜α
∂ε2(0,β)≥0puis que
n
X
k=1
∂2It
∂α2
k
(˜α)≥0.
10 -Établir alors l’inégalitésuivante :
It(˜α)≤(2t−1) krk2It−1(˜α).(2)
11 -Établir la majorationsuivante :
It(˜α)≤2π(2t−1)krk2t.
III Propriétés de Pr
Dans cette partie, αest un élémentquelconque de Rnfixé.
12 -Établir les deux identités
Z2π
0
Pr(x, α)dx=0et Z2π
0
|Pr(x, α)|2dx=πkrk2.
13 -Montrer que la borne supérieureS=sup
x∈R
|Pr(x, α)|est finie et qu’il
existe xα∈Rtel que
|Pr(xα,α)|=sup
x∈R
|Pr(x, α)|.
14 -Montrer que krk2≤2S2.
15 -Montrer que la fonction x7→ Pr(x,α)est non identiquementnulle et
n’est pasde signe constant.
16 -Soit λ∈]0,1[.Soit V+
λ={ξ∈[xα,xα+2π],|Pr(ξ,α)|=λS}.Montrer
que V+
λest un ensemble compact nonvide.
Soit b=min{ξ,ξ∈V+
λ}.
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Mines Maths 2 PSI 2007 — Énoncé 5/5
17 -Montrer qu’il existe atel que :
a<xα<bet b−a<2π,
|Pr(a, α)|=|Pr(b, α)|=λS,
|Pr(x, α)|>λSpour tout x∈]a, b[.
18 -Établir les relations
2(1−λ)S=Zb
a
∂Pr
∂x(x, α)dx
et
2(1−λ)S2≤(b−a)Zb
a
∂Pr
∂x(x, α)
2
dx.
19 -Établir l’inégalité suivante :
Zb
a
∂Pr
∂x(x, α)
2
dx≤π
n
X
k=1
k2r2
k.
IV Majoration
20 -Établir les inégalités suivantes :
2
π
krk2
n
P
k=1
k2r2
k
(1 −λ)2≤(b−a)≤It(˜α)(λS)−2t.
21 -Montrer qu’il existe une constante A,indépendante de n,r,tet ˜α,
telle que l’inégalité suivantesoit satisfaite :
S2≤At n
X
k=1
k2r2
k!1/t n
X
k=1
r2
k!1−1/t
.
Fin du problème
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