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X Maths 2 MP 2008 — Énoncé 1/4
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
CONCOURSD’ADMISSION2008
DEUXIÈMECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
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Dénombrementd’applicationsentre ensemblesfinis
Onseproposededémontrerquelquespropriétésdu nombredesapplications surjectivesd’un
ensemblefinisurun autre.
Étantdonnédeuxnombresentiers strictementpositifsketn,on note
•pk,nlenombredepartiesàkélémentsdel’ensemble{1,... ,n},nulsik>n;onrappelle
quepk,n= n
k!pourk6n;
•jk,nlenombred’applicationsinjectivesde{1,... ,k}dans{1,... ,n},nulsik>n;
•sk,nlenombred’applications surjectivesde{1,... ,k}dans{1,... ,n},nulsik<n.
On posera aussip0,n=j0,n=1.
Premièrepartie
1.Préciserlesvaleursdejn,netsn,n.
2.Montrerquel’onajk,n= n
k!k!sik6n.
Pour toutentierr>0,on noteP(r)(resp.S(r))lamatrice àrlignesetrcolonnesde
coefficientsP(r)k,n=pk,n(resp.S(r)k,n=sk,n)pourk,n=1,... ,r.
3.a)Montrerquel’ona,pourketn>0:
nk=X
q=1,... ,n
sk,qpq,n.
3.b)Calculerledéterminantdelamatrice A(r)de coefficientsA(r)k,n=nk,k,n=1, . . . , r.
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X Maths 2 MP 2008 — Énoncé 2/4
Deuxièmepartie
Pour toutentierd>0,on désigneparEdl’espace vectorieldespolynômesàuneindéterminée,
àcoefficientscomplexes,dedegré6d.Onlemunitdelabase(X0=1,X, . . . , Xd);on définit
un endomorphismeTdeEdpar
T(P)(X)=P(X+1)pour toutP∈Ed.
4.a)DéterminerlescoefficientsTk,ndelamatrice représentantTdanslebaseindiquée (ici
06k,n6d).
4.b)Mêmequestion pourT−1donton démontreral’existence.
4.c)Étantdonnédeux vecteurslignes(a0,...,ad)et(b0,...,bd)satisfaisanta0=b0et,pour
n=1,... ,d,
an=X
q=0,... ,n
bq n
q!,
écrirelesbqenfonction desan.
4.d)Établiruneformuledelaforme
sk,n=X
q=1,... ,n
λn,qqk n
q!,
où0<n6ketoùlesλn,qsontdescoefficientsàdéterminer.
Danslasuitede cettesecondepartie,on définitdesélémentsNkdeEd,k=0,1,... ,d,par
Nk(X)=
1sik=0
1
k!X(X+1)···(X+k−1)sik>0.
5.VérifierquelesNkformentunebasedeEd.
6.Démontrerlaformule
T(Nk)=Nk+T(Nk−1)pourk>0.
7.a)Déterminerlescoefficients‹ Tk,q(k,q=0,... ,d)delamatrice représentantl’endomor-
phismeTdanslabase ci-dessus.
7.b)Mêmequestion pourlescoefficientsdeT−1.
8.ÉcrirelesformulesdonnantlespolynômesXk,k=0,... ,d,enfonction despolynômes
Nk.
[On pourrautiliserlaformuledelaquestion3.a).]
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X Maths 2 MP 2008 — Énoncé 3/4
Troisièmepartie
Étantdonnédeuxentiersketn>0,on désignepar
•Ak,nl’ensembledesapplicationsde{1,... ,k}dans{1,... ,n};
•Bk,nl’ensembledesapplications surjectivesde{1,... ,k}dans{1,... ,n},ensemblebien
entendu videsik<n;
•Ck,nl’ensembledesapplicationsf:{1,... ,n}→Nsatisfaisant
f(1)+...+f(n)=k;
•Dk,nlesous-ensembledu précédentformédesftellesquef(i)>1pour touti(ici, n6k).
9.Démontrerla«formuledu multinôme»,pourn>0,k>0:
(x1+...+xn)k=X
f∈Ck,n
k!
f(1)!···f(n)!xf(1)
1···xf(n)
n,
oùx1,... ,xnsontdesnombresréels.
[On pourraprocéderpar récurrence surn.]
10.Montrerque
(x1+...+xn)k=X
ϕ∈Ak,n
xϕ(1)···xϕ(k).
11.Montrerque,pour0<n6k,ona
sk,n=X
f∈Dk,n
k!
f(1)!···f(n)!.
Quatrièmepartie
Onconsidèreunesérie entièreàcoefficientsréelsX
k>0
akxk;onsupposea0=0;on noteR1
sonrayon de convergence supposénon nul, etϕ(x)sasomme.Pournetkentiers>0,on pose
αn,k=
X
f∈Dk,n
af(1)···af(n)si0<n6k
0si06k<n
α0,k=
1sik=0
0sik>0
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X Maths 2 MP 2008 — Énoncé 4/4
12.Indiquerun minorantρ>0du rayon de convergence delasérie entièreX
k>0
αn,kxkoùn>0;
déterminerlasommede cettesériedansl’intervalle|x|<ρ.
Onconsidèreunesecondesérie entièreX
n>0
bnxn;on noteR2sonrayon de convergence sup-
posénon nul, etψ(x)sasomme.
13.Montrerquelasérie entièreX
k>0X
n>0
bnαn,kxkaun rayon de convergence non nul, et
précisersasommeauvoisinagede0.
14.Onconsidèrelafonctionθ(x)=e(ex−1).ExprimerlescoefficientsdelasériedeTaylorde
θàl’aidedesnombressk,n.
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