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X Maths 1 MP 2008 — Énoncé 1/4
ÉCOLEPOLYTECHNIQUEFILIÈREMP
CONCOURSD’ADMISSION2008
PREMIÈRECOMPOSITIONDEMATHÉMATIQUES
(Durée :4heures)
L’utilisation descalculatricesn’estpasautorisée pourcette épreuve.
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ÉquationsdifférentiellesdeSturm-Liouville
Ceproblème estconsacréàl’étuded’une équation différentielleavec paramètre.On désigne
parC∞([0,1])l’espace desfonctionsréellesde classeC∞sur[0,1].
Premièrepartie
Danscettepremièrepartie,étantdonnédeuxfonctionspetqdeC∞([0,1]),on désignepar
Ap,ql’endomorphismedeC∞([0,1])définipar
Ap,q(y)=y′′ +py′+qy
etpar(Dp,q)l’équation différentiellesur[0,1]:Ap,q(y)=0.
1.Soityunesolution nonidentiquementnullede(Dp,q).
1.a)Montrerquelesfonctionsyety′nes’annulentpas simultanément.
1.b)Montrerqueleszérosdeysonten nombrefini.
2.Soity1ety2deuxsolutionslinéairementindépendantesde(Dp,q);onsupposequey1
admetaumoinsdeuxzéroseton noteaetbdeuxzérosconsécutifs.
2.a)Montrerquey2admetaumoinsun zérodansl’intervalleouvert ]a,b[. [On pourra
procéderparl’absurde etconsidérerlewronskienWdey1ety2.]
2.b)Lafonctiony2peut-elleavoirplusieurszérosdans]a,b[?
ÉtantdonnédeuxfonctionsuetvdeC∞([0,1]),unes’annulantenaucun point,on désigne
parBu,vl’endomorphismedeC∞([0,1])définipar
Bu,v(y)=(uy′)′+vy
etpar(Eu,v)l’équation différentiellesur[0,1]:Bu,v(y)=0.
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X Maths 1 MP 2008 — Énoncé 2/4
3.a)Soity1ety2deuxsolutionslinéairementindépendantesde(Dp,q)etsoitWleur
wronskien.Vérifierlarelation
y1Bu,v(y2)−y2Bu,v(y1)=(u′−up)W.
3.b)Montrerque,pour toutcouple(p,q), il existedescouples(u,v)telsque
KerAp,q=KerBu,vetdéterminer touscescouples(u,v).
4.Onsedonnetroisfonctionsu,v1,v2deC∞([0,1])etonsuppose
u(x)>0,v2(x)<v1(x)pour toutx∈[0,1].
Pouri=1,2,on noteyiunesolution nonidentiquementnulledel’équation(Eu,vi);onsuppose
quey2admetaumoinsdeuxzéroseton noteaetbdeuxzérosconsécutifs.
4.a)Vérifierlarelation
[uy1y′
2]b a=Zb
av1(x)−v2(x)y1(x)y2(x)dx.
[On pourraconsidérerZb
ay1Bu,v2(y2)−y2Bu,v1(y1)dx.]
4.b)Montrerquey1admetaumoinsun zérodansl’intervalle]a,b[. [On pourraprocéderpar
l’absurde.]
Danstoutelasuitedu problèmeon noterunefonction deC∞([0,1]);pour toutnombreréel
λonconsidèrel’équation différentiellesur[0,1]:
(Dλ)y′′ +(λ−r)y=0.
On noteyλl’uniquesolution de(Dλ)satisfaisantyλ(0)=0,y′
λ(0)=1,etEλl’espace vectoriel
(éventuellement réduitàzéro)des solutionsde(Dλ)satisfaisanty(0)=y(1)=0;sicetespace
n’estpasréduitàzéro,on ditqueλestvaleurpropre.
Deuxièmepartie
5.a)Quelles sontlesvaleurspossiblesdedimEλ?
5.b)Démontrerl’équivalence desconditionsEλ6={0}etyλ(1)=0.
6.Démontrerlesassertions suivantes:
6.a)Toutevaleurpropre estsupérieureouégaleàinfx∈[0,1]r(x).
6.b)Siy1∈Eλ1,y2∈Eλ2avec λ16=λ2,alorsZ1
0
y1(x)y2(x)dx=0.
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X Maths 1 MP 2008 — Énoncé 3/4
Troisièmepartie
Danslestroisième etquatrièmeparties,on désigneparN(λ)lenombredeszérosdela
fonctionyλdans[0,1]etonseproposed’étudierN(λ)enlienavec lesvaleursdeyλ(1),ainsique
larépartition desvaleurspropres.
7.Danscettequestiononexaminele casoùr=0etλ>0.On désigneparE(a)lapartie
entièred’un nombreréela.
7.a)Calculeryλ(x)pourx∈[0,1].
7.b)CalculerN(λ).
7.c)Préciserle comportementdeN(λ)auvoisinaged’un pointλ0.
On nesupposeplusr=0niλ>0.Onadmettraquelafonction dedeux variables
(λ,x)7→ yλ(x)estde classeC∞.
8.Danscettequestion,onseproposededémontrerque,siyλ0(1)estnon nul, N(λ)est
constantdansun voisinagedeλ0.
On désigneparc1,... ,cn,n>1, leszérosdeyλ0dans[0,1]avec
0=c1<c2<... <cn<1.
8.a)Montrerqu’il existeunesuitestrictementcroissante(ξj)06j62ndenombresréels,pos-
sédantlespropriétés suivantes:
(i)ξ0=0,ξ2n=1,0<ξ1<ξ2,ξ2j−2<cj<ξ2j−1pourj=2,... ,n;
(ii)(−1)j+1yλ0>0sur[ξ2j−1,ξ2j],j=1,... ,n;
(iii)(−1)jy′
λ0>0sur[ξ2j,ξ2j+1],j=0,... ,n−1.
8.b)Danscettequestion,onconsidèreunefonctionFde classeC∞définiesurun ouvert
contenantun rectangle compactI×JdeR2.Démontrerl’assertionsuivante:pour toutε>0
il existeδ>0telquelesconditionss1,s2∈Iet|s1−s2|<δimpliquent
|F(s1,t)−F(s2,t)|<εpour toutt∈J.
8.c)Montrerque,pour toutλsuffisammentvoisin deλ0,yλaexactementun zérodans
chacun desintervalles[ξ2j,ξ2j+1],maisn’ena aucun danslesintervalles[ξ2j−1,ξ2j].Conclure.
9.Montrerque,pour toutλ>ρ=supx∈[0,1]r(x),ona
N(λ)>E(λ−ρ)1/2π−1.
[On pourrautiliserlaquestion4etlaquestion7enyremplaçantλparun réelquelconque
µ<λ−ρ.]
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X Maths 1 MP 2008 — Énoncé 4/4
10.a)Montrerque,siyλ(1)estnon nulpour toutλappartenantàun intervalleI,N(λ)est
constantdansI.
10.b)L’ensembledesvaleurspropresest-il videou nonvide?finiouinfini?
Quatrièmepartie
Danscettequatrièmepartie,onétudiele comportementdeN(λ)auvoisinaged’un pointλ0
telqueyλ0(1)=0.Onécriray(λ,x)aulieu deyλ(x),etonrappelleque cettefonction dedeux
variablesestde classeC∞; l’équation(Dλ)s’écritdonc:
(i)∂2y
∂x2+(λ−r)y=0.
11.Démontrerquelarelation(i)entraînelesrelations suivantes:
(ii)∂3y
∂x2∂λ+(λ−r)∂y ∂λ+y=0
(iii)∂2y
∂x2
∂y
∂λ−∂3y ∂x2∂λy−y2=0
(iv)∂y
∂λ(λ0,1)∂y ∂x(λ0,1)=Z1
0
y(λ0,x)2dx>0.
12.Montrerqu’il existeun réelε>0ayantlespropriétés suivantes:
(i)siλ∈[λ0−ε,λ0[,onaN(λ)=N(λ0)−1;
(ii)siλ∈[λ0,λ0+ε],onaN(λ)=N(λ0).
13.Montrerqu’on peutécrirelesvaleursproprescommeunesuite croissanteinfinie
λ1<λ2<...,etexprimerN(λn)enfonction den.
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