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ENAC Maths toutes filières 2009 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) ; il a été
relu par Hervé Diet (Professeur agrégé) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).
Le sujet se compose de cinq exercices complètement indépendants.
• Le premier s’intéresse aux propriétés de l’application « valeur moyenne » définie
pour f ∈ C 0 (R, R) et a ∈ R par
Z x
1
∀x ∈ R r {a}
ϕa (f )(x) =
f (t) dt
x−a a
On montre en particulier que c’est une application linéaire, on étudie son
injectivité, sa surjectivité, ainsi que certaines propriétés de sa restriction à
l’espace des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n.
• Le deuxième exercice étudie les propriétés d’une courbe paramétrée du plan
définie implicitement en coordonnées polaires, d’une hyperbole définie par une
équation cartésienne, ainsi que leur lien au travers d’une inversion.
• Le troisième exercice étudie une bijection continue strictement croissante de R+
dans R+ , sa réciproque, et des suites récurrentes réelles.
• Le quatrième exercice s’intéresse à l’espace des fonctions continues sur [ −1 ; 1 ],
aux sous-espaces des fonctions paires et impaires sur [ −1 ; 1 ] ainsi qu’à leur lien
via le produit scalaire usuel.
• Enfin, le cinquième exercice traite des solutions de l’équation aux dérivées partielles linéaire d’ordre 2
a
∂2f
∂2f
∂2f
+
b
+
c
=0
∂x2
∂x ∂y
∂y 2
posée sur R2 lorsque c 6= 0, (a, b) 6= (0, 0) et b2 − 4ac > 0. On décrit l’ensemble
des solutions à l’aide d’un changement de variables (x, y) 7→ (u, v) choisi judicieusement.
L’épreuve compte 36 questions, dont 24 doivent être traitées ; chacune comprend quatre propositions, laissant ainsi moins d’une minute pour examiner chaque
proposition. L’énoncé comporte un certain nombre d’imprécisions et d’erreurs.
Toutefois, il met en œuvre un nombre important de points du cours de première
année, des matrices aux courbes paramétrées en passant par les fonctions de deux
variables ; certaines questions permettent de tester, parfois même avec une certaine
profondeur, sa connaissance du cours et sa capacité à mettre en action les méthodes
étudiées en cours. Enfin, le découpage en exercices complètement indépendants permet de tester ses connaissances uniquement sur les points du programme que l’on
souhaite revoir.
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Indications
Exercice 1
2. Intuitivement, ϕa (f )(x) est la valeur moyenne de f sur [ x ; a ] ou [ a ; x ].
3. Montrer que ϕa est un endomorphisme de E. Concernant son éventuelle
surjectivité, utiliser la dérivabilité de ϕa (f ) sur R r {a}.
7. Garder en mémoire le fait que E n’est pas de dimension finie.
8. Utiliser la question 7 et la dérivabilité de ϕa (f ) sur R r {a}.
9. F est un espace vectoriel de dimension finie. Quelle est sa dimension ?
10. Déterminer l’inverse de la matrice P en observant que pour tout i ∈ {1, . . . , n+1},
i−1
Xi−1 = ((X − a) + a)
=
i X
i−1
p−1
p=1
ai−p (X − a)
p−1
12. Erreur probable d’énoncé : lire In+1 au lieu de In . Utiliser le fait que
(λ A − In+1 ) = P (λ A′ − In+1 ) P−1
∀λ ∈ R
ainsi que les autres résultats de la question 11.
Exercice 2
15. Examiner avec précaution le comportement de ρ au voisinage de π/4.
16. Quel est l’élément d’aire en coordonnées polaires ?
19. Utiliser la formule trouvée en 18.b.
21. Utiliser les résultats obtenus aux questions 18 et 19.
22. Observer que
I01 C √2 = L √2 r {0}
2
2
Exercice 3
23. Que dire de la dérivabilité de f en 0 en fonction de p ? Souvenez-vous qu’une
fonction strictement monotone est toujours injective.
24. Examiner la dérivabilité de g en 0 en fonction de p.
Exercice 4
28. E, P et I ne sont pas de dimension finie.
Exercice 5
2
2
32. Remarquer que g ∈ C (R ), puisque f ∈ C 2 (R2 ).
∂g
34. Fixer u0 ∈ R et considérer l’application v 7→
(u0 , v). Que vaut sa dérivée ?
∂u
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Exercice 1
1 a) FAUX : (E, ◦) n’est pas un groupe. Supposons que (E, ◦) soit un groupe.
Ce dernier contient les fonctions continues
(
(
R −→ R
R −→ R
f:
et
Id E :
x 7−→ 0
x 7−→ x
Puisque (E, ◦) est un groupe, f est inversible et l’on peut donc poser g = f −1 ◦ Id E
pour définir un nouvel élément de E. Celui-ci vérifie la relation f ◦g = Id E . Cependant,
pour x ∈ R, on a
f ◦ g(x) = f (g(x)) = 0
et
Id E (x) = x
En x = 1, on a donc en particulier 1 = 0 ce qui est absurde.
b) FAUX : (E, +) est un groupe commutatif, mais son élément neutre n’est pas
Id E . En effet, on a par exemple
Id E + Id E = 2 Id E 6= Id E
ce qui contredit la neutralité de Id E .
c) VRAI. Le cours assure que (E, +, ·) est un espace vectoriel. Il suffit de constater
qu’il contient les fonctions polynomiales à coefficients réels pour affirmer qu’il contient
une famille libre de cardinal infini et est donc de dimension infinie.
d) FAUX : (E, +, ×) n’est pas un corps. En effet, si l’on suppose que (E, +, ×)
est un corps, alors l’élément unité est la fonction constante égale à 1. De plus, la
fonction Id E n’admet pas d’inverse pour la loi × car un inverse éventuel ne pourrait
pas avoir une valeur finie en 0.
A
B
C
D
E
2 a) FAUX : une fonction g définie sur R n’admet
 pas nécessairement de primitive.

 R −→ R
On peut par exemple considérer la fonction g :
0 si x 6 0

 x 7−→
1 si x > 0
En revanche, toute
Z xfonction g continue sur R admet des primitives sur R, et
la fonction x 7→
g(t) dt en est une.
0
b) FAUX : ϕa n’est pas prolongeable par continuité en a. Cela ne veut tout simplement rien dire puisque ϕa est une application de E dans E.
c) VRAI. Considérons f ∈ E. Puisque f est continue en a, pour tout ε > 0,
il existe η > 0 tel que
∀t ∈ [ a − η ; a + η ]
|f (t) − f (a)| 6 ε
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Par conséquent, pour x ∈ [ a − η ; a + η ], on a
Z x
Z x
= (f (t) − f (a)) dt
f
(t)
dt
−
(x
−
a)f
(a)
a
a
Z max(a,x)
6
|f (t) − f (a)| dt
min(a,x)
6 |x − a| ε
Pour x ∈ [ a − η ; a + η ] r {a}, en divisant par |x − a|, on a en particulier
|ϕa (f )(x) − f (a)| 6 ε
Ceci assure que ϕa (f )(x) tend vers f (a) quand x tend vers a, donc ϕa (f ) est prolongeable par continuité en a en posant ϕa (f )(a) = f (a).
d) FAUX : ce résultat serait en contradiction avec la question 1.c en considérant
comme fonction f la fonction constante égale à 1.
A
B
C
D
E
3 a) FAUX. Tout d’abord, la propriété
∀(f, g) ∈ E2
ϕa (f g) = ϕa (f )ϕa (g)
est fausse comme le montre l’exemple f = g = Id E . Dans ce cas, on a en effet pour
tout x ∈ R
x+a
(x + a)2
ϕa (f )(x) =
donc
ϕa (f )(x)ϕa (g)(x) =
2
4
alors que, pour tout x ∈ R r {a},
" #x
Z x
1
1
t3
x3 − a3
x2 + ax + a2
ϕa (f × g)(x) =
t2 dt =
=
=
x−a a
x−a 3
3(x − a)
3
a
Remarquons toutefois que ϕa est bien un endomorphisme de E. En effet, si f ∈ E
alors le cours assure que ϕa (f ) est continue sur ] −∞ ; a [ ∪ ] a ; +∞ [, et la question 2.c
montre que ϕa (f ) est continue en a. En outre, si (f, g) ∈ E2 et (λ, µ) ∈ R2 , alors
ϕa (λf + µg) = λϕa (f ) + µϕa (g)
b) FAUX. Cette fois, la propriété
∀(f, g) ∈ E2
ϕa (f + g) = ϕa (f ) + ϕa (g)
est vraie. De même, le fait que ϕa soit une application linéaire est vrai. En revanche,
l’implication entre ces deux propriétés est fausse : le fait que la propriété
∀(f, g) ∈ E2
ϕa (f + g) = ϕa (f ) + ϕa (g)
soit vraie n’implique pas sans argument supplémentaire que ϕa est linéaire. En effet,
pour cela, il faudrait justifier que la propriété d’homogénéité est vérifiée :
∀f ∈ E
∀λ ∈ R
ϕa (λf ) = λϕa (f )
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