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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/38
ENAC Maths toutes filières 2009 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Guillaume Dujardin (Chercheur à l’INRIA) ; il a été
relu par Hervé Diet (Professeur agrégé) et Sophie Rainero (Professeur en CPGE).
Le sujet se compose de cinq exercices complètement indépendants.
•Le premier s’intéresse aux propriétés de l’application « valeur moyenne » définie
pour f∈C0(R,R)et a∈Rpar
∀x∈R r {a}ϕa(f)(x) = 1
x−aZx
a
f(t) dt
On montre en particulier que c’est une application linéaire, on étudie son
injectivité, sa surjectivité, ainsi que certaines propriétés de sa restriction à
l’espace des fonctions polynomiales de degré inférieur ou égal à n.
•Le deuxième exercice étudie les propriétés d’une courbe paramétrée du plan
définie implicitement en coordonnées polaires, d’une hyperbole définie par une
équation cartésienne, ainsi que leur lien au travers d’une inversion.
•Le troisième exercice étudie une bijection continue strictement croissante de R+
dans R+, sa réciproque, et des suites récurrentes réelles.
•Le quatrième exercice s’intéresse à l’espace des fonctions continues sur [−1 ; 1 ],
aux sous-espaces des fonctions paires et impaires sur [−1 ; 1 ] ainsi qu’à leur lien
via le produit scalaire usuel.
•Enfin, le cinquième exercice traite des solutions de l’équation aux dérivées par-
tielles linéaire d’ordre 2
a∂2f
∂x2+b∂2f ∂x ∂y +c∂2f ∂y2= 0
posée sur R2lorsque c6= 0,(a, b)6= (0,0) et b2−4ac >0. On décrit l’ensemble
des solutions à l’aide d’un changement de variables (x, y)7→ (u, v)choisi judi-
cieusement.
L’épreuve compte 36 questions, dont 24 doivent être traitées ; chacune com-
prend quatre propositions, laissant ainsi moins d’une minute pour examiner chaque
proposition. L’énoncé comporte un certain nombre d’imprécisions et d’erreurs.
Toutefois, il met en œuvre un nombre important de points du cours de première
année, des matrices aux courbes paramétrées en passant par les fonctions de deux
variables ; certaines questions permettent de tester, parfois même avec une certaine
profondeur, sa connaissance du cours et sa capacité à mettre en action les méthodes
étudiées en cours. Enfin, le découpage en exercices complètement indépendants per-
met de tester ses connaissances uniquement sur les points du programme que l’on
souhaite revoir.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/38
Indications
Exercice 1
2. Intuitivement, ϕa(f)(x)est la valeur moyenne de fsur [x;a]ou [a;x].
3. Montrer que ϕaest un endomorphisme de E. Concernant son éventuelle
surjectivité, utiliser la dérivabilité de ϕa(f)sur R r {a}.
7. Garder en mémoire le fait que En’est pas de dimension finie.
8. Utiliser la question 7 et la dérivabilité de ϕa(f)sur R r {a}.
9. Fest un espace vectoriel de dimension finie. Quelle est sa dimension ?
10. Déterminer l’inverse de la matrice Pen observant que pour tout i∈ {1,...,n+1},
Xi−1= ((X −a) + a)i−1=
i
X
p=1 i−1
p−1ai−p(X −a)p−1
12. Erreur probable d’énoncé : lire In+1 au lieu de In. Utiliser le fait que
∀λ∈R(λA−In+1) = P (λA′−In+1) P−1
ainsi que les autres résultats de la question 11.
Exercice 2
15. Examiner avec précaution le comportement de ρau voisinage de π/4.
16. Quel est l’élément d’aire en coordonnées polaires ?
19. Utiliser la formule trouvée en 18.b.
21. Utiliser les résultats obtenus aux questions 18 et 19.
22. Observer que I0
1C√2
2= L√2 2
r{0}
Exercice 3
23. Que dire de la dérivabilité de fen 0en fonction de p? Souvenez-vous qu’une
fonction strictement monotone est toujours injective.
24. Examiner la dérivabilité de gen 0en fonction de p.
Exercice 4
28. E,Pet Ine sont pas de dimension finie.
Exercice 5
32. Remarquer que g∈C2(R2), puisque f∈C2(R2).
34. Fixer u0∈Ret considérer l’application v7→ ∂g
∂u(u0, v). Que vaut sa dérivée ?
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/38
Exercice 1
1a) FAUX : (E,◦)n’est pas un groupe. Supposons que (E,◦)soit un groupe.
Ce dernier contient les fonctions continues
f:(R−→ R
x7−→ 0et Id E:(R−→ R x7−→ x
Puisque (E,◦)est un groupe, fest inversible et l’on peut donc poser g=f−1◦Id E
pour définir un nouvel élément de E. Celui-ci vérifie la relation f◦g= Id E. Cependant,
pour x∈R, on a
f◦g(x) = f(g(x)) = 0 et Id E(x) = x
En x= 1, on a donc en particulier 1 = 0 ce qui est absurde.
b) FAUX : (E,+) est un groupe commutatif, mais son élément neutre n’est pas
Id E. En effet, on a par exemple
Id E+ Id E= 2 Id E6= Id E
ce qui contredit la neutralité de Id E.
c) VRAI. Le cours assure que (E,+,·)est un espace vectoriel. Il suffit de constater
qu’il contient les fonctions polynomiales à coefficients réels pour affirmer qu’il contient
une famille libre de cardinal infini et est donc de dimension infinie.
d) FAUX : (E,+,×)n’est pas un corps. En effet, si l’on suppose que (E,+,×)
est un corps, alors l’élément unité est la fonction constante égale à 1. De plus, la
fonction Id En’admet pas d’inverse pour la loi ×car un inverse éventuel ne pourrait
pas avoir une valeur finie en 0.
A B C D E
2a) FAUX : une fonction gdéfinie sur Rn’admet pas nécessairement de primitive.
On peut par exemple considérer la fonction g:
R−→ R
x7−→ 0si x60
1si x > 0
En revanche, toute fonction gcontinue sur Radmet des primitives sur R, et
la fonction x7→ Zx
0
g(t) dten est une.
b) FAUX : ϕan’est pas prolongeable par continuité en a. Cela ne veut tout sim-
plement rien dire puisque ϕaest une application de Edans E.
c) VRAI. Considérons f∈E. Puisque fest continue en a, pour tout ε > 0,
il existe η > 0tel que
∀t∈[a−η;a+η]|f(t)−f(a)|6ε
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/38
Par conséquent, pour x∈[a−η;a+η], on a
Zx
a
f(t) dt−(x−a)f(a) =Zx
a
(f(t)−f(a)) dt
6Zmax(a,x)
min(a,x)
|f(t)−f(a)|dt
6|x−a|ε
Pour x∈[a−η;a+η]r{a}, en divisant par |x−a|, on a en particulier
|ϕa(f)(x)−f(a)|6ε
Ceci assure que ϕa(f)(x)tend vers f(a)quand xtend vers a, donc ϕa(f)est prolon-
geable par continuité en aen posant ϕa(f)(a) = f(a).
d) FAUX : ce résultat serait en contradiction avec la question 1.c en considérant
comme fonction fla fonction constante égale à 1.
A B C D E
3a) FAUX. Tout d’abord, la propriété
∀(f, g)∈E2ϕa(fg) = ϕa(f)ϕa(g)
est fausse comme le montre l’exemple f=g= Id E. Dans ce cas, on a en effet pour
tout x∈R
ϕa(f)(x) = x+a
2donc ϕa(f)(x)ϕa(g)(x) = (x+a)2 4
alors que, pour tout x∈R r {a},
ϕa(f×g)(x) = 1
x−aZx
a
t2dt=1
x−a"t3 3#x
a
=x3−a3
3(x−a)=x2+ax +a2 3
Remarquons toutefois que ϕaest bien un endomorphisme de E. En effet, si f∈E
alors le cours assure que ϕa(f)est continue sur ]−∞;a[∪]a;+∞[, et la question 2.c
montre que ϕa(f)est continue en a. En outre, si (f, g)∈E2et (λ, µ)∈R2, alors
ϕa(λf +µg) = λϕa(f) + µϕa(g)
b) FAUX. Cette fois, la propriété
∀(f, g)∈E2ϕa(f+g) = ϕa(f) + ϕa(g)
est vraie. De même, le fait que ϕasoit une application linéaire est vrai. En revanche,
l’implication entre ces deux propriétés est fausse : le fait que la propriété
∀(f, g)∈E2ϕa(f+g) = ϕa(f) + ϕa(g)
soit vraie n’implique pas sans argument supplémentaire que ϕaest linéaire. En effet,
pour cela, il faudrait justifier que la propriété d’homogénéité est vérifiée :
∀f∈E∀λ∈Rϕa(λf) = λϕa(f)
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