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Centrale Maths 2 MP 2013 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre-Elliott Bécue (ENS Cachan) et Guillaume Batog
(Professeur en CPGE) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Antoine
Sihrener (Professeur en CPGE).
Ce sujet porte sur la décomposition polaire de matrices : pour toute matrice inversible A, il existe une unique matrice orthogonale O et une unique matrice symétrique
définie positive S telles que A = OS.
• La première partie se concentre sur les résultats théoriques autour de la décomposition polaire. Très complète, elle mêle questions de cours, calculs pratiques
sur un exemple et démonstrations substantielles demandant une grande part
d’initiative personnelle. On y trouve à la fois de l’algèbre linéaire et de la topologie. Cette partie n’est pas de tout repos !
• La deuxième partie propose deux applications de la décomposition polaire.
L’une consiste à montrer que deux matrices réelles sont orthogonalement semblables lorsqu’elles sont semblables dans C via une matrice complexe U vérifiant
t
U U = In . L’autre invite à établir une condition nécessaire et suffisante pour
qu’un système matriciel possède une solution dans GLn (R).
• La troisième partie est indépendante des deux premières. Elle consiste à déterminer pour tout n ∈ N∗ les éléments propres de la matrice carrée de taille n


2 −1 0 . . . 0

.. 
−1 2 −1 . . .
. 




.
..
An =  0 −1 2
0


 .

..
..
..
 ..
.
.
. −1
0 . . . 0 −1 2
Elle exige beaucoup de rigueur dans les calculs et une bonne aisance avec les
formules de trigonométrie.
• La quatrième partie porte sur l’étude de
Mn = sup {Tr (AO) | O ∈ O(n)}
où O(n) désigne le groupe orthogonal et A une matrice carrée d’ordre n.
On établit d’abord une formule générale pour Mn , puis on traite le cas particulier où A est égale à An à un coefficient de la matrice près. Il est nécessaire
d’avoir les idées claires à ce stade du sujet afin d’adapter efficacement les techniques employées au cours de la partie III. La dernière question demande de
trouver un équivalent de Mn , question très longue et technique qui peut être
traitée indépendamment de tout le reste.
Ce problème couvre un très large spectre du programme d’algèbre linéaire et déborde même sur le programme d’analyse (topologie, équivalents de suites). Très long,
il offre de nombreuses possibilités pour rebondir en cas de blocage.
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Indications
Partie I
I.A.1 Raisonner par double implication en se ramenant à des calculs matriciels :
si X et Y sont les vecteurs colonnes respectifs de deux vecteurs x et y de Rn
t
dans une base orthonormée, alors hx | yi = X Y. Utiliser le théorème spectral pour le sens indirect.
I.B.1 Remarquer que l’endomorphisme induit par v sur Ker (u − λId) est diagonalisable et ne possède qu’une seule valeur propre.
I.B.2 Définir v sur une décomposition de Rn en sous-espaces propres de u.
I.B.3 Choisir un polynôme interpolateur de Lagrange.
I.C.2 Raisonner par analyse/synthèse en construisant S et O à partir de A.
Cette question utilise les résultats des trois questions précédentes.
t
t
I.C.3 Diagonaliser A A pour trouver une matrice S telle que S2 = A A.
I.D.1 Montrer que O(n) est un fermé borné de Mn (R). Se rappeler que pour une
matrice orthogonale M, t M M = In et tous ses coefficients sont inférieurs à 1
en valeur absolue.
I.D.2 Pour une matrice M ∈ Sn+ (R), t X MX > 0 pour tout vecteur X. Écrire
alors Sn+ (R) comme une intersection quelconque de fermés de Mn (R).
I.D.3 Pour une matrice M, considérer la suite (M − (1/p)In )p>0 .
I.D.4 Considérer une suite (Ak )k∈N = (Ok Sk )k∈N avec Ok ∈ O(n) et Sk ∈ Sn++ (R)
pour tout k ∈ N. Utiliser un critère de compacité pour trouver O, puis
exhiber S.
I.E Avec les mêmes techniques que celles employées au cours de la question I.D.4,
utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité pour montrer que ϕ−1
est continue.
Partie II
II.A.1 Passer à la conjuguée puis transposer la relation A = UBU−1 .
II.A.2.a Considérer la fonction z 7→ det(X + zY) définie sur C.
II.A.2.b Identifier partie réelle et partie imaginaire dans la relation A = UBU−1 .
II.A.2.c Remplacer i par µ.
II.A.3.a La relation BS2 = S2 B s’obtient par calcul à partir de AP = PB. Pour la
seconde égalité, utiliser la question I.B.3.
t
II.B.1 Prendre un vecteur propre X pour A A dans le système (∗).
II.B.2.b Utiliser la première ligne du système (∗).
II.B.2.c Utiliser la seconde ligne du système (∗).
Partie III
III.B Initialiser pour p = 1 et p = 2 puis effectuer une récurrence, les formules
trigonométriques seront utiles.
III.C Déterminer p racines distinctes du polynôme Pp à partir des solutions de
l’équation sin((p + 1)θ) = 0 sur ] 0 ; π [.
III.D Trouver une formule de récurrence sur les coordonnées d’un vecteur propre.
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Partie IV
IV.A Utiliser le théorème de représentation des formes linéaires à l’aide d’un produit scalaire dans un espace euclidien.
IV.B.1 L’image d’un compact par une fonction continue est un compact.
IV.B.3 Utiliser la décomposition polaire A = OS, diagonaliser S et permuter les
matrices dans la trace grâce à la propriété Tr AB = Tr BA pour toutes
matrices A et B de Mn (R).
IV.B.4 Majorer Tr DΩ pour tout Ω ∈ O(n) en utilisant que tous les coefficients
de Ω sont inférieurs ou égaux à 1.
IV.C.1 Calculer formellement Tr AM.
IV.C.2 Appliquer l’algorithme du pivot de Gauss.
t
IV.C.3 Calculer A−1 (A−1 ) colonne par colonne et l’exprimer en fonction de la matrice An de la partie III. En déduire son polynôme caractéristique à partir
de celui de An et trouver ses racines avec la même méthode qu’aux questions III.B et III.C.
IV.C.4 Dans la formule de la question IV.B.4, µ1 , . . . , µn sont les inverses des valeurs
propres obtenues à la question IV.C.3.
IV.C.5 Introduire la fonction f définie par f (θ) = 1/(2 cos θ) pour θ ∈ [ 0 ; π/2 [ et
comparer la somme Mn avec une intégrale In de f :
0 6 Mn −
2n + 1
In 6 u n
π
avec un à déterminer. Calculer In à l’aide d’une règle de Bioche pour pouvoir
en trouver un équivalent.
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I. Décomposition polaire d’un endomorphisme de Rn
Ce sujet débute par une question de cours ultra classique qu’il ne faut surtout
pas négliger !
I.A.1 Considérons Rn muni du produit scalaire canonique h· | ·i défini par
n
P
h(x1 , x2 , . . . , xn ) | (y1 , y2 , . . . , yn )i =
xk yk
k=1
Rappelons que si B est une base orthonormée de Rn , alors hx | yi = t X Y où X et Y
sont respectivement les matrices colonnes des vecteurs x et y de Rn dans la base B.
Supposons que u est autoadjoint positif. Notons M la matrice de u dans une base
orthonormée B de Rn .
• Puisque u est autoadjoint, hx | u(y)i = hu(x) | yi pour tous x, y ∈ Rn . Notons
X = Mat B x et Y = Mat B y. Ainsi,
t
hx | u(y)i = X MY
t
et
t
t
hu(x) | yi = (MX) Y = X M Y
En notant (Ek )16k6n la base canonique de l’espace des matrices colonnes de
taille n, on obtient en particulier que
t
∀ i, j ∈ {1, . . . , n}
d’où
∀ i, j ∈ {1, . . . , n}
t
t
Ei MEj = Ei M Ej
Mij = t M
ij
t
donc M = M, c’est-à-dire que M est symétrique.
• Puisque u est défini positif, hx | u(x)i > 0 pour tout x ∈ Rn \{0}. Soit x un
vecteur propre de u pour la valeur propre λ. Alors
0 < hx | u(x)i = hx | λ xi = λ hx | xi = λ kxk2
d’où λ > 0 pour toute valeur propre λ de u, donc de M.
Réciproquement, supposons que la matrice de u dans toute base orthonormée
de Rn soit un élément de Sn++ (R). Notons M = Mat B u pour une base orthonormée B
de Rn .
• Comme M est symétrique, on obtient pour tous vecteurs x et y de Rn
t
t
t
t
hu(x) | yi = (MX) Y = X M Y = X MY = hx | u(y)i
avec X = Mat B x et Y = Mat B y donc u est autoadjoint.
• Puisque M est symétrique réelle, le théorème spectral assure qu’il existe une
base C orthonormée de vecteurs propres c1 , . . . , cn de u pour les valeurs propres
λ1 , . . . , λn respectivement, strictement positives car M ∈ Sn++ (R). Soit x un
vecteur non nul de Rn . Notons
t
t
X = Mat C x = x1 · · · xn
et Y = Mat C u(x) = λ1 x1 · · · λn xn
n
P
t
2
Calculons hx | u(x)i = X Y =
λi xi > Min λi kxk2
i=1
16i6n
Puisque toutes les valeurs propres sont strictement positives et que x est non
nul, on en déduit que hx | u(x)i > 0 pour tout x 6= 0 donc u est défini positif.
L’endomorphisme u est autoadjoint défini positif si et seulement si sa
matrice dans n’importe quelle base orthonormée appartient à Sn++ (R).
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