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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 1/20
Centrale Maths 2 MP 2013 — Corrigé
Ce corrigé est proposé par Pierre-Elliott Bécue (ENS Cachan) et Guillaume Batog
(Professeur en CPGE) ; il a été relu par Florian Metzger (ENS Cachan) et Antoine
Sihrener (Professeur en CPGE).
Ce sujet porte sur la décomposition polaire de matrices : pour toute matrice inver-
sible A, il existe une unique matrice orthogonale Oet une unique matrice symétrique
définie positive Stelles que A = OS.
•La première partie se concentre sur les résultats théoriques autour de la décom-
position polaire. Très complète, elle mêle questions de cours, calculs pratiques
sur un exemple et démonstrations substantielles demandant une grande part
d’initiative personnelle. On y trouve à la fois de l’algèbre linéaire et de la to-
pologie. Cette partie n’est pas de tout repos !
•La deuxième partie propose deux applications de la décomposition polaire.
L’une consiste à montrer que deux matrices réelles sont orthogonalement sem-
blables lorsqu’elles sont semblables dans Cvia une matrice complexe Uvérifiant
UtU = In. L’autre invite à établir une condition nécessaire et suffisante pour
qu’un système matriciel possède une solution dans GLn(R).
•La troisième partie est indépendante des deux premières. Elle consiste à déter-
miner pour tout n∈N∗les éléments propres de la matrice carrée de taille n
An=
2−1 0 ... 0
−1 2 −1....
.
.
0−1 2 ...0
.
.
..........−1
0... 0−1 2
Elle exige beaucoup de rigueur dans les calculs et une bonne aisance avec les
formules de trigonométrie.
•La quatrième partie porte sur l’étude de
Mn= sup {Tr (AO) |O∈O(n)}
où O(n)désigne le groupe orthogonal et Aune matrice carrée d’ordre n.
On établit d’abord une formule générale pour Mn, puis on traite le cas par-
ticulier où Aest égale à Anà un coefficient de la matrice près. Il est nécessaire
d’avoir les idées claires à ce stade du sujet afin d’adapter efficacement les tech-
niques employées au cours de la partie III. La dernière question demande de
trouver un équivalent de Mn, question très longue et technique qui peut être
traitée indépendamment de tout le reste.
Ce problème couvre un très large spectre du programme d’algèbre linéaire et dé-
borde même sur le programme d’analyse (topologie, équivalents de suites). Très long,
il offre de nombreuses possibilités pour rebondir en cas de blocage.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 2/20
Indications
Partie I
I.A.1 Raisonner par double implication en se ramenant à des calculs matriciels :
si Xet Ysont les vecteurs colonnes respectifs de deux vecteurs xet yde Rn
dans une base orthonormée, alors hx|yi=tX Y. Utiliser le théorème spec-
tral pour le sens indirect.
I.B.1 Remarquer que l’endomorphisme induit par vsur Ker (u−λId)est diago-
nalisable et ne possède qu’une seule valeur propre.
I.B.2 Définir vsur une décomposition de Rnen sous-espaces propres de u.
I.B.3 Choisir un polynôme interpolateur de Lagrange.
I.C.2 Raisonner par analyse/synthèse en construisant Set Oà partir de A.
Cette question utilise les résultats des trois questions précédentes.
I.C.3 Diagonaliser tA A pour trouver une matrice Stelle que S2=tA A.
I.D.1 Montrer que O(n)est un fermé borné de Mn(R). Se rappeler que pour une
matrice orthogonale M,tM M = Inet tous ses coefficients sont inférieurs à 1
en valeur absolue.
I.D.2 Pour une matrice M∈ S+
n(R),tX MX >0pour tout vecteur X. Écrire
alors S+
n(R)comme une intersection quelconque de fermés de Mn(R).
I.D.3 Pour une matrice M, considérer la suite (M −(1/p)In)p>0.
I.D.4 Considérer une suite (Ak)k∈N= (OkSk)k∈Navec Ok∈O(n)et Sk∈ S++
n(R)
pour tout k∈N. Utiliser un critère de compacité pour trouver O, puis
exhiber S.
I.E Avec les mêmes techniques que celles employées au cours de la question I.D.4,
utiliser la caractérisation séquentielle de la continuité pour montrer que ϕ−1
est continue.
Partie II
II.A.1 Passer à la conjuguée puis transposer la relation A = UBU−1.
II.A.2.a Considérer la fonction z7→ det(X + zY) définie sur C.
II.A.2.b Identifier partie réelle et partie imaginaire dans la relation A = UBU−1.
II.A.2.c Remplacer ipar µ.
II.A.3.a La relation BS2= S2Bs’obtient par calcul à partir de AP = PB. Pour la
seconde égalité, utiliser la question I.B.3.
II.B.1 Prendre un vecteur propre Xpour tA A dans le système (∗).
II.B.2.b Utiliser la première ligne du système (∗).
II.B.2.c Utiliser la seconde ligne du système (∗).
Partie III
III.B Initialiser pour p= 1 et p= 2 puis effectuer une récurrence, les formules
trigonométriques seront utiles.
III.C Déterminer pracines distinctes du polynôme Ppà partir des solutions de
l’équation sin((p+ 1)θ) = 0 sur ] 0 ; π[.
III.D Trouver une formule de récurrence sur les coordonnées d’un vecteur propre.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 3/20
Partie IV
IV.A Utiliser le théorème de représentation des formes linéaires à l’aide d’un pro-
duit scalaire dans un espace euclidien.
IV.B.1 L’image d’un compact par une fonction continue est un compact.
IV.B.3 Utiliser la décomposition polaire A = OS, diagonaliser Set permuter les
matrices dans la trace grâce à la propriété Tr AB = Tr BA pour toutes
matrices Aet Bde Mn(R).
IV.B.4 Majorer Tr DΩ pour tout Ω∈O(n)en utilisant que tous les coefficients
de Ωsont inférieurs ou égaux à 1.
IV.C.1 Calculer formellement Tr AM.
IV.C.2 Appliquer l’algorithme du pivot de Gauss.
IV.C.3 Calculer A−1t(A−1)colonne par colonne et l’exprimer en fonction de la ma-
trice Ande la partie III. En déduire son polynôme caractéristique à partir
de celui de Anet trouver ses racines avec la même méthode qu’aux ques-
tions III.B et III.C.
IV.C.4 Dans la formule de la question IV.B.4, µ1,...,µnsont les inverses des valeurs
propres obtenues à la question IV.C.3.
IV.C.5 Introduire la fonction fdéfinie par f(θ) = 1/(2 cos θ)pour θ∈[ 0 ; π/2 [ et
comparer la somme Mnavec une intégrale Inde f:
06Mn−2n+ 1
πIn6un
avec unà déterminer. Calculer Inà l’aide d’une règle de Bioche pour pouvoir
en trouver un équivalent.
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Éditions H&K Publié dans les Annales des Concours 4/20
I. Décomposition polaire d’un endomorphisme de Rn
Ce sujet débute par une question de cours ultra classique qu’il ne faut surtout
pas négliger !
I.A.1 Considérons Rnmuni du produit scalaire canonique h· | ·i défini par
h(x1, x2,...,xn)|(y1, y2,...,yn)i=
n
P
k=1
xkyk
Rappelons que si Best une base orthonormée de Rn, alors hx|yi=tX Y où Xet Y
sont respectivement les matrices colonnes des vecteurs xet yde Rndans la base B.
Supposons que uest autoadjoint positif. Notons Mla matrice de udans une base
orthonormée Bde Rn.
•Puisque uest autoadjoint, hx|u(y)i=hu(x)|yipour tous x, y ∈Rn. Notons
X = Mat Bxet Y = Mat By. Ainsi,
hx|u(y)i=tX MY et hu(x)|yi=t(MX) Y = tXtM Y
En notant (Ek)16k6nla base canonique de l’espace des matrices colonnes de
taille n, on obtient en particulier que
∀i, j ∈ {1,...,n}tEiMEj=tEi
tM Ej
d’où ∀i, j ∈ {1,...,n}Mij =tMij
donc tM = M, c’est-à-dire que Mest symétrique.
•Puisque uest défini positif, hx|u(x)i>0pour tout x∈Rn\{0}. Soit xun
vecteur propre de upour la valeur propre λ. Alors
0<hx|u(x)i=hx|λ xi=λhx|xi=λkxk2
d’où λ > 0pour toute valeur propre λde u, donc de M.
Réciproquement, supposons que la matrice de udans toute base orthonormée
de Rnsoit un élément de S++
n(R). Notons M = Mat Bupour une base orthonormée B
de Rn.
•Comme Mest symétrique, on obtient pour tous vecteurs xet yde Rn
hu(x)|yi=t(MX) Y = tXtM Y = tX MY = hx|u(y)i
avec X = Mat Bxet Y = Mat Bydonc uest autoadjoint.
•Puisque Mest symétrique réelle, le théorème spectral assure qu’il existe une
base Corthonormée de vecteurs propres c1,...,cnde upour les valeurs propres
λ1,...,λnrespectivement, strictement positives car M∈ S++
n(R). Soit xun
vecteur non nul de Rn. Notons
X = Mat Cx=tx1··· xnet Y = Mat Cu(x) = tλ1x1··· λnxn
Calculons hx|u(x)i=tX Y =
n
P
i=1
λixi2>Min
16i6nλikxk2
Puisque toutes les valeurs propres sont strictement positives et que xest non
nul, on en déduit que hx|u(x)i>0pour tout x6= 0 donc uest défini positif.
L’endomorphisme uest autoadjoint défini positif si et seulement si sa
matrice dans n’importe quelle base orthonormée appartient à S++
n(R).
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