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Centrale Maths 1 MP 2008 — Énoncé 1/7
Concours Centrale -Supélec 2008
Épreuve :MATHÉMATIQUES IFilière MP
Danstout ce probl`eme C2πd´esigne l’espace vectorieldes fonctions continues,
2π-p´eriodiques de Rdans Rmuni du produit scalaire d´efini par:
(f|g)=1
πZ2π
0
f(x)g(x)dx
dontlanorme associ´ee est not´ee || ||2.Le choix du facteur 1
πdansla d´efinition du
produit scalaire (contrairement`a 1
2πhabituellement) s’imposepar la n´ecessit´ede
rendre lesfonctions ck:x7→ cos(kx)et sk:x7→ sin(kx)unitairespour k∈N∗.
Les coefficients deFourier trigonom´etriquesd’unefonction fdeC2πsont, comme
d’habitude,an(f)=(f|cn)etbn(f)=(f|sn)pourn∈N∗et a0(f)=(f|1) o`u1
est la fonction constante x7→ 1.
La formulede Parseval pour f∈C2πprend la forme:
||f||2
2=a0(f)2
2+
∞
X
n=1
an(f)2+bn(f)2
Eestle sous-espace de C2πconstitu´edes fonctions impaires etE2le sous-espace de
Edes fonctionsde classeC2.
Une valeurpropred’uneapplication lin´eaireTde E2dans E(attention Tn’est
pas un endomorphisme)est,par d´efinition, un r´eel λtel qu’existe un ´el´ementfde
E2−{0}v´erifiantT(f)=λf.
On d´efinitdemˆeme lanotion devecteur propre et de sous-espace proprede T.
On fixe une fonction qde classe C1,paire, 2π-p´eriodiqueet non constante de Rdans
R.On sait, dans cesconditions, que la fonction qestborn´ee et on pose :
a=inf{q(x)/x∈R},b=sup {q(x)/x∈R}et ||q||∞=sup {|q(x)|/x∈R}.
On consid`erealors les applicationslin´eairesde E2dansEd´efinies par :
A:y7→ −y′′ +ay B:y7→ −y′′ +by Q:y7→ −y′′ +qy
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Centrale Maths 1 MP 2008 — Énoncé 2/7
On pourra utiliser,sansd´emonstration, le r´esultat suivant:
«Soit, pourchaque entiernaturel non nul n,(xk,n)16k6nunesuite de nnombres
r´eels.On suppose:
1. pour tout entier k>1, la suite (xk,n)n>kestconvergente eton note :
lim
n→∞ xk,n=xk;
2. il existe une suite (ξk)k>1denombres r´eels positifs telle que la s´erie de terme
g´en´eral ξkconverge et :
∀k>1,∀n>k,|xk,n|6ξk.
Alorsla s´erie determe g´en´eral xkconverge absolumentet:lim
n→∞
n
X
k=1
xk,n=
∞
X
k=1
xk».
Enfin on ditqu’une famille orthonormale (ek)k>1devecteursde Eesttotaledans
Esi 0estle seul vecteur deEorthogonal `a tousles ek.
L’objectif du probl`eme est l’´etude, par diverses m´ethodes,des valeurs propres de
Q.On peut traiter une question du probl`emesans avoir r´esolu lespr´ec´edentes `a
condition d’en admettre clairementles r´esultats.
Partie I-Quelques r´esultats g´en´eraux
I.A-Danscettesection I.A, λd´esigne un nombrer´eel fix´eet on consid`ere l’´equation
diff´erentielle d’inconnuey:
(Eλ):y′′ +(λ−q)y=0
I.A.1) ´ Enoncer pr´ecis´ementle th´eor`eme deCauchy-Lipschitz adapt´e`a l’´equation
(Eλ)etexploiterl’unicit´epourprouver qu’une solution yde (Eλ)est impaire si et
seulementsiy(0) =0.
I.A.2) Prouver,par exemple `a l’aide du wronskien, que (Eλ)ne peut admettreune
base de solutionsde mˆeme parit´e.En d´eduire la dimension d’unsous-espace propre
de Q.
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Centrale Maths 1 MP 2008 — Énoncé 3/7
I.B-
I.B.1) D´eterminer lesvaleurspropres de Aet Bet, pour chacuned’entre elles, un
vecteur propre unitaire associ´e.
I.B.2) D´emontrer, pour toutf∈E2,les in´egalit´es suivantes :
(f|A(f)) 6(f|Q(f)) 6(f|B(f)) .
Partie II -Probl`eme approch´ededimension finie
II.A-Danstoute la suite du probl`eme on noteVnle sous-espacede E2engendr´epar
la famille orthonormale (sk)16k6n(on poseraV0={0})et Πn∈L(E) la projection
orthogonaledeEsur Vn.Si Testune application lin´eaire de E2dans Eet n∈N∗,
on conviendra de noter Tnl’endomorphismede Vnd´efinipar f7→ Πn◦T(f).
II.A.1) Questions de cours dontles preuvesne sontpas demand´ees :
justifier l’existence deΠn.Que repr´esente Πn(f)relativement`a la s´erie deFourier
de f?Que valentlim
n→∞ ||Πn(f)||2et lim n→∞ ||f−Πn(f)||2?
II.A.2) D´emontrer,pourtout couple (f,g)∈E2,la relation (f|Πn(g)) =(Πn(f)|g).
II.A.3) ´ Etablir, pour toutcouple (f,g)∈E2
2,que (f|Q(g)) =(Q(f)|g).En
d´eduireque Qnestun endomorphisme sym´etrique de Vn.
II.B-Dansla suite on notera λ1,n 6λ2,n 6··· 6λn,n le syst`emedes valeurs
propresde Qnrang´ees par ordre croissant(chaquevaleur propreapparaˆıt doncdans
la liste autantde fois quesa multiplicit´el’exige) et (e)=(e1,n,e2,n, . . . , en,n)une
base orthonorm´ee de Vntelle que, pour chaqueindice k∈{1,2, . . . , n},ek,n estun
vecteur propre deQnassoci´e`a la valeur propreλk,n.
II.B.1) ` Al’aide de laquestion I.B.2), d´emontrer, pour toutf∈Vn,les in´egalit´es :
(f|An(f)) 6(f|Qn(f)) 6(f|Bn(f)) .
II.B.2)
a) D´eduirede laquestion I.B.1 les valeurs propresdesendomorphismesAnet Bn
class´eespar ordre croissant.
b) Soitk∈{1,2, . . . , n};montrerqu’il existe un vecteurunitaire fappartenant`a
Vk∩Vect(ek,n,ek+1,n, . . . , en,n)puis queλk,n6(f|Q(f)) 6(f|B(f)) 6k2+b.
Prouver de mani`ere analogue l’in´egalit´ek2+a6λk,n.
c) Danscette question, on supposen>2. D´emontrer que, pour tout´el´ementfde
Vn−1,(f|Qn(f)) =(f|Qn−1(f)).En d´eduire,en utilisantunem´ethode analogue `a
cellesugg´er´ee dansla question pr´ec´edente, quesi 16k6n−1alors λk,n−1>λk,n.
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Centrale Maths 1 MP 2008 — Énoncé 4/7
II.C-On pose, dans la suite du probl`eme, Ik=k2+a, k2+b.Prouver que, si
k∈N∗,la suite (λk,n)n>kconverge vers une limite λk´el´ementdel’intervalle Iket
quela suite (λk)k>1estcroissante.
PartieIII -Unesuite de valeurs propres de Q
Dans cette partieIII seulementon suppose le r´eelλstrictementpositif.
On consid`ereles probl`emesde Cauchysuivants :
•(Eλ):y′′ +(λ−q)y=0
d’inconnue yavec lesconditions initiales y(0) =0ety′(0) =√λ.
•(Tλ):θ′=√λ−q
√λsin2θ=√λ−q
2√λ(1 −cos(2θ))
d’inconnue θavec la condition initiale θ(0) =0.
III.A-
III.A.1) Soit yλla solution maximale de(Eλ).
Prouver qu’existentdeuxfonctionsrλet θλ,de classe C1sur Rtelles que:
rλ>0, y′
λ
√λ=rλcos θλ,yλ=rλsin θλ,θλ(0) =0.
III.A.2) Prouver que θλestl’unique solution maximale de (Tλ).
Dansla suite decettepartie on poserapour tout couple(λ, x)∈]0,+∞[×R:
θ(λ, x)=θλ(x).
III.A.3) D´eterminerune ´equation diff´erentielle lin´eaire du premier ordre,dontles
coefficients d´ependentde la fonction θ,satisfaite par rλ.
III.B-On admetquela fonction λ7→ θ(λ, 2π)est continuesur]0,+∞[.
III.B.1) Prouver,pourtout t>0, les in´egalit´es:
θ(λ, t)−√λt6||q||∞t
√λpuis cos (2θ(λ, t)) −cos 2√λt62||q||∞t √λ
III.B.2) Prouverl’existence d’uneconstante Ktelle que :
θ(λ, 2π)−2π√λ+1
2√λZ2π
0
q(t)dt−1
2√λZ2π
0
q(t)cos 2√λtdt
6K
λ
III.B.3) Montrer que,quand λestau voisinage de +∞:
θ(λ, 2π)=2π√λ1−1
4πλZ2π
0
q(t)dt+o1
λ
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Centrale Maths 1 MP 2008 — Énoncé 5/7
III.B.4)
a) Prouver l’existence d’un entier naturel k0>0etd’unesuite (µk)k>k0,strictement
croissante der´eels strictementpositifs telle que, pour tout entier naturelk>k0,on
ait θ(µk,2π)=2kπ.
b) Montrer quelim
k→∞ µk−k2=1
2πZ2π
0
q(t)dt.
III.C-Danscettesection III.C on supposequeler´eel λ>0v´erifie la relation
θ(λ, 2π)=2kπo`uk∈N∗et on se proposedeprouver queλestvaleur proprede Q.
III.C.1) D´emontrerquepour toutx∈R:
θ(λ, −x)=−θ(λ, x)etθ(λ, 2π+x)−2kπ=θ(λ, x).
III.C.2) Prouverquesi uestune fonction continue,impaireet 2π-p´eriodiquealors
la fonction x7→ exp Zx
0
u(t)dtest2π-p´eriodique.En d´eduire que rλest2π-
p´eriodique.
III.C.3) Prouverque yλest2π-p´eriodiqueet impaire etconclure.
III.C.4) Que repr´esententles r´eels µkd´efinis dansla question III.B.4) pour l’ap-
plication lin´eraire Q?
Partie IV -Valeurs propres de Q
On se propose, dans cette partie, d’´etablir que lesλkd´efinis dans lapartie II sontles
valeurs propresde Qassoci´ees`a un syst`emeorthonormal total de vecteurs propres.
IV.A -Danscette section IV.A on consid`ere une suite r´eelle (αn)n>1telle que, pour
toutn>1, αnsoit une valeurpropre de Qn.On suppose que la suite (αn)n>1est
convergente eton note αsa limite.Pour toutentiern>1, on note yn∈Vnun
vecteur propre de Qnassoci´e`a lavaleurpropre αnOn veutprouverque αestune
valeur proprede Q.
IV.A.1)
a) Montrer que, pour toutentier n>1, on peutprendreynunitaire et telque
y′
n(0) >0. Cette condition serasuppos´ee remplie dansla suite decette partie.
b) D´emontrer queQn(yn)=−y′′
n+Πn(qyn). En d´eduire que :
||Q(yn)−αnyn||2=||qyn−Πn(qyn)||2donton se propose deprouver la
convergence vers0quandn→ ∞.
c) ´ Etablirla relation :
qyn−Πn(qyn)=
n
X
m=1
bm(yn)[qsm−Πn(qsm)] .
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