serie n 2 limites continuite

Mr :Khammour.K Série n°2 : Limites-Continuité 4èmeMath Octobre 2014
Exercice n°1 :(QCM)
Pour chaque question choisir la seule réponse correcte :
1) L’équation
cos xx
admet dans [0,1] :
a) Une solution unique b) plusieurs solutions c) aucune solution.
2) Soit la fonction
f
définie sur IR par :
2
( ) 1 1
x
fx x
, alors :
a) La droite y = 2 est une asymptote à
f
C
au voisinage de .
b) La droite y = 2 est une asymptote à
f
C
au voisinage de .
c) La droite y = 1 est une asymptote à
f
C
au voisinage de .
3) Soit
f
une fonction définie sur [a,b] où a et b sont deux réels tels que
( ) 2 et ( ) 1f a f b  
.
L’équation
( ) 1fx
admet :
a) Une seule solution b) au moins une solution c) aucune solution.
4) Si
f
est une fonction continue et décroissante sur [2,5] tel que
2,5 1,3f
alors :
a)
(2) 3 et (5) 1ff
b)
(2) 1 et (5) 3ff
c)
1 (2) 3f
Exercice n°2 :
On donne la courbe ci-dessous d’une fonction
f
définie sur IR.
1) Déterminer
lim ( ) et lim ( )
xx
f x f x
.
2) Déterminer les variations de
f
sur IR.
3) Préciser les images par
f
des intervalles
0,
,
,0
et IR.
4) Déterminer le nombre de solution de l’équation
( ) 0fx
.

Exercice n°3 :
Soit
f
la fonction définie sur IR par :
4
( ) +3 si 0
25
x
f x x x   
24
( ) si 0
65
x
f x x
xx
1) a) Montrer que
f
est continue en 0.
b) Montrer que
f
est contunie sur IR.
2) a) Déterminer
lim ( ) et lim ( )
xx
f x f x
.
b) Déterminer
24
lim cos 65
x
x
xx
.
3) a) Montrer que
( ) 0fx
admet une solution unique sur [0,1].
b) Dresser le tableau de variation de
f
sur
0,
et déterminer le nombre de solution de l’équation
( ) 0fx
sur
0,
.
c) Déterminer
0,9f
,
9,f
et
0,f
.
Exercice n°4 :
Soit
f
la fonction définie par :
21
( ) si 0
1
xx
f x x
x
2
( ) 1 2 si 0f x x x   
1) Déterminer
lim ( ) et lim ( )
xx
f x f x
2) a) Montrer que
f
est continue en 0.
b) Etudier la continuité de
f
sur
,0
puis sur
0,
.
3) a) Etudier les variations de
f
sur
,0
.
b) Montrer que
( ) 0fx
admet une solution unique sur
,0
et vérifier que
2, 1
.
Exercice n°5 :
Soit
f
la fonction définie par : 
3
( ) 3 3 si 1f x x x x    
( ) 1 1 si 1f x x x   
1) Déterminer
lim ( ) et lim ( )
xx
f x f x
.
2) a) Etudier la continuité de
f
en 1.
b) Montrer que
f
est continue sur IR.
3) a) Etudier les variations de
f
sur
,1
.
b) Montrer que
( ) 0fx
admet une solution unique sur
,1
et vérifier que
0,1
.
Exercice n°6 :

Soit la fonction
f
définie sur IR par : 
2
( ) cos 3 si 0
2
f x x x
x
3
( ) 3 3 si 0f x x x x   
1) a) Montrer que pour tout
,0x 
:
22
3 ( ) 3x f x x    
.
b) Déduire
0
lim ( )
xfx
.
2) a) Etudier les variations de
f
sur
0,
.
b) Déterminer
1,3f
.
3) a) Montrer que l’équation
( ) 8fx
admet une solution unique
1,2
.
b) Vérifier que
33 5 0
.
Exercice n°7 :
Soit la fonction
f
définie par
2
( ) 1f x x x  
. On désigne par
f
C
la courbe représentative de
f
dans
un repère orthogonal du plan.
1) a) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction
f
.
b) Montrer que pour tout réel de
f
D
on a :
2
13
() 24 f x x
2) a) Montrer que la droite d’équation :
1
:2 D y x
est une asymptote à
f
C
en
b) Etudier la position relative de
f
C
par rapport à D.
3) Etudier la nature de la branche infinie de
f
C
en .
4) Tracer
f
C
.
Exercice n°8 :
()fx
2
x x x
si ,0 1,x  
2
21
x
x
si 0,1x
1) Déterminer le domaine de
f
. Calculer
lim ( ) et lim ( )
xx
f x f x
.
2) Etudier la continuité de
f
en 0 et en 1.
3) a) Etudier la dérivabilité de
f
en 0 et en 1.
b) Interpréter géométriquement les résultats obtenus.
4) Montrer que
f
est dérivable sur chacun des intervalles
11
,0 ; 0, ; ,1 et 1,
22
.Puis calculer
'( )fx
.
5) Dresser le tableau de variation de
f
.
6) Soit
( ) ( ) 2g x f x
pour
1,x 
.

a) Dresser le tableau de variation de g pour
0x
; à partir de celui de
f
.
b) En déduire que l’équation :
( ) 2fx
admet une unique solution dans
1,2
.
Exercice n°9 :
On considère la fonction
f
définie par :
1
( ) 1f x x x
et
f
C
la courbe de la restriction
f
sur
,0I 
dans le plan rapporté à un repère orthonormé
,,O i j
.
1) a) Montrer que
f
est bien définie sur I.
b) Montrer que
f
est continue sur I.
2) Calculer
0
lim ( )
xfx
et interpréter le résultat obtenu.
3) a) Déterminer
lim ( )
xfx
et
()
lim
x
fx
x
.
b) Déduire la droite
:1D y x
est une asymptote à
f
C
au voisinage de .
c) Déterminer la position relative de
f
C
par rapport à D.
4) Etudier les variations de
f
.
5) a) Montrer que l’équation
( ) 0fx
admet dans I une solution unique a et que
35
a,
24
b) Tracer
f
C
et D.
Exercice n°10 :
La fonction
f
est donnée par son tableau de variation :
1) Déterminer l’image par
f
des intervalles
0, 6
;
5
,
66
et
5,2
6
.
2) Déterminer le nombre de solutions de l’équation
( ) 0fx
sur
0,2
.