serie n 2 limites continuite

Mr :Khammour.K
Série n°2 : Limites-Continuité
4èmeMath
Octobre 2014
Exercice n°1 :(QCM)
Pour chaque question choisir la seule réponse correcte :
1) L’équation cos x  x admet dans [0,1] :
a) Une solution unique
b) plusieurs solutions
c) aucune solution.
x
2) Soit la fonction f définie sur IR par : f ( x)  1 
, alors :
1  x2
a) La droite y = 2 est une asymptote à  C f  au voisinage de  .
b) La droite y = 2 est une asymptote à  C f  au voisinage de  .
c) La droite y = 1 est une asymptote à  C f  au voisinage de  .
3) Soit f une fonction définie sur [a,b] où a et b sont deux réels tels que f (a)  2 et f (b)  1 .
L’équation f ( x)  1 admet :
a) Une seule solution
b) au moins une solution
c) aucune solution.
4) Si f est une fonction continue et décroissante sur [2,5] tel que f  2,5  1,3 alors :
a)
f (2)  3 et f (5)  1
b) f (2)  1 et f (5)  3
Exercice n°2 :
On donne la courbe ci-dessous d’une fonction f définie sur IR.
1) Déterminer lim f ( x) et lim f ( x) .
x 
x 
2) Déterminer les variations de f sur IR.
3) Préciser les images par f des intervalles 0,  , ,0 et IR.
4) Déterminer le nombre de solution de l’équation f ( x)  0 .
c) 1  f (2)  3
Exercice n°3 :
x
4
f ( x)   +3 x 
si x  0
2
5
Soit f la fonction définie sur IR par :
x4
f ( x)  2
si x  0
x  6x  5
{
1) a) Montrer que f est continue en 0.
b) Montrer que f est contunie sur IR.
2) a) Déterminer lim f ( x) et lim f ( x) .
x 
x 
 x4 
b) Déterminer lim cos  2
.
x 
 x  6x  5 
3) a) Montrer que f ( x)  0 admet une solution unique  sur [0,1].
b) Dresser le tableau de variation de f sur 0,  et déterminer le nombre de solution de l’équation f ( x)  0
sur 0,  .
c) Déterminer f
0,9 , f 9,   et f 0,   .
Exercice n°4 :
x2  x 1
f ( x) 
x 1
Soit f la fonction définie par :
2
{ f ( x)  x 1  2
1) Déterminer lim f ( x) et lim f ( x)
x 
si x  0
si x  0
x 
2) a) Montrer que f est continue en 0.
b) Etudier la continuité de f sur ,0 puis sur 0,  .
3) a) Etudier les variations de f sur ,0 .
b) Montrer que f ( x)  0 admet une solution unique  sur ,0 et vérifier que   2, 1 .
Exercice n°5 :
Soit f la fonction définie par : {
f ( x)   x3  3x  3
f ( x)  x  1  1
1) Déterminer lim f ( x) et lim f ( x) .
x 
si x  1
si x  1
x 
2) a) Etudier la continuité de f en 1.
b) Montrer que f est continue sur IR.
3) a) Etudier les variations de f sur ,1 .
b) Montrer que f ( x)  0 admet une solution unique  sur ,1 et vérifier que   0,1 .
Exercice n°6 :
 
f ( x)  x 2 cos    3 si x  0
 2x 
Soit la fonction f définie sur IR par : {
f ( x)  x 3  3x  3 si x  0
1) a) Montrer que pour tout x ,0 :  x 2  3  f ( x)  x 2  3 .
b) Déduire lim f ( x) .
x 0
2) a) Etudier les variations de f sur 0,  .
b) Déterminer f 1,3 .
3) a) Montrer que l’équation f ( x)  8 admet une solution unique   1, 2 .
b) Vérifier que  3  3  5  0 .
Exercice n°7 :
Soit la fonction f définie par f ( x)  x2  x  1 . On désigne par C f la courbe représentative de f dans
un repère orthogonal du plan.
1) a) Déterminer l’ensemble de définition de la fonction f .
2
1 3

b) Montrer que pour tout réel de D f on a : f ( x)   x   
2 4

1
2) a) Montrer que la droite d’équation : D : y  x  est une asymptote à C f en 
2
b) Etudier la position relative de C f par rapport à D.
3) Etudier la nature de la branche infinie de C f en  .
4) Tracer C f .
Exercice n°8 :
x  x2  x si x ,0
f ( x) 
{
x2
2x 1
1, 
si x  0,1
1) Déterminer le domaine de f . Calculer lim f ( x) et lim f ( x) .
x 
x 
2) Etudier la continuité de f en 0 et en 1.
3) a) Etudier la dérivabilité de f en 0 et en 1.
b) Interpréter géométriquement les résultats obtenus.
 1 1 
4) Montrer que f est dérivable sur chacun des intervalles , 0 ;  0,  ;  ,1 et 1,  .Puis calculer f '( x) .
 2 2 
5) Dresser le tableau de variation de f .
6) Soit g ( x)  f ( x)  2 pour x 1,  .
a) Dresser le tableau de variation de g pour x  0 ; à partir de celui de f .
b) En déduire que l’équation : f ( x)  2 admet une unique solution  dans 1, 2 .
Exercice n°9 :
On considère la fonction f définie par : f ( x)  x  1 


1
et  C f  la courbe de la restriction f sur I  ,0
x
dans le plan rapporté à un repère orthonormé O, i, j .
1) a) Montrer que f est bien définie sur I.
b) Montrer que f est continue sur I.
2) Calculer lim f ( x) et interpréter le résultat obtenu.
x 0
f ( x)
.
x 
x 
x
b) Déduire la droite D : y  x  1 est une asymptote à  C f  au voisinage de  .
3) a) Déterminer lim f ( x) et lim
c) Déterminer la position relative de  C f  par rapport à D.
4) Etudier les variations de f .
 3 5
5) a) Montrer que l’équation f ( x)  0 admet dans I une solution unique a et que a    ,  
 2 4
b) Tracer  C f  et D.
Exercice n°10 :
La fonction f est donnée par son tableau de variation :
     5 
 5

1) Déterminer l’image par f des intervalles 0,  ;  ,  et  , 2  .
 6 6 6 
 6

2) Déterminer le nombre de solutions de l’équation f ( x)  0 sur 0,2  .