AK 5
Lemme 2 Soit xet ydeux réels strictement positifs tels que x/y soit irrationnel. Il existe une
suite d’entiers (np), une suite d’entiers strictement positifs (mp)telles que la suite (mpx+npy)soit
positive et converge vers zéro.
Soit (xn)une suite décroissante de G(x, y)de limite nulle. Il existe donc deux suites d’entiers (mp)et
(np)telles que, pour tout p,
xp=mpx+npy .
A partir d’un certain rang, on aura
0< xp<inf(x, y),
et, d’après le lemme 1, pour tout entier p, soit mp, soit npest strictement positif.
•S’il existe une infinité de mppositifs, il existe alors une suite extraite (mϕ(p))strictement positive,
et la suite (xϕ(p))répond à la question.
•Dans le cas contraire, il existe une infinité de nppositifs et donc, une suite extraite (nϕ(p))strictement
positive. Considérons la suite (xϕ(p))extraite, et formons
yp=xϕ(p)−xϕ(p+1) = (mϕ(p)−mϕ(p+1))x+ (nϕ(p)−nϕ(p+1))y .
La suite (yp)converge elle aussi vers 0dans G(x, y). A partir d’un certain rang mϕ(p)−mϕ(p+1) et
nϕ(p)−nϕ(p+1) seront non nuls et de signes contraires. Supposons qu’il n’y ait qu’un nombre fini de
termes tels que mϕ(p)−mϕ(p+1) soit positif. On aura donc, à partir d’un certain rang
mϕ(p)−mϕ(p+1) <0< nϕ(p)−nϕ(p+1) .
Alors la suite (mϕ(p))est croissante et négative à partir d’un certain rang. Elle admet donc une limite
m. De même, la suite (nϕ(p))est décroissante et positive à partir d’un certain rang. Elle admet donc
une limite n. Comme ce sont des suites d’entiers, elles sont stationnaires. Il en sera de même de la suite
(xϕ(p)), et l’on en déduit que
0 = mx +ny ,
ce qui, puisque x/y est irrationnel, implique que
m=n= 0 ,
et par suite, à partir d’un certain rang,
mϕ(p)=nϕ(p)= 0 ,
d’où une contradiction.
Il y a donc une infinité de termes tels que mϕ(p)−mϕ(p+1) soit strictement positif. En extrayant de
cette suite, une suite de nombres positifs, la suite correspondante extraite de (yp)répondra à la question.