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Exercice 10
1. R´esoudre dans Cl’´equation : z2+ 4z+1+i(3z+ 5) = 0.
2. R´esoudre dans Cl’´equation : (z2+ 4z+ 1)2+ (3z+ 5)2= 0.
3. En d´eduire quatre nombres r´eels a, b, c et dtels que
(z2+ 4z+ 1)2+ (3z+ 5)2= (z2+az +b)(z2+cz +d)
Exercice 11
Soit nun entier strictement positif, θun r´eel appartenant `a ]0,π[. On consid`ere :
Sn=
n
X
p=1
cosp(θ) cos(pθ), S0
n=
n
X
p=1
cosp(θ) sin(pθ),Σn=Sn+iS0
n
Montrer que Σnest la somme des npremiers termes d’une suite g´eom´etrique complexe dont on donnera le premier
terme et la raison. En d´eduire la valeur de Σnpuis de Snet S0
nen fonction de net θ.
Exercice 12
Calculer, pour ϕ∈R:
a) cos(9ϕ) en fonction de cos(ϕ) uniquement et sin(8ϕ) en fonction de sin(ϕ) et cos(ϕ).
b) tan(6ϕ) et tan(7ϕ) en fonction de tan(ϕ).
Exercice 13
Lin´eariser les produits suivants pour ϕ∈R:
a) cos3ϕ, sin3ϕ, cos4ϕ, sin5ϕ
b) cos2ϕsin4ϕ, cos4ϕsin5ϕ, cos2ϕsin5ϕ
c) 22ncos2nϕ(n∈N∗),22n+1 sin2n+1 ϕ(n∈N∗)
Exercice 14
1. (a) Montrer que ∀z∈C, z3−1=(z−1)(z−e2iπ/3)(z−e−2iπ/3).
(b) En d´eduire que ∀(a, b)∈C3, a3−b3= (a−b)(a−be2iπ/3)(a−be−2iπ/3) puis que
a3−b3= (a−b)(ae−iπ/3−beiπ/3)(aeiπ/3−be−iπ/3).
(c) `
A partir de la formule pr´ec´edente, montrer que ∀x∈R,4 sin(x) sin π
3−xsin π
3+x= sin(3x).
2. Retrouver le d´eveloppement de sin(3x) en posant sin(3x) = sin(2x+x) puis v´erifier la formule de 1.c) en
d´eveloppant sin π
3−xet sin π
3+x.
Exercice 15
Mettre les expressions suivantes sous forme de produits de fonctions trigonom´etriques :
a) sin2(2x)−sin2(3x) b) cos x+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4xc) cos2x−π
4−cos2(2x+π)
d) sin x−sin 2x+ sin 3x−sin 4xe) sin x+ sin 3x+ sin 4x+ sin 6x
Exercice 16
A, B et C´etant trois r´eels tels que A+B+C=π, mettre les expressions suivantes sous la forme d’un produit
de fonctions trigonom´etriques.
a) sin A+ sin B+ sin Cb) 1 −cos A+ cos B+ cos Cc) sin A−sin B+ sin C
d) 1 + cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) e) sin(2A) + sin(2B) + sin(2C)
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