Exercices sur les nombres complexes. Exercice 1 Exercice 2

Exercices sur les nombres complexes.
Exercice 1
Calculer : (1 ±i)2,(2 + 3i)(4 −i),1
3 + i,2−i i+ 2,4i−1
i+√3
Exercice 2
Calculer (√3 + i)3de deux fa¸cons :
– En d´eveloppant au moyen du produit remarquable (a+b)3=···.
– En utilisant la repr´esentation exponentielle.
Exercice 3
Donner le module et un argument des nombres suivants :
3−√3i, −1−i√3,√6±i√2,±1±i( quatre cas),(1 + i)n, n ∈Z,2+3i
6−2i,1−i
√3 + i
Exercice 4
1. Retrouver les formules donnant cos(a±b) et sin(a±b) au moyen de l’exponentielle complexe.
2. En d´eveloppant (cos x+isin x)2, retrouver les formules donnant cos(2x) et sin(2x) au moyen de cos xet
sin x.
Exercice 5
Calculer le module des complexes suivants :
a) (√2+i√3)(√3+i√5)(√2+i√5) b) 1 + 2i
2−3i c) 3−2i 2−3i
d) (2 −3i)(3 + 4i)
(6 + 4i)(15 −8i) e) (3 −2i)4f) 1 2+ i√3 2!543
Exercice 6
Calculer les parties r´eelles et imaginaires des nombres complexes suivants :
a) (1 + i√3)10 b) (1 −i)12(√3−3i) c) 3−2i
2 + 3i11
d) √3−i
1+i !20
Exercice 7
Pour (A, B)∈R2, d´eterminer l’expression des racines carr´ees de A+Bi.
Exercice 8
Factoriser X2−2 cos ϕX + 1.
Ce r´esultat est `a connaˆıtre par cœur ou `a savoir retrouver en moins de 15 secondes.
Exercice 9
R´esoudre les ´equations suivantes :
1. z2−2iz−i√3=0
2. z2−(11 + 5i)z+ 24 + 27i = 0
3. (1 −i)z2−2(3 −2i)z+ 9 −7i = 0
4. (2 −i)z2−(3 + i)z−2 + 6i = 0
5. z2−[m(1 + i) + 2]z+ im2+m(1 + i) + 1 = 0
6. z2−2eiθz+ 2i sin θeiθ= 0
1

Exercice 10
1. R´esoudre dans Cl’´equation : z2+ 4z+1+i(3z+ 5) = 0.
2. R´esoudre dans Cl’´equation : (z2+ 4z+ 1)2+ (3z+ 5)2= 0.
3. En d´eduire quatre nombres r´eels a, b, c et dtels que
(z2+ 4z+ 1)2+ (3z+ 5)2= (z2+az +b)(z2+cz +d)
Exercice 11
Soit nun entier strictement positif, θun r´eel appartenant `a ]0,π[. On consid`ere :
Sn=
n
X
p=1
cosp(θ) cos(pθ), S0
n=
n
X
p=1
cosp(θ) sin(pθ),Σn=Sn+iS0
n
Montrer que Σnest la somme des npremiers termes d’une suite g´eom´etrique complexe dont on donnera le premier
terme et la raison. En d´eduire la valeur de Σnpuis de Snet S0
nen fonction de net θ.
Exercice 12
Calculer, pour ϕ∈R:
a) cos(9ϕ) en fonction de cos(ϕ) uniquement et sin(8ϕ) en fonction de sin(ϕ) et cos(ϕ).
b) tan(6ϕ) et tan(7ϕ) en fonction de tan(ϕ).
Exercice 13
Lin´eariser les produits suivants pour ϕ∈R:
a) cos3ϕ, sin3ϕ, cos4ϕ, sin5ϕ
b) cos2ϕsin4ϕ, cos4ϕsin5ϕ, cos2ϕsin5ϕ
c) 22ncos2nϕ(n∈N∗),22n+1 sin2n+1 ϕ(n∈N∗)
Exercice 14
1. (a) Montrer que ∀z∈C, z3−1=(z−1)(z−e2iπ/3)(z−e−2iπ/3).
(b) En d´eduire que ∀(a, b)∈C3, a3−b3= (a−b)(a−be2iπ/3)(a−be−2iπ/3) puis que
a3−b3= (a−b)(ae−iπ/3−beiπ/3)(aeiπ/3−be−iπ/3).
(c) ` A partir de la formule pr´ec´edente, montrer que ∀x∈R,4 sin(x) sin π
3−xsin π 3+x= sin(3x).
2. Retrouver le d´eveloppement de sin(3x) en posant sin(3x) = sin(2x+x) puis v´erifier la formule de 1.c) en
d´eveloppant sin π
3−xet sin π 3+x.
Exercice 15
Mettre les expressions suivantes sous forme de produits de fonctions trigonom´etriques :
a) sin2(2x)−sin2(3x) b) cos x+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4xc) cos2x−π
4−cos2(2x+π)
d) sin x−sin 2x+ sin 3x−sin 4xe) sin x+ sin 3x+ sin 4x+ sin 6x
Exercice 16
A, B et C´etant trois r´eels tels que A+B+C=π, mettre les expressions suivantes sous la forme d’un produit
de fonctions trigonom´etriques.
a) sin A+ sin B+ sin Cb) 1 −cos A+ cos B+ cos Cc) sin A−sin B+ sin C
d) 1 + cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) e) sin(2A) + sin(2B) + sin(2C)
2