Exercices sur les nombres complexes. Exercice 1 Exercice 2

Exercices sur les nombres complexes.
Exercice 1
Calculer : (1 ±i)2,(2 + 3i)(4 i),1
3 + i,2i
i+ 2,4i1
i+3
Exercice 2
Calculer (3 + i)3de deux fa¸cons :
En d´eveloppant au moyen du produit remarquable (a+b)3=···.
En utilisant la repr´esentation exponentielle.
Exercice 3
Donner le module et un argument des nombres suivants :
33i, 1i3,6±i2,±1±i( quatre cas),(1 + i)n, n Z,2+3i
62i,1i
3 + i
Exercice 4
1. Retrouver les formules donnant cos(a±b) et sin(a±b) au moyen de l’exponentielle complexe.
2. En d´eveloppant (cos x+isin x)2, retrouver les formules donnant cos(2x) et sin(2x) au moyen de cos xet
sin x.
Exercice 5
Calculer le module des complexes suivants :
a) (2+i3)(3+i5)(2+i5) b) 1 + 2i
23i c) 32i
23i
d) (2 3i)(3 + 4i)
(6 + 4i)(15 8i) e) (3 2i)4f) 1
2+ i3
2!543
Exercice 6
Calculer les parties r´eelles et imaginaires des nombres complexes suivants :
a) (1 + i3)10 b) (1 i)12(33i) c) 32i
2 + 3i11
d) 3i
1+i !20
Exercice 7
Pour (A, B)R2, d´eterminer l’expression des racines carr´ees de A+Bi.
Exercice 8
Factoriser X22 cos ϕX + 1.
Ce r´esultat est `a connaˆıtre par cœur ou `a savoir retrouver en moins de 15 secondes.
Exercice 9
R´esoudre les ´equations suivantes :
1. z22izi3=0
2. z2(11 + 5i)z+ 24 + 27i = 0
3. (1 i)z22(3 2i)z+ 9 7i = 0
4. (2 i)z2(3 + i)z2 + 6i = 0
5. z2[m(1 + i) + 2]z+ im2+m(1 + i) + 1 = 0
6. z22eiθz+ 2i sin θeiθ= 0
1
Exercice 10
1. R´esoudre dans Cl’´equation : z2+ 4z+1+i(3z+ 5) = 0.
2. R´esoudre dans Cl’´equation : (z2+ 4z+ 1)2+ (3z+ 5)2= 0.
3. En d´eduire quatre nombres r´eels a, b, c et dtels que
(z2+ 4z+ 1)2+ (3z+ 5)2= (z2+az +b)(z2+cz +d)
Exercice 11
Soit nun entier strictement positif, θun r´eel appartenant `a ]0[. On consid`ere :
Sn=
n
X
p=1
cosp(θ) cos(), S0
n=
n
X
p=1
cosp(θ) sin(),Σn=Sn+iS0
n
Montrer que Σnest la somme des npremiers termes d’une suite g´eom´etrique complexe dont on donnera le premier
terme et la raison. En d´eduire la valeur de Σnpuis de Snet S0
nen fonction de net θ.
Exercice 12
Calculer, pour ϕR:
a) cos(9ϕ) en fonction de cos(ϕ) uniquement et sin(8ϕ) en fonction de sin(ϕ) et cos(ϕ).
b) tan(6ϕ) et tan(7ϕ) en fonction de tan(ϕ).
Exercice 13
Lin´eariser les produits suivants pour ϕR:
a) cos3ϕ, sin3ϕ, cos4ϕ, sin5ϕ
b) cos2ϕsin4ϕ, cos4ϕsin5ϕ, cos2ϕsin5ϕ
c) 22ncos2nϕ(nN),22n+1 sin2n+1 ϕ(nN)
Exercice 14
1. (a) Montrer que zC, z31=(z1)(ze2/3)(ze2/3).
(b) En d´eduire que (a, b)C3, a3b3= (ab)(abe2iπ/3)(abe2/3) puis que
a3b3= (ab)(ae/3beiπ/3)(ae/3be/3).
(c) `
A partir de la formule pr´ec´edente, montrer que xR,4 sin(x) sin π
3xsin π
3+x= sin(3x).
2. Retrouver le d´eveloppement de sin(3x) en posant sin(3x) = sin(2x+x) puis v´erifier la formule de 1.c) en
d´eveloppant sin π
3xet sin π
3+x.
Exercice 15
Mettre les expressions suivantes sous forme de produits de fonctions trigonom´etriques :
a) sin2(2x)sin2(3x) b) cos x+ cos 2x+ cos 3x+ cos 4xc) cos2xπ
4cos2(2x+π)
d) sin xsin 2x+ sin 3xsin 4xe) sin x+ sin 3x+ sin 4x+ sin 6x
Exercice 16
A, B et C´etant trois r´eels tels que A+B+C=π, mettre les expressions suivantes sous la forme d’un produit
de fonctions trigonom´etriques.
a) sin A+ sin B+ sin Cb) 1 cos A+ cos B+ cos Cc) sin Asin B+ sin C
d) 1 + cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) e) sin(2A) + sin(2B) + sin(2C)
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