Exercices sur les nombres complexes. Exercice 1 Exercice 2

Exercices sur les nombres complexes.
Exercice 1
Calculer : (1 ± i)2 , (2 + 3i)(4 − i),
1
2 − i 4i − 1
√
,
,
3+i i+2 i+ 3
Exercice√2
Calculer ( 3 + i)3 de deux façons :
– En développant au moyen du produit remarquable (a + b)3 = · · · .
– En utilisant la représentation exponentielle.
Exercice 3
Donner le module et un argument des nombres suivants :
√
√ √
√
2 + 3i
1−i
3 − 3i, − 1 − i 3, 6 ± i 2, ± 1 ± i ( quatre cas), (1 + i)n , n ∈ Z,
, √
6 − 2i
3+i
Exercice 4
1. Retrouver les formules donnant cos(a ± b) et sin(a ± b) au moyen de l’exponentielle complexe.
2. En développant (cos x + i sin x)2 , retrouver les formules donnant cos(2x) et sin(2x) au moyen de cos x et
sin x.
Exercice 5
Calculer le module des complexes suivants :
√
√ √
√ √
√
a) ( 2 + i 3)( 3 + i 5)( 2 + i 5) b)
d)
(2 − 3i)(3 + 4i)
(6 + 4i)(15 − 8i)
e)
1 + 2i
2 − 3i
c)
(3 − 2i)4 f)
3 − 2i
2 − 3i
√ !543
1
3
+i
2
2
Exercice 6
Calculer les parties réelles et imaginaires des nombres complexes suivants :
!20
√
11
√
√ 10
3
−
2i
3
−
i
b) (1 − i)12 ( 3 − 3i)
c)
d)
a) (1 + i 3)
2 + 3i
1+i
Exercice 7
Pour (A, B) ∈ R2 , déterminer l’expression des racines carrées de A + Bi.
Exercice 8
Factoriser X 2 − 2 cos ϕX + 1.
Ce résultat est à connaı̂tre par cœur ou à savoir retrouver en moins de 15 secondes.
Exercice 9
Résoudre les équations suivantes :
√
1. z 2 − 2iz − i 3 = 0
2. z 2 − (11 + 5i)z + 24 + 27i = 0
3. (1 − i)z 2 − 2(3 − 2i)z + 9 − 7i = 0
4. (2 − i)z 2 − (3 + i)z − 2 + 6i = 0
5. z 2 − [m(1 + i) + 2]z + im2 + m(1 + i) + 1 = 0
6. z 2 − 2eiθ z + 2i sin θeiθ = 0
Exercice 10
1. Résoudre dans C l’équation :
z 2 + 4z + 1 + i(3z + 5) = 0.
2. Résoudre dans C l’équation :
(z 2 + 4z + 1)2 + (3z + 5)2 = 0.
3. En déduire quatre nombres réels a, b, c et d tels que
(z 2 + 4z + 1)2 + (3z + 5)2 = (z 2 + az + b)(z 2 + cz + d)
Exercice 11
Soit n un entier strictement positif, θ un réel appartenant à ]0,π[. On considère :
Sn =
n
X
p
cos (θ) cos(pθ),
Sn0
=
p=1
n
X
cosp (θ) sin(pθ), Σn = Sn + iSn0
p=1
Montrer que Σn est la somme des n premiers termes d’une suite géométrique complexe dont on donnera le premier
terme et la raison. En déduire la valeur de Σn puis de Sn et Sn0 en fonction de n et θ.
Exercice 12
Calculer, pour ϕ ∈ R :
a) cos(9ϕ) en fonction de cos(ϕ) uniquement et sin(8ϕ) en fonction de sin(ϕ) et cos(ϕ).
b) tan(6ϕ) et tan(7ϕ) en fonction de tan(ϕ).
Exercice 13
Linéariser les produits suivants pour ϕ ∈ R :
a) cos3 ϕ, sin3 ϕ, cos4 ϕ, sin5 ϕ
b) cos2 ϕ sin4 ϕ, cos4 ϕ sin5 ϕ, cos2 ϕ sin5 ϕ
c) 22n cos2n ϕ (n ∈ N∗ ), 22n+1 sin2n+1 ϕ (n ∈ N∗ )
Exercice 14
1. (a) Montrer que ∀z ∈ C, z 3 − 1 = (z − 1)(z − e2iπ/3 )(z − e−2iπ/3 ).
(b) En déduire que ∀(a, b) ∈ C3 , a3 − b3 = (a − b)(a − be2iπ/3 )(a − be−2iπ/3 ) puis que
a3 − b3 = (a − b)(ae−iπ/3 − beiπ/3 )(aeiπ/3 − be−iπ/3 ).
π
π
(c) À partir de la formule précédente, montrer que ∀x ∈ R, 4 sin(x) sin
− x sin
+ x = sin(3x).
3
3
2. Retrouver le développement
de
sin(3x)
en
posant
sin(3x)
=
sin(2x
+
x)
puis
vérifier
la
formule de 1.c) en
π
π
développant sin
− x et sin
+x .
3
3
Exercice 15
Mettre les expressions suivantes sous forme de produits de fonctions trigonométriques :
π
a) sin2 (2x) − sin2 (3x)
b) cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x
c) cos2 x −
− cos2 (2x + π)
4
d) sin x − sin 2x + sin 3x − sin 4x
e) sin x + sin 3x + sin 4x + sin 6x
Exercice 16
A, B et C étant trois réels tels que A + B + C = π, mettre les expressions suivantes sous la forme d’un produit
de fonctions trigonométriques.
a) sin A + sin B + sin C
b) 1 − cos A + cos B + cos C
c) sin A − sin B + sin C
d) 1 + cos(2A) + cos(2B) + cos(2C) e) sin(2A) + sin(2B) + sin(2C)