racines carrées

3ème Chapitre A3 RACINE CARREE D’UN NOMBRE POSITIF
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I) Définition et conditions d’existence de la racine carrée d’un nombre.
1) Définition .
Il existe deux nombres tel que si on les multiplie par eux même le résultat
est 36 : 6 et – 6
En effet : 6 ² = 6 6 = 36 et ( – 6 ) ² = ( – 6 ) ( – 6 ) = 36
On choisit le nombre positif pour définir la « racine carrée » de 36.
On décide que 36 = 6
Df : Soit a un nombre positif. La racine carrée du nombre a est le nombre
positif noté a dont le carré est a.
Quel que soit a positif ou nul, ( a ) ² = a
! Remarque : La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas.
Exemples :
81 = 9 car 9 ² = 81 ; 1.44 = 1.2 car 1.2 ² = 1.44
! Remarque : Les racines carrées entières sont les racines carrées des
« carrés parfaits » , c’est à dire des carrés de nombres entiers.
Liste des carrés parfaits jusqu’à 20 ² :
1 ² = 1 ; 2 ² = 4 ; 3 ² = 9 ; 4 ² = 16 ; 5 ² = 25
6 ² = 36 ; 7 ² = 49 ; 8 ² = 64 ; 9 ² = 81 ; 10 ² = 100
11 ² = 121 ; 12 ² = 144 ; 13 ² = 169 ; 14 ² = 196 ; 15 ² = 225
16 ² = 256 ; 17 ² = 289 ; 18 ² = 324 ; 19 ² = 361 ; 20 ² = 400
! Remarque :
A partir d’un carré parfait, il faut un décalage de virgule de 2 rangs vers la
droite ou vers la gauche pour que la racine carrée du nombre obtenu soit
un nombre décimal ( dont la partie décimale soit finie.)

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Exemples :
 169 = 13 16900 = 130 1.69 = 1.3 0.0169 = 0.13
1690000 = 1300 par contre 16.9 ou 1690 ne sont pas
des nombres décimaux.
 Compléter le tableau suivant :
a
– 25
25
1
4
900
25
49
0.16
6
a
5
1
2
30
5
7
0.4
6
2
a
225
225
1
(5 – 9) ²
810000
225
2401
0.0256
36
2) Avec la calculatrice :
On utilise la touche ….
576 = 24 valeur exacte
575
23.979158 valeur approchée par défaut.
3) Propriété de base .
Quel que soit nombre positif a, a ² = a
! Remarque : donc ( a ) ² = a a = a ² = a a
Exemple :
( 5 ) ² = 5 1.2 1.2 = 1.2 7 7 = 7
10 6 = ( 10 3 ) ² = 10 3

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II) Equation du second degré de la forme x ² = a.
 Je cherche toutes les valeurs possibles de x pour que x = 49.
Il y en a deux : 7 et – 7, c’est à dire : 49 et – 49
 Je cherche toutes les valeurs de x pour que x = 0.
Il n’y en a qu’une : 0 ( ou 0 )
 Je cherche toutes les valeurs possibles de x pour que x = – 64
Il n’y en a aucune, car un carré est toujours positif
Récapitulatif :
 Si a est positif :
x ² = a a pour solutions : x = a et x = – a
 Si a est nul :
x ² = 0 a pour solution : x = 0
 Si a est négatif :
x ² = a n’a pas de solution.
Exemples :
Résoudre les équations suivantes :
 x ² = 256 cette équation admet deux solutions :
x = 256 et x = – 256
x = 16 et x = – 16
 x ² = 11 cette équation admet deux solutions :
x = 11 et x = – 11
 x ² = – 25 cette équation n’admet aucune solution , car un carré est
toujours positif.

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 3 x ² – 8 = – 5
3x ² = – 5 + 8
3x ² = 3
x ² = 3 3
x ² = 9 cette équation admet deux solutions :
x = 9 et x = – 9
x = 3 et x = – 3
 x ² = 0 cette équation n’admet qu’une solution : x = 0
III) Propriétés et règles de calcul.
1) Racine carrée d’un produit .
Quels que soient les nombres positifs a et b,
ab = a b ou a b = ab
La racine carrée d’un produit de deux nombres positifs est égale au
produit des racines carrés de chacun d’eux.
Exemples :
 3 5 = 3 5 = 15
 12 = 4 3 = 4 3 = 2 3
 5 20 = 5 20 = 100 = 10
2) Racine carrée d’un quotient.
Quels que soient les nombres positifs a et b,
a
b = a
b ou a b = a
b
La racine carrée du quotient de deux nombres positif est égale au quotient
des racines carrées de chacun d’eux.

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Exemples :
 10
2 = 10
2 = 5
 25
81 = 25
81 = 5
9
 75
3 = 75
3 = 25 = 5
 3
4 = 3
4 = 3
2
! Remarque : Il n’existe pas de formules liant les racines carrées avec les
sommes et les différences.
a + b
a + b et a – b a – b
Exemples :
 16 + 9 = 25 = 5 et 16 + 9 = 4 + 3 = 7
 100 – 64 = 36 et 100 – 64 = 10 – 8 = 2
IV) Comparaison de racines carrées.
Règle : Deux racines carrées sont toujours rangées dans le même ordre
que leurs carrés.
Quels que soient les nombres positifs a et b,
Si a b alors a b et si a b alors a b
Exemples :
 Comparer 56 et 57
56 < 57 donc 56 < 57