Exercice 01 : Soit Le quadripôle Q représenté dans la figure ci

Exercice 01 :
Soit Le quadripôle Q représenté dans la figure ci dessous
La matrice impédance de Q est donnée par la formule suivante :
Ve  z11.I e  z12 .I s

Vs  z 21.I e  z 22 .I s
1. Montrer qu’on peut réécrire le système précédent comme suivant :

Ve  ( z11  z12 ).I e  z12 .( I e  I s )


Vs  ( z 21  z12 ).I e  ( z 22  z12 ).I s  z12 ( I e  I s )
2. Donner deux schémas équivalents à ce dernier système.
Exercice 02 :
Déterminer en fonction de ve les générateurs de Thévenin et Norton équivalents au quadripôle Q représenté ci dessous, vu
des points A et B. En déduire le gain en tension du quadripôle chargé par une résistance RL . La tension ve est sinusoïdale.
Solution
i1=0
V1<>0
i2=0
V2<>0
V1=0
i1><0
V2=0
i2<>0
Générateur de Thévenin :
1
En passant du modèle de Norton au modèle de Thévenin (pour la source liée (  i, r )
- +
* Eth  ? (le tension entre A et B)
ve  v  (r  R3 ).i
u   R .i
3
 AB
v


.
r
.
i

1

v
i1  e

R2
(v e  v )

(1) et (2) : u AB  R3 . (r  R )

3

(3) et (4) : v   .r. ve

R2
(1 
(5) et (6) : u AB
 .r
)v e
R3
R .( R   .r )
R2

.
 3 2
ve
(r  R3 ) (r  R3 )
R2 .(r  R3 )
Rth  ? : En court circuitant la source de tension d’entrée
- +
Rth 
r.R3
r  R3
Générateur de Norton :
* RN  ?
RN  Rth 
r.R3
r  R3
* iN  ?
iN 
Eth R2   .r

.ve
Rth
R2 .r
2
En remplaçant le quadripôle par son générateur de Thévenin équivalent :
D’où : Av 
Vs
RL (r  R3 )
RL


Eth Rth  RL r.R3  RL (r  R3 )
Exercice 03:
Soit le quadripôle suivant
1. Calculer la matrice admittance de ce quadripôle.
2. calculer son gain en tension.
3. On considère le quadripôle de la figure suivante :
Calculer les matrices Z , Y , et H de ce quadripôle.
3
Exercice 04:
Soit un quadripôle Q défini par sa matrice de transmission
V1   A B  V2 
 

*
 I 1  C D   I 2 
1. Le quadripôle Q est suivi d’un autre quadripôle Q’ en cascade de coefficient A’, B’, C’, D’. Quelle est la matrice de
transmission du quadripôle équivalent ?
2. Soient les quadripôles Q1 et Q2 suivants :
4
a. Déterminer la matrice de transmission de chaque quadripôle.
b. En déduire la matrice de transmission du quadripôle en T (Q1 Q2 Q1),
3. Déterminer l’impédance caractéristique (itérative) du quadripôle en T.
Solution
1. La matrice de transmission du quadripôle équivalent est le produit des deux matrices.
 A B   A' B' 
T 
.

C D C ' D'
En effet :
V1   A B   V2   A B   A' B'   V3 


 
.
.
.
 I 1  C D   I 2  C D  C ' D'  I 3 
2.
a. Le quadripôle Q1
ve1  ve 2  R1 .i2
1 R1 
 T1  


0 1 
i1  i2
Le quadripôle Q2
ve1  ve 2
1

1

T

v

2
e2
i


i
R
2
1 R
 2
2

0

1

5
2.b. Le quadripôle (Q1 Q2 Q1)
1
1 R1   1

T  T1 .T1 .T1  
.
0 1   R2
 R1
0 1 R
1 

R2
1
.
1 0 1    1


 R
 2
R12 

R2 
R
1 1 
R2 
2.R1 
3. L’impédance itérative :
L’impédance itérative est l’impédance Z KT qui est placée à la sortie du quadripôle, sachant que Z e  Z KT
Ze 
ve1
 Z KT
i1
Z e  R1  R2 //( R1  Z KT )
cherchons Z KT tel que Z e  Z KT :
Z KT  R1  R2 //( R1  Z KT )  Z KT  2R1 .R2  R²1
Exercice 05 :
Soit T1 et T2 deux cellules en T représentées par la figure ci-dessous :
6
On décrit les deux quadripôles par leur matrice admittance d’éléments respectifs y ij et x ij
1. Déterminer les matrices admittances des cellules T1 et T2.
2. Existe-t-il une fonction simple de déduire y ij et x ij ?
3. Quelles sont les conséquences de la symétrie des cellules T1 et T2 sur les paramètres y ij et x ij
Solution :
1. Détermination de la matrice Y (T1) :
 I e  y11.Ve  y12 .Vs

 I s  y 21.Ve  y 22 .Vs
y11 
Ie
Vs 0
Ve
2.R
1 1 jwC.(1  jw2 RC )
(

) 
1  jw2 RC jwC
1  jw4 RC
T1 est un quadripôle symétrique, on peut donc intervertir l’entrée à la sortie, ainsi on peut écrire :
y11  y22 ,&, y12  y21
y 21 
Ve  (
Is
Vs 0
Ve
1
 2 R).I e  2 R.I s .......................... *
jwC
En utilisant la grande maille, lorsque la sortie est cc :
Ve 
1
(Ie  I s ) 
jmC
I e  jwC.Ve  I s ................................... * *
** dans * :
Ve  (
1
 2 R).( jwC.Ve  .I s )  2 R.I s
jwC
 y 21 
2 RC ² w²
1  jw4 RC
7
 jwC.(1  jw2 RC )
 1  jw4 RC
Donc : Y  
2 RC ² w²

 1  jw4 RC
2 RC ² w²


1  jw4 RC

jwC.(1  jw2 RC ) 

1  jw4 RC
Détermination de la matrice X (T2) :
x11 
Ie
Ve
Vs  0
2R
jwC
 (2 R 
)
1
2R 
jwC
T2 est un quadripôle symétrique, on peut donc intervertir l’entrée à la sortie, ainsi on peut écrire :
x11  x22 ,&, x12  x21
x12 
Ie
Vs
Ve 0
Vs  2R( I s  I e ).......................... *
En appliquant la règle du diviseur de courant, on aura :
1
( I s )
 Is
jwC
Ie 

1
1  jw2 RC
2R 
jwC
D' où
: I s   I e (1  jw2 RC ).................................. * *
** dans * : Vs  4R(1  jwRC ).I e
D’où : x21  x12 
1
4 R(1  jwRC )
 (1  jw2 RC )
 4 R(1  jwRC )
X 
1

 4 R(1  jwRC )
1

4 R(1  jwRC ) 

(1  jw2 RC ) 
4 R(1  jwRC ) 
2. Pour déduire y ij et x ij , il suffit de remplacer dans y ij ,
1
par 2R et vise versa
jwC
3. Les conséquences de la symétrie de T1 et T2 sont que : x11  x22 ,&, x12  x21 et y11  y22 ,&, y12  y21
Exercice 06:
Un générateur basse fréquence BF résistance interne négligeable délivre une tension e g (t )  U 1 cos( w.t ) . Cette tension
alimente un quadripôle Q. Ce quadripôle est chargé par une résistance R. On donne R  30 K, c  10nF
8
1. a. Déterminer la fonction de transfert H ( jw) 
U2
U1
du quadripôle Q (non chargé).
b. Tracer le diagramme de Bode en module et en phase de H ( jw)
c. conclusion.
2. a. Déterminer l’impédance d’entrée Z e du quadripôle chargé par R.
b. Montrer que pour la pulsation de coupure, ce réseau est équivalent à un dipôle série ( R1 ,C1 ) dont on calculera la
résistance R1 et la capacité C1 équivalentes.
c. Donner l’expression de l’impédance de sortie Z s du quadripôle Q.
Solution :
1.a. La fonction de transfert du quadripôle Q :
En appliquant la règle du diviseur de tension :
U2 
Zc
Zc  R
U 1 avec Z c 
1
jwC
1
U
1
1
1
jwC


Par suite H ( jw)  2 
avec wc 
w
RC
1  jRCw
U1 R  1
1 j
jwC
wc
2.a. L’impédance d’entrée, en tenant compte de la charge, est :
9
1
R
(R 
)
R(2  jwRC )
jwC
1  jwRC
Z e  Z c //[ R  ( Z c // R)] 

1
R
1  R ²C ² w²  jw3RC
R
jwC
1  jwRC
2.b. pour w  wc , l’impédance d’entrée devient :
1
RC )
R(2  j ) R
2R
RC
Ze 

 j
1
1
3j
3
3
1  R ²C ²
j
3RC
R ²C ²
RC
R(2  j
Par identification avec un circuit R1 ,C1 série, on obtient : R1 
R
3C
, C1 
3
2
A.N. : R1  10K , C1  15nF
2.c. l’impédance de sortie est celle vue des bornes A et B (entrée en court circuit :
donc : Z s  Z c // R 
R
1  jwRC
Exercice 07 :
Soit le quadripôle suivant :
Ve est une tension sinusoïdale de pulsation w.
1. Déterminer la matrice Z de ce quadripôle.
2. Déduire les impédances d’entrée et de sortie.
10
3. Calculer la fonction de transfert H ( jw) 
Vs
Ve
4. Tracer le diagramme de Bode de H ( jw)
Solution :
1. Z 1  R1 // Z c1 et Z 2  R2 // Z c 2
Ve  z11.I e  z12 .I s

Vs  z 21.I e  z 22 .I s
Z  Z 2
Z  1
 Z2


Z1  Z 2 
Z 1  R1 // Z c1 
R1
1  jwR1C1
Z2
et Z 2  R2 // Z c 2 
R2
1  jwR2 C 2
2.
* L’impédance d’entrée (sortie ouverte) : Z e  Z 11  Z 1  Z 2
* L’impédance de sortie (entrée ouverte) : Z s  Z 11  Z 1  Z 2
3. Le montage n’est pas chargé :
11
En appliquant la règle du diviseur de tension, on obtient :
Vs 
Z2
Z1  Z 2
Ve
w
V
R2  jwR1 R2 C1
w1
D’où : H ( jw)  s 
K
w
Ve R1  R2  jwR1 R2 (C1  C 2 )
1 j
w2
1 j
w
)²
w1
H ( jw)  H 0 ( jw) .
 K.
w
H 2 ( jw)
1  ( )²
w2
H 1 ( jw)
1 (
Sachant que K<1 et supposons que w2  w1
Exercice 08 :
On considère le quadripôle passif de la figure ci-dessous chargé par son impédance caractéristique d'entrée
1. Exprimer ZCIn en fonction de R.
2. Quel est alors le rapport V2/V1 ?
3. On associe n quadripôles en cascade comme indiqué sur la figure suivante :
Quel est alors le gain en tension global
Solution :
12
Exercice 09 :
On considère le quadripôle (en charge) de la figure ci-dessous.
Calculer (en charge) : l’impédance d’entrée Z e , l’impédance de sortie Z s , I 1 , V1 , I 2 , V2 , le gain en tension Gv , le gain en
courant GI
Solution :
13
Exercice 10 :
Un transformateur réel peut être représenté par le quadripôle Q suivant
Le rapport de transformation est défini par : m 
 V2
V1

 I1
I2
1. Déterminer la matrice de transmission de ce quadripôle.
2. En déduire les deux équations fondamentales du transformateur.
I e  f (Ve , Z 0 , m, I s )
Vs  f (Ve , Z1 , m, I s )
solution :
1. soit les quadripôles Q0, Q1, et Q2 suivants :
On peut écrire Q0 :

 V2
 1
V1 
 m

T

m

Q0
 0
I  m.I

2
1

0 
 m
14
De même pour Q1 :
Ve  V1
1

 TQ1   1

V1
Z
 I1
I e 
 0
Z
0

0

1

Et enfin pour Q2 :

1 Z1 
V2  Vs  Z1 .I s
 TQ 2  



0 1 
I 2   I s
D’où la matrice de transfert du quadripôle Q sera :
T  TQ 0 .TQ1 .TQ 2

1
 
m

 1
 m.Z
0


Z1

m

Z1 
m
m.Z 0 

2. Les équations générales seront :

Z1
1
Ve   .Vs  .I s ........................(*)
m
m


 I   1 .V  (m  Z1 ).I ........................(**)
s
s
 e
m.Z 0
m.Z 0
De l’équation (*), on peut écrire :
15
Vs  m.Ve  Z1 .I s
On remplace Vs par son expression dans l’équation (**) :
Ie  
Z
V
1
.(m.Ve  Z1 .I s )  (m  1 ).I s  I e  e  m.I s
Z0
m.Z 0
m.Z 0
Exercice 11 :
On considère le quadripôle de la figure
R2=820Ω
R1=820Ω
R3=180Ω
R4=390Ω
Calculer les matrices Z , Y , et G de ce quadripôle.
solution :
16
Exercice 12:
On considère le quadripôle actif de la figure suivante :
Les deux sources de courants sont des sources liées au courant d'entrée: J 
I1
1 j
17
w
wc
ω est la pulsation du générateur et ωc une pulsation de coupure.
Calculer les paramètres hybrides de ce quadripôle.
Calculer l'impédance d'entrée lorsque le quadripôle est fermé sur une résistance R.
Que devient cette impédance loin de la fréquence de coupure ?
C'est un convertisseur négatif d'impédance
Exercice 13 :
18
Exercice 14 :
Soit le quadripôle suivant :
19
i1
ib1
i3
i2
i4
ic
h11
V1 Rb
R3
B.ib1
ib2
R4
B.i22
B.ib
Rc
V2
1. Calculer les paramètres suivants :
Le gain en tension ;
L’impédance d’entrée ;
L’impédance de sortie.
Exercice 15
Soit le circuit suivant
On donne R  333,
, R1  167 K,
R2  3.2K,
1. Déterminer la fonction de transfert H ( jw) 
C  120nF ,
m  334,
Vs
Ve
w
)
w1
2. Montrer que H ( jw) peut être écrite sous la forme : H ( jw)  H 0 .
w
(1  j )
w2
(1  j
3. calculer numériquement H 0 ,
w1 , w2
4. Tracer le diagramme de Bode de H ( jw) .
5. Déterminer l’impédance de sortie par deux méthodes différentes.
Solution :
20
Rg  100K,
21