Corrigé DS5

Terminale STG4 Corrigé devoir surveillé n°5 Mardi 10 Mai 2011
Exercice 1 7 points
Dans un club sportif chaque membre ne pratique qu’un sport. Leur répartition est donnée dans le
tableau suivant :
On choisit au hasard un membre du club sportif, et on considère les évènements :
A
: « La personne choisie est une femme » ;
B
: « La personne choisie fait du VTT ».
1.a. Calculons les probabilités
p
A
 et
p
B
 des évènements
A
et
B
.
PA=
Nombre
de
cas
favorables
Nombre
de
cas
possibles
On a 200 femmes sur une population de 500 donc :
PA=
200
500 =
2
5=0,4
P
A
=
0,4
On a 150 personnes qui font du VTT sur 500. Donc : PB=
150
500
=
15
50
=
3
10
=0,3
P
B
=
0,3
b. Calculons les probabilités
P
A
∩
B
 et
P
A
∪
B
.
A
∩
B
est l'évènement « La personne choisie est une femme et fait du VTT »
D'après le tableau on a 60 femmes qui font du VTT, sur 500 personnes.
PA∩B=
60
500 =
6
50=0,12
P
A
∩
B
=
0,12
A union B est l'évènement « La personne est une femme ou fait du VTT »
P
A
∪
B
P
A
∩
B
=
P
A
P
B
 et donc :
P
A
∪
B
=
P
A
P
B
−
P
A
∩
B
Et
P
A
∪
B
=
0,4
0,3
−
0,12
=
0,7
−
0,12
=
0,58
P
A
∪
B
=
0,58
2. Les évènements
A
et
B
sont-ils indépendants ?
Propriété : deux événements sont indépendants si l'une des propriétés suivantes est vraie
–
P
A
∩
B
=
P
A
×
P
B
–
P
A
B
=
P
B
–
P
B
A
=
P
A
Dans ce cas, le plus simple est d'utiliser la première relation :
On a
P
A
∩
B
=
0,12
P
A
×
P
B
=
0,4
×
0,3
=
0,12
On a donc :
P
A
∩
B
=
P
A
×
P
B
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P
A
∩
B
=
P
A
×
P
B
Les évènements A et B sont indépendants.
3. Sachant que la personne joue au volley-ball, quelle est la probabilité que ce soit un homme ?
La probabilité que la personne soit un homme sachant qu'elle joue au volley-ball, est :
P
V
H=P
V
∩
H
P
V. Et PV∩H=
107
500
=0,214 et PV=
130
500
=0,26
P
V
H=
0,214
0,26 ≃0,82
On peut aussi remarquer qu'il y 107 hommes qui font du volley-ball, sur 130 personnes qui font du
volley-ball.
P
V
H=
107
130
≃0,82
Sachant que la personne joue au volley-ball, la probabilité que ce soit un homme est 0,82.
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Exercice 2 7 points
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées parmi lesquelles une seule est correcte.
Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie.
Aucune justification n’est demandée.
Chaque bonne réponse rapporte un point. Aucun point n’est enlevé pour une réponse inexacte ou
une absence de réponse
Suite à l’envoi de bons de réduction par internet, le service marketing d’un magasin de prêt-à-porter
effectue une enquête sur les clients du magasin.
Cette enquête a montré que :
• 40% des clients possédaient un bon de réduction.
• 80% des clients munis d’un bon de réduction ont acheté un vêtement.
• 30% des clients ne possédant pas de bon de réduction ont acheté un vêtement.
On interroge au hasard un client sortant du magasin. On appelle p la probabilité associée à cette
expérience aléatoire.
On considère les évènements suivants :
R
: « Le client avait un bon de réduction »
V
: « Le client a acheté un vêtement »
R
est l’évènement contraire de l’évènement
R
.
V
est l’évènement contraire de l’évènement
V
.
On rappelle qu’on note
p
R
V
 la probabilité de l’évènement
V
sachant l’évènement
R
.
La situation peut se traduire par l’arbre ci-dessous :
1. La probabilité de l’évènement « R et V », noté
R
∩
V
est égale à :
P
R
∩
V
=
0,4
×
0,8
=
0,32
. La bonne réponse est a.
3/6
0,4
0,6
0,8
0,2
0,3
0,7

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a. 0,32 b. 0,8 c. 0,4 d. 1,2
2. La probabilité de l’évènement
V
est égale à :
P
V
=
P
R
∩
V
P
R
∩
V
=
0,4
×
0,8
0,6
×
0,3
=
0,32
0,18
=
0,5
. La bonne réponse est d.
a. 0,18 b. 1,1 c. 0,05 d. 0,5
3. Sachant que le client n’avait pas de bon de réduction, la probabilité qu’il n’ait pas acheté de
vêtement est égale à :
P
R
V
=
0,7
. La bonne réponse est b.
a. 0,42 b. 0,7 c. 0,6 d. 0,9
4. Sachant que le client interrogé au hasard a acheté un vêtement, la probabilité qu’il ait eu un bon
de réduction est égale à : P
V
R=P
V
∩
R
PV. La bonne réponse est a.
a. P
V
∩
R
PVb.
P
V
×
P
R
c.
P
R
V
d.
P
V
×
P
V
R
Exercice 3 6 points
L’entreprise CDUCOSTO est spécialisée dans la fabrication d’abris de jardin; elle peut en fabriquer
au maximum
30
par mois. On admet que tous les abris de jardin fabriqués sont vendus. Tous les
montants sont ici exprimés en centaines d’euros.
On a représenté trois fonctions sur le graphique fourni en annexe :
- la courbe C représente la fonction C définie par Cx=
1
3
×x
2
48 où
x
∈[
0
;
30
]
et exprime le
coût total de fabrication de
x
abris de jardin par l’entreprise CDUCOSTO.
- le segment d représente la fonction
r
définie par
r
x
=
3x
où
x
∈[
0
;
30
] et exprime la recette
réalisée pour la vente de
x
abris de jardin au prix unitaire de
300
euros.
- le segment D représente la fonction
R
qui exprime la recette réalisée pour la vente de
x
abris de
jardin au prix unitaire de
1
000
euros.
1. Le choix d’un prix de vente unitaire de
300
euros est un mauvais choix pour l’entreprise, car
d'après la graphique la courbe C est toujours au dessus du segment d. Cela signifie que les coûts
sont toujours supérieurs à la recette.
Dans la suite de l’exercice, l’entreprise décide de vendre chaque abri
1
000
euros.
a. Pour
x
=
25
, la recette est
25
×
1000
=
25000
. Comme les montants sont exprimés en centaine
d'euros, alors :
R
25
=
250
b. La recette pour une quantité
x
vendues est :
x
×
1000
. Comme les montants sont exprimés en
centaine d'euros, alors
R
x
=
10x
2. D'après le graphique, l'entreprise réalise des bénéfices lorsque la recette est supérieure aux coûts,
c'est-à-dire quand le segment D est au dessus de la courbe C. Soit pour une quantité produite n:
n
∈[
6
;
24
]
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3. B(x)=R(x)-C(x) donc : Bx=10x−
1
3
x
2
48=10x−
1
3
x
2
−48=−
1
3
x
2
10x−48
Bx=−
1
3
x
2
10x−48
4. Bx=−
1
3
x
2
10x−48 B'x=−
1
3
2x10=−
2
3
x10=10−
2
3
x
B'x=10−
2
3
x
5. Pour déterminer le maximum de la fonction bénéfice, on établit le tableau de variations de la
fonction bénéfice. Pour cela, on étudie le signe de sa dérivée. On résout l'inéquation :
B'x≥0⇔10−
2
3
x≥0⇔10≥
2
3
x⇔3×10≥2x⇔
3
×
10
2
≥x⇔x≤
30
2
⇔x≤15 .
On en déduit que :
B
'
x
≥
0
⇔
x
≤
15
x 0 15 30
B'(x) ─− +
B(x)
B15=−
1
3
15
2
10×15−48=27 .
Comme les montants sont exprimés en euros le bénéfice maximum est de 2700 euros.
On peut aussi résoudre le problème en s'aidant de la calculatrice :
–En utilisant le menu Table :
–En utilisant le menu Graph
5/6
B(15)