Le mouvement brownien

J.-F. Le Gall, Mouvement brownien, martingales et calcul stochastique,
71, DOI: 10.1007/978-3-642-31898-6_2,
ÓSpringer-Verlag Berlin Heidelberg 2013
Chapitre 2
Le mouvement brownien
R´ esum´ eCe chapitre est consacr´ e` a la construction du mouvement brownien et ` a
l’´ etude de certaines de ses propri´ et´ es. Nous introduisons d’abord le pr´ e-mouvement
brownien (terminologie non canonique!) qu’on d´ efinit facilement ` a partir d’une
mesure gaussienne sur R+. Le passage du pr´ e-mouvement brownien au mouvement
brownien exige la propri´ et´ e additionnelle de continuit´ e des trajectoires, ici obtenue
via le lemme classique de Kolmogorov. La fin du chapitre discute quelques pro-
pri´ et´ es importantes des trajectoires browniennes, et ´ etablit la propri´ et´ e de Markov
forte, avec son application classique au principe de r´ eflexion.
2.1 Le pr´ e-mouvement brownien
Dans ce chapitre, on se place ` a nouveau sur un espace de probabilit´ e(Ω,F,P).
D´ efinition 2.1. Soit Gune mesure gaussienne sur R+d’intensit´ e la mesure de
Lebesgue. Le processus (Bt)t∈R+d´ efini par
Bt=G(1[0,t])
est appel´ e pr´ e-mouvement brownien.
Proposition 2.1. Le processus (Bt)t≥0est un processus gaussien (centr´ e) de fonc-
tion de covariance
K(s,t) = min{s,t}(not.) =s∧t.
D´ emonstration. Par d´ efinition d’une mesure gaussienne, les variables Btappar-
tiennent ` a un mˆ eme espace gaussien, et (Bt)t≥0est donc un processus gaussien. De
plus, pour tous s,t≥0,
E[BsBt] = E[G([0,s])G([0,t])] = Z∞
0
dr1[0,s](r)1[0,t](r) = s∧t.ut
15
Math¯matiques et Applications

16 2 Le mouvement brownien
Proposition 2.2. Soit (Xt)t≥0un processus al´ eatoire ` a valeurs r´ eelles. Il y a ´ equiva-
lence entre les propri´ et´ es suivantes :
(i) (Xt)t≥0est un pr´ e-mouvement brownien;
(ii) (Xt)t≥0est un processus gaussien centr´ e de covariance K(s,t) = s∧t;
(iii) X0=0p.s. et pour tous 0≤s<t, la variable Xt−Xsest ind´ ependante de
σ(Xr,r≤s)et suit la loi N(0,t−s);
(iv) X0=0p.s. et pour tout choix de 0=t0<t1<···<tp, les variables Xti−Xti−1,
1≤i≤p sont ind´ ependantes, la variable Xti−Xti−1suivant la loi N(0,ti−ti−1).
D´ emonstration. L’implication (i)⇒(ii) est la Proposition 2.1. Montrons l’implica-
tion (ii)⇒(iii). On suppose que (Xt)t≥0est un processus gaussien centr´ e de covari-
ance K(s,t) = s∧t, et on note Hl’espace gaussien engendr´ e par (Xt)t≥0. Alors
X0suit une loi N(0,0)et donc X0=0 p.s. Ensuite, fixons s>0 et notons Hs
l’espace vectoriel engendr´ e par (Xr,0≤r≤s),˜ Hsl’espace vectoriel engendr´ e par
(Xs+u−Xs,u≥0). Alors Hset ˜ Hssont orthogonaux puisque, pour r∈[0,s]et u≥0,
E[Xr(Xs+u−Xs)] = r∧(s+u)−r∧s=r−r=0.
Comme Hset ˜ Hssont aussi contenus dans le mˆ eme espace gaussien H, on d´ eduit du
Th´ eor` eme 1.2 que σ(Hs)et σ(˜ Hs)sont ind´ ependantes. En particulier, si on fixe t>s,
la variable Xt−Xsest ind´ ependante de σ(Hs) = σ(Xr,r≤s). Enfin, en utilisant la
forme de la fonction de covariance, on voit ais´ ement que Xt−Xssuit la loi N(0,t−
s).
L’implication (iii)⇒(iv) est facile : en prenant s=tp−1et t=tpon obtient
d’abord que Xtp−Xtp−1est ind´ ependante de (Xt1,...,Xtp−1)et on continue par
r´ ecurrence.
Montrons l’implication (iv)⇒(i). Il d´ ecoule facilement de (iv) que Xest un pro-
cessus gaussien. Ensuite, si fest une fonction en escalier sur R+de la forme
f=∑n
i=1λi1]ti−1,ti], on pose
G(f) =
n
∑
i=1
λi(Xti−Xti−1)
(observer que cette d´ efinition ne d´ epend pas de l’´ ecriture choisie pour f). On v´ erifie
imm´ ediatement que si gest une autre fonction en escalier du mˆ eme type on a
E[G(f)G(g)] = ZR+ f(t)g(t)dt.
Grˆ ace ` a la densit´ e des fonctions en escalier dans L2(R+,B(R+),dt), on en d´ eduit
que l’application f7→ G(f)s’´ etend en une isom´ etrie de L2(R+,B(R+),dt)dans
l’espace gaussien engendr´ e par X. Enfin, par construction, G([0,t]) = Xt−X0=Xt.
ut
Remarque. La propri´ et´ e (iii) (avec seulement le fait que la loi de Xt−Xsne d´ epend
que de t−s) est souvent appel´ ee propri´ et´ e d’ind´ ependance et de stationnarit´ e des

2.1 Le pr´ e-mouvement brownien 17
accroissements. Le pr´ e-mouvement brownien est un cas particulier de la classe des
processus ` a accroissements ind´ ependants et stationnaires.
Corollaire 2.1. Soit (Bt)t≥0un pr´ e-mouvement brownien. Alors, pour tout choix de
0=t0<t1<··· <tn, la loi du vecteur (Bt1,Bt2,...,Btn)a pour densit´ e
p(x1,...,xn) = 1
(2π)n/2pt1(t2−t1).. .(tn−tn−1)exp−
n
∑
i=1
(xi−xi−1)2
2(ti−ti−1),
o` u par convention x0=0.
D´ emonstration. Les variables Bt1,Bt2−Bt1,...,Btn−Btn−1´ etant ind´ ependantes et
de lois respectives N(0,t1),N(0,t2−t1),...,N(0,tn−tn−1), le vecteur (Bt1,Bt2−
Bt1,...,Btn−Btn−1)a pour densit´ e
q(y1,...,yn) = 1
(2π)n/2pt1(t2−t1).. .(tn−tn−1)exp−
n
∑
i=1
y2
i
2(ti−ti−1),
et il suffit de faire le changement de variables xi=y1+···+yipour i∈ {1,...,n}.
ut
Remarque. Le Corollaire 2.1, avec la propri´ et´ eB0=0, d´ etermine les lois marginales
de dimension finie du pr´ e-mouvement brownien (rappelons qu’il s’agit de la donn´ ee,
pour tout choix de t1,...,tp∈R+, de la loi de (Bt1,...,Btp)). La propri´ et´ e (iv) de
la Proposition 2.2 montre qu’un processus ayant les mˆ emes lois marginales qu’un
pr´ e-mouvement brownien doit aussi ˆ etre un pr´ e-mouvement brownien.
Proposition 2.3. Soit B un pr´ e-mouvement brownien. Alors,
(i) −B est aussi un pr´ e-mouvement brownien;
(ii) pour tout λ>0, le processus Bλ
t=1
λBλ2test aussi un pr´
e-mouvement brown-
ien (invariance par changement d’´ echelle);
(iii) pour tout s ≥0, le processus B(s)
t=Bs+t−Bsest un pr´
e-mouvement brownien
ind´ ependant de σ(Br,r≤s)(propri´ et´ e de Markov simple).
D´ emonstration. (i) et (ii) sont tr` es faciles. D´ emontrons (iii). Avec les notations
de la preuve de la Proposition 2.2, la tribu engendr´ ee par B(s)est σ(˜ Hs), qui est
ind´ ependante de σ(Hs) = σ(Br,r≤s). Pour voir que B(s)est un pr´ e-mouvement
brownien, il suffit de v´ erifier la propri´ et´ e (iv) de la Proposition 2.2, ce qui est
imm´ ediat puisque B(s)
ti−B(s) ti−1=Bs+ti−Bs+ti−1.ut
f∈L2(R+,B(R+),dt),
G(f) = Z∞
0
f(s)dBs
et de mˆ eme
Si Best un pré-mouvement brownien et Gest la mesure gaussienne associée, on
note souvent pour

18 2 Le mouvement brownien
G(f1[0,t]) = Zt
0
f(s)dBs,G(f1]s,t]) = Zt
s
f(r)dBr.
Cette notation est justifi´ ee par le fait que si u<v,
Zv
u
dBs=G(]u,v]) = Bv−Bu.
L’application f7→ R∞
0f(s)dBs(c’est-`
a-dire la mesure gaussienne G) est alors ap-
pel´ ee int´ egrale de Wiener par rapport au pr´ e-mouvement brownien B. Rappelons
que R∞
0f(s)dBssuit une loi gaussienne N(0,R∞ 0f(s)2ds).
Comme les mesures gaussiennes ne sont pas de “vraies” mesures, la notation
R∞
0f(s)dBsne correspond pas `
a une “vraie” int´ egrale d´ ependant de ω. Une partie
importante de la suite de ce cours est consacr´ ee ` a´ etendre la d´ efinition de R∞
0f(s)dBs
`
a des fonctions fqui peuvent d´ ependre de ω.
2.2 La continuit´ e des trajectoires
D´ efinition 2.2. Si (Xt)t∈Test un processus al´ eatoire ` a valeurs dans un espace E,
les trajectoires de Xsont les applications T3t7→ Xt(ω)obtenues en fixant ω. Les
trajectoires constituent donc une famille, index´ ee par ω∈Ω, d’applications de T
dans E.
Soit B= (Bt)t≥0un pr´ e-mouvement brownien. Au stade o` u nous en sommes, on
ne peut rien affirmer au sujet des trajectoires de B: il n’est mˆ eme pas ´ evident (ni vrai
en g´ en´ eral) que ces applications soient mesurables. Le but de ce paragraphe est de
montrer que, quitte ` a modifier “un peu” B, on peut faire en sorte que ses trajectoires
soient continues.
D´ efinition 2.3. Soient (Xt)t∈Tet (˜ Xt)t∈Tdeux processus al´ eatoires index´ es par le
mˆ eme ensemble Tet ` a valeurs dans le mˆ eme espace E. On dit que ˜ Xest une modi-
fication de Xsi
∀t∈T,P[˜ Xt=Xt] = 1.
Remarquons que le processus ˜ Xa alors mˆ emes lois marginales de dimension
finie que X. En particulier, si Xest un pr´ e–mouvement brownien, ˜ Xest aussi un
pr´ e-mouvement brownien. En revanche, les trajectoires de ˜ Xpeuvent avoir un com-
portement tr` es diff´ erent de celles de X. Il peut arriver par exemple que les trajectoires
de ˜ Xsoient toutes continues alors que celles de Xsont toutes discontinues.
D´ efinition 2.4. Les deux processus Xet ˜ Xsont dits indistinguables s’il existe un
sous-ensemble n´ egligeable Nde Ωtel que
∀ω∈Ω\N,∀t∈T,Xt(ω) = X0
t(ω).
Dit de mani` ere un peu diff´ erente, les processus Xet ˜ Xsont indistinguables si

2.2 La continuit´ e des trajectoires 19
P(∀t∈T,Xt=˜ Xt) = 1.
(Cette formulation est l´ eg` erement abusive car l’´ ev´ enement {∀t∈T,Xt=˜ Xt}n’est
pas forc´ ement mesurable.)
Si deux processus sont indistinguables, l’un est une modification de l’autre. La
notion d’indistinguabilit´ e est cependant (beaucoup) plus forte : deux processus in-
distinguables ont p.s. les mˆ emes trajectoires. Dans la suite on identifiera deux pro-
cessus indistinguables. Une assertion de la forme “il existe un unique processus tel
que ...” doit toujours ˆ etre comprise “` a indistinguabilit´ e pr` es”, mˆ eme si cela n’est pas
dit explicitement.
Si T=Iest un intervalle de R, et si Xet ˜ Xsont deux processus dont les trajec-
toires sont p.s. continues, alors ˜ Xest une modification de Xsi et seulement si Xet
˜
Xsont indistinguables. En effet, si ˜ Xest une modification de Xon a p.s. ∀t∈I∩Q,
Xt=˜ Xt(on ´ ecarte une r´ eunion d´ enombrable d’ensembles de probabilit´ e nulle) d’o` u
p.s. ∀t∈I,Xt=˜ Xtpar continuit´ e. Le mˆ eme argument marche si on suppose seule-
ment les trajectoires continues ` a droite, ou ` a gauche.
Th´ eor` eme 2.1 (lemme de Kolmogorov). Soit X = (Xt)t∈Iun processus al´ eatoire
index´ e par un intervalle born´ e I de R,` a valeurs dans un espace m´ etrique complet
(E,d). Supposons qu’il existe trois r´ eels q,ε,C>0tels que, pour tous s,t∈I,
E[d(Xs,Xt)q]≤C|t−s|1+ε.
d(˜ Xs(ω),˜ Xt(ω)) ≤Cα(ω)|t−s|α.
En particulier, ˜ X est une modification continue de X (unique ` a indistinguabilit´ e pr` es
d’apr` es ci-dessus).
Remarques. (i) Si Iest non born´ e, par exemple si I=R+, on peut appliquer le
Th´ eor` eme 2.1 ` aI= [0,1],[1,2],[2,3],etc. et on trouve encore que Xa une modifi-
cation continue, qui est localement h¨ old´ erienne d’exposant αpour tout α∈]0,ε/q[.
(ii) Il suffit de montrer que pour α∈]0,ε/q[fix´ e, Xa une modification dont
les trajectoires sont h¨ old´ eriennes d’exposant α. En effet, on applique ce r´ esultat ` a
une suite αk↑ε/qen observant que les processus obtenus sont alors tous indistin-
guables, d’apr` es la remarque pr´ ec´ edant le th´ eor` eme.
D´ emonstration. Pour simplifier l’´ ecriture, on prend I= [0,1], mais la preuve est la
mˆ eme pour un intervalle born´ e quelconque. On note Dl’ensemble (d´ enombrable)
des nombres dyadiques de l’intervalle [0,1[, c’est-` a-dire des r´ eels t∈[0,1]qui
s’´ ecrivent
t=
p
∑
k=1
εk2−k
o` up≥1 est un entier et εk=0 ou 1, pour tout k∈ {1,...,p}.
Alors, il existe une modification ˜ X de X dont les trajectoires sont höldériennes
d’exposant
α pour tout ω ∈ Ω et tout α ∈]0,
ε
q[: cela signifie que, pour tout
α ∈]0,
ε
q[,il existe une constante C
α
( ω )telle que, pour tous s,t∈I,