Exercice N°1

Lycée Tahar Sfar Sousse
Synthèse N°3
***
3ème M1 - 2
Mai 2014
MATHEMATIQUES
Durée = 3h
Dga - Kharbouch
Exercice N°1
 U 0  3 et Un 1  2U n  1
 V0  1 et Vn 1  2Vn  3
On considère les suites réelles (U) et (V) définie sur  par : 
1. Montrer, par récurrence que, pour tout n  , Un = 2n+1 + 1.
2. Montrer que pour tout n  : Un+1  Un = 1.
3. En déduire que 22014 + 1 et 22013 + 1 sont premiers entre eux.
4. a) Montrer, par récurrence que, pour tout n  , 2Un - Vn = 5.
b) En déduire que Vn = 2n+2 - 3.
c) Etudier suivant les valeurs de n le reste de la division euclidienne de 2n par 5.
d) Déterminer le reste de la division euclidienne de 22013 + 22014 par 5.
5. On note d = Un Vn. , montrer que d = 1 ou d = 5.
En déduire l’ensemble des entiers naturels tels que Un et Vn sont premiers entre eux.
Exercice N°2
Soit (U n ) la suite définie sur * par : U n =
n
.
3n
1) a) Montrer que pour tout n  * on a :
U n+1 2
 .
Un
3
b) En déduire que (U n ) est décroissante.
 2
n
2) a) Montrer que pour tout n  * on a : U n    .
 3
b) Montrer que la suite (U n ) est convergente.
n
3) Soit n  * . On pose Sn =
U
k
.
k=1
Montrer que la suite (Sn ) est croissante et majorée par 2.
Exercice N°3
L’espace est munie d’un repère orthonormé (O, i, j , k ) .
On donne les points
A(0,8,0) , B( 1,2,-2) et C( 3,4,1).
 
1. a) Calculer AB  AC et déduire que A, B et C ne sont pas alignés.
b) Calculer l’aire du triangle ABC.
c) Montrer qu’ une équation cartésienne du plan P = (ABC) est : 2x + y – 2z – 8 = 0
2. Soit S l’ensemble des points M(x, y, z) de l’espace d’équation :
x2 + y2 + z2 –2x –2y – 4z –3 = 0
a) Montrer que S est une sphère de centre I( 1,1,2) et dont on précisera le rayon R.
b) Montrer que la sphère S et le plan P Sont tangents en un point H.
c) Déterminer les coordonnées de H.
3. Soit Q le plan parallèle à P et passant par I.
a) Donner une équation cartésienne de du plan Q.
b) Déterminer et caractériser Q  S.
Page : 1 / 2
La suite
Exercice N°4
Un sac contient 7 jetons indiscernables au toucher répartis comme suit :
3 jetons rouges numérotés 1,1,2

4 jetons verts numérotés 1,1,2,3
On suppose que tous les jetons sont indiscernables au toucher.
2. On tire simultanément et au hasard trois jetons du sac.
Calculer la probabilité des évènements suivants :
A « Obtenir trois jetons de même couleur »
B « Obtenir un seul jeton n°1 »
A  B « Obtenir trois jetons de même couleur et un seul jeton n°1 » et A  B.
3. On tire successivement et sans remise 3 jetons du sac.
Calculer la probabilité des évènements suivants :
C « Obtenir un seul jeton n°1 »
D « Le jeton portant le numéro 3 apparait au deuxième tirage »
E « Obtenir les deux couleurs»
F« Obtenir une somme égale à 5»
4. On tire successivement et avec remise n jetons du sac ( n  * ).
On note pn la probabilité de l’événement En « Obtenir un jeton numéro 3 pour la première fois au
nième tirage»
a) Calculer P1 , P2 et P3.
1 6
b) Vérifier que Pn = .  
7 7
n1
.
n
c) Soit la somme Sn =
P
i
, exprimer Sn en fonction de n et puis calculer sa limite.
i =1
Exercice N°5
Une entreprise fabrique huit types de produits. Pour chaque produit, elle dépense des sommes
différentes en publicité. Le tableau ci-dessous donne, pour chaque produit, le budget mensuel x alloué
à la publicité (en Dinars) ainsi que le nombre de commandes y faites en un mois à l'entreprise
Produit
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
Budget x
5100
7800 11200
15800
20100
22500
26200
28900
Nbre de
620
1080
1480
2020
3000
3360
3880
4200
commandes y
1. Représenter le nuage des points associé à cette série double dans un repère orthogonal:
Origine (5000 ; 600). Axe des abscisses : 1cm pour 1000 D Axe des ordonnées : 1cm pour 200 commandes
2. a) Placer le point moyen dans G dans ce nuage.
b) Calculer les variances Vx , Vy et les écarts-types σx et σy
3. a) Calculer le coordonnées G1 et G2 de la droite de Mayer et placer ces points dans ce nuage.
b) Vérifier qu’une équation cartésienne de la droite de Mayer est y = 0,16 x - 295.
Tracer cette droite dans le nuage
4. Quelle estimation peut-on faire du nombre commandes pour un produit P9 pour un budget mensuel
publicitaire de 23400 Dinars ?.
Page : 2 / 2