Problème de synthèse - probabilités

Première S
Problème de synthèse
Probabilités – étude d’une fonction
Une urne contient n jetons dont 7 sont bleus et les autres sont jaunes (n est un entier naturel supérieur ou
égal à 7).
On prélève successivement et sans remise deux jetons de l’urne.
1) Dans cette question, on suppose que n = 10.
Calculer les probabilités des événements suivants :
•
A : « le premier jeton est bleu est l’autre jaune ».
•
B : « un jeton est bleu et l’autre est jaune »
•
C : « les deux jetons sont bleus »
•
D : « les deux jetons sont de la même couleur »
2) Dans cette question, n désigne un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 8.
On appelle pn la probabilité que deux jetons tirés soient de couleurs différentes.
Démontrer que pn =
14(n – 7)
.
n² - n
Déterminer les entiers naturels n pour lesquels la probabilité pn est maximale. Préciser la valeur de
pn correspondante.
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Première S
Problème de synthèse
Probabilités – étude d’une fonction
CORRECTION
1) P(A) =
P(B) =
7×3 7
=
10×9 30
7×3 7
=
10 15
2
7
2 7×6 7
=
=
P(C) =
10 10×9 15
2
7 +3
2 2 7×6 + 3×2 8
P(D) =
=
=
10×9
15
10
2
Remarque on a aussi P(D) = 1 – P(C)
2) pn =
7×(n – 7) 14×(n – 7) 14×(n – 7)
=
=
n(n – 1)
n² - n
n
2
Etudions les variations de la fonction f définie sur [8 ;+∞[ par f(x) =
14×(x – 7)
(x² - x)
x² - 14x + 7
(x² - x) – (2x – 1)(x – 7)
= -14×
f’(x) = 14×
(x² - x)²
(x² - x)²
f’(x) = 0 x² - 14x + 7 = 0
∆ = 14² - 28 = 168 = (2 42)²
x = 7 ± 42
Une valeur supérieure ou égale à 8 : 7 + 42 ≈ 13,4
Tableau de variations de f :
x 8
f'
f(x)
1
4
7+ 42
+
+∞
−
M
0
Les valeurs entières encadrant 7 + 42 sont 13 et 14.
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Problème de synthèse
Probabilités – étude d’une fonction
f(13) =
14×6
7
=
13² - 13 13
f(14) =
7
14×7
=
14² - 14 13
Les valeurs de n cherchées sont donc 13 et 14 et la valeur maximale de pn est
7
.
13
pn en fonction de n pour n = 8 à 20 :
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