Problème de synthèse - probabilités

Première S Problème de synthèse
Probabilités – étude d’une fonction
1
Une urne contient n jetons dont 7 sont bleus et les autres sont jaunes (n est un entier naturel supérieur ou
égal à 7).
On prélève successivement et sans remise deux jetons de l’urne.
1) Dans cette question, on suppose que n = 10.
Calculer les probabilités des événements suivants :
• A : « le premier jeton est bleu est l’autre jaune ».
• B : « un jeton est bleu et l’autre est jaune »
• C : « les deux jetons sont bleus »
• D : « les deux jetons sont de la même couleur »
2) Dans cette question, n désigne un entier naturel quelconque supérieur ou égal à 8.
On appelle p
n
la probabilité que deux jetons tirés soient de couleurs différentes.
Démontrer que p
n
= 14(n – 7)
n² - n .
Déterminer les entiers naturels n pour lesquels la probabilité p
n
est maximale. Préciser la valeur de
p
n
correspondante.

Première S Problème de synthèse
Probabilités – étude d’une fonction
2
CORRECTION
1) P(A) = 7×3
10×9 = 7
30
P(B) = 7×3
10
2
= 7
15
P(C) =
7
2
10
2
= 7×6
10×9 = 7 15
P(D) =
7
2 +
3
2
10
2
= 7×6 + 3×2
10×9 = 8 15
Remarque on a aussi P(D) = 1 – P(C)
2) p
n
= 7×(n – 7)
n
2
= 14×(n – 7)
n(n – 1) = 14×(n – 7) n² - n
Etudions les variations de la fonction f définie sur [8 ;+∞[ par f(x) = 14×(x – 7)
(x² - x)
f’(x) = 14×(x² - x) – (2x – 1)(x – 7)
(x² - x)² = -14×x² - 14x + 7
(x² - x)²
f’(x) = 0  x² - 14x + 7 = 0
∆ = 14² - 28 = 168 = (2 42)²
x = 7 ± 42
Une valeur supérieure ou égale à 8 : 7 + 42 ≈ 13,4
Tableau de variations de f :
Les valeurs entières encadrant 7 + 42 sont 13 et 14.
x
f'
f(x)
8 +
1
4
7+
42
−
M
+
∞
0

Première S Problème de synthèse
Probabilités – étude d’une fonction
3
f(13) = 14×6
13² - 13 = 7
13
f(14) = 14×7
14² - 14 = 7
13
Les valeurs de n cherchées sont donc 13 et 14 et la valeur maximale de p
n
est 7
13.
p
n
en fonction de n pour n = 8 à 20 :