Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit

Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l'avenue
principale, qui est jalonnée de feux tricolores.
Pour tout entier naturel n ≥ 1, on note En l'événement : «Amélie est arrêtée par le nième feu rouge ou orange », et
En l'événement contraire.
Le feu orange est considéré comme un feu rouge.
Soit pn la probabilité de En et qn celle de  En. La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou orange vaut 1
8
On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées :
- la probabilité que le (n + 1)ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est rouge ou orange, vaut 1
20,
- la probabilité que le (n + 1)ième feu tricolore soit rouge ou orange, si le nième feu est vert, est égale à 9
20.
1° On s'intéresse, tout d'abord, aux deux premiers feux tricolores.
a) Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.
9
20
vert
rouge
ou orange
1
8
rouge
ou orange
1
20
1ier feu 2ième feu
b) On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux premiers feux tricolores.
Déterminer la loi de probabilité de X.
c) Calculer l'espérance mathématique de X.
2° On se place maintenant dans le cas général.
a) Donner les probabilités conditionnelles p
E
n
(En+1)et p 
En
(En+1).
b) En remarquant que En+1 = (En+1 ∩ En) ∪ (En+1 ∩  En), montrer que, pour tout n ≥ 1,
pn+1 = 1
20 pn + 9 20 qn .
c) En déduire l'expression de pn+1 en fonction de pn.
3° Soit la suite (Un) de nombres réels définie pour tout entier naturel n ≥ 1 par Un = 28 pn – 9.
a) Montrer que (Un)est une suite géométrique et déterminer sa raison k.
b) Exprimer Un , puis pn, en fonction de n.
c) Déterminer la limite, si elle existe, de pn quand n tend vers + ∞ . Donner une interprétation de ce résultat.

Asie 2002
11
20
vert
7
8 × 11 20 X = 2
9
20
7
8
vert
rouge
ou orange
7
8 × 9 20 X = 1
1
8
19
20
1
8 × 19 20 X = 1
rouge
ou orange
vert
1
20
rouge
ou orange
1
8 × 1 20 X = 0
1ier feu 2ième feu
1° b) P(X = 0) = 1
8 × 1 20 = 1 160 , P(X = 1) = 7 8 × 9 20 + 1 8 × 19 20 = 82 120 , P(X = 2) = 7 8 ×11 20 = 77 160
c) E(X) = 0 × 1
160 + 1 × 82 160 + 2 × 77 160 = 82 + 154 160 = 59 40 ≈ 1,475.
2° a) PEn(En+1) = 1
20 et P
En (En+1) = 9
20
b) En+1 = (En+1 ∩ En) ∪ (E n+1 ∩  En) donc
pn+1 = P(En+1) = 1
20 × P(En) + 9 20 × P( 
En) = 1
20 pn + 9 20 (1 – pn) = 1 20 pn + 9 20 qn
c) pn+1 = 1
20 pn + 9 20 (1 – pn) = 1 20 pn + 9 20 – 9 20 pn = 9 20 – 8 20 pn = 9 20 – 2 5 pn
3° Un = 28 pn – 9 ⇔ 28 pn = 9 + Un
Un+1 = 28 pn+1 – 9 = 28 
9
20 – 2 5 pn – 9 = 28 × 9 20 – 28 × 2 5 pn – 9 = 63 5 – 2 5 × (Un + 9) – 45 5= 18 5 – 2 5 Un – 18 5 = – 2 5 Un
Un est géométrique de raison – 2
5.
b) Un =  – 2
5
n-1
× U1 = (28 × p1 – 9) ×  – 2
5
n-1
=  28 × 1
8 × 
– 2
5
n-1
= 7
2 × 
– 2
5
n-1
pn = Un + 9
28 = 3,5 × (– 0,4)n–1 + 9 28 = 1 8 × 
– 2
5
n-1
+ 9
28
c) – 2
5 < 1 donc lim
n → +∞ Un = 0 donc lim n → +∞ pn = 9
28.