DM 8 supplémentaire

TS 3 Devoir maison n° 8 supplémentaire Année 2010/2011
A rédiger pour le mardi 26 avril
Exercice :
Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l’avenue
principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores.
Pour tout entier   , on note  l’événement : « Amélie est arrêtée par le feu rouge ou orange » et 
l’événement contraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge.
Soit  la probabilité de  et  la probabilité de  . La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou
orange vaut 
.
On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées :
• La probabilité que le    feu tricolore soit rouge ou orange, si le  feu est rouge ou orange,
vaut
.
• La probabilité que le    feu tricolore soit rouge ou orange, si le  feu est vert, vaut 
.
1) On s’intéresse, tout d’abord, aux deux premiers feux tricolores.
a) Réaliser un arbre pondéré synthétisant les données de l’énoncé.
b) On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la
loi de probabilité de X.
c) Calculer l’espérance mathématique et la variance de X.
2) On se place maintenant dans le cas général.
a) Donner les probabilités conditionnelles   et  .
b) En remarquant que        , montrer que, pour tout   :
c) En déduire l’expression de  en fonction de .
3) Soit la suite  de nombres réels définie pour tout entier naturel   par   .
a) Montrer que  est une suite géométrique et déterminer sa raison k.
b) Exprimer , puis  en fonction de n.
c) Déterminer la limite, si elle existe, de , quand n tend vers .