DM 8 supplémentaire

TS 3
Devoir maison n° 8 supplémentaire
A rédiger pour le mardi 26 avril
Année 2010/2011
Exercice :
Amélie est en vacances dans une très grande métropole. Elle doit traverser cette ville en suivant l’avenue
principale, qui est jalonnée de nombreux feux tricolores.
Pour tout entier 1, on note l’événement : « Amélie est arrêtée par le è feu rouge ou orange » et l’événement contraire. Le feu orange est considéré comme un feu rouge.
Soit la probabilité de et la probabilité de . La probabilité que le premier feu tricolore soit rouge ou
orange vaut .
On suppose que les deux conditions suivantes sont réalisées :
• La probabilité que le 1è feu tricolore soit rouge ou orange, si le è feu est rouge ou orange,
vaut .
• La probabilité que le 1è feu tricolore soit rouge ou orange, si le è feu est vert, vaut
.
1) On s’intéresse, tout d’abord, aux deux premiers feux tricolores.
a) Réaliser un arbre pondéré synthétisant les données de l’énoncé.
b) On note X la variable aléatoire égale au nombre de feux verts parmi ces deux feux tricolores. Déterminer la
loi de probabilité de X.
c) Calculer l’espérance mathématique et la variance de X.
2) On se place maintenant dans le cas général.
a) Donner les probabilités conditionnelles et .
b) En remarquant que , montrer que, pour tout 1 :
1
9
20
20
c) En déduire l’expression de en fonction de .
3) Soit la suite de nombres réels définie pour tout entier naturel 1 par 28
a) Montrer que est une suite géométrique et déterminer sa raison k.
b) Exprimer , puis en fonction de n.
c) Déterminer la limite, si elle existe, de , quand n tend vers ∞.
9.